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Trigonometría
Radián
Estamos acostumbrados a medir los ángulos en grados pero existen otras formas de hacerlo,
entre ellas están los radianes.
El radián es la medida del ángulo central de una cirunferencia cuyo arco tiene la misma
longitud que el radio. Dicho con otras palabras: gracias al radián podemos saber cuanto mide
un arco conociendo el ángulo y el radio.
Como tenemos el ángulo en grados (º) no podemos
saber cuanto mide el arco que va del punto 1 al
punto 2.
Como tenemos el ángulo en radianes (rad) podemos
saber cuanto mide el arco que va del punto 1 al
punto 2 multiplicando el radio por el ángulo:
Arco del punto 1−2=radio ⋅ ángulo (rad )=4 ⋅0,25 π=1⋅π=3,1415
Grados y radianes
Aunque matemáticamente los radianes son muy utiles ( muchísimo más que los grados) en el
día a día no se utilizan porque decir 45º grados es fácil y todo el mundo lo entiende sin
embargo si dics 0,25 pi radianes nadie lo hará. Por eso es útil saber pasar de una unidad a
otra.
90 º
π rad
2
Vamos a ver como pasar de grados a radianes y al revés.
¿Cuántos radianes son 20 grados?
0 rad
0º
180 º
Hacemos una regla de
3. 20 es a 180 lo que x
es a Pi.
20 x
=
180 π
x=
11
π rad
100
360º
π rad
2 π rad
270º
3π
rad
2
¿Cuántos grados son 1 radián?
Nota: Normalmente
dejamos Pi indicado en los
radianes y lo utilizamos
como decimal (3,1415…)
en los grados.
x
1
=π
180
x=57,11 º
Razones trigonométricas de un triángulo
rectángulo
seno =
cateto opuesto
hipotenusa
coseno =
cateto contiguo
hipotenusa
tangente =
sen(B) =
b
a
sen(C) =
c
a
cos(B ) =
c
a
cos(C ) =
b
a
b
c
tan(C ) =
tan( B) =
c
b
cateto opuesto
cateto contiguo
Nota: El seno y el coseno se mueven
entre los valores -1 y 1. La tangente, por
otra parte, no tiene límite.
Cálculo de razones trigonométricas
Para calcular el seno, el coseno o la tangente de un ángulo primero hemos de tener la
calculadora en el modo correcto. Para ello pulsamos la tecla MODE y luego en el valor de
Deg( Grados). Si queremos trabajar con radianes debemos pulsar Rad. Nunca pulsar Grad,
esa tecla sirve para trabajar con gonios.
Para calcular las razones trignonometricas de un ángulo
cualquiera basta con pulsar la tecla sin, cos o tan,
dependiendo de lo que queremos pulsar y a continuación
poner el ángulo.
Por ejemplo, para obtener el seno de 50º primero
pulsaríamos sin, luego escribimos 50 y finalmente
pulsamos igual.
sen(50º)=0,7660...
cos(50º)=0,6427...
tan(50º)=1,1917...
Nota: Es conveniente utilizar al menos 3 decimales ya que si no, como
veremos en los ejercicios, los resultados pueden variar un poco.
Cálculo de razones trigonométricas inversas
En muchas ocasiones nos vamos a encontrar con que lo que sabemos es el valor del seno, el
coseno o la tangente. En estos casos recurrimos a las funciones arco: arcoseno, arcocoseno y
arcotange; las funciones inversas del seno, coseno y tangente.
Para calcular un ángulo conociendo sus razones
trigonométricas con la calculadora tan solo debemos pulsar
primero la tecla shift.
Por ejemplo, para conocer el ángulo cuyo seno vale 0,5
hacemos lo siguiente:
1-.Shift
2-.sin
3-.0,5
4-.Igual
Arcosen(0,5)=30º
Arcocos(0,5)=60º
Arcotan(0,5)=26,5650,,,º
Relaciones fundamentales
Primera relación fundamental
Vamos a elevar al cuadrado el seno y el coseno a ver que pasa...
sen(B) =
b
a
cos(B ) =
2
2
2
2
2
c
a
Aquí aplicamos
Pitágoras
2
2
b
c
b c b +c a
sen (B)+cos ( B)=( ) +( ) = 2 + 2 = 2 = 2 =1
a
a
a a
a
a
2
2
2
2
sen ( B)+cos ( B)=1
Segunda relación fundamental
Vamos a dividir el seno entre el coseno a ver que pasa...
b
sen( B) a b
= = =tan(B )
cos(B) c c
a
sen( B)
=tan ( B)
cos( B)
Circunferencia goniométrica
La circunferencia centra en el origen de coordenadas y de radio 1 recibe el nombre de
circunferencia goniométrica. Los ejes dividen a la circunferencia en 4 cuadrantes.
90 º
Los ángulos
positivos se miden
en el sentido
contrario a las
agujas del reloj.
1º
Cuadrante
2º
Cuadrante
0º
180º
90 º
360 º
3º
Cuadrante
4º
Cuadrante
0º
180 º
270 º
Los ángulos negativos
se representan en el
sentido de las agujas
del reloj.
360º
270º
Ángulos mayores de 360 grados
¿Como representamos un ángulo superior a 360º en la circunferencia goniométrica? Es fácil La
representación de ese ángulo será igual que el resto de dividir ese ángulo entre 360. Por
ejemplo, vamos a representar 1170.
1170 360
90 3
Puesto que el resto es 90, 1170º
equivaldría a 90º. Es decir hemos dado 3
vueltas completas y 90 grados más.
Razones trigonométricas de un ángulo
cualquiera
1º Cuadrante
3º Cuadrante
Para recordar esto
basta con pensar en
el eje x como el
coseno y el eje y
como el seno.
2º Cuadrante
4º Cuadrante
Ángulos opuestos
Ángulos relacionados con 180º
Cuando tenemos ángulos que son 180+α o 180-α el valor numérico del seno, coseno y tangente
se mantiene y solo cambia los signos según el cuadrante en el que se encuentre.
180º+50º=230º
180º-50º=130º
sen(50º)=0,766
sen(230º)= - 0,766
sen(130º)=0,766
cos(50º)=0,642
cos(230º)= - 0,642
cos(130º)= - 0,642
tan(50º)=1,191
tan(230º)=1,191
tan(130º)= - 1,191
130º y 50º son ángulos suplementarios ya que 50+130=180
Ángulos relacionados con 90º
Cuando tenemos ángulos que son 90+α o 90-α el valor numérico del seno, coseno se
intercambian y el de la tangente se cambia por su inverso. También cambian los signos según
el cuadrante.
90º+50º=140º
90º-50º=40º
sen(50º)=0,766
sen(140º)= 0,642
sen(40º)=0,642
cos(50º)=0,642
cos(140º)= - 0,766
cos(40º)= 0,766
tan(50º)=1,191
tan(140º)=-1/1,191= -0,839 tan(130º)= 0,839
40º y 50º son ángulos complementarios ya que 50+40=90
Valores usuales