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También llamadas propiedades de
campo porque son aplicables al
conjunto de números reales con
varias propiedades
Matemáticas 1
Propiedades de los
números
Propiedad de cerradura
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Matemáticas 1
Una operación es cerrada en un conjunto
cuando el resultado se encuentra en el
mismo conjunto.
2
Ejemplo 1:
Matemáticas 1
La resta no es cerrada en los naturales.
Recordando que los naturales son:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, K }
Sea 5 - 4 = 1
Se observa que:
Pero
5∈ N
y
1∈ N
− 4∉ N
Por tanto, se puede concluir que la resta no es cerrada en
los naturales
3
Ejemplo 2 :
Matemáticas 1
En el conjunto de los impares, la suma no es cerrada.
Porque : 3 + 5 = 8
3∈
5∈
8∉
al conjunto de los impares
al conjunto de los impares
al conjunto de los impares
Por tanto, la suma no es cerrada al conjunto de los
impares.
4
Ejemplo 3:
Matemáticas 1
El conjunto de los pares con la multiplicación es
cerrado.
Porque:
8 x 6 = 48
La multiplicación de dos pares siempre va a dar otro
par.
5
Ejemplo 4:
Matemáticas 1
La suma y la multiplicación son operaciones binarias
cerradas sobre los reales
Porque esta operación siempre nos dará como
resultado otro número real.
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Propiedad asociativa en la suma y en
la multiplicación
No importa la forma en que agrupemos los
números, el resultado siempre será el mismo.
Ejemplo 1:
2+7+6 = (2+7)+6 = 2+(7+6)
9+6 = 2+13
15 = 15
Ejemplo 2:
5•3•2 = (5•3) •2 = 5• (3•2)
15•2 = 5•6
30 = 30
Matemáticas 1
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Propiedad conmutativa en la suma y
en la multiplicación
El orden en que se realice la operación no tiene
importancia.
Ejemplo 1:
2+4 = 4+2 = 6
Ejemplo 2:
7•9 = 9•7 = 63
Matemáticas 1
8
La resta y la división no son
conmutativas
El orden en que se realice la operación sí tiene
importancia.
Ejemplo 1:
3 - 5 = - 2 es diferente a 5 - 3 = 2
siendo -2 diferente a 2
Ejemplo 2:
8
=4
2
es diferente a
siendo 4 diferente a
Matemáticas 1
2 1
=
8 4
1
4
9
Propiedad de identidad de la suma y
multiplicación
El cero es el elemento idéntico o neutro para la suma.
Ejemplo: 5 + 0 = 5
El uno es el elemento idéntico para la multiplicación.
Ejemplo: (8)(1) = 8
Matemáticas 1
Es cuando al operar un número con el elemento
de identidad, el resultado es igual al número
operado:
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Propiedades del inverso aditivo
El inverso de un número es el mismo número,
multiplicado por -1.
Ejemplo 1:
Inverso de
Ejemplo 2:
Inverso de -3 es 3
Matemáticas 1
4
4
es −
5
5
La suma del número y su inverso siempre es cero.
Ejemplo: -3 + 3 = 0
Cada número real tiene un solo inverso aditivo.
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El inverso multiplicativo o recíproco
Ejemplo 1: de 2 su recíproco es
1
2
Ejemplo 2: de -3 su recíproco es
−
Matemáticas 1
El inverso multiplicativo o recíproco de un número
dado es igual al cociente de dividir 1 entre el
número.
1
3
1
Ejemplo 3: de
su recíproco es 5
5
Ejemplo 4: de −
1
su recíproco es -4
4
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El inverso multiplicativo o recíproco
El cero no tiene inverso multiplicativo, ya que
1
no existe.
Cada número real diferente a cero tiene un solo
inverso multiplicativo, y la multiplicación con éste
siempre dará 1.
Matemáticas 1
0
Ejemplo:
De
−
2
9
su recíproco es −
 2  9 
de forma que  −  −  = 1
 9  2 
9
2
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Propiedad distributiva
Matemáticas 1
La propiedad distributiva permite combinar la
adición y la multiplicación. Para multiplicar un
número por una suma, multiplica cada uno de los
números de la suma por el número que está
multiplicando. La operación de multiplicación tiene
prioridad frente a la suma.
Ejemplo:
8(− 2 x + 4m + 6 ) = (8)(− 2 x ) + (8)(4m ) + (8)(6)
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Propiedades de la igualdad:
propiedad reflexiva de la igualdad
Un número o expresión es siempre igual a sí
mismo.
Ejemplo 1:
8=8
Ejemplo 2:
m+1 = m+1
Matemáticas 1
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Propiedades de la igualdad:
propiedad simétrica de la igualdad
Ejemplo 1:
x=7 ⇒ 7=x
Ejemplo 2:
m = 2+n ⇒ 2+n = m
Matemáticas 1
Las expresiones a cada lado de la igualdad
pueden intercambiarse de lado, sin afectar la
igualdad.
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Propiedades de la igualdad:
propiedad transitiva de la igualdad
Ejemplo 1: sea
x= y,
Ejemplo 2: sea
4 = t , t = 5− p ∴ 4 = 5− p
Matemáticas 1
Si una expresión a1 es igual a una expresión a2, y
la expresión a2 es igual a una expresión a3,
entonces la expresión a1 será igual a la expresión
a3
y=z ∴ x=z
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Propiedades de la igualdad:
propiedad de adición de la igualdad
Ejemplo 1:
Si m = r entonces m + z = r + z
Ejemplo 2:
Si 5t + y = 3 entonces 5t + y + m = 3 + m
Matemáticas 1
Si sumas el mismo número a ambos lados de la
ecuación, los lados permanecen iguales. Para
todo número a, b y c, si a = b, entonces a+c = b+c.
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Propiedades de la igualdad:
propiedad de multiplicación de la igualdad
Ejemplo 1:
Si x = y entonces (s)(x) = (s)(y)
Ejemplo 2:
Si m + 4 = 7 (m+4)3=(7)(3)
Matemáticas 1
Si multiplicas ambos lados de una ecuación por el
mismo número los lados permanecen iguales.
Para todo número a, b y c, si a = b, entonces
a x c = b x c.
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Tricotomía
que el número sea positivo
2. que el número sea negativo
3. que el número sea igual a cero
1.
Así, para cualquier dos números reales a y b, una
de las siguientes aseveraciones es exactamente
verdad:
a<b , a=b , a>b.
Matemáticas 1
La tricotomía nos indica que un número sólo
puede satisfacer a una de las siguientes
condiciones:
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Ejemplo 1: ¿Como puedo indicar que 5 > 4 es una
aseveración real?
Porque 5 - 4 = 1 , que es un número positivo. Por
tanto, 5 es mayor que 4.
Ejemplo 2: ¿Como puedo indicar que 2 < 8, es una
aseveración legítima?
Porque 2 - 8 = -6 y este es un número negativo, por
lo que se prueba que 2 < 8.
Matemáticas 1
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Densidad
Ejemplos:
Entre 0 y 1 hay un número real que es ½
Entre 0 y ½ hay un número real que es ¼
Matemáticas 1
La densidad nos indica que entre dos números
reales, siempre es posible encontrar otro numero
real.
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