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http://www.dailyclipart.net/clipart/category/math-clip-art/ 1 También llamadas propiedades de campo porque son aplicables al conjunto de números reales con varias propiedades Matemáticas 1 Propiedades de los números Propiedad de cerradura http://football-wallpapers.com Matemáticas 1 Una operación es cerrada en un conjunto cuando el resultado se encuentra en el mismo conjunto. 2 Ejemplo 1: Matemáticas 1 La resta no es cerrada en los naturales. Recordando que los naturales son: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, K } Sea 5 - 4 = 1 Se observa que: Pero 5∈ N y 1∈ N − 4∉ N Por tanto, se puede concluir que la resta no es cerrada en los naturales 3 Ejemplo 2 : Matemáticas 1 En el conjunto de los impares, la suma no es cerrada. Porque : 3 + 5 = 8 3∈ 5∈ 8∉ al conjunto de los impares al conjunto de los impares al conjunto de los impares Por tanto, la suma no es cerrada al conjunto de los impares. 4 Ejemplo 3: Matemáticas 1 El conjunto de los pares con la multiplicación es cerrado. Porque: 8 x 6 = 48 La multiplicación de dos pares siempre va a dar otro par. 5 Ejemplo 4: Matemáticas 1 La suma y la multiplicación son operaciones binarias cerradas sobre los reales Porque esta operación siempre nos dará como resultado otro número real. 6 Propiedad asociativa en la suma y en la multiplicación No importa la forma en que agrupemos los números, el resultado siempre será el mismo. Ejemplo 1: 2+7+6 = (2+7)+6 = 2+(7+6) 9+6 = 2+13 15 = 15 Ejemplo 2: 5•3•2 = (5•3) •2 = 5• (3•2) 15•2 = 5•6 30 = 30 Matemáticas 1 7 Propiedad conmutativa en la suma y en la multiplicación El orden en que se realice la operación no tiene importancia. Ejemplo 1: 2+4 = 4+2 = 6 Ejemplo 2: 7•9 = 9•7 = 63 Matemáticas 1 8 La resta y la división no son conmutativas El orden en que se realice la operación sí tiene importancia. Ejemplo 1: 3 - 5 = - 2 es diferente a 5 - 3 = 2 siendo -2 diferente a 2 Ejemplo 2: 8 =4 2 es diferente a siendo 4 diferente a Matemáticas 1 2 1 = 8 4 1 4 9 Propiedad de identidad de la suma y multiplicación El cero es el elemento idéntico o neutro para la suma. Ejemplo: 5 + 0 = 5 El uno es el elemento idéntico para la multiplicación. Ejemplo: (8)(1) = 8 Matemáticas 1 Es cuando al operar un número con el elemento de identidad, el resultado es igual al número operado: 10 Propiedades del inverso aditivo El inverso de un número es el mismo número, multiplicado por -1. Ejemplo 1: Inverso de Ejemplo 2: Inverso de -3 es 3 Matemáticas 1 4 4 es − 5 5 La suma del número y su inverso siempre es cero. Ejemplo: -3 + 3 = 0 Cada número real tiene un solo inverso aditivo. 11 El inverso multiplicativo o recíproco Ejemplo 1: de 2 su recíproco es 1 2 Ejemplo 2: de -3 su recíproco es − Matemáticas 1 El inverso multiplicativo o recíproco de un número dado es igual al cociente de dividir 1 entre el número. 1 3 1 Ejemplo 3: de su recíproco es 5 5 Ejemplo 4: de − 1 su recíproco es -4 4 12 El inverso multiplicativo o recíproco El cero no tiene inverso multiplicativo, ya que 1 no existe. Cada número real diferente a cero tiene un solo inverso multiplicativo, y la multiplicación con éste siempre dará 1. Matemáticas 1 0 Ejemplo: De − 2 9 su recíproco es − 2 9 de forma que − − = 1 9 2 9 2 13 Propiedad distributiva Matemáticas 1 La propiedad distributiva permite combinar la adición y la multiplicación. Para multiplicar un número por una suma, multiplica cada uno de los números de la suma por el número que está multiplicando. La operación de multiplicación tiene prioridad frente a la suma. Ejemplo: 8(− 2 x + 4m + 6 ) = (8)(− 2 x ) + (8)(4m ) + (8)(6) 14 Propiedades de la igualdad: propiedad reflexiva de la igualdad Un número o expresión es siempre igual a sí mismo. Ejemplo 1: 8=8 Ejemplo 2: m+1 = m+1 Matemáticas 1 15 Propiedades de la igualdad: propiedad simétrica de la igualdad Ejemplo 1: x=7 ⇒ 7=x Ejemplo 2: m = 2+n ⇒ 2+n = m Matemáticas 1 Las expresiones a cada lado de la igualdad pueden intercambiarse de lado, sin afectar la igualdad. 16 Propiedades de la igualdad: propiedad transitiva de la igualdad Ejemplo 1: sea x= y, Ejemplo 2: sea 4 = t , t = 5− p ∴ 4 = 5− p Matemáticas 1 Si una expresión a1 es igual a una expresión a2, y la expresión a2 es igual a una expresión a3, entonces la expresión a1 será igual a la expresión a3 y=z ∴ x=z 17 Propiedades de la igualdad: propiedad de adición de la igualdad Ejemplo 1: Si m = r entonces m + z = r + z Ejemplo 2: Si 5t + y = 3 entonces 5t + y + m = 3 + m Matemáticas 1 Si sumas el mismo número a ambos lados de la ecuación, los lados permanecen iguales. Para todo número a, b y c, si a = b, entonces a+c = b+c. 18 Propiedades de la igualdad: propiedad de multiplicación de la igualdad Ejemplo 1: Si x = y entonces (s)(x) = (s)(y) Ejemplo 2: Si m + 4 = 7 (m+4)3=(7)(3) Matemáticas 1 Si multiplicas ambos lados de una ecuación por el mismo número los lados permanecen iguales. Para todo número a, b y c, si a = b, entonces a x c = b x c. 19 Tricotomía que el número sea positivo 2. que el número sea negativo 3. que el número sea igual a cero 1. Así, para cualquier dos números reales a y b, una de las siguientes aseveraciones es exactamente verdad: a<b , a=b , a>b. Matemáticas 1 La tricotomía nos indica que un número sólo puede satisfacer a una de las siguientes condiciones: 20 Ejemplo 1: ¿Como puedo indicar que 5 > 4 es una aseveración real? Porque 5 - 4 = 1 , que es un número positivo. Por tanto, 5 es mayor que 4. Ejemplo 2: ¿Como puedo indicar que 2 < 8, es una aseveración legítima? Porque 2 - 8 = -6 y este es un número negativo, por lo que se prueba que 2 < 8. Matemáticas 1 21 Densidad Ejemplos: Entre 0 y 1 hay un número real que es ½ Entre 0 y ½ hay un número real que es ¼ Matemáticas 1 La densidad nos indica que entre dos números reales, siempre es posible encontrar otro numero real. 22