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EJERCICIOS SOBRE DIVISIBILIDAD. 22.10.2012 Primero. Calcular cuántos ceros hay al final del número 100! Solución. Al calcular la factorial, cada múltiplo de 5 genera un cero, al multiplicarse con algún número par. Por tanto, como entre 1 y 100 hay 20 múltiplos, ya tenemos 20 ceros. Sin embargo, los múltiplos de 25 generan dos ceros (uno de ellos ya está contado en los 20 anteriores), y como hay 4 (25, 50, 75 y 100), tendremos un total de 24 ceros. Segundo, con solución. • Probar que si un número natural es la suma de tres impares consecutivos, entonces no puede ser primo. Este es fácil: Tres impares consecutivos son 2m+1, 2m+3 y 2m+5, siendo m un número cualquiera, m=0, 1, 2, 3,… Su suma es 6m+9 = 3(2m+3). Por tanto, es un número compuesto. • Los números a que se refiere el punto anterior siempre se pueden escribir como diferencia de dos cuadrados (y por lo tanto son primos porque tienen al menos dos factores). Demostrarlo. También es fácil: Sólo hay que observar que las diferencias entre los cuadrados consecutivos forman la sucesión de los números impares. Por tanto tres impares son la diferencia entre dos cuadrados, digamos que x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y ) . • ¿Se puede afirmar lo mismo de los dos puntos anteriores cambiando “tres” por un número natural arbitrario? Por supuesto: Los k impares consecutivos se pueden escribir en la forma (2m + 1) + (2m + 3) + ... + (2m + (2k − 1)) = 2mk + (1 + 3 + ... + (2k − 1)) = 2mk + k 2 = k (2m + k ) Tercero. Estudiar los criterios de divisibilidad en las notas de clase. Tras ello: • ¿Cuál es el menor número de cinco cifras (si tiene ceros al principio, no vale) que es divisible por 3? El 10002. • Idem íd. por 9. Uno de cada tres múltiplos de 3 lo es también de 9. los siguientes a 10002 son el 10005 y el 10008. Este último es divisible por 3 (el 10005 no lo era), luego 10008 es el menor número de cinco cifras múltiplo de 9. • ¿Cuántos números de 10 cifras se pueden formar con tres unos, dos seises y cinco ceros (la primera cifra ha de ser siempre diferente de 0)? ¿Son todos divisibles por 3? ¿Por qué? Cuarto. Hallar el menor número natural que satisfaga la siguiente condición: Se cambia la primera cifra de la izquierda a la primera posición por la derecha y el número resulta dividido por 4. Pista: Consideremos el caso de número de dos cifras, ab y ba. La notación ab significa que el número es 10a+b y ba, 10b+a. Por tanto, hay que resolver la ecuación diofántica 10a+b=4(10b+a), o bien 9a = 39b ó 3a = 13b. Pero no hay ningún par de números de una sola cifra que satisfagan esta relación. Por tanto, el número buscado ha de tener más de dos cifras… Continúenlo…