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Introducción. El plano, puntos y rectas.
Estas notas, elaboradas para el curso Matemática III del Ciclo
de Iniciación Universitaria (CIU) de la Universidad Simón Bolívar,
están basadas en el material de apoyo previamente producido por el
profesor Enrique Planchart para el mismo programa. Muchos de los
ejercicios fueron tomados de las guías desarrolladas por la profesora
América Vera. Agradecemos a ambos por su valioso aporte.
Vamos a desarrollar algunos temas básicos de la geometría plana.
Aceptaremos como ciertos postulados que parecen obvios y a partir
de ellos demostraremos otros hechos fundamentales. El objetivo es
que el estudiante aprenda ideas centrales de la geometría plana y
sea capaz de aplicarlas en problemas sencillos, tanto teóricos como
prácticos. Esto incluye familiarizarse con el procedimiento de demostración de verdades matemáticas y ser capaz de entender y realizar
demostraciones sencillas por su cuenta.
Nuestro sitio de trabajo será el plano que es un conjunto de infinitos puntos donde encontraremos los objetos geométricos a estudiar.
Un punto es un elemento del plano que no tiene dimensión ni grosor.
A los puntos los denotaremos con letras mayúsculas A, B, C, . . ., etc.
Una recta es un subconjunto del plano que tiene infinitos puntos. A
las rectas las denotaremos con letras minúsculas a, b, c, . . ., etc.
En lo que sigue, a través de estas notas, enunciaremos algunos
postulados que aceptaremos como ciertos acerca de diversos objetos geométricos. Cada uno de ellos será etiquetado con un número
romano.
I. Dos puntos distintos A y B definen una recta única que los contie←
→
ne. Esta recta se denota AB.
Si un punto A está en una recta a, A ∈ a, diremos que la recta pasa
por A. Entonces la recta definida por A y B es la única recta que pasa
por A y B. Si un punto C no está en una recta a, C ∈
/ a, decimos que
la recta no pasa por C o que C es exterior a la recta.
II. Una recta se puede ordenar linealmente, de manera que no tiene
primer elemento ni último, ni tampoco tiene elementos consecutivos.
Figura 1: Una recta por A y B.
matemática iii - ciu geometría
Que se pueda ordenar quiere decir que dados dos puntos cualesquiera A y B de una recta, podemos decir si A es anterior a B o si
B es anterior a A. Que no existan puntos consecutivos significa que
entre dos puntos cualesquiera A y B de la recta existen infinitos puntos. Esos puntos comprendidos entre otros dos tienen un significado
importante que definimos a continuación.
Definición. Dados dos puntos A y B en el plano, el segmento AB es el
←
→
conjunto de puntos X de la recta AB que están entre A y B, junto con los
extremos A y B.
En cada recta podemos tener dos ordenaciones opuestas, en una
de ellas A es anterior a B, y en la otra B es anterior a A (también se
podría decir A es posterior a B).
Igualmente podemos asignar una ordenación a un segmento. Por
ejemplo, si ordenamos el segmento AB de manera que A sea anterior
−→
−→
a B, lo indicamos escribiendo AB y lo llamamos el vector AB. En este
−→
caso el punto A es el origen del vector AB. Por supuesto que también
podemos considerar la ordenación opuesta, con ello obtendríamos un
−→
vector BA.
Note que la ordenación de la recta es diferente a la de los números
naturales N, puesto que dicho conjunto tiene un primer elemento,
el número 1, mientras que en la recta, cualquier punto tiene infinitos
que son anteriores a él e infinitos que son posteriores. Esta última
propiedad de la recta la comparten los números enteros Z, sin embargo el orden de los enteros también difiere del de la recta. En el
conjunto de los enteros, cada elemento n tiene un elemento consecutivo que es n + 1. Por otro lado, la ordenación que poseen los
números reales R sí es equivalente a la de la recta. No es de extrañar
entonces que en el curso de Matemática I del CIU se comience por el
estudio de dichos números en la recta real.
Figura 2: El segmento AB
−→ −→
Figura 3: Los vectores AB y BA
III. Una recta a divide al plano en dos regiones disjuntas llamadas
semiplanos, tales que el plano es la unión de los dos semiplanos y
la recta a que no tiene intersección con ninguno de los dos semiplanos.
Se cumple también la siguiente propiedad: Si X y Y son puntos
de un mismo semiplano, el segmento XY no corta a la recta a
(XY ∩ a = ∅). Por otro lado, si los puntos Y y Z están en distintos semiplanos, entonces el segmento YZ corta a la recta a en un
punto P.
En este punto enunciamos y demostramos nuestro primer teorema.
Teorema. Dos rectas distintas a y b que tienen intersección no vacía
(a ∩ b 6= ∅) se cortan en un único punto.
Figura 4: El segmento YZ corta a la
recta, el segmento XY no la corta
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matemática iii - ciu geometría
La hipótesis del teorema es lo que se supone cierto, en este caso
que tenemos dos rectas distintas a y b tales que a ∩ b 6= ∅. La tesis
del teorema es lo que hay que demostrar, en este caso que las rectas
se cortan en un único punto. La demostración o prueba es el proceso
lógico deductivo que nos permite llegar de las hipótesis a la tesis,
usando hechos que conocemos como ciertos, en nuestro caso los
postulados I y II. A continuación la demostración.
Demostración. Si a ∩ b 6= ∅, existe un punto P ∈ a ∩ b. Supongamos
que la tesis es falsa, es decir que existe otro punto Q en la intersección
de las dos rectas. Entonces como P y Q son distintos, por el postula←
→
do I, definen una recta única PQ, y como ambos están en a se tiene
←
→
que PQ = a. Pero ambos puntos también están en b de lo cual se
←
→
deduce que PQ = b. Pero esto es imposible porque a y b, por hipótesis, son rectas distintas. Entonces nuestra suposición de que la tesis
era falsa es incorrecta y concluimos que la intersección consiste de un
solo punto.
Este estilo de demostración se conoce como el método de reducción
al absurdo y consiste en suponer que la tesis es falsa y, mediante una
cadena de deducciones lógicas, llegar a una contradicción. Es un
procedimiento frecuentemente usado en matemáticas.
Para el caso de que las rectas no tengan puntos en común se tiene
la siguiente definición.
Definición. Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común
o si son iguales.
IV. Dada una recta d y un punto P exterior a dicha recta, existe una
única recta r que pasa por P y es paralela a d. Esto es, P ∈ r y
r ∩ d = ∅.
En lenguaje más sencillo, este postulado se puede enunciar diciendo
"por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a ella".
Este es el famoso Postulado de Euclides y tiene una gran importancia histórica. Euclides en sus Elementos, publicados en el siglo IV
antes de Cristo, desarrolló una versión axiomática de la Geometría
e incluyó esta proposición como su quinto axioma. Posteriormente,
muchos matemáticos creyeron que este axioma se podría demostrar
a partir de los demás, pero nunca lograron hacerlo. En el siglo XIX,
más de dos mil años después de Euclides, se inventaron geometrías
que satisfacen todos los axiomas excepto el quinto. Esto demostró
que dicho postulado no es consecuencia de los demás y no puede
demostrarse como teorema. En honor a Euclides, la geometría que
incluye el quinto axioma se llama Geometría Euclideana, mientras
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matemática iii - ciu geometría
que a las otras se les denomina Geometrías no Euclideanas. El descubrimiento de estas otras geometrías fue un gran acontecimiento
científico en el siglo XIX y contribuyó al desarrollo de la Matemática
y la Lógica.
Definición. Sea a una recta y A un punto de dicha recta. Si tomamos
todos los puntos en la recta que son posteriores a A, junto con el punto A,
obtenemos una semirrecta (rayo) con extremo A. Si tomamos todos los
puntos en la recta que son anteriores a A, junto con el punto A, obtenemos
otra semirrecta con extremo A que se dice opuesta a la primera.
En la figura de la derecha vemos las dos semirrectas opuestas que
parten de A.
Ejercicios
1. ¿Es posible dibujar cuatro rectas que se corten en un punto? ¿Es
posible dibujar cuatro rectas que se corten en dos, tres, cuatro,
cinco, seis o más puntos? Haga un dibujo que ilustre cada caso.
2. ¿Cuántas rectas pueden determinar seis puntos, si hay una recta que pasa por cada par de puntos? Compruebe si seis puntos
pueden colocarse de tal manera que determinen seis rectas. Intente colocar seis puntos para determinar siete, ocho, nueve hasta
quince rectas.
3. Sean una recta r y una semirrecta a 0 con origen A y tal que A ∈ r
y a 0 6⊂ r. Demuestre que todos los puntos de a 0 , excepto A, están
el mismo semiplano de r.
Figura 5: Las dos semirrectas a 0 y a 00
4
Ángulos.
Definición. Un ángulo es la unión de dos semirrectas distintas a 0 y b 0 que
tienen el mismo extremo V. Dicho ángulo se denota por ∠a 0 b 0
V es el vértice del ángulo y a 0 y b 0 son sus lados.
Es fácil darse cuenta de que dos rectas a y b que se cortan en un
punto V, determinan cuatro ángulos de vertice V.
Figura 6: Ángulo ∠a 0 b 0
Figura 7: Los cuatro ángulos determinados por las rectas a y b
Los ángulos ∠a 0 b 0 y ∠a 00 b 00 se dicen opuestos por el vértice lo mismo que ∠b 0 a 00 y ∠b 00 a 0 .
Si las dos semirrectas que determinan un ángulo son opuestas, el
ángulo se llama llano.
Observación. Dados tres puntos A, B y C no colineales, las semirrectas
−→ −→
AB y AC generan un ángulo que denotaremos por ∠BAC y llamaremos el ángulo BAC
Definición. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el triángulo 4ABC
es la unión de los segmentos AB, BC y CA.
Figura 8: El ángulo ∠BAC
El siguiente postulado es de gran importancia porque nos permite
medir distancias, uno de los objetivos originales de la geometría en el
desarrollo del quehacer humano.
V. En el plano se tiene definida una función distancia. Esto es, para cada par de puntos A y B existe un número real no negativo
Figura 9: Triángulo 4ABC
matemática iii - ciu geometría
que se llama la distancia entre A y B y se denota por d (A, B). La
distancia cumple las siguientes propiedades:
1. Para cualquier par de puntos A y B en el plano, d (A, B) ≥ 0 y
d (A, B) = 0 si y sólo si A = B.
2. d (A, B) = d (B, A), para todos los puntos A y B en el plano.
3. Desigualdad triangular. Si A, B y C son tres puntos cualesquiera del plano, entonces
d (A, B) ≤ d (A, C) + d (C, B)
y d (A, B) = d (A, C) + d (C, B) si y sólo si C es un punto del
segmento AB.
Definición. Dado un segmento AB, la medida de ese segmento se denota
por |AB| y se define como
|AB| = d (A, B)
La propiedad V.3 recibe el nombre de desigualdad triangular porque
en el caso de que los tres puntos A, B y C no sean colineales, se puede interpretar como que la medida o longitud de uno de los lados
siempre es menor o igual que la suma de las medidas de los otros
dos lados.
Si los puntos son colineales y, por ejemplo, C está en el segmento AB, entonces se puede ver en la figura que las medidas de los
segmentos AC y CB suman la medida total del segmento. Esto es,
|AB| = |AC| + |CB|.
Definición. Dos segmentos AB y CD se dicen congruentes (o iguales) si
tienen la misma medida, es decir, si |AB| = |CD|. Se escribe AB ≡ CD (el
segmento AB es congruente con el segmento CD).
Figura 10: Desigualdad triangular
Figura 11: Caso degenerado
Usando la noción de congruencia podemos definir la suma y resta
de segmentos.
Definición. Dados dos segmentos AB y CD, se llama segmento suma
al segmento que se obtiene al yuxtaponer un segmento C 0 D 0 , congruente a
CD, al segmento A 0 B 0 , congruente a AB, obteniéndose el segmento suma
A 0 D 0 . De manera similar se define el segmento resta.
Suma
Resta
Figura 12: Segmentos suma y resta
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matemática iii - ciu geometría
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Mediante la noción de distancia podemos definir un objeto importante en la geometría como es la circunferencia.
Definición. Dado un punto C del plano y un número real positivo r, la
circunferencia de centro C y radio r es el conjunto de puntos X que están a
distancia r de C, es decir, {X | d (C, X) = r}.
El diámetro de una circunferencia es la longitud de un segmento
de recta que pasa por el centro de la circunferencia y cuyos extremos
están en la circunferencia. Es claro que el diámetro es el doble del
radio de la circunferencia.
Por medio de la circunferencia podemos medir ángulos. Para ello
necesitamos la longitud de la circunferencia. Desde la antigüedad
se conoce que la longitud de una circunferencia, también llamada
perímetro P, es proporcional al diámetro D. La constante de proporcionalidad es un número irracional muy importante que ha causado
el interés de la humanidad por siglos, el famoso número π cuyos
primeros seis dígitos son 3, 14159. En resumen
Figura 13: Circunferencia de centro C y
radio r
P = πD = 2πr
o equivalentemente
P
P
=
D
2r
De manera que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr.
Consideremos ahora tres puntos no colineales A, B y C, tales que
|AC| = |BC| = r, la circunferencia de centro en C y radio r, y el ángulo
∠ACB, como se muestra en la figura de la derecha.
El trozo de circunferencia comprendido entre A y B es un arco de
π=
_
circunferencia, denotado por AB. La longitud del arco, denotada por
`, depende del ángulo y también del radio r. Si el radio es mayor, mayor será la longitud del arco. Como la longitud de la circunferencia es
proporcional al radio, las fracciones de su longitud también lo serán.
_
Si, por ejemplo, el arco AB es 1/5 de una circunferencia de radio r,
_
entonces el arco A 0 B 0 es también 1/5 de la circunferencia de radio r 0
_
_
`(AB)
2π
`(A 0 B 0 )
=
=
r
5
r0
Esto nos permite definir la medida de un ángulo.
Definición. Si un ángulo tiene su vértice en el centro de una circunferencia
de radio 1, la medida de dicho ángulo se define como la longitud de arco de
círcunferencia comprendida entre los rayos del ángulo.
Los comentarios precedentes sobre proporcionalidad y la definición anterior implican que la medida del ángulo ∠ACB cumple con
Figura 14: Arco de circunferencia
matemática iii - ciu geometría
la relación
_
`(AB)
= medida de ∠ACB
r
(suponiendo que r 0 = 1).
La unidad de medida angular es el radián y se tiene que 1 radián
_
`(AB)
es la medida del ángulo ∠ACB cuando
= 1, es decir, cuando
r
_
`(AB) = r.
Asignamos entonces a un ángulo cualquiera ∠ACB una medida de
α radianes, donde
_
`(AB)
α=
r
Observe que con estas condiciones el ángulo que recorre la circunferencia completa mide 2π radianes. Hay otras medidas de ángulos
que conviene destacar, el ángulo llano ya mencionado, por recorrer
la mitad de una circunferencia tiene una medida de π radianes. Un
ángulo que mide la mitad del ángulo llano, llamado ángulo recto, es
de π/2 radianes.
Otra manera de medir los ángulos es dividir la circunferencia en
360 partes iguales llamadas grados. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto, a su vez, en 60 segundos. Los grados se representan
añadiendo al número un pequeño círculo, por ejemplo 50 grados se
escribe 50◦ . Los minutos se representan añadiendo un apóstrofe y los
segundos añadiendo dos, por ejemplo 35◦ 23 0 45" significa 35 grados,
23 minutos y 45 segundos.
De acuerdo a esta nueva unidad, el ángulo llano mide 180◦ , por lo
tanto 1◦ equivale a π/180 radianes y por proporcionalidad
α◦ = α
π
radianes
180
y equivalentemente
w radianes =
180w
grados
π
Con estas dos fórmulas podemos convertir de grados a radianes y
viceversa. Por ejemplo
1 radián =
y
180
grados ≈ 57◦ 18 0
π
π
radianes = 0,0175 radianes
180
Observe que con esta forma de medir ángulos, el ángulo recto
mide 90◦
1◦ =
Figura 15: Radián
8
matemática iii - ciu geometría
Definición. Dos rectas que se cortan son perpendiculares si los ángulos
adyacentes que se forman son iguales. En este caso dichos ángulos son rectos
(miden π/2 o 90◦ ).
mediatriz
Note que en este caso los cuatro ángulos que se forman son rectos.
Definición. Dados dos puntos A y B, la mediatriz del segmento AB es una
←
→
recta perpendicular a AB que pasa por el punto medio del segmento.
Note que los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de
los extremos del segmento.
Usando la mediatriz podemos indicar cómo trazar perpendiculares
a otra recta por un punto dado. El siguiente teorema así lo garantiza.
Figura 16: Mediatriz
Teorema. Dado un punto P cualquiera y una recta r, existe una única recta
perpendicular a r que pasa por el punto P.
Demostración. Hay dos casos, según P esté en la recta r o no.
Si P está en r, tomamos dos segmentos de la misma longitud a
cada lado de P, es decir, |PA| = |PB|. Entonces la mediatriz de AB es
la recta r 0 perpendicular a r por el punto P.
Figura 17: Si P está en r
Si P ∈
/ r, trazamos una circunferencia de centro en P que corte a r
en dos puntos, A y B. Entonces como el radio de dicha circunferencia
es |PA| = |PB|, el punto P está en la mediatriz del segmento AB. Esta
mediatriz es la perpendicular a r que pasa por P.
Figura 18: Si P no está en r
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matemática iii - ciu geometría
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Dado un ángulo de vertice V y lados dos semirrectas a 0 y b 0 ,
siempre consideramos los ángulos como positivos si son medidos
en sentido contrario a las agujas del reloj y lo indicamos listando
primero la semirrecta desde la cual se mide el ángulo.
Así, el ángulo ∠a 0 b 0 es como se muestra en la figura.
∠a 0 b 0
∠c 0 d 0
Figura 19: Ángulo ∠a 0 b 0
Dados dos ángulos
con vértice V y
con vértice O, la
suma de los dos ángulos se construye como sigue: se hace coincidir el
vértice O con el vértice V y la semirrecta c 0 con la b 0 . El ángulo suma
será entonces ∠a 0 d 0 con vértice V (u O).
Figura 20: Suma de los ángulos ∠a 0 b 0 y
∠c 0 d 0
Para restar ángulos basta sumar el negativo del que estamos restando. Por ejemplo, para restar al ángulo ∠a 0 b 0 con vértice V el ángulo
∠c 0 d 0 con vértice O, basta sumarle el ángulo ∠d 0 c 0 con vértice O,
es decir un ángulo recorrido en el sentido de las agujas del reloj. El
resultado es el ángulo ∠a 0 d 0 con vértice V.
Figura 21: Resta de los ángulos ∠a 0 b 0 y
∠c 0 d 0
Definición. Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90◦
(π/2 radianes). Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman
180◦ (π radianes).
Definición. Dos ángulos son congruentes (iguales) si tienen la misma
medida.
Definición. La bisectriz de un ángulo ∠ab y vértice V es la recta que pasa
por V y divide a ∠ab en dos ángulos iguales.
Figura 22: Bisectriz de ∠ab
matemática iii - ciu geometría
Observación. Es común en el lenguaje matemático identificar el ángulo con su medida. Designamos ángulos con letras que corresponden a
sus medidas.
Figura 23: Ángulos
Recordemos que dos rectas que se cortan determinan cuatro ángulos (ver arriba). Las medidas de esos ángulos tienen una relación muy
estrecha.
Teorema. Para dos rectas que se cortan como muestra la figura, los ángulos
opuestos por el vértice son iguales entre sí. Es decir α = δ y β = γ
Demostración. Como α y β son suplementarios, entonces α + β = π.
Por otro lado β y δ también son suplementarios así que β + δ = π.
Entonces α + β = β + δ, de donde α = δ. De manera análoga se
demuestra que β = γ.
El siguiente postulado establece una relación sumamente útil entre
los angulos correspondientes de rectas paralelas cortadas por una
secante.
Figura 24: Ángulos opuestos por el
vértice
VI. Si dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante, los
ángulos correspondientes son iguales. Es decir, α = α 0 , β = β 0 ,
γ = γ 0 y δ = δ 0.
Observación. En realidad el postulado anterior se puede enunciar y
demostrar como un teorema, pero requiere de varias definiciones
y también de otros resultados que están fuera del enfoque de estas
notas y del tiempo disponible en este curso. Así que lo aceptamos
como un postulado y lo damos por cierto.
Teorema. Dos rectas paralelas cortadas por una recta secante forman
ángulos alternos internos iguales. Es decir, γ = β 0 y δ = α 0 .
Demostración. Por el postulado VI, γ = γ 0 y δ = δ 0 . Pero γ es opuesto
por el vértice a β, es decir γ = β, lo que implica que β = γ 0 . Por otro
lado δ 0 es opuesto por el vértice a α 0 , o sea δ 0 = α 0 , lo que implica
que δ = α 0 .
De manera similar se puede demostrar el siguiente. Se sugiere hacerlo como ejercicio.
Corolario. Dos rectas paralelas cortadas por una recta secante forman
ángulos alternos externos iguales. Es decir, γ 0 = β y δ 0 = α.
Una consecuencia importante de estos hechos es el siguiente teorema:
Figura 25: Ángulos correspondientes
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matemática iii - ciu geometría
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Teorema. La suma de los ángulos internos de un triángulo es π (180◦ ). Es
decir, α + γ + β = π (180◦ ).
Demostración. Por el punto C trazamos una recta paralela al segmento AB. Se observa claramente que φ y α son iguales por ser alternos
internos. Lo mismo sucede con β y λ. Ahora, como los ángulos φ, γ y
λ constituyen un ángulo llano entonces
φ+γ+λ = π
que sutituyendo según lo antes dicho queda
α+γ+β = π
Ejercicios
1. Utilice el postulado V para probar que si A 0 D 0 ≡ AB + CD,
entonces |A 0 D 0 | = |AB| + |CD|. También que si A 00 D 00 ≡ AB − CD,
entonces |A 00 D 00 | = |AB| − |CD|.
2. Demuestre que la suma de segmentos es conmutativa y asociativa.
3. Demuestre que para segmentos la congruencia es un relación de
equivalencia, es decir, cumple las propiedades:
a) reflexiva: AB ≡ AB
b) simétrica: si AB ≡ CD entonces CD ≡ AB
c) y transitiva: si AB ≡ CD y CD ≡ EF, entonces AB ≡ EF
4. Demuestre que para ángulos la congruencia es un relación de
equivalencia, es decir, es reflexiva, simétrica y transitiva.
5. Sean A y B dos puntos del plano y sean D, E y F tres puntos co←
→
lineales del plano. Demuestre que si AB contiene sólo uno de los
←
→ ←
→ ←
→
puntos D, E o F, entonces cada una de las rectas DE, DF y EF cor←
→
tan a AB en a lo sumo un solo punto.
6. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique sus respuestas.
a) Dados dos puntos distintos P y Q del plano, el lugar geométrico de los puntos X del plano tales que d(P, Q) = d(P, X) +
←
→
d(X, Q) es la recta PQ.
b) Si d(A, C) = d(A, B) + d(B, C), entonces el segmento AC se
puede obtener como la suma de los segmentos AB y BC.
Figura 26: Suma de ángulos internos de
un triángulo
matemática iii - ciu geometría
c) Sean P, Q y R tres puntos colineales del plano. Si P es anterior
a Q y R es posterior a Q en la recta que determinan, entonces la
circunferencia de centro en P y radio |PR| es un subconjunto de
la circunferencia de centro en P y radio |PQ|.
d) Si dos rectas r y r0 que se cortan forman un ángulo recto, entonces r y r0 forman cuaro ángulos rectos.
e) Si B1 y C1 son puntos distintos de A que están en AB y AC,
respectivamente, entonces ∠BAC = ∠B1 AC1 .
7. Dados una recta r, un punto O ∈ r y un punto unidad U, sea
x la abcisa del punto X ∈ r. A cada segmento AB del plano le
corresponde un segmento OY congruente con él, OY ≡ AB, entonces y = |AB| = |OY|. Probar que la suma y resta de segmentos
corresponde a la suma y resta de abcisas.
8. Dadas las siguientes medidas de ángulos en grados, hallar su
equivalente en radianes:
a) 30◦
b) 60◦
c) 45◦
d) 90◦
e) 120◦
f) 180◦
g) 270◦
h) 390◦
9. Dadas las siguientes medidas de ángulos en radianes, hallar su
equivalente en grados:
a) 1 radián
b) 3π/2 radianes
c) π/6 radianes
d) π/12 radianes
e) 2 radianes
f) 1/2 radián
10. Sea 4ABC un triángulo isósceles (|AB| = |AC|). Sean α, β y γ los
ángulos correspondientes a A, B y C, respectivamente. Si α = 30◦ ,
¿cuánto mide β?
11. Responda:
a) ¿Qué ángulo es igual a su complementario?
b) ¿Qué ángulo es igual a su suplementario?
12. Un triángulo rectángulo tiene los dos catetos iguales. ¿Qué puede
decirse de los ángulos agudos correspondientes?
13. Sabemos que la longitud de un lado de un triángulo es menor
que la suma de las de los otros dos. ¿Ocurre igual con los ángulos?
¿Qué relación los liga?
14. Dentro de un rectángulo se dibuja un triángulo como el de la
figura. Calcule la suma de los ángulos α, β, γ, δ, φ y θ.
Figura 27: Figura ejercicio 10
13