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 Manual de Geometria Manual de Geometría y Trigonometría para alumnos del CETis 63 Ameca I n g . G e r a r d o S a r m i e n t o D í a z d e L e ó n Antecedentes Históricos Geometría La geometría (del griego geo, tierra y metrein, medir), es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban por problemas como la medida del tamaño de las tierras o del trazado de edificaciones. Para llegar a la geometría fractal hay que hacer un recorrido de miles de años pasando por el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, Grecia, Europa y los Estados Unidos de Norteamérica. Para comenzar, podríamos establecer una primera clasificación determinando dos tipos principales de geometría: euclidiana y no-­‐euclidiana. En el primer grupo se encuentran la geometría plana, la geometría sólida, la trigonometría, la geometría descriptiva, la geometría de proyección, la geometría analítica y la geometría diferencial; en el segundo, la geometría hiperbólica, la geometría elíptica y la geometría fractal. Planos diédricos de proyección y esfera cuyo eje es la línea de tierra. Psudoesfera. La geometría euclidiana se basa en las definiciones y axiomas descritos por Euclides (c.325 -­‐ c.265 a.C.) en su tratado Elementos, que es un compendio de todo el conocimiento sobre geometría de su tiempo. Principalmente comprende puntos, líneas, círculos, polígonos, poliedros y secciones cónicas, que en secundaria se estudian en Matemáticas y en Educación Plástica y Visual. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del universo. Dentro de las geometrías euclidianas se encuadran: ◊ La geometría sólida que fue desarrollada por Arquímedes (287 -­‐ 212 a.C.) y que comprende, principalmente, esferas, cilindros y conos. Las secciones cónicas fueron el tema de los estudios de Apolonio en la misma época (c.260 -­‐ 200 a.C.). viñeta ◊ La trigonometría que es la geometría de los triángulos. Fue desarrollada por Hiparco de Nicea (c. 190 -­‐ 120 a.C.). Puede dividirse en trigonometría plana, para triángulos en un plano, y trigonometría esférica, para triángulos en la superficie una esfera. ◊
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La geometría proyectiva que tiene su origen en los pintores del Renacimiento, aunque la base matemática inicial la elaboro el arquitecto Filippo Brunelleschi (1377–1446). Piero della Francesca, Leone Battista Alberti y Alberto Durero reflexionaron sobre las nociones de proyección y sección en su afán de entender el problema de la representación plana de un objeto real tridimensional, pero fue el arquitecto e ingeniero militar Gérard Desargues (1591–1661), el primer matemático que expuso estas ideas al publicar en Paris en el año 1639 Paris el libro: “Brouillon project d’une atteinte aux ëvénements des rencontres d’un cone avec un plan” (“Primer borrador sobre los resultados de intersecar un cono con un plano”). Los métodos proyectivos permiten a Desargues un tratamiento general y unificado de las cónicas, en contraposición con los métodos clásicos de Apolonio. viñeta La geometría analítica que fue inventada por René Descartes (1596 -­‐ 1650), trabaja problemas geométricos a base de un sistema de coordenadas y su transformación a problemas algebraicos. Se subdivide en geometría analítica plana, para ecuaciones con dos variables, y geometría analítica sólida, para ecuaciones con tres variables. viñeta La geometría diferencial que tiene su origen siglo XVIII, cuando los matemáticos siguiendo los descubrimientos de Descartes, añadieron cálculo diferencial e integral a curvas, superficies y otras entidades geométricas. viñeta El análisis vectorial que estudia las cantidades que poseen magnitud y dirección. Conocida desde los tiempos de Aristóteles, y más aún por Simon Stevin en las últimas décadas del siglo XVI, la teoría moderna data de principios del siglo XIX. Las geometrías no euclidianas dentro de las que se encuadra la geometría fractal surgen en el siglo XIX, cuando algunos matemáticos comenzaron a desarrollar otros tipos de geometría, para los cuales, al menos uno de los axiomas de Euclides no se sostiene. Sin embargo el origen de la geometría fractal y de los fractales, habría que establecerlo hacia 1875–1925, cuando se produce una crisis en la definición de dimensión. Algunos de los “hitos” en la historia de las matemáticas no lineales y de la geometría fractal se presentan en este cuadro resumen. Punto, Línea, Plano El punto sólo tiene posición. No posee ni longitud, ni anchura ni espesor. No obstante, es necesario tener presente que el punto gráfico representa el punto geométrico pero no es el punto geométrico, en la misma forma que en un mapa un . puede representar una localidad sin ser la localidad misma. A diferencia del punto geométrico, el punto gráfico tiene tamaño. La línea posee longitud, pero carece de anchura y de espesor. Se puede representar por medio del trazo que deja la tiza en el tablero o mediante una cinta de caucho estirada. Un plano es una superficie tal que si una recta tiene común con ella dos de sus puntos, los tiene comunes todos, es decir, la recta descansará completamente sobre el plano. Un plano se puede representar por medio de la superficie de un espejo llano o una pared lisa, o por la tapa de un pupitre. Proposiciones verdaderas Proposición Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los términos verdadero o falso. Las proposiciones más comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios. Axiomas Es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento. Postulados Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría Teorema Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados. Un teorema consta de: hipótesis y tesis: Hipótesis: son las condiciones o datos del problema Tesis: es la propiedad a demostrarse. Corolario Es la consecuencia de un teorema demostrado. Razonamiento Lógico Cuando una persona se empeña en una "reflexión clara" o en una reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del razonamiento lógico. Demostraciones Es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la proposición junto con axiomas y postulados. Una demostración bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas, la demostración también es necesaria para fundamentar la generalidad de la proposición que se demuestra. Por medio de las proposiciones, las verdades geométricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos científicos. Nomenclatura y Notación de la Recta Recta Desde un punto de vista geométrico, el concepto de recta es sumamente difícil de construir. Puede decirse que una recta es el elemento geométrico unidimensional (su única dimensión es la longitud), el cual esta formado por varios segmentos. Un segmento de recta es la línea más corta que une dos puntos y el lugar geométrico de los puntos del plano (o el espacio) en una misma dirección. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos primitivos ya que no es posible su definición a partir de otros elementos conocidos. Sin embargo, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Algunas de las definiciones de la recta son las siguientes: La recta es la línea más corta entre dos puntos. La recta es un conjunto de puntos en el cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la mínima distancia a estos; se prolonga al infinito en ambas direcciones, en contraposición con el segmento y la semirrecta. La recta es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que tomados dos puntos cualquiera de ella, la pendiente m calculada mediante la fórmula , resulta siempre constante. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos. Unidades de Medida MEDIDAS de VOLUMEN El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un metro de lado. MEDIDAS de SUPERFICIE Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado. MEDIDAS de LONGITUD Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas veces entra una unidad de medida en el largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es fija, universal el sistema de unidades de medida que incluye al metro junto a sus múltiplos y submúltiplos se llama Sistema Métrico Decimal. Divisiones de la línea recta (semirrecta, segmento) Semirecta Un punto sobre una línea recta, la separa en dos líneas continuas llamadas semirrectas, el punto es el extremo de ambas semirrectas y no pertenece a ninguna. Si B está en una de las semirrectas entonces, ésta se denota por Segmento de recta a la porción de una recta que está limitada por dos puntos. A estos puntos se le llama extremos. Posiciones de dos rectas en el plano. Llamaremos plano al espacio geométrico que queda delimitado por tres puntos no alineados. Posee dos dimensiones y contiene infinitos puntos y rectas. Lo representamos como un paralelogramo o con una figura de bordes irregulares. Una recta y un punto no perteneciente a ella también determinan un plano. Debemos destacar que: • un punto no tiene dimensión. • una recta tiene una sola dimensión. • un plano tiene dos dimensiones. 1.9. Posiciones de la recta en el plano. 1.10. Definición, notación y clasificación de ángulos 1.11. Unidades de m edidas de ángulos 1.12. Conversiones 1.13. Medición de ángulos 1.14. Teoremas Puntos, rectas y axiomas de la geometría euclidiana Los puntos contenidos en un mismo plano se llaman coplanares y los que se encuentran sobre una misma línea recta, colineales Punto Colineales Puntos Coplanares A X I O M A 2 . Por cada punto de un plano pasa una infinidad de rectas contenidas en ese plano.
Si al punto A le corresponden varias rectas, decimos que
estas rectas se cortan (se intersecan o concurren) en el punto A, o bien que las rectas tienen el punto común A
A A X I O M A 3 . Dos puntos distintos A / B determinan una y sólo una recta que pasa por ellos. Otra forma equivalente de expresar el Axioma 3 es la siguiente: Por dos puntos distintos AjB pasa una y sólo una recta. La recta que pasa por los puntos AyB (véase la figura 1.14) se llama "recta AB" y su notación es AB, o sea, señalamos los dos puntos que la determinan y colocamos el símbolo <—> sobre las literales que indican los dos puntos. A B Es importante entender que una línea recta no termina donde su figura lo hace, sino que se extiende indefinidamente en ambas direcciones. De la misma manera, un plano se extiende indefinidamente en todas las direcciones. En consecuencia, una hoja de papel no es un plano, forma parte de un plano, y una parte muy pequeña de él. Analiza cada cuestión e ilústrela con un dibujo adecuado. Argumenta tu respuesta, es decir, cita el axioma correspondiente o la definición según sea el caso. a) Cuantos puntos como mínimo son necesarios para especificar la posición de una recta en un plano. b) Cuantas rectas determinan 3 puntos a) colineales, b) no colineales c) Los puntos M, N y P son diferentes y colineales, señala todas las posibles maneras de simbolizar la recta que pasa por los puntos M, N, y P utilizando dos de tres puntos M, N, y P M N p d) Que figuras forman todas las rectas que pasan por un plano Concepto de semirecta Como ya dijimos, una línea recta contiene una infinidad de puntos. Para interpretar la disposición de los puntos en una línea recta hay dos posibles órdenes, siendo uno opuesto al otro. Al escoger uno de estos órdenes, decimos que asignamos un sobre la recta. El siguiente axioma especifica la interpretación de la disposición de los puntos en una línea recta Axioma 4 (de Orden) de tres puntos cualesquiera de una recta, uno de ellos se encuentra entre los dos. A O B Considera los tres puntos colineales A, O y B de la figura. Uno de estos puntos entre los otros dos. Si el punto 0 está
entre los puntos AyB, decimos que A precede a O y B sigue
a 0, en el sentido de A hacia B. De igual manera, decimos que B precede a O y A sigue a 0 en el sentido de B al punto A. En otras palabras, el pun to O divide a todos los puntos de esta recta en puntos que lo preceden y en puntos que lo siguen. A O O B Lo expuesto en el axioma sobre el orden de los puntos en una línea recta nos permite definir el concepto de semirrecta que necesitaremos para el establecimiento de los demás hechos geométricos. Resulta que cada punto 0 de una recta divide a todos los demás puntos de ésta en dos partes que llamamos semirrectas o rayos con punto inicial 0, cuya definición formal es la siguiente. D E F I N I C I Ó N 1 . 6 . Semirrecta o rayo es cada una de las partes en las cuales queda divida una recta por cualquiera de sus puntos. Para indicar una de las semirrectas en que un punto 0 divide a una recta, en la parte de la recta de nuestro interés señalamos un punto cualquiera A y simbolizamos la semirrecta por OA (véase la figura 1.20a). De igual manera, el símbolo OB denota la parte de la recta formada por el punto O y todos los puntos que siguen a 0 en el sentido de 0 a B (véase la figura 1.20b). Concepto de segmento y su medida Si sobre una recta consideramos dos puntos distintos AyB, éstos junto con todos los puntos de la recta que se encuentran entre ellos forman el segmento AB. Dicho segmento lo representamos con el símbolo AB o BA. Los puntos A y B son los extremos del segmento. D E F I N I C I Ó N 1.7. Un segmento es la porción de recta comprendida entre dos puntos, incluyendo estos puntos. En las figuras 1.22a y 1.22b puedes identificar varios segmentos. ¿Cuántos segmentos hay en total? ¿Cuáles son? • En la figura 1.22a (izquierda) hay tres segmentos: KL, LM y KM. • En la figura 1.22b (derecha) hay diez segmentos: AB, BC, CD, AD, AC, BD, AJE, EC,MyED. En la figura 1.23 se ilustra un procedimiento para comparar los segmentos CD, EF y GH con el segmento AB. La abertura del compás es la misma en todos los casos. Es de especial interés, en el estudio de la geometría, el caso en que los segmentos son iguales. Cuando comparamos figuras geométricas, en lugar de decir "es igual" acostumbramos decir "es congruente" y lo anotamos con el símbolo =. De esta manera, decimos que el segmento AB es congruente con el segmento EF y escribimos AB-­‐EF. La relación de congruencia de segmentos tiene tres propiedades básicas que están descritas en el siguiente axioma de congruencia. A X I O M A 5 (D E C O N G R U E N C I A) . Dados tres segmentos A B, C D y E F cualesquiera, la relación de congruencia entre ellos posee las siguientes propiedades: Propiedad reflexiva: AB ~ BA. Propiedad simétrica: Si AB = CD entonces CD = AB. Propiedad transitiva: S¿AB = CDjCD = EF entonces AB = EF. La propiedad reflexiva establece que todo segmento es congruente consigo mismo y el orden en la anotación de los extremos no tiene importancia: AB también lo representamos como BA y se trata del mismo segmento. C O N S T R U C C I Ó N 1.1. Constrúyase un segmento C D congruente con un segmento dado AB. aproximadamente objetos de magnitudes medianas en caso de que no tengas disponible una cinta métrica. Observa la siguiente figura. Por cada dos de los puntos marcados traza una recta. ¿Cuántas rectas en total puedes trazar? 1. El segmento PQ mide 2m y PR, 54 cm. ¿Cuántos centímetros mide el segmento QR si los puntos P, Q y R son colineales y el punto P está entre Q y R? Elabora un esquema de lo descrito. 2. Sobre una recta situamos tres puntos A, R y C de tal manera que AB = 1 + 5x, BC = 3 — 2x y AC = 4 + 3x ¿Para qué valor de x el punto B se encuentra entre A y C? Elabora un dibujo de la situación descrita y establece la relación que satisfaga las condiciones del problema. Paso 1 Trazamos con la regla una recta € cualquiera y marcamos un punto C de ella (véase la figura 1.28). Paso 2 Con la punta de un compás en C y su abertura igual a la longitud del segmento AB, trazamos un arco que corte a la recta en D. a) Traza un segmento AB. Sobre éste coloca dos puntos distintos CyD. Señala todos los segmentos posibles. ¿Cuántos son? b) Traza una recta y sobre ella señala un punto K. Localiza y señala sobre la misma recta los puntos situados a 3.7 cm de distancia del punto K. ¿Cuántos c) son? d) Determina la longitud de tu paso medio. Para esto, mide con una cinta métrica una distancia de 20 m en un terreno plano. Recorre esta distancia en línea recta andando normalmente y cuenta el número de pasos e) que das. Dividiendo la longitud total, 20 m, entre el numero de pasos obtienes la longitud media de un paso tuyo. Memonza esta longitud para que, en caso necesario, puedas emplearla en las mediciones. f) Mide los elementos de tu propia mano y memoriza los resultados de estas mediciones. Utilizando estas medidas podrás medir 3. Sobre una recta situamos los puntos A, B, C y D de tal manera que AB = 48 mm, AC — 12 mm y DB = 19 mm. Elabora el dibujo y calcula la longitud de CB. 4. El Un segmento mide 12.5 cm. ¿Cuántos milímetros mide su quinta parte? 5. Menciona las características de un segmento que lo diferencian de una recta y de una semirrecta. 6. Si el segmento a = 7 cm y el segmento b = 2 ¾ cm, ¿cuántos centímetros exactamente mide el segmento 2b 1/3 a? Operaciones con Segmentos Suma de segmentos La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman Diferencia de segmentos La diferencia de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos Producto de un número por un segmento El producto de un número con un segmento es otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial División de un segmento por un número La división de un segmento por un número es otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número ANGULOS Definición de ángulo y su notación Dos semirrectas con origen común separan el plano en dos regiones infinitas. Cada una de las regiones del plano, junto con las semirrectas, forma una figura geométrica llamada ángulo (véase la figura 1.33). Observa que dos semirrectas con origen común forman no uno, sino dos ángulos. Por comodidad, para señalar la región del plano correspondiente a un ángulo trazamos un arco o la llamada "marca de ángulo". D E F I N I C I Ó N 1 . 8 . Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas con un origen común y una de las regiones en que dichas semirrectas separan el plano. Siendo OA y OB dos semirrectas distintas que tienen un origen común O, el ángulo que forman se indica por cualquiera de las notaciones 2^AOB o A^BOA, donde el símbolo 4. significa ángulo (véase la figura 1.34a). Debes tener cuidado en que la letra de en medio sea la que indica el vértice. Las semirrectas OA y OB se llaman lados del ángulo y el origen común, el punto 0, se denomina vértice del ángulo (véase la figura 1.34b). A veces nombramos un ángulo con una sola letra para simplificar el lenguaje y la notación. Por ejemplo, al hablar del %.AOB, decimos simplemente "el ángulo O" y escribimos 4-­‐0, es decir, nada más señalamos el vértice del ángulo. Otra forma de nombrar un ángulo es utilizar las letras del alfabeto griego, por ejemplo, 4_a ("ángulo alfa"), 4-­‐P ("ángulo beta"), etc. Observa las notaciones de ángulos en la figura 1.35. Es importante señalar que los lados de un ángulo no terminan en donde su figura lo hace, sino que se extienden indefinidamente. Eso se debe a que los lados de un ángulo son semirrectas, no segmentos. Además, resumiendo lo antes expuesto, recuerda que dispones de tres formas comunes para nombrar un ángulo: 1) Mediante tres letras mayúsculas, de modo que la de en medio corresponda al vértice y las otras dos a puntos sobre los lados del ángulo, como ^AOC o 2^PQR, etcétera. 2) Por medio de una sola letra mayúscula que corresponda al vértice del ángulo, como 3) Mediante una letra minúscula del alfabeto griego como α, β, etcétera. En ocasiones también conviene denotar los ángulos con números, como etc., poniendo el número entre los lados del ángulo, sobre la curva trazada entre ellos, o con letras minúsculas de nuestro alfabeto, usadas de la misma manera que la notación con números: etcétera. Para familiarizarte con el lenguaje matemático, su interpretación y el manejo de la regla y el compás, te invitamos a explorar las siguientes construcciones. C O N S T R U C C I Ó N 1 . 4 . Constrúyase un ángulo congruente con un ángulo dado. Paso 1 Trazamos con la regla una recta t. Paso 2 Con una abertura conveniente del compás, apoyando su punta en el vértice A del ángulo dado, trazamos un arco que corte a sus lados en los puntos P y Q respectivamente. Paso 3 Con la misma abertura del compás, apoyando su punta en un punto E de la recta € antes trazada, marcamos un arco que corte a la recta en el punto Q'. Paso 4 Con centro en Q' y la abertura de compás igual a la longitud del segmento PQ, trazamos un arco que corte al arco anterior en el punto P. Paso 5 Con la regla trazamos la semirrecta EP'. El ángulo P'EQ' es un ángulo congruente con el ángulo dado. C O N S T R U C C I Ó N 1 . 5 . Constrúyase un ángulo igual a la suma de dos ángulos dados. Paso 1 Se traza una semirrecta con extremo en un punto 0. Paso 2 Con una abertura conveniente del compás, apoyando su punta en el vértice A de uno de los ángulos dados, y después en el vértice B del otro ángulo dado, se marcan arcos de radios iguales. Denótense con P y Q los puntos de intersección del arco y los lados del y con R y S los puntos de intersección del otro arco y los lados del . Paso 3 Con la misma abertura del compás, apoyando su punta en el punto 0, se traza un arco. Denótese con P' el punto de intersección de este arco y la semirrecta trazada. Paso 4 Sobre la semirrecta OP' se construye el congruente con el , y sobre la semirrecta OQ' el congruente con el El nombre de minuto. El minuto lo designamos con un apóstrofo así, medio grado son 30 minutos y se escribe 30'. El minuto también se divide en 60 partes iguales, cada una de las cuales se llama segundo y su símbolo es "; así, para indicar un cuarto de minuto, o sea 15 segundos, anotamos 15". Utilizando estas subdivisiones y símbolos, expresamos la medida de los ángulos con el número de grados, minutos y segundos que contienen. Por ejemplo, la medida 42° 22'30" la leemos: "42 grados, 22 minutos, 30 segundos". De igual forma, un ángulo de 7 grados, 56 minutos, 49 segundos lo denotamos como 7 o 56'49". En la mayoría de los cálculos es conveniente representar las fracciones de los grados con decimales. Las calculadoras científicas, por lo general, tienen una tecla para convertir un ángulo dado en grados decimales a grados, minutos y segundos, y viceversa. También puedes transformar grados, minutos y segundos a decimales, y viceversa, utilizando el procedimiento que describimos en los dos ejemplos siguientes. Ejemplo 1.3 Expresa 7° 56'49" como decimal hasta diezmilésimos de grado. es igual a la suma de los ángulos dados Medida sexagesimal de los ángulos Las unidades más conocidas para la medida de ángulos son los grados y los radianes. La primera está basada en la asignación de 360 grados al ángulo completo (sus lados coinciden). La utilización de este sistema data de los antiguos babilonios, quienes dividieron el ángulo completo en 360 partes iguales porque en su época consideraban que la duración del año era de 360 días. D E F I N I C I Ó N 1 . 9 . La unidad de medida de ángulos es —parte de un ángulo completo y se llama grado. En la notación de la medida de un ángulo, la palabra grado se sustituye por el símbolo un pequeño círculo colocado justamente arriba y a la derecha del número. Así, para indicar siete grados escribimos 7 o ; un ángulo de 90 grados lo apuntamos como 90°; la décima parte de un ángulo completo lo indicamos como 36°. Para medir fracciones de grado, dividimos el grado en 60 partes iguales, cada una de las cuales recibe el Suma de ángulos Gráfica La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales. Gracias por visitar este Libro Electrónico
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