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Tema 1: Circuitos Magnéticos Dr. José Manuel Aller Castro Universidad Politécnica Salesiana Cuenca, Marzo 2017 Introducción I I Una máquina eléctrica es un dispositivo que puede convertir energía mecánica en energía eléctrica o energía eléctrica en energía mecánica. Cuando este dispositivo se utiliza para convertir energía mecánica en energía eléctrica se denomina generador, y cuando convierte energía eléctrica en energía mecánica se llama motor. I Puesto que puede convertir energía eléctrica en mecánica o viceversa, una máquina eléctrica se puede utilizar como generador o como motor. I Casi todos los motores y generadores útiles convierten la energía de una a otra forma a través de la acción de campos magnéticos. Introducción II I El transformador es un dispositivo eléctrico estrechamente relacionado con las máquinas eléctricas. I Convierte energía eléctrica de corriente alterna (AC) a un nivel de voltaje a energía eléctrica a otro nivel de voltaje. I Los transformadores operan sobre los mismos principios que los generadores y los motores, es decir, utilizan la acción de un campo magnético para realizar el cambio de nivel de tensión I Discusión: ¿Por qué son tan comunes los motores y los generadores eléctricos? El campo magnético I I I Los campos magnéticos son el mecanismo fundamental para convertir la energía de una forma a otra en motores, generadores y transformadores. Existen cuatro principios básicos que describen cómo se utilizan los campos magnéticos en estos aparatos: El campo magnético II I I I I Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su alrededor. Ley de Ampere ∇ × H = J Un campo magnético variable en el tiempo induce un voltaje en una bobina de alambre si pasa a través de ella (este principio es la base del funcionamiento del transformador). Ley ⇒ e = dλ de Faraday ∇ × E = − ∂B ∂t dt Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético experimenta una fuerza inducida sobre él (ésta es la base del funcionamiento del motor). Ley de Lorenzt F = i · dl × B Un conductor eléctrico que se mueva en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje inducido en él (ésta es la base del funcionamiento del generador) Ley de Faraday e = dλ dt Producción de un campo magnético I I La ley básica que gobierna la producción de un campo magnético por medio de una corriente es la ley de Ampere: ∇×H =J ˆ ˆ ∇ × H · dS = J · dS = Ineta S I S Aplicando el teorema de Stokes: ˛ H · dl = Ineta = Ni C Producción de un campo magnético II I Para un circuito magnético como el que se muestra en la siguiente figura: H · ln = N · i ⇒ H = Ni ln Producción de un campo magnético III B = µH = µ0 µr H B = µ0 µ r ˆ Ni ln B · dS = µ0 µr Φ= A NA i ln Circuitos magnéticos I I En la ecuación Φ = µ0 µr A Nlni se observa que la corriente en una bobina de alambre conductor enrollado alrededor de un núcleo produce un flujo magnético en éste. I Esto en cierta forma es análogo al voltaje que produce un flujo de corriente en el circuito eléctrico. Circuitos magnéticos II F = ΦR P= 1 R Circuitos magnéticos III Φ = BA = µ ANi = Ni ln R= I µA ln =F µA ln ln µA En un circuito magnético las reluctancias obedecen las mismas reglas que las resistencias en un circuito eléctrico. Circuitos magnéticos IV I La reluctancia equivalente de un número de reluctancias en serie es la suma de las reluctancias individuales: Req = R1 + R2 + R3 + · · · I De la misma forma, las reluctancias en paralelo se combinan de acuerdo con la ecuación 1 1 1 1 = + + + ··· Req R1 R2 R3 Circuitos magnéticos V I I Los cálculos de flujo en el núcleo, que se obtienen utilizando los conceptos del circuito magnético, siempre son aproximaciones (en el mejor de los casos su aproximación está a ± 5% del valor real). Existe un buen número de razones para que ocurra esta inexactitud inherente: Circuitos magnéticos VI I I El concepto de circuito magnético supone que el flujo está confinado dentro del núcleo, lo cual no es cierto. La permeabilidad de un núcleo ferromagnético es de 2000 a 6000 veces la del aire, pero una pequeña fracción del flujo escapa del núcleo al aire circundante que es de baja permeabilidad. Este flujo que sale del núcleo se denomina flujo disperso y es de gran importancia en el diseño de las máquinas eléctricas. En el cálculo de la reluctancia se supone cierta longitud media y una sección transversal del núcleo. Esta suposición no es muy adecuada, especialmente en los ángulos de los núcleos. Circuitos magnéticos VII I I En los materiales ferromagnéticos la permeabilidad varía con la cantidad de flujo que existe desde antes en el material. Este efecto no lineal, que se describe con detalle más adelante, añade otra fuente de error al análisis del circuito magnético, puesto que las reluctancias que se utilizan para calcular el circuito magnético dependen de la permeabilidad del material. En el supuesto de que en el recorrido del flujo en el núcleo existan entrehierros, la sección transversal efectiva del entrehierro será mayor que la del núcleo en cada lado del entrehierro. Circuitos magnéticos VIII I La sección extra efectiva se debe al “efecto marginal” del campo magnético en el entrehierro Ejemplo 1 I I En la figura siguiente se observa un núcleo ferromagnético. Tres lados de este núcleo tienen una anchura uniforme, mientras que el cuarto es un poco más delgado. La profundidad del núcleo visto es de 10 cm (hacia dentro de la página), mientras que las demás dimensiones se muestran en la figura. Hay una bobina de 200 vueltas enrollada sobre el lado izquierdo del núcleo. Si la permeabilidad relativa µr es de 2500, ¿Qué cantidad de flujo producirá una corriente de 1 A en la bobina? Ejemplo 1 II Ejemplo 2 I I La figura siguiente muestra un núcleo ferromagnético cuya longitud media es de 40 cm. Hay un pequeño entrehierro de 0.05 cm en la estructura del núcleo. El área de la sección transversal del núcleo es de 12 cm2 , la permeabilidad relativa del núcleo es de 4000 y la bobina de alambre en el núcleo tiene 400 vueltas. Suponga que el efecto marginal en el entrehierro incrementa 5% la sección transversal efectiva del entrehierro. Dada esta información, encuentre: I I La reluctancia total del camino del fl ujo (hierro más entrehierro) y La corriente requerida para producir una densidad de flujo de 0.5 T en el entrehierro. Ejemplo 2 II Ejemplo 3 I I La figura siguiente muestra un rotor y un estator sencillos de un motor de CC. La longitud media del recorrido del flujo en el estator es de 50 cm, y el área de su sección transversal es de 12 cm2 . La longitud media correspondiente al rotor es de 5 cm y el área de su sección transversal también es de 12 cm2 . Cada entrehierro entre el rotor y el estator tiene un ancho de 0.05 cm y el área de su sección transversal (incluyendo el efecto marginal) es de 14 cm2 . El hierro del núcleo tiene una permeabilidad relativa de 2000, y hay 200 vueltas alrededor del núcleo. Si la corriente en el alambre se ajusta a 1 A, ¿Cuál será la densidad de flujo resultante en el entrehierro? Ejemplo 3 II Materiales ferromagnéticos I I La permeabilidad magnética se define como: B = µH I Este valor puede llegar a ser 6000 veces la permeabilidad del vacío I Para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad magnética en un material ferromagnético se aplica una corriente directa al núcleo que se muestra en la figura, comenzando con cero e incrementándola lentamente hasta la máxima corriente posible. Materiales ferromagnéticos II I Cuando se reliza el gráfico del flujo producido en el núcleo contra la fuerza magnetomotriz que lo produce, se obtiene una gráfica similar a la siguiente, la cual se denomina curva de saturación o curva de magnetización. a: Materiales ferromagnéticos III Al comienzo, un pequeño incremento de la fuerza magnetomotriz produce un gran aumento del flujo resultante. I Después de cierto punto, aunque se incremente mucho la fuerza magnetomotriz, los aumentos de flujo serán cada vez más pequeños. I Finalmente, el incremento de la fuerza magnetomotriz casi no produce cambios en el flujo. Materiales ferromagnéticos IV I La región de esta figura en la cual la curva se aplana se llama región de saturación, y se dice que el núcleo está saturado. I La región en la cual el núcleo cambia con rapidez se llama región no saturada de la curva, y el núcleo no está saturado. I La región de transición entre las regiones no saturada y saturada se denomina a veces rodilla de la curva. Materiales ferromagnéticos V I El flujo producido en el núcleo varía linealmente con la fuerza magnetomotriz aplicada en la región no saturada y se aproxima a un valor constante, independiente de la fuerza magnetomotriz en la región saturada. I En la figura siguiente se puede ver con más detalle la curva de magnetización de una típica pieza de acero, y cuya intensidad del campo magnético está dada en una escala logarítmica. I La región de saturación de la curva puede detallarse en la gráfica sólo cuando la intensidad del campo magnético se expresa con logaritmos. Materiales ferromagnéticos VI Materiales ferromagnéticos VII I La ventaja de utilizar núcleos de material ferromagnético en máquinas eléctricas y transformadores radica en que al aplicarles cierta fuerza magnetomotriz se obtiene un flujo mayor que el obtenido en el aire. Materiales ferromagnéticos VIII I Sin embargo, si el flujo resultante debe ser proporcional o aproximadamente proporcional a la fuerza magnetomotriz aplicada, el núcleo debe ser operado dentro de la región no saturada de la curva de magnetización. I Puesto que los generadores y motores reales dependen del flujo magnético para producir el voltaje y el par, se diseñan para producir el máximo flujo posible. I Como resultado, la mayoría de las máquinas reales operan cerca del punto de rodilla de la curva de magnetización, y en sus núcleos el flujo no está linealmente relacionado con la fuerza magnetomotriz que lo produce. Ejemplo 4 I I Encuentre la permeabilidad relativa del material ferromagnético típico, cuya curva de magnetización se muestra en la figura anterior, cuando a) H = 50, b) H = 100, c) H = 500 y d) H = 1000 A•vueltas/m. Ejemplo 4 II Ejemplo 5 I Un núcleo magnético cuadrado tiene una longitud media de 55 cm y un área de sección transversal de 150 cm2 . Una bobina de 200 vueltas de alambre está enrollada en una de las columnas del núcleo, el cual está hecho de un material cuya curva de magnetización se muestra en las dos figuras anteriores. I I I ¿Cuánta corriente se requiere para producir un flujo de 0.012 Wb en el núcleo? ¿Cuál es la permeabilidad relativa del núcleo para esa corriente? ¿Cuál es su reluctancia? Pérdidas en materiales ferromagnéticos I I En vez de aplicar una corriente continua a los devanados dispuestos sobre el núcleo, se aplica una corriente alterna para observar qué ocurre. I Dicha corriente se muestra en la siguiente. Pérdidas en materiales ferromagnéticos II I Suponniendo que el flujo inicial en el núcleo es cero, cuando se incrementa la corriente por primera vez, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria ab. I Ésta es básicamente la curva de saturación que se muestra en la figura anterior. I Sin embargo, cuando la corriente decrece, el flujo representado en la curva sigue una trayectoria diferente de la seguida cuando la corriente iba en aumento. I Cuando la corriente decrece, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria bcd y, más tarde, cuando la corriente se incrementa de nuevo, el flujo sigue la trayectoria deb. Pérdidas en materiales ferromagnéticos III I La cantidad de flujo presente en el núcleo depende no sólo de la cantidad de corriente aplicada a los devanados del núcleo, sino también de la historia previa del flujo presente en el núcleo. I Esta dependencia de la historia previa del flujo y el seguir una trayectoria diferente en la curva se denomina histéresis. I La trayectoria bcdeb descrita en la figura representa la variación de la corriente aplicada, se denomina curva o lazo de histéresis. Pérdidas en materiales ferromagnéticos IV I Para entender el comportamiento de los materiales ferromagnéticos es necesario conocer algo acerca de su estructura. I Los átomos del hierro y los de los materiales similares (cobalto, níquel y algunas de sus aleaciones) tienden a tener sus campos magnéticos fuertemente alineados entre sí. I Dentro del metal hay unas pequeñas regiones llamadas dominios, en las que todos los átomos se alinean con sus campos magnéticos apuntando en una misma dirección, de modo que el dominio actúa dentro del material como un pequeño imán permanente. Pérdidas en materiales ferromagnéticos V I Una pieza de hierro no manifiesta polaridad magnética definida porque los dominios se encuentran dispuestos al azar en la estructura del material. I La figura siguiente representa un ejemplo de la estructura de los dominios en un trozo de hierro. Pérdidas en materiales ferromagnéticos VI I Cuando se aplica un campo magnético externo a este trozo de hierro, los dominios orientados en la dirección del campo exterior crecen a expensas de los dominios orientados en otras direcciones, debido a que los átomos adyacentes cambian físicamente su orientación con el campo magnético aplicado. I Los átomos adicionales, alineados con el campo, incrementan el flujo magnético en el hierro, lo cual causa el alineamiento de más átomos que incrementan la intensidad del campo magnético. I Este efecto de retroalimentación positiva es la causa de que el hierro adquiera una permeabilidad mayor que el aire. Pérdidas en materiales ferromagnéticos VII I A medida que el campo magnético externo se fortalece, dominios completos alineados en otras direcciones se orientan como una unidad para alinearse con el campo. I Por último, cuando casi todos los átomos y dominios en el hierro se han alineado con el campo externo, el incremento de la fuerza magnetomotriz puede ocasionar tan sólo un aumento de flujo igual al que ocurriría en el espacio libre (es decir, cuando todos los dominios se encuentran alineados, ya no habrá más retroalimentación para reforzar el campo). Pérdidas en materiales ferromagnéticos VIII I En este momento, el hierro estará saturado con el flujo. La histéresis se produce porque cuando el campo magnético exterior se suprime, los dominios no se ubican de nuevo al azar. ¿Por qué los dominios permanecen alineados? Porque los átomos requieren energía para recuperar su posición anterior. I La energía para el alineamiento original la proveyó el campo magnético exterior; cuando el campo magnético exterior se suprime, no hay una fuente que ayude a que los dominios regresen a sus posiciones. I El trozo de hierro es ahora un imán permanente. Pérdidas en materiales ferromagnéticos IX I Una vez que los dominios se alinean, algunos de ellos permanecerán en esa posición hasta que se les aplique una fuente de energía externa para cambiar su orientación. I Otros ejemplos de fuentes externas de energía que pueden cambiar los límites entre los dominios o su alineamiento son la fuerza magnetomotriz aplicada en otras direcciones, un choque mecánico fuerte y el calor. I Cualquiera de estos eventos puede suministrar energía a los dominios para cambiar su alineación (por esta razón, un imán permanente puede perder su magnetismo si se le deja caer, se le golpea o se le calienta). I Como se ha visto, para cambiar la posición de los dominios se requiere de energía, esto origina cierto tipo de pérdidas de energía en todas las máquinas y transformadores. Pérdidas en materiales ferromagnéticos X I Las pérdidas por histéresis en el núcleo del hierro corresponden a la energía que se necesita para reorientar los dominios durante cada ciclo de corriente alterna aplicada al núcleo. I Se puede demostrar que el área comprendida dentro de la curva de histéresis, la cual se forma al aplicar corriente alterna, es directamente proporcional a la energía perdida en un ciclo dado de corriente alterna. I Cuanto menores sean las variaciones de la fuerza magnetomotriz aplicada al núcleo, el área de la curva será menor y serán más pequeñas las pérdidas resultantes. Pérdidas en materiales ferromagnéticos XI I Este hecho se muestra en la siguiente figura Pérdidas en materiales ferromagnéticos XII I En este momento deben mencionarse otro tipo de pérdidas, causadas también por la variación del flujo en el núcleo: las pérdidas por corrientes parásitas, las cuales se explicarán posteriormente, una vez que se haya presentado la ley de Faraday. I Las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas ocasionan calentamiento en los núcleos y se deben tener en cuenta en el diseño de cualquier máquina o transformador. I Puesto que estas pérdidas ocurren dentro del metal del núcleo, se agrupan bajo el nombre de pérdidas en el núcleo. La ley de Faraday I I La ley de Faraday establece que si un flujo atraviesa una espira de alambre conductor, se inducirá en ésta un voltaje directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo. eind = − dφ dλ = −N dt dt I El signo menos en la ecuación es una expresión de la ley de Lenz, la cual establece que la dirección del voltaje inducido en la bobina es tal que si los extremos de ésta estuvieran en cortocircuito, se produciría en ella una corriente que generaría un flujo opuesto al flujo inicial. I Puesto que el voltaje inducido se opone al cambio que lo produce, se incluye un signo menos en la ecuación anterior. La ley de Faraday II I Para comprender con claridad este concepto, observe la siguiente figura La ley de Faraday III I Si el flujo que se muestra en la figura se incrementa, el voltaje que se forma en la bobina tenderá a crear un flujo que se opone a este incremento. I Una corriente que fluya como se muestra en la figura producirá ese flujo opuesto al incremento, y por ello el voltaje formado en la bobina debe tener la polaridad adecuada para dirigir esta corriente hacia el circuito externo. I Puesto que la polaridad del voltaje puede deducirse del análisis físico, el signo menos de las ecuaciones se omite frecuentemente La ley de Faraday IV I Para incluir el efecto de la dispersión de flujo se plantea el siguiente análisis para una espira ei = eind = N X i=1 ei = dφi dt N X dφi N X i=1 i=1 d = dt dt donde λ= N X i=1 φi ! φi = dλ dt La ley de Faraday V I Para un circuito magnético compuesto de material magnético de permeabilidad constante o que incluya un entrehierro dominante, la relación entre le flujo φ y la corriente i será lineal y se puede definir el concepto de inductancia como: L= N2 λ = N 2 Ptot = [H] i Rtot La ley de Faraday VI I En la figura siguiente se muestra un circuito magnético con dos bobinas La ley de Faraday VII I La fmm total será F = N1 i1 + N2 i2 φ = (N1 i1 + N2 i2 ) λ1 = N1 φ = N12 µ0 Afe g µ0 Afe g i1 + N1 N2 µ0 Afe g i2 λ1 = L11 i1 + L12 i2 2 µ0 Afe 2 µ0 Afe λ 2 = N 2 φ = N 1 N2 N 1 i1 + N2 i2 g g λ2 = L21 i1 + L22 i2 Inductancias mutuas La ley de Faraday VIII L21 = L12 = N1 N2 N12 µ0 Afe g Inductancias propias 2 µ0 Afe 2 µ0 Afe ; L2 = N2 L1 = N1 g g La ley de Faraday IX I Para determinar la energía se procede de la siguiente forma: e= dλ d di dL = (Li) = L + i dt dt dt dt dλ di dL = Li + i 2 dt dt dt ˆ t2 ˆ λ2 λ 1 i dλ = 4W = dλ = λ22 − λ21 2L t1 λ1 L p = ie = i I La energía total para un determinado valor de enlace de flujo λ es: 1 2 1 2 W = λ = Li 2L 2 La ley de Faraday X I En el caso del núcleo con dos bobinas: dW = i1 dλ1 + i2 dλ2 ˆ W = i1 i2 = λ1 λ2 L11 L21 (λ1 ,λ2 ) i1 dλ1 + (0,0) como ˆ (λ1 ,0) i2 dλ2 (λ1 ,0) L11 L12 = L21 L22 −1 L12 λ1 = L22 λ2 i1 i2 ⇒ Γ11 Γ12 Γ21 Γ22 λ1 λ2 La ley de Faraday XI ˆ ˆ (λ1 ,0) W = (λ1 ,λ2 ) (Γ11 λ1 ) dλ1 + (0,0) (Γ21 λ1 + Γ22 λ2 ) dλ2 (λ1 ,0) 1 1 W = Γ11 λ21 + Γ12 λ1 λ2 + Γ22 λ22 = 2 2 Γ11 Γ12 1 λ1 λ1 λ2 = Γ21 Γ22 λ2 2 W = 1 1 1 t [λ] [Γ ] [λ] = [[L] [i]]t [Γ ] [[L] [i]] = [i]t [L] [i] 2 2 2 La ley de Faraday XII I La ley de Faraday es la propiedad fundamental de los campos magnéticos que intervienen en la operación de los transformadores. I El efecto de la ley de Lenz se emplea para predecir la polaridad de los voltajes inducidos en los devanados del transformador. I La ley de Faraday también explica las pérdidas debidas a las corrientes parásitas ya mencionadas. La ley de Faraday XIII I Un flujo variable en el tiempo induce voltaje dentro de un núcleo ferromagnético de la misma forma que lo haría en un alambre conductor enrollado alrededor del mismo núcleo. I Estos voltajes causan flujos de corrientes que circulan en el núcleo, similares a los remolinos que se observan desde la orilla de un río; por esta razón reciben también el nombre de corrientes de remolino. I Estas corrientes parásitas disipan energía, puesto que fluyen en un medio resistivo (el hierro del núcleo). La ley de Faraday XIV I La energía disipada se convierte en calor en el núcleo. I La cantidad de energía que se pierde debido a corrientes parásitas depende del tamaño de los remolinos de corriente y de la resistividad del material en el que fluye la corriente. I Cuanto mayor sea el tamaño del remolino, mayor será el voltaje inducido resultante (debido al mayor flujo magnético dentro del remolino). La ley de Faraday XV I Cuanto mayor sea el voltaje inducido, mayor será el flujo de corriente que resulta y, por lo tanto, mayores serán las pérdidas de I 2 R. I Por otro lado, cuanto mayor sea la resistividad del material que contiene las corrientes, más bajo será el flujo de corriente de un voltaje inducido dado en el remolino. I Estos hechos ofrecen dos procedimientos posibles para reducir las pérdidas por corrientes parásitas en un transformador o en una máquina eléctrica. La ley de Faraday XVI I Si un núcleo ferromagnético que puede estar sujeto a flujos magnéticos alternos se divide en muchas pequeñas fajas o laminaciones, entonces el tamaño máximo de un remolino de corriente se reducirá, lo cual da como resultado un voltaje inducido reducido, una corriente más baja y menores pérdidas. I Esta reducción es aproximadamente proporcional a la anchura de estas laminaciones, de modo que las laminaciones más pequeñas son mejores. I El núcleo se construye con muchas de estas laminaciones en paralelo. Se usa una resina aislante entre las fajas, de modo que las trayectorias de corriente de las corrientes parásitas se limitan a áreas muy pequeñas porque las capas aislantes son extremadamente delgadas. La ley de Faraday XVII I Esto reduce las pérdidas por corrientes parásitas con muy poco efecto sobre las propiedades magnéticas del núcleo. I El segundo procedimiento para reducir las pérdidas por corrientes parásitas consiste en aumentar la resistividad del material del núcleo. I Esto se consigue a menudo agregando algo de silicio al acero del núcleo. La ley de Faraday XVIII I Si la resistencia del núcleo es mayor, las corrientes parásitas serán menores para un flujo magnético dado, así como las pérdidas de I 2 R resultantes. I Se pueden usar ya sea laminaciones o materiales de alta resistividad para controlar las corrientes parásitas. I En muchos casos, se combinan ambos métodos. Esta combinación puede reducir las pérdidas por corrientes parásitas hasta un punto en que son mucho más pequeñas que las pérdidas por histéresis en el núcleo. Ejemplo 6 I La figura muestra una bobina enrollada alrededor de un núcleo de hierro. Si el flujo en el núcleo está dado por la ecuación φ = 0.05 sen 377t Wb Si hay 100 espiras en el núcleo, ¿Cuánto voltaje se producirá en los terminales de la bobina? ¿Cuál será la polaridad del voltaje durante el tiempo en el que el flujo se incremente en la dirección que se muestra en la figura? Suponga que todo el flujo magnético permanece dentro del núcleo (esto es, el flujo disperso es cero). Excitación AC I I En los sistemas de potencia AC, tanto la tensión como el flujo son aproximadamente sinusoidales en el tiempo. I Supongamos un circuito magnético sin entrehierro, con un trayecto de valor lfe y sección transversal Afe a lo largo de toda la trayectoria del núcleo φ = φmax sen ωt = Afe Bmax sen ωt e = ωNφmax cos ωt Emax = ωNφmax = 2πfNAfe Bmax I En valores efectivos √ 2π Erms = √ f N Afe Bmax = 2πf N Ac Bmax = 4.44NfAfe Bmax 2 Excitación AC II I Para producir flujo magnético en un núcleo se requiere una corriente en el devanado de excitación, denominada corriente de excitación o corriente de magnmetización im I El gráfico de la corriente de magnetización como función del tiempo se puede determinar directamente de la característica de magnetización como se muestra en la siguiente figura: Excitación AC III φ = Bfe Afe Hfe lfe N lfe Hfe rms = N im = Im rms Erms Im rms = I √ 2πfBmax Hrms (Afe lfe ) El término Afe lfe es el volumen del núcleo, y su masa es ρfe Afe lfe . Entonces: √ 2πf Erms Im rms = Bmax Hrms Pa = masa ρfe Excitación AC IV I En este indicador normalizado, los voltamperes de excitación son una propiedad del material ferromagnético y dependen exclusivamente de Bmax debido a que Hrms es también función de Bmax . En la siguiente figura se muestra este resultado para un núcleo de acero eléctrico con grano orientado denominado M-5 Excitación AC V I La corriente de excitación suple la fmm requerida para producir el flujo en el núcleo y la potencia de entrada asociada con la energía en el campo magnético del núcleo. I El resto aparece como potencia reactiva asociada con la energía almacenada en el campo magnético. Esta energía es cíclicamente extraida y devuelta a la fuentedel sistema de excitación Existen dos mecanismos de pérdidas asociados a los flujos variables en el tiempo en los materiales magnéticos I Excitación AC VI I I Calentamiento óhmico I 2 R, asociado con las corrientes inducidas en el núcleo (corrientes parásitas). Estas corrientes producen campos que se oponen a la variacioón del flujo. Este efecto se incrementa con la frecuencia. Para reducir este efecto el material se lamina y se utilizan aleaciones de baja conductividad Histéresis ˛ ˛ ˛ Hfe lfe (Afe NdBfe ) = Afe lfe Hfe dBfe W = im dλ = N ˛ W w= = Hfe dBfe volumen Esta es la energía requerida para movilizar los dipolos magnéticos del material. Esta energía es proporcional al área de la curva B − H y se disipa en calor en cada ciclo realizado y por tanto depende directamente de la frecuencia. En general estas pérdidas dependen del materila, de la metalurgia utilizada, así como de la densidad de flujo y la frecuencia. Excitación AC VII I En la figura siguiente se muestran estas pérdidas para el material ferromagnetico M − 5 Excitación AC VIII I Prácticamente todos los transformadores y algunas partes de máquinas eléctricas utilizan láminas de acero que tienen una dirección más favorable, donde las pérdidas son menores y la permeabilidad es más alta. Este material se denomina de grano orientado. Esto se logra debido a la estructura atómica de un cristal de la aleación hierro-silicio. Este es un cubo centrado con un átomo en cada esquina del cubo y uno en su centro. En cada dirección, este cubo tiene diferentes permeabilidades y con el proceso de laminación se obtiene una dirección de máxima permeabilidad I Los aceros de grano no orientado se utilizan en aplicaciones donde el flujo no tiene una trayectoria orientada con la dirección de laminación. En este caso la permeabilidad es menor y las pérdidas mayores. Ejemplo 7 I I El núcleo magnético de la figura siguiente se construyó con laminaciones de acero de grano orientado M − 5. La bobina se excita con una tensión de 60 Hz para producir una densidad de flujo en el acero de: B = 1.5 sen 377t El acero ocupa el 94% de la sección del núcleo. La densidad del acero es 7.65 g /cm. Encuentre I I I I La tensión aplicada La corriente pico La corriente de excitación rms Las pérdidas en el núcleo Ejemplo 7 II Ejercicios sugeridos I 1. En la figura se muestra un núcleo ferromagnético. La profundidad del núcleo es de 5 cm. Las demás dimensiones del núcleo se pueden ver en la figura. Encuentre el valor de la corriente producida por un flujo de 0.005 Wb. Con esta corriente, ¿Cuál es la densidad de flujo en la parte superior del núcleo? ¿Cuál es la densidad de flujo en la parte derecha del núcleo? Suponga que la permeabilidad relativa del núcleo es de 800. Ejercicios sugeridos II Ejercicios sugeridos III 2. La figura muestra un núcleo ferromagnético cuya permeabilidad relativa es de 1500. Las demás dimensiones se pueden ver en el diagrama. La profundidad del núcleo es de 5 cm. Los entrehierros de las partes izquierda y derecha del núcleo tienen 0.050 y 0.070 cm, respectivamente. Debido a los efectos marginales, el área efectiva de los entrehierros se incrementa 5% respecto del área física. Si hay una bobina de 300 vueltas enrollada en la columna central del núcleo y por ella pasa una corriente de 1.0 A, ¿Cuál es el flujo en las columnas izquierda, central y derecha del núcleo? ¿Cuál es la densidad de flujo en cada entrehierro? Ejercicios sugeridos IV Ejercicios sugeridos V 3. En la figura se muestra un núcleo de dos columnas. La bobina dispuesta en la parte izquierda (N1 ) tiene 600 vueltas y la bobina de la parte derecha (N2 ) tiene 200 vueltas. Las bobinas están enrolladas en las direcciones que se muestran en la figura. Si tomamos en cuenta las dimensiones que se aprecian en la figura, ¿Qué flujo producirán las corrientes i1 = 0.5 A e i2 = 1.00 A? Suponga que µr = 1200 y es constante. Ejercicios sugeridos VI Ejercicios sugeridos VII 4. La figura muestra un núcleo con tres columnas. Su profundidad es de 5 cm, y hay una bobina de 100 vueltas en la columna del extremo izquierdo. Suponga que la permeabilidad relativa del núcleo es 2000 y es constante. ¿Cuánto flujo existirá en cada una de las tres columnas del núcleo? ¿Cuál es la densidad del flujo en cada una de ellas? Considere un incremento de 5% por efecto marginal en el área efectiva de cada entrehierro.. Ejercicios sugeridos VIII 5. El núcleo que se muestra en la figura es de acero, con una curva de magnetización que se muestra en la figura. Repita el problema 3, pero esta vez no suponga que el valor de µr es constante. ¿Cuánto flujo producen en el núcleo las corrientes especificadas? ¿Cuál es la permeabilidad relativa de este núcleo en estas condiciones? La permeabilidad relativa de 1200 supuesta en el problema 3, ¿Es una buena suposición para estas condiciones? ¿Es una buena suposición en general? Ejercicios sugeridos IX Ejercicios sugeridos X Ejercicios sugeridos XI 6. En la figura se muestra un núcleo con tres columnas. Su profundidad es de 5 cm y tiene 400 vueltas en la columna central. Las demás dimensiones se aprecian en la figura. El núcleo es de acero con una curva de magnetización como la que también se ve en la figura. Responda las siguientes preguntas: 6.1 ¿Qué corriente se requiere para producir una densidad de flujo de 0.5T en la columna central del núcleo? 6.2 ¿Qué corriente se requiere para producir una densidad de flujo de 1.0T en la columna central del núcleo? 6.3 ¿Es el doble de la corriente requerida en el inciso a)? 6.4 ¿Cuáles son las reluctancias de las columnas central y derecha del núcleo en las condiciones del inciso a)? 6.5 ¿Cuáles son las reluctancias de las columnas central y derecha del núcleo en las condiciones del inciso b)? Ejercicios sugeridos XII 6.6 ¿Qué conclusión puede obtenerse acerca de las reluctancias en los núcleos reales magnéticos? Ejercicios sugeridos XIII Ejercicios sugeridos XIV 7. En la figura se muestra un núcleo magnético de dos columnas con entrehierro. La profundidad del núcleo es de 5 cm, la longitud del entrehierro es de 0.05 cm y la bobina tiene 1000 vueltas. La curva de magnetización del material del núcleo se puede ver también en la figura. Suponga un incremento de 5% del área efectiva en el entrehierro debido al efecto marginal. ¿Cuánta corriente se requiere para producir en el entrehierro una densidad de flujo de 0.5 T ? ¿Cuáles son las densidades de flujo en los cuatro lados del núcleo para esa corriente en la bobina? ¿Cuál es el flujo total presente en el entrehierro? Ejercicios sugeridos XV Ejercicios sugeridos XVI Ejercicios sugeridos XVII 8. El núcleo de un transformador, cuya trayectoria media efectiva es de 6 pulgadas, tiene una bobina de 200 vueltas enrollada alrededor de una de sus columnas. El área de su sección transversal es de 0.25 pulg 2 , y su curva de magnetización se muestra en la figura. Si en la bobina fluye una corriente de 0.3 A, ¿Cuál será el flujo total en el núcleo? ¿Cuál es la densidad de flujo? Ejercicios sugeridos XVIII 9. El núcleo que se muestra en la figura tiene el flujo φ que se puede apreciar en la figura. Dibuje el voltaje de los terminales de la bobina. Ejercicios sugeridos XIX Ejercicios sugeridos XX 10. La figura siguiente muestra el núcleo de un motor de CC sencillo. La curva de magnetización del metal de este núcleo está dada por las figuras adjuntas. Suponga que el área de la sección transversal de cada entrehierro es de 18 cm2 y que el ancho de cada entrehierro es de 0.05 cm. El diámetro efectivo del núcleo del rotor es de 5 cm. 10.1 Se desea construir una máquina con la mayor densidad de flujo posible, pero evitando la excesiva saturación en el núcleo. ¿Cuál sería un máximo razonable de densidad de flujo para este núcleo? 10.2 ¿Cuál sería el fl ujo total en el núcleo para la densidad de flujo del punto anterior? Ejercicios sugeridos XXI 10.3 La máxima corriente de campo posible de esta máquina es de 1 A. Seleccione un número razonable de vueltas de alambre para proveer la densidad de flujo requerida sin exceder la máxima corriente disponible. Ejercicios sugeridos XXII Ejercicios sugeridos XXIII Ejercicios sugeridos XXIV 11. Un circuito magnético con entrehierro tal como el que se muestra en la siguiente figura tiene las siguientes características: I I I I Afe = 1.8 × 10−3 m2 lfe = 0.6 m g = 2.3 × 10−3 m N = 83 vueltas µ = µ0 1+ p 3499 ! 7.8 1 + 0.047Bm 11.1 Utilizando MATLAB o algún programa similar, realice el gráfico de la curva de magnetización para este material (Bm − Hm ) en el rango 0 ≤ Bm ≤ 2.2 T 11.2 Encuentre la corriente requerida para alcanzar una densidad de flujo de 2.2 T en el núcleo Ejercicios sugeridos XXV 11.3 Utilizando algún programa similar a MATLAB, realice un gráfico de los enlaces de flujo en función de las corrientes en la bobina, desde la corriente cero hasta la encontrada en el punto anterior de este problema Ejercicios sugeridos XXVI 12. El circuito magnético de la figura tiene tres bobinas. Las bobinas A y B tienen N vueltas y se encuentran en las ramas inferiores del núcleo 12.1 Encuentre las inductancias propias de cada devanado 12.2 Encuentre las inductancias mutuas entre pares de bobinas 12.3 Encuentre la tensión inducida en el devanado 1 por una corriente variable en el tiempo iA (t) e iB (t) que circulan por las bobinas A y B respectivamente. Demuestre que esta tensión se puede utilizar para medir el desbalance entre dos corrientes sinusoidales de la misma frecuencia Ejercicios sugeridos XXVII Ejercicios sugeridos XXVIII 13. La siguiente tabla incluye datos para la mitad superior de un lazo de histéresis simétrico de un material magnético a la frecuencia de 60 Hz B (T ) 0 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 H (A.vuelta/m) 48 52 58 73 85 103 135 193 B (T ) 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.2 0 H (A.vuelta/m) 80 42 2 -18 -29 -40 -45 -48 13.1 Realice un gráfico con estos datos utilizando programas del tipo MATLAB o Excel 13.2 Determine el área encerrada en el ciclo de histéresis en Jules 13.3 Calcule las pérdidas en el hierro en W /kg suponiendo que la densidad del material es 7.65 g /cm3 Ejercicios sugeridos XXIX 14. Las bobinas del circuito magnético que se muestra en la siguiente figura están conectadas en serie de manera que ambas incrementan el flujo de la columna central. Las bobinas tienen igual número de vueltas N1 = N2 = 100. Las dimensiones son: I I I I Area de las secciones transversales de A y B= 7 cm2 Area de la sección transversal de C = 14 cm2 lA = 17 cm, lb = 17 cm, lc = 5.5 cm, entrehierro = 0.4 cm El material es acero laminado de grano orientado M − 5, en chapas de 0.012 pulgadas con un factor de apilamiento del 94% 14.1 ¿Cuántos amperes se requieren para producir una densidad de cflujo de 1.2 T en el entrehierro? 14.2 En estas condiciones, ¿Cuánta energía se almacena el el campo magnético del entrehierro? Ejercicios sugeridos XXX 14.3 Determine las inductancias propias y mutuas