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A PROPUESTA DIDÁCTICA
El modelo de propuesta didáctica que presentamos tiene como objetivo aportar un desarrollo práctico, razonado y documentado que
pueda utilizar la comunidad docente, adaptándolo, simplificándolo
o enriqueciéndolo según su propio modelo educativo y las necesidades de cada aula.
Este diseño está centrado en la programación de aula e incluye,
para cada unidad, una introducción con el planteamiento didáctico
seguido al desarrollarla en el libro de texto, su programación (con
los objetivos, los criterios de evaluación y los contenidos) y los recursos didácticos necesarios.
INTRODUCCIÓN
Presenta el enfoque asociado al desarrollo de la propuesta didáctica y analiza los tipos de contenidos que se ofrecen a lo largo de la unidad. Se facilita un esquema
conceptual completo, que sirve como un guion de trabajo para abordar la unidad.
2
2
estudia
EL ÁLGEBRA
LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
INTRODUCCI ÓN
En este curso se repasa y profundiza en el álgebra aprendida en el tercer curso. En
esta unidad, los estudiantes retoman los polinomios, su nomenclatura y sus operaciones. El cociente de polinomios, que debe ser repasado, se enriquece con la regla de
Ruffini para dividir un polinomio por x – a, de gran interés práctico.
• La identificación de polinomios irreducibles y su similitud con los números primos.
Lo fundamental de esta unidad es el estudio teórico y práctico de la divisibilidad
de polinomios:
• Y la aplicación de la divisibilidad de polinomios a la simplificación de fracciones
algebraicas y a la reducción a común denominador para sumarlas.
• La regla de Ruffini nos permite comprobar con facilidad si un binomio de primer
grado, x – a, es o no divisor de un polinomio y nos aporta el cociente. De este
modo se puede progresar en la descomposición de un polinomio en factores.
Al menos los mejores alumnos deberían reflexionar sobre el paralelismo entre la
divisibilidad de polinomios y la numérica, así como entre las fracciones algebraicas y
las numéricas.
También se proporciona orientación acerca de los conocimientos mínimos que deben alcanzar los estudiantes, más otros muy importantes que deberían complementarlos.
Incluimos también una breve relación de los materiales complementarios que
pueden ser útiles en el desarrollo de la unidad.
ESQUEMA DE LA UNIDAD
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
• El cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de dos polinomios.
que se clasifican en
POLINOMIOS
MONOMIOS
Son la suma o la resta de
varios mononios.
Producto de un número
(coeficiente) por una o
varias letras (parte literal).
que se pueden
• Manejo diestro de las “igualdades notables”. Reconocimiento de expresiones
que den lugar a las mismas para expresar sumas en forma de producto.
• Operaciones con polinomios.
• Regla de Ruffini. Utilización para efectuar una división, obteniendo cociente y
resto y para hallar el valor de un polinomio cuando x vale a.
• Factorización de polinomios utilizando la regla de Ruffini, la identificación de
igualdades notables y la resolución de ecuaciones para obtener algunas raíces o la
constatación de que no las hay.
• Aplicación diestra de la regla de Ruffini con calculadora (si se consigue cierta
agilidad, puede conseguirse el valor numérico de un polinomio de tercero o
La regla de
Ruffini
Otros
métodos
que para simplificarlas
se pueden
• Operaciones con fracciones algebraicas sencillas.
• Traducción de un enunciado a lenguaje algebraico.
RECURSOS Y MATERIALES RECOMENDADOS
• Lecturas y actividades:
– Los polinomios y las funciones: ¿un capricho de matemáticos ociosos? Breve lectura
que puede servir como motivación para el estudio de los polinomios.
COMPLEMENTOS IMPORTANTES
• Enunciado y demostración del teorema del resto.
La extracción de
factor común
P (x)
Q (x)
se denominan
FRACCIONES ALGEBRAICAS
• Reconocimiento de polinomios irreducibles, así como de la relación de divisibilidad entre dos polinomios.
r
• Expresión formal de un cociente de las formas D = d · c + r y D = c + .
d
d
• Justificación de la validez de la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre
x – a.
cociente de polinomios,
mediante
CONOCIMIENTOS MÍNIMOS
• Dominio de la nomenclatura básica del álgebra (monomio, polinomio, coeficiente, exponente, variable...
que cuando se expresan como
Factorizar
Expresar un polinomio como producto de dos
o más factores (polinomios de menor grado)
cuarto grado en unos segundos. Esta habilidad resultará muy útil en bachillerato para representar funciones).
• Comprensión profunda del paralelismo entre la divisibilidad de polinomios y la
numérica, así como entre las fracciones algebraicas y las numéricas.
• Manejo diestro de la operatoria con fracciones algebraicas cualesquiera.
– Breve historia del álgebra. Breve recorrido histórico por el álgebra, en el que se
relaciona con otros importantes campos de la matemáticas.
– Biografía de Galileo.
• Bibliografía y documentación:
– Ideas y actividades para enseñar álgebra. Grupo Azarquiel (1991). Colección
Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, nº 33 Editorial Síntesis. Madrid.
– Pasatiempos y juegos en la clase de Matemáticas. García Azcárate, A. Colección
Cuadernos del ICE, nº 20. UAM Ediciones.
– Fascículo nº 12. Coleccioón Materiales para la Reforma. Consejería de
Cultuta, Educación y Ciencia de la Generalitat Valenciana.
– Iniciación al álgebra. Socas, M.M. y otros (1989). Colección Matemáticas:
Cultura y aprendizaje, nº23. Editorial Síntesis. Madrid.
• Vídeos:
– El número áureo. Serie Más por Menos, nº 1. Pérez, A. Producción y distribución: TVE.
En el CD-ROM Recursos Didácticos se ofrece una descripción de estos materiales.
63
62
7
CUADRO DE PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD
PROGRAMACIÓN
OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Incluye los objetivos didácticos y sus criterios de evaluación, relacionando los
primeros con los segundos.
1. Manejar con soltura las razones trigonométricas.
CRITERIOS DE EVALUACI ÓN
1.1. Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo agudo, en un
triángulo rectángulo, conociendo los lados de este.
1.2. Conoce las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de
los ángulos más significativos (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).
1.3. Obtiene una razón trigonométrica de un ángulo agudo conociendo
otra.
1.4. Obtiene una razón trigonométrica de un ángulo cualquiera conociendo otra y un dato adicional.
1.5. Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera dibujándolo en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con alguno del primer cuadrante.
El cuadro incluye también los conceptos que se estudian en la unidad, los procedimientos que se emplean en su desarrollo y, en su última columna, las actitudes
que se desea que adquieran los estudiantes.
2. Resolver triángulos.
2.1. Resuelve triángulos rectángulos.
2.2. Resuelve triángulos oblicuángulos: estrategia de la altura.
CONCEPTOS
• Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente.
• Relación entre las razones trigonométricas
del mismo ángulo (relaciones fundamentales).
• Razones trigonométricas de los ángulos más
frecuentes (30°, 45° y 60°).
• Resolución de triángulos rectángulos.
• Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura.
PROCEDIMIENTOS
• Justificación del hecho de que las razones trigonométricas dependen del ángulo y no del
tamaño del triángulo.
• Cálculo gráfico de las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
• Utilización de papel milimetrado para fabricarse un sencillo instrumento con el que medir directamente las razones trigonométricas
de un ángulo.
• Obtención de las razones trigonométricas de
un ángulo por medio de algoritmos o usando
una calculadora científica.
• Uso de las teclas trigonométricas de la calculadora científica para el cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera,
para conocer el ángulo a partir de una de las
razones trigonométricas o para obtener una
razón trigonométrica conociendo ya otra.
• Aplicación de las relaciones fundamentales
para calcular, a partir de una de las razones
trigonométricas de un ángulo, las dos restantes.
• Obtención de las razones trigonométricas de
los ángulos de 30°, 45° y 60° a partir del
triángulo equilátero y del cuadrado.
ACTITUDES
• Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas.
• Curiosidad e interés por la investigación sobre formas y configuraciones geométricas en
el plano y en el espacio.
• Capacidad de crítica ante errores geométricos en construcciones o representaciones.
• Flexibilidad para enfrentarse a distintas situaciones geométricas desde distintos puntos de
vista.
• Interés por la presentación ordenada, limpia
y clara de los trabajos geométricos, reconociendo el valor práctico que posee.
• Reconocer el valor que la geometría tiene para resolver situaciones reales.
• Valoración de la importancia de la trigonometría para el cálculo de distancias en situaciones reales.
• Tenacidad en la búsqueda de soluciones en
los problemas geométricos.
• Interés y respeto por las soluciones a problemas geométricos distintas a las propias.
• Confianza en encontrar procedimientos y estrategias «diferentes». Interés para buscarlos.
• Cálculo de distancias y ángulos trigonométricamente a partir de triángulos rectángulos.
• Utilización de la estrategia de la altura para
resolver triángulos obtusángulos.
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189
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
Conviene automatizar la representación de cualquier
función cuadrática mediante la parábola correspondiente. Se dan para ello una serie de recursos que han
de servir como guía, entre los que se destaca el cálculo
del vértice. Es conveniente que entiendan que calcular
la abscisa del vértice equivale a calcular el punto medio de las soluciones de las ecuaciones ax 2 + bx = 0,
tal como se indica en el margen.
1. a)
Se puede explicar por qué es necesario tomar puntos
próximos al vértice cuando se construya la tabla de
valores y cómo el uso de la simetría nos permite completar dicha tabla de forma rápida.
Consideraciones metodológicas
V
1
1
b)
Por último, merece la pena insistir en la importancia
que tiene tomar la escala adecuada en el momento de
la representación; resultaría interesante dibujar pará-
En los márgenes de las páginas del libro del alumno se ofrecen diversas sugerencias
que pueden ayudar al profesorado a enfocar el tratamiento de cada apartado. Además, se proponen algunas actividades de refuerzo y/o ampliación que se pueden encontrar en los cuadernos de Ejercicios de Matemáticas que acompañan a esta serie.
1
1
2
bolas sencillas como y = 0,01x 2, y = x o y = 50x 2,
10
en las que es necesario una reflexión previa sobre la
escala a tomar en cada caso.
DESARROLLO DEL LIBRO DEL ALUMNO
V
2. a)
REFUERZO Y AMPLIACIÓN
1
Como actividades de refuerzo y ampliación, recomendamos las siguientes, todas ellas del cuaderno n° 7,
Funciones II, de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
1
V
Refuerzo: Págs. 8 y 9. Ejercicios 1, 2, 3 y 4.
Ampliación: Págs. 10 y 11. Ejercicios 1 a 9.
b)
ANOTACIONES
Ejercicios de refuerzo y de ampliación
1
1
146
147
27. a) 100 – 2x
 x = 25 m
b) Se hace máxima el área cuando: 
 y = 50 m
El área máxima es 1 250 m2
c) Dominio de definición: (0, 50)
Soluciones a las actividades
41. ① a = 4
② a = 1,5
③ a = 0,76
42. Cuando 0 < a < 1
28. a) No se pueden unir los puntos, ya que el número de pegatinas es un número entero (y
positivo).
b) 50 céntimos por pegatina.
43. b = – 6. El eje de simetría es la recta x = 3.
No tiene puntos de corte con el eje X.
El punto de corte con el eje Y es el punto (0, 10).
44. k = 25. La parábola no corta al eje X si k > 25.
29. Se han de vender denro de 80 días, y el benefi-
45. c = 0; a = –1 ; b = 7
30. 1 750 ordenadores
46. b = 1 → a = 2
31. a) k = 3; a = 1,2
47. a) x = 9
cio será de 144 €.
2
b) Es una función creciente.
c) Ver CD-ROM Recursos Didácticos.
33. 100 567,86 €
34. 319,07 €; P = 250 · 1,05t
35. 11 993,90 €; P = 20 000 · 0,88t; t ≈ 5,4 años
36. a) V = 12 494,7 m3
b) V = 10 250 · (1,02)t
37. Al cabo de tres años tendremos: C = 1 259 712 €
Al cabo de x años tendremos:
C = 1 000 000 · (1,08) x €
5
2
c) x = 25
d) x = ≈ 318,23
3
e) x = –
10
f ) x = 3; x = –3
48. a) x = ±3
c) x = –
1
3
b) El resultado es el mismo que el obtenido en
el apartado a).
b)
50. a) x = 2,32
c) x = ±2,33
1
1
1
1
51. a) x = 5
c) x = ±3,57
40. Ver CD-ROM Recursos Didácticos.
53. a) x = 1
c) x = 2; x = 0
e) x = 2; x = 1
160
b) x = 0
1
4
c) x =
49. x ≈ 6,2877
38. a) (–∞, –1) U (5, +∞) b) [–1, 5]
39. a)
2
2
b) x = –
32. k = 2; a = 0,8
Con el fin de atender a la diversidad del alumnado, en cada epígrafe dela unidad,
se proponen diversos ejercicios de refuerzo y de ampliación.
b) x = 4,77
d) x = –0,43
b) x = 14,21
d) x = 2,5
b) x = 0
d) x = 3
161
Se proporcionan las soluciones de todas las actividades que aparecen en el libro
del alumno. Su resolución completa se podrá encontrar en el CD-ROM de esta
propuesta didáctica.