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Algebra 2
Chapter 14 Trigonometric Graphs, Identities, and Equations
En el capítulo 14 descubriste cómo representar gráficamente las funciones seno, coseno y
tangente. También representaste gráficamente traslaciones y reflexiones de gráficas de
seno, coseno y tangente. Luego usaste identidades trigonométricas para simplificar
expresiones trigonométricas. Resolviste ecuaciones trigonométricas. Luego hiciste
modelos de datos con una función seno o coseno y también usaste la tecnología para
hacer modelos de datos. Continuaste evaluando funciones trigonométricas de la suma o
diferencia de dos ángulos. Por último, usaste las fórmulas del ángulo doble y del medio
ángulo.
Abre el texto en la página 884 para ver el Chapter Review.
Lección 14.1 Representar gráficamente funciones de seno, coseno y tangente
Términos importantes que debes saber: función periódica, ciclo, período, amplitud y
frecuencia.
El primer objetivo de la lección 14.1 es representar gráficamente las funciones seno y
coseno. Los ejemplos muestran la gráfica de y = 2 sen4x. Observa que la amplitud = 2 y
el período =
máximo
π
8
π
2
,2
. Los 5 valores de x clave son los interceptos (0, 0),
, y el mínimo
3π
,−2
8
π
4
,0
,
π
2
,0
, el
.
El segundo objetivo de la lección 14.1 es representar gráficamente funciones tangentes.
Los ejemplos muestran la gráfica de y = 1 tan 3x . Observa que el período = π , y que las
π
π
2
3
asíntotas son x = 6 y x =− 6 . Los valores de x clave son los interceptos (0, 0), las
asíntotas en /6 y – /6, y los puntos medios
π 1
,
12 2
y
π 1
− ,−
12 2
.
Ahora intenta hacer los ejercicios 1 a 4. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 832 a 834.
Lección 14.2 Traslaciones y reflexiones de gráficas trigonométricas
El primer objetivo de la lección 14.2 es representar gráficamente traslaciones y
reflexiones de las gráficas seno y coseno. Para representar y = 2 − 4cos2
con la gráfica de y = 4cos2x . Luego traslada la gráfica
unidades hacia arriba, y refléjala en la recta y = 2.
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π
4
x+
π
4
, comienza
unidades a la izquierda y 2
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Al representar gráficamente traslaciones de funciones, puedes hallar de utilidad
representar gráficamente la función básica primero y luego trasladar la gráfica.
El segundo objetivo de la lección 14.2 es representar gráficamente traslaciones y
reflexiones de gráficas tangentes.
Ahora intenta hacer los ejercicios 5 a 7. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 840 a 843.
Lección 14.3 Verificar identidades trigonométricas
Un término importante que debes saber: identidades trigonométricas.
El primer objetivo de la lección 14.3 es usar identidades trigonométricas para simplificar
expresiones trigonométricas y para verificar otras identidades. Por ejemplo, para verificar
la identidad sin x +cot xcos x = csc x , sigue los pasos en el ejemplo. Primero usa la
propiedad recíproca para sustituir cot x por
Usa la identidad pitagórica para obtener
cos x
sin x
1
.
sin x
. Simplifica para obtener
sin 2 x + cos2 x
.
sin x
Luego usa la identidad recíproca para
obtener csc x .
Recuerda, verificar una identidad no es lo mismo que resolver una ecuación. Al verificar
una identidad, no debes usar ninguna propiedad de igualdad.
El segundo objetivo de la lección 14.3 es usar identidades trigonométricas para resolver
problemas de la vida real, como por ejemplo comparar las velocidades a las cuales las
personas pedalean las máquinas de ejercicios.
Ahora intenta hacer los ejercicios 8 a 12. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 849 a 851.
Lección 14.4 Resolver ecuaciones trigonométricas
El objetivo de la lección 14.4 es resolver una ecuación trigonométrica. Puedes comprobar
tu respuesta a una ecuación trigonométrica de forma gráfica. Para resolver 3 tan2 x – 1 =
0, suma 1 a cada lado y luego divide cada lado por 3 para obtener tan2 x = 1/3. Saca las
raíces cuadradas de cada lado para obtener tan x =
± 3/3. De manera que hay dos soluciones, x = /6 y x = 5 /6.
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Para hallar la solución general a una ecuación trigonométrica, debes sumar los múltiplos
del período a las soluciones en un ciclo. En el ejemplo, la ecuación general suma n a las
soluciones, de manera que x = /6 + n y x = 5 /6 + n .
Recuerda que no debes dividir ambos lados de una ecuación por una expresión variable
como cos x.
Ahora intenta hacer los ejercicios 13 a 18. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 855 a 858.
Lección 14.5 Hacer modelos con funciones trigonométricas
El primer objetivo de la lección 14.5 es hacer modelos de datos con una función seno o
coseno. Quieres escribir un modelo de eso, entonces necesitas hallar los valores de k, b y
a. Observa que los puntos máximo y mínimo no son equidistantes del eje de x. Entonces,
para hallar el valor de k, suma los valores máximo y mínimo y divide por 2: k= 1. El
período es 2bπ , de manera que b = 2. Sigue los pasos del ejemplo para observar que a = –
3. El modelo es
y = 1 –3sen2x.
El segundo objetivo de la lección 14.5 es usar la tecnología para escribir un modelo
trigonométrico.
Ahora intenta hacer los ejercicios 19 a 21. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 862 a 864.
Lección 14.6 Usar fórmulas de suma y de resta
El primer objetivo de la lección 14.6 es evaluar las funciones trigonométricas de la suma
o diferencia de dos ángulos. Para evaluar sen 105°, sustituye 105° por 45°+60° . Usa la
fórmula de la suma para el seno. Luego evalúa y simplifica.
El segundo objetivo de la lección 14.6 es usar las fórmulas de la suma y la diferencia para
resolver problemas de la vida real, como por ejemplo determinar cuando los pistones de
un motor de auto tienen la misma altura.
Ahora intenta hacer los ejercicios 22 a 26. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 869 a 871.
Lección 14.7 Usar fórmulas de ángulo doble y de medio ángulo
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El primer objetivo de la lección 14.7 es evaluar expresiones usando las fórmulas del
ángulo doble y del medio ángulo. Las fórmulas del ángulo doble y del medio ángulo
están enumeradas en la página 875. Por medio de estas fórmulas puedes hallar el valor
exacto de algunas expresiones trigonométricas, como se muestra en el ejemplo. Usa el
π
hecho de que /12 es la mitad de /6. Comienza por escribir tan 12
= tan
1 π
•
2 6
. Luego
π
usa la fórmula del medio ángulo para sustituir los valores y obtener tan 12
= 2−
3.
El segundo objetivo de la lección 14.7 es usar las fórmulas del ángulo doble y del medio
ángulo para resolver problemas de la vida real, como por ejemplo hallar el mach de un
avión.
Ahora intenta hacer los ejercicios 27 a 31. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 875 a 878.
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