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Algebra 2
Chapter 5 Quadratic Functions
En el capítulo 5 tuviste la oportunidad de estudiar los temas más importantes en relación
con las funciones cuadráticas. Primero representaste gráficamente ecuaciones cuadráticas
y descubriste las formas general, vértice e intercepto. Luego resolviste ecuaciones
cuadráticas. Usaste gráficas o regresión cuadrática para escribir modelos cuadráticos y
resolver problemas de la vida real. Aplicaste números complejos a la geometría fractal.
Representaste gráficamente desigualdades cuadráticas de dos variables. Por último,
usaste gráficas de funciones cuadráticas para resolver desigualdades cuadráticas de una
variable.
Abre el texto en la página 314 para ver el Chapter Review.
Lección 5.1 Representar gráficamente funciones cuadráticas
Términos importantes que debes saber: función cuadrática, parábola, vértice de una
parábola, eje de simetría; forma general, forma vértice y forma intercepto de una
función cuadrática.
El primer objetivo de la lección 5.1 es representar gráficamente funciones cuadráticas. El
segundo objetivo de la lección 5.1 es usar funciones cuadráticas para resolver problemas
de la vida real, como por ejemplo hallar temperaturas agradables.
Puedes representar gráficamente una función cuadrática dada en la forma general, forma
vértice o forma intercepto. Considera la función y = x2 + 2x – 3. Para hacer rápidamente
un bosquejo de su gráfica, primero halla el eje de simetría por medio de la ecuación
x = –b/2a. Vuelve a escribir la ecuación original en la forma vértice para hallar y marcar
el vértice (–1, –4). Luego usa la forma intercepto para hallar los interceptos de x: –3, 1.
Ahora intenta hacer los ejercicios 1 a 3. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 250 a 252.
Lecciones 5.2-5.3 Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización y
raíces cuadradas
Términos importantes que debes saber: binomio, trinomio, factorizar, monomio, ecuación
cuadrática, forma general de una ecuación cuadrática, propiedad del producto cero,
cero de una función, raíz cuadrada, signo radical, radicando, radical y racionalizar el
denominador.
El objetivo de la lección 5.2 es hallar los ceros de funciones cuadráticas.
Puedes factorizar o usar raíces cuadradas para resolver ecuaciones cuadráticas. El primer
ejemplo muestra cómo resolver ecuaciones por medio de la factorización. Factoriza x2 –
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4x – 21 = 0 para obtener (x + 3)(x – 7) = 0. Eso significa que (x + 3) = 0 ó (x – 7) = 0, de
manera que x = –3 ó x = 7. En el segundo ejemplo, una vez que hayas aislado x2, resuelve
x al hallar las raíces cuadradas de 18.
Ahora intenta hacer los ejercicios 4 a 12. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 256 a 259 y las páginas 264 a 266.
Lección 5.4 Números complejos
Términos importantes que debes saber: unidad imaginaria i, número complejo, forma
general de un número complejo, número imaginario, número imaginario puro, plano
complejo, números complejos conjugados y valor absoluto de un número complejo.
El primer objetivo de la lección 5.4 es resolver ecuaciones cuadráticas con soluciones
complejas y realizar operaciones con números complejos. En el ejemplo de división,
observa que multiplicas el numerador y el denominador por el número complejo
conjugado del denominador. También viste cómo hallar el valor absoluto de números
complejos. El valor absoluto de 1 + 8i es
12 + 82, ó 65.
El segundo objetivo de la lección 5.4 es aplicar números complejos a la geometría fractal.
En ese tipo de situaciones, el plano complejo tiene un eje horizontal llamado el eje real y
un eje vertical llamado el eje imaginario.
Ahora intenta hacer los ejercicios 13 a 17. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 272 a 276.
Lección 5.5 Completar el cuadrado
Un término importante que debes saber: completar el cuadrado.
El primer objetivo de la lección 5.5 es resolver ecuaciones cuadráticas al completar el
cuadrado. El segundo objetivo de la lección 5.5 es completar el cuadrado para escribir
ecuaciones cuadráticas en forma vértice.
Considera la ecuación x2 + 6x + 13 = 0. Resta 13 de ambos lados para obtener x2 + 6x =
–13. Ahora, piensa qué número necesitas sumar a x2 + 6 de manera que el trinomio que se
produzca sea un trinomio perfecto. Suma 9 a ambos lados de la ecuación para obtener x2
+ 6x + 9 = –13 + 9 ó (x + 3)2 = –4. Toma la raíz cuadrada de cada uno de los lados y
resuelve x para obtener x = −3± 2i .
Recuerda que si el coeficiente de x2 en una ecuación cuadrática no es 1, divide cada uno
de los lados de la ecuación por este coeficiente antes de completar el cuadrado.
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Ahora intenta hacer los ejercicios 18 a 23. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 282 a 285.
Lección 5.6 Fórmula cuadrática y el discriminante
Términos importantes que debes saber: fórmula cuadrática y discriminante.
El primer objetivo de la lección 5.6 es resolver ecuaciones cuadráticas por medio de la
fórmula cuadrática. El segundo objetivo de la lección 5.6 es usar la fórmula cuadrática en
situaciones de la vida real, como por ejemplo revolotear un bastón.
Las soluciones de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 son:
x = –b ± b2 – 4ac/2a. Considera la ecuación 3x2 – 5x = –1. Vuelve a escribir la ecuación
en la forma general: 3x2 – 5x + 1 = 0. Luego aplica la fórmula cuadrática para obtener
2
−b ± b 2 − 4ac 5 ± (−5) − 4(3)(1) 5 ± 13
=
=
.
x=
2a
2(3)
6
Recuerda que antes de aplicar la fórmula cuadrática a una ecuación cuadrática, debes
escribir la ecuación en la forma general
ax2 + bx + c = 0.
Ahora intenta hacer los ejercicios 24 a 26. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 291 a 294.
Lección 5.7 Representar gráficamente desigualdades cuadráticas
Un término importante que debes saber: desigualdad cuadrática.
El primer objetivo de la lección 5.7 es representar gráficamente desigualdades de dos
variables. Para representar gráficamente
y < –x2 + 4, sigue estos pasos: Dibuja la parábola quebrada con la ecuación y = –x2 + 4.
Prueba un punto, como por ejemplo (0, 0) dentro de la parábola y comprueba si el punto
es una solución de la desigualdad. Si el punto es una solución, como lo es en el ejemplo,
sombrea la región dentro de la parábola.
Construye la parábola con línea quebrada para las desigualdades con < ó > y en línea
continua para las desigualdades con ó .
El segundo objetivo de la lección 5.7 es resolver desigualdades cuadráticas de una
variable.
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Ahora intenta hacer los ejercicios 27 a 32. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 299 a 302.
Lección 5.8 Hacer modelos con funciones cuadráticas
Un término importante que debes saber: modelo cuadrático que produce el mejor ajuste.
El primer objetivo de la lección 5.8 es escribir funciones cuadráticas dadas las
características de sus gráficas. Para escribir una función cuadrática de una parábola con el
vértice (1, –3) y el punto (0, –1), usa la forma vértice de la función cuadrática: y = a(x –
h)2 + k. Substituye h por 1 y k por –3, para obtener y = a(x – 1)2 – 3. Luego resuelve a,
que es 2. La función es y = 2(x – 1)2 – 3.
El segundo objetivo de la lección 5.8 es usar la tecnología para realizar una regresión
cuadrática y así producir un modelo cuadrático exacto ya que usa todos los datos.
Ahora intenta hacer los ejercicios 33 a 35. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos
resueltos de las páginas 306 a 308.
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