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MATERIAL DOCENTE MATEMATICAS 8°BASICO: ESTRATEGIAS Y GUIAS DE TRABAJO
Especificaciones
I.
II.
III.
Estrategia: se destacan en cada paso
Contenidos: Repaso contenidos del primer Semestre.
Esta estrategia se complementa con: Guías de aprendizaje, Manual de Metodología Activas
(entregado a jefes de UTP 27-06-2012) y Material disponible biblioteca virtual.
Aprendizaje esperado: Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros.
Recuerda que el conjunto de los números enteros lo simbolizamos con la letra ℤ y, dado por extensión es lo
siguiente:
ℤ = {…-5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Podemos decir que este conjunto lo forman los números naturales, el cero y los “naturales negativos”
El valor absoluto de un número es su valor positivo; el número se escribe entre dos segmentos verticales y
paralelos. Este concepto nos ayudará en las operaciones entre números enteros.
Ejemplos: 1) |⁺5| = 5
2) |-7| = ⁺7
3) |0| = 0
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Y SUS PROPIEDADES
El producto entre dos números enteros a y b resulta un número c, que también es un número entero.
a•b = c ; a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, c ∈ ℤ
PROPIEDADES
1) Clausura o cierre: Al multiplicar dos números enteros, el resultado es también un número entero.
a•b = c ; a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, c ∈ ℤ
2) Asociatividad: Al agrupar de distinta forma una multiplicación de tres o más números enteros, el resultado
se mantiene:
(a•b)•c = a•(b•c)
3) Elemento neutro: El número 1 es el neutro multiplicativo ya que al ser multiplicado con cualquier número
entero, el producto es ese número entero.
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a•1 = 1•a = a
4) Conmutatividad: Al cambiar de orden los factores, el producto es el mismo.
a•b = b•a
5) Distributividad: Al multiplicar el primer factor con el resultado de la suma del segundo factor, es lo mismo
que sumar los productos parciales.
a•(b + c) = a•b + a•c
Observación: La multiplicación de números enteros no tiene la propiedad del inverso multiplicativo. Ejemplo,
¿qué número entero multiplicado por 5 resulta 1?; no existe.
Para deducir el signo resultante del producto entre dos números enteros, recurriremos a algunas de las
propiedades que tiene esta operación en ℤ.
MULTIPLICACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS POSITIVOS
Ejemplo: 3•4
Interpretamos que es “tres veces el sumando cuatro”
Luego 3•4 = 4 + 4 + 4 = 12
Entonces se multiplican los valores absolutos de los números y al producto se le antepone el signo
positivo.
MULTIPLICACIÓN ENTRE UN NÚMERO POSITIVO Y UN NÚMERO NEGATIVO
Ejemplo: 3•-4
Interpretamos que es “tres veces el sumando menos cuatro”
Luego 3•-4 = -4 + -4 + -4 = -12
Entonces se multiplican los valores absolutos de los números y al producto se le antepone el signo
negativo.
MULTIPLICACIÓN ENTRE UN NÚMERO NEGATIVO Y UN NÚMERO POSITIVO
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Ejemplo: -3•4
Aplicamos la propiedad conmutativa y obtenemos el caso de la multiplicación de un número
positivo y un número negativo:
-3•4 = 4•-3 = -3 + -3 + -3 + -3 = -12
Luego -3•4 = -12
Entonces se multiplican los valores absolutos de los números y al producto se le antepone el signo
negativo.
MULTIPLICACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
Ejemplo: -3•-4
Consideremos la siguiente igualdad y hacemos algunas transformaciones para obtener la
conclusión de este producto:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Todo número multiplicado por cero es cero.
-3•0 = 0
Reemplazando cero por 4 + -4.
-3•(4 + -4) = 0
Aplicando propiedad distributiva.
-3•4 + -3•-4 = 0
Realizando la multiplicación -3•4.
-12 + -3•-4 = 0
La suma de -12 con -3•-4 debe ser cero por lo tanto -3•-4 tiene que ser 12.
Conclusión.
-3•-4 = 12
Luego -3•-4 = 12
Entonces se multiplican los valores absolutos de los números y al producto se le antepone el signo
positivo.
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Y SUS PROPIEDADES
La división entre números enteros no siempre es posible. Para encontrar el resultado, si es que existe,
aplicamos la reversibilidad de la operación, es decir si por ejemplo queremos encontrar el resultado de -20
dividido en 5, buscamos un número entero que multiplicado con 5 resulte -20 y ese número es -4:
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-20:5 = -4 ya que -4•5 = -20
La división no tiene propiedades del tipo que tiene la multiplicación.
La regla de los signos para dividir es la misma que para multiplicar.
EJERCICIOS
1) Realiza las siguientes operaciones combinadas
a) -8•9
b) 14•-12
f) -2•-4 – -6 + 15:-5
c) -40•-20
d) -3 + -8•-6
g) 20 – 6•-8 + -30:5
e) -15•(50 – 24)•10
h) -46:-23 + -6 – -8 – 12:-3
2) ¿Por qué número reemplazas la x para que se cumpla la igualdad y cuál es el nombre de la propiedad
involucrada?
6•(-8 + x) = 6•-8 + 6•-9
Aprendizaje esperado: Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias de base entera y exponente
natural.
Un alumno de 8° se propone prepararse para una prueba de matemática que tiene la próxima semana. Su
plan consiste en estudiar el día lunes durante 5 minutos; el martes quintuplicará el tiempo empleado el lunes;
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el miércoles también quintuplicará el tiempo destinado al estudio en el día martes y así sucesivamente hasta
el domingo.
1) ¿Cuántos minutos debería estudiar el domingo?
2) ¿Cómo se puede expresar esa cantidad en forma abreviada?
3) ¿Es factible su plan?
Solución:
Día de la semana
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Tiempo invertido en minutos
5
5•5
5•5•5
5•5•5•5
5•5•5•5•5
5•5•5•5•5•5
5•5•5•5•5•5•5
1) El domingo debe estudiar 5•5•5•5•5•5•5 minutos.
2) El número 5 se repite 7 veces; se puede escribir en forma de potencia de la siguiente manera:
5•5•5•5•5•5•5 = 57 ; 5 es la base de la potencia y 7 el exponente
3) Realizamos el producto: 5•5•5•5•5•5•5 = 57 = 78.125 minutos.
Una hora tiene 60 minutos, luego al dividir 78.125 en 60 y aproximar, obtenemos 1.302 horas.
Claramente el plan del estudiante no es factible ya que el día tiene 24 horas.
Podemos extender la definición de potencias a los números enteros, por tanto hacemos algunos cálculos:
1) 34 = 3•3•3•3 = 81
2) (-4)3 = (-4)•(-4)•(-4) = 16•(-4) = -64
3) (-4)6 = (-4)•(-4)•(-4)•(-4)•(-4)•(-4) =16•16•16 = 4.096
4) (-1)10 = (-1)•(-1)•(-1)•(-1)•(-1)•(-1)•(-1)•(-1)•(-1)•(-1) = 1
5) (-5)3 = (-5)•(-5)•(-5) = -125
 ¿Qué conclusión puedes obtener al observar las potencias de base negativa y exponente número par?
 ¿Qué conclusión puedes obtener al observar las potencias de base negativa y exponente número
impar?
 Recuerda que la potencia que no tiene exponente, se concluye que es 1.
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a0 = 1 para cualquier número a entero excepto el 0.
EJERCICIOS
1) Calcula el valor las siguientes expresiones numéricas
a) 63
b) (-3)7
c) 22 + 23 – 24 + (-2)5
d) 3•(-4)3 – 4•(-3)4
e) (-1)258
2) Escribe en forma de potencia
a) (-8)•(-8)•(-8)•(-8)•(-8)•(-8)
b) (-3)•(-3)•(-3)•(-3) + (-9)•(-9)•(-9)•(-9)•(-9)•(-9)
c) 37•37•37•37•37•37•37•37•37 d) 42 + 42 + 42+ 42
Aprendizaje esperado: Determinar propiedades de multiplicación y división de potencias de base entera y
exponente natural.
El año pasado estudiaste las propiedades de la multiplicación y división de potencias de base y exponente
natural:
Multiplicación de potencias de igual base: am•an = am + n
Ejemplo 1: 32•34 =32 + 4 = 36
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Si calculamos cada lado de la igualdad obtenemos:
Lado izquierdo de la igualdad: 32 = 9; 34 = 81, luego 32• 34 = 9•81 = 729
Lado derecho de la igualdad: 36 = 3•3•3•3•3•3 = 9•9•9 = 729
Resulta lo mismo en ambas partes, por tanto en este caso la propiedad se cumple
Esta propiedad la hacemos extensiva a potencias de base entera y exponente natural:
Entonces:
am•an = am + n para todo número a entero, m y n números naturales.
(-7)5•(-7)3 = (-7)5 + 3 = (-7)8
Ejemplo 2:
División de potencias de igual base: am:an = am – n
Ejemplo 1: 56:54 = 56 – 4 = 52
Si calculamos cada lado de la igualdad obtenemos:
Lado izquierdo de la igualdad: 56 = 15.625; 54 = 625, luego 56:54 = 15.625:625 = 25
Lado derecho de la igualdad: 52 = 25
Resulta lo mismo en ambas partes, por tanto en este caso la propiedad se cumple.
Esta propiedad la hacemos extensiva a potencias de base entera y exponente natural:
Entonces:
am:an = am – n para todo número a entero, m y n números naturales.
Ejemplo 2:
(-8)6:(-8)3 = (-8)6 – 3 = (-8)3
EJERCICIOS
1) Sin calcular, aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias de igual base para
reducir las expresiones siguientes.
a) (-11)7:(-11)3
b) (-4)17• (-4)8
c) (-3)10• 36
d) (-7)9•(-7)3•(-7)2•(-7)8
2) Aplica propiedades y luego calcula el valor de la expresión.
a) (53•57):(54•52) b) (24•211):(-2)13 c) [(-8)9:(-8)5]:(-8)3
Aprendizaje esperado: Verificar qué propiedades de potencias de base entera y exponente natural se
cumplen en potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural.
EJERCICIOS
Probar si la propiedad de multiplicar potencias de igual base se verifica en los siguientes casos:
Para ello debes calcular cada lado de la igualdad y luego comparar los resultados obtenidos.
1) ( ) •( ) = ( )
3) (0,6)2•(0,6)4 = (0,6)6
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2) (
) •(
) =(
)
4) (-0,4)•(-0,4)3 = (-0,4)4
EJERCICIOS
Probar si la propiedad de dividir potencias de igual base se verifica en los siguientes casos:
Para ello debes calcular cada lado de la igualdad y luego comparar los resultados obtenidos.
1) ( ) :( ) = ( )
2) (
) :(
3) (0,3)5: (0,6)2 = (0,6)3
) =(
)
4) (-0,25)4 : (-0,25)2 = (-0,25)2
EJERCICIOS
En los siguientes ejercicios, comprobar el cumplimiento de la propiedad de la potencia de una potencia en
números fraccionarios y números decimales.
(( ) ) = ( )
Para ello debes calcular cada lado de la igualdad y luego comparar los resultados obtenidos.
3) ((
1) (( ) ) = ( )
2) ((
) ) =(
) ) = (1,2)6
4) ((
)
) ) = (-0,5)4
En los siguientes ejercicios, comprobar el cumplimiento de la propiedad del producto y de la división de
potencias de distinta base e igual exponente.
•
1)
( ) •( ) =(
2) (
3)
) •(
•
= (
)
) =(
)
= (
)
:
5) ( ) : ( ) = (
)
6) (
) :(
7)
:
= (
)
)
) =(
= (
)
)
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4)
(0,12)4• (2,5)4 = (0,12•2,5)4
8) (-2,1)4: (-0,3)4 = (-2,1:-0,3)4
Aprendizaje esperado: Resolver problemas que involucren las operaciones con números enteros y las
potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.
EJERCICIOS
1)
2)
Utilizando potencias, escribe la expresión correspondiente al volumen de un cubo cuya arista mide 0,5
cm y luego encuentra su valor.
Para todo número entero mayor que 1, su cuadrado se puede expresar como la suma de números
impares que sean consecutivos.
Ejemplo:
52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
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Plantea 3 cuadrados de números enteros mayores que 1, exprésalos como la suma de impares
consecutivos y luego comprueba la igualdad.
3)
4)
El largo de un terreno es de 106 m y el ancho es de 104 m. Calcula su área dejando el resultado expresado
en forma de potencias.
En un cuadrado de lado 10 cm se unen los puntos medios de sus lados formando un nuevo cuadrilátero.
En el nuevo cuadrilátero se vuelve a unir los puntos medios y así sucesivamente.
 En cada etapa, ¿qué tipo de cuadrilátero se forma?
 Encuentra una expresión que permita calcular el área de cualquier cuadrilátero, por ejemplo el sexto
que se forma.
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