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TEMA 0 -REPASO INICIAL
1.- OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES.
Realiza
las siguientes operaciones:
680431
+257942
638536
-
574906
397472
8 5 6 7
704
x 486
2.- OPERACIONES COMBINADAS
Efectúa
las siguientes operaciones:
(3 3 3 – 3 3 0 ) + 15 x (12 + 6) =
(10 x 5 + 12 : 4 ) - ( 12 x 4 + 10 : 5 ) =
635 – 72 x 8 + 630 : 3 + 75 =
2
3.- OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES.
Realiza
a)
c)
las siguientes operaciones:
2 4, 3 5 + 2 6, 8 =
1 ,7 3 2 5 x 2, 3 4 =
b)
2.2 5 6 – 4 5 1, 2 4 =
d) 7 5 1, 6 3 8 : 9 2 4 =
Para calcular una serie de suma y restas sin paréntesis, se hacen las operaciones en el
orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
25+ 33 – 12 –22 + 18 =
12 –22 + 18=
58 46
- 22 + 18 =
24
+ 18 =
42
4.- Calcula:
a) 31-20 + 15 – 4
b) 12 + 7 – 8 –5 + 14
c) 17 – 9 –5 + 24
d) 45+ 7 – 54 – 4 + 25
e) 59 +45 –76 –12 + 51
f) 123 + 12 –17 –23 – 9 + 12
3
Para calcular una serie de sumas y restas con paréntesis, se hacen primero las
operaciones que hay dentro del paréntesis.
(95 – 32) – (39 – 16) – 21 =
63 - 23
- 21 =
40
- 21 = 19
5.- Efectúa las siguientes operaciones con paréntesis.
a) (34 + 12 – 9 ) – ( 34 – 19)
b) 123- (67 + 34 –21)
c) (9 + 78 – 54 – 32) – (9 + 5)
d) (89 + 23 –76) –(41 +12 –32)
e) 345-(90-76-8 +43)
f)
567- (23 + 65 –12 –45)
6.- Realiza las sumas siguientes:
48.325 + 185.446 + 1.004=
494+ 5.842 + 6.728 + 942 + 6.564=
7.- Realiza las restas siguientes:
482.324 – 184.962 =
384.582 – 27.814
8.-Realiza las siguientes multiplicaciones:
12.345 x 600 =
5,94 x 12 =
9.- Calcula la siguiente suma de números decimales:
12,435 + 142, 36 + 8,7=
32,46 +7,182 + 146,8 =
4
10.- Calcula:
3,25 x 10 =
3,25 x 100=
3,25 x 1.000=
3,25 x 10.000=
4,1 x 10=
4,1 x 100=
4,1 x 1.000=
4,1 x 10.000=
11.-Primero escribe cada fracción decimal en forma de número decimal. Después
resuelve.
3
10
3
100
21
21
x 100 = 0,3 x 100 =
x 10 =
10
x 100 =
x 100 =
100
12.- Calcula las siguientes multiplicaciones de números decimales.
32,43 x 2,4=
4,131 x 3,2 =
13.-Calcula:
(32,46 – 18,313) x 21,5
(4, 213 + 21, 36) x 4, 21
5
14.- Calcula
81, 2: 10 =
81, 2: 100=
81, 2: 1.000=
81, 2:10.000=
5, 3: 10=
5, 3: 100=
5, 3: 1.000=
5, 3: 10.000=
15.- Calcula.
(4,32 + 71, +18,1): 10
(321,2 – 216, 48) : 1.000
(3,71+81,6 + 18,214) : 100
(482;14 – 18;186) : 10.000
16: Divide.
5 8 5 : 1, 3
1 2 9 3 6 : 2, 3 1
7, 7 4 9 : 1, 2 3
5 4 9 0 : 1, 2 2
6
TEMA 1.-NÚMEROS ENTEROS
Para expresar cantidades positivas ( dinero que tenemos, temperaturas sobre 0)
utilizamos los números naturales con el signo más (+) delante .
Para expresar cantidades negativas (dinero que debemos, grados bajo cero) utilizamos
los números naturales con el signo menos (-) delante.
Al conjunto de los números naturales con los signos + o - delante se les llama números
enteros. Cuando tienen delante el signo (-) se dice que son negativos. Cuando tienen el
signo (+) delante se dice que son positivos.
En número 0 es también un número entero que no se considera ni positivo ni negativo.
Cuando un número no tiene delante ningún signo se considera positivo. Es lo mismo 3
que +3.
Por lo tanto es lo mismo hablar de números naturales que de números enteros positivos.
1.- Expresa mediante números positivos o negativos las siguientes situaciones
a) En un ascensor queremos bajar al 2º sótano.
b) La temperatura esta mañana era de 3º bajo cero
c) El año en que naciste
d) Este mes he cobrado 1.025 €
Para representar los números enteros los colocamos sobre una recta numérica
horizontal. Señalamos un punto cualquiera como el 0, situamos los números positivos a
la derecha del 0 y a partir del 0 vamos señalando el 1, el 2, el 3…
A la izquierda del 0 colocamos los números negativos: -1, -2, -3…..
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2.- Dibuja una recta semejante a la anterior y representa en ella los números:
-4, +2 , -3, +5, 0, -6
Comparación de números enteros
 Para hallar el valor absoluto de un número basta con suprimirle el signo.
 Si dos números enteros son positivos, será mayor el que tenga mayor valor
absoluto.
 Un número positivo es siempre mayor que cualquier número negativo.
 Entre dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
 Todo número positivo es mayor que 0
 Todo número negativo es menor que 0
3.- En Madrid la temperatura es de 3º y en Segovia de 5º bajo cero.¿En cuál de las dos
ciudades la temperatura es mayor?
7
4.- Un ascensor está en el piso 1º y otro en el sótano 2º ¿Cuál está más alto?
5.-Un termómetro marca una temperatura de 3º bajo 0 y otro marca 7º bajo 0.
a) ¿Dónde es menor la temperatura?
b) Expresa estas dos temperaturas mediante números enteros y halla el valor absoluto de
cada uno de ellos.
6.-Contesta.
a) Una temperatura de -4º (4º bajo cero) ¿será menor o mayor que 0º?
b) Una persona que tiene un saldo de -12 €, ¿tiene más o menos dinero que una persona
que tiene un saldo de 0 €?
7.- Ordena de menor a mayor estas temperaturas: +3º, -5º y 0º
8.- Escribe el signo< o > entre los siguientes pares de números:
a) 4 y 3
b)0 y 7
-9 y -5
0 y -1
9.-Escribe el orden en que deberían ir las siguientes fechas en un eje cronológico:
234 a.C., 34 d. C., 435 a.C., 678 d.C.
10.-Ordena de mayor a menor los siguientes números: -5, -8, +9. 0,-1
11.-Escribe 5 números enteros que sean menores que -2 y mayores que -12
Suma de números enteros. Propiedades.
Cuando sumamos dos números positivos se realiza la suma como si se tratara de
dos números naturales.
(+83) + (+3) = +86
8
Imagina que obtengo dos veces seguidas 10 puntos negativos en una partida de cartas.
Si obtuve dos veces diez puntos negativos tendré que sumar 10 negativos más 10
negativos. El resultado es 20 negativos.
(-10) + (-10) = -20
Los números negativos se suman como si fueran positivos y luego se les pone el
signo – delante.
12.- expresa como suma de números negativos estas situaciones y resuélvelas:
a) Tengo un saldo de -12 € en el banco y me pasan a cobrar una factura de 35 €.
b) Pierdo en las carreras una apuesta de 50€ y otra de 12 €.
13.- Debo a Juan 5€ y a María 7€ ¿Cuánto dinero tengo?
Vamos a plantear como suma de números positivos y negativos los siguientes casos:
a) En una partida de cartas María tiene 23 puntos y obtiene -10
Si tiene 23 puntos, al obtener -10 se quedará con 13 puntos.
(+23) + (-10) = +13
b) Pedro tiene 3 puntos positivos y saca -10.
Si tiene 3 puntos, al sacar -10 perderá los 3 puntos y todavía le quedarán 7 negativos.
(+3) + (-10) = -7
14.- Efectúa las operaciones.
a) Tengo un saldo de 83€ y me cobran una factura de 57€.
b) Tengo un saldo de -42€ y me hacen un ingreso de 35€.
c) Tengo un saldo de -52 € y me hacen un ingreso de 128 €.
En la suma (+23) + (-10) = +13 el sumando +23 tiene mayor valor absoluto que el
sumando -10. Por tanto, en la práctica para sumar dos números enteros de distinto
signo se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto y se restan los valores
absolutos de ambos.
23-10 = 13
9
15.- Realiza las siguientes sumas de números enteros:
a) (+3) + (-2) =
b)(-3) + (-5) =
c) (-10) + (+2)
d) (+4) + (+4)=
16.- Un jugador gana en la primera partida 270€; en la segunda, pierde 150€; en la
tercera gana 85 € y, en la cuarta pierde 115 €. ¿Cu
ánto ha ganado en total?
17.-En Moscú a las seis de la mañana, el termómetro marcaba 17 º C bajo cero; después,
a las diez de la mañana, aumentó 8 º C ¿Qué temperatura marca ahora el termómetro?
Propiedades de la suma.
Propiedad conmutativa: en la suma de números enteros no importa el orden en
que se realice ésta.
a+b=b+a
18.- Comprueba:
(-2) + (+3) =
(-4) + (-2) =
(+3) + (-2) =
(-2) + (+4) =
Propiedad asociativa: Si tenemos que sumar dos o más números enteros podemos
sumar dos de ellos y sustituirlos por el resultado de la suma.
(a + b) + c = a + (b + c)
Vamos a realizar la siguiente suma:
(+ 5) + (-2) + (+3) + (-8)
Lo más fácil es agrupar los sumando colocando primero los positivos y luego los
negativos (propiedad conmutativa)
(+5) + (+3) + (-2) + (-8).
Luego sumamos por una parte los positivos y por otra los negativos.
(+8) + (-10) = -2
10
19.- Realiza las siguientes operaciones con números enteros, ordenando éstos
previamente:
a) (-9)+ (-1) + (+8) + (-2) =
b) (+5) + (+8) + (-7) + (+2) =
Escritura simplificada.
En la suma de los números enteros resulta muy pesado escribir tantos signos y
paréntesis.
Para simplificar la escritura se suelen suprimir:
a) Los paréntesis.
b) el signo + de las sumas.
c) El signo + del primer sumando cuando éste es positivo.
Así la suma (+5) + (-8) + (-2) = se escribe de esta forma:
5
5
-8
-2 =
-10
= -5
20.- Escribe las siguientes sumas en forma simplificada y efectúalas:
a) (+5) + (+3) + (-9) +(-6) =
b)(-8) + (-5) + (-6) +(+1) =
c) (-3) + (-5) +(+8) + (+1) =
21.- Expresa las siguientes situaciones mediante sumas en forma simplificada y
resuélvelas.
a) Una persona pierde 40€ diarios durante 3 días.
b) En unas carreras de caballos una persona hace tres apuestas. En la primera pierde 15
€, en la segunda gana 45 € y en la tercera pierde 5
0€. ¿Cuál es el resultado final de las
apuestas?
c) Una persona tiene en su cuenta corriente un saldo de -32 €. Hace un ingreso de 167 €,
pero le cobran una factura de 73 € y otra de 24 €. ¿Cuál es el saldo final de la cuenta?
11
Resta de números enteros.
(+4) – (+8) = -4 Esta resta la podemos expresar de forma simplificada así: 4-8=-4
Para suprimir un paréntesis que lleve delante el signo - hay que cambiar todos los
signos de dentro del paréntesis.
Si un paréntesis lleva delante el signo + se puede suprimir.
(-7) – (+5) = - 7 –5 = - 12
(+5) – (-3 ) = 5 +3 = 8
(-9) – (-5) = -9 + 5 = -4
(+ 8) + (-4) +8 –4 = 4
(+5) + (3) = +5 + 3 = 8
Has visto que cada operación que restamos un número negativo equivale a otra que
sumamos un número positivo – (-5) = +5.
Esto tiene lógica. Piensa en situaciones de la vida que equivalen a restas números
negativos:
 Si te quitan una deuda de 40 € es lo mismo que si t e regalan 40€.
( -40
=
+ 40)
22.- Tenía en mi cuenta corriente 250€, he ingresad o 200 € y me han cargado un recibo
de 70 €. ¿Cuánto me queda en el cuenta?
23.-Une con una flecha las operaciones de la izquierda y las de a derecha cuyo resultado
sea el mismo.
(+7) – (+4)
(-5) – (-8)
(-3) –(+2)
(-5) – (+1)
(+1) – (+8)
(+2) – (-3)
(-9) – (-4)
-3 -2
-9+4
+1 –8
-5–1
+7 – 4
-5 + 8
+2 +3
24.-Realiza las siguientes restas escribiéndolas de forma simplificada:
a) (-8) – (-9) =
b) (+7) – (+12) =
c) (+5) – (-4) =
d)(+8) – (- 1) =
e) (- 3) – (+11) =
e)(-5) – (- 2) =
12
25.- Realiza las siguientes operaciones:
-3 –( -2 + 5) =
Recuerda: Para suprimir un paréntesis que lleve delante el signo – hay que cambiar
todos los signos del interior del paréntesis.
5 – ( +2) –7) =
-9 – (-4 – 2) =
-4 + (-2 –1) =
-7 – (-2 + 3) + (-1 –4) =
-1 + (2 –3)-(1-4)=
Multiplicación de números enteros.
Perder 2 € se puede expresar como –2 €.
Si perdemos 2 € durante 5 días lo podemos expresar como: (-2) x 5
Es evidente que habremos perdido 10 €. Luego (-2) x 5 = -10
Cuando multiplicamos dos números positivos o dos negativos el resultado es positivo.
Cundo multiplicamos un número positivo por uno negativo el resultado es negativo.
+.+=+
+.-= -.+= -.- = +
26.- Completa el siguiente cuadro de multiplicación:
Tienes que ir multiplicando los números de la columna vertical por los de la fila
horizontal. Por ejemplo –15 es el producto de (+3) . (-5)
. -2 +3 -5 -1
-1
+3
-15
-2
¡Ojo!. No confundas la multiplicación con la suma.
-5-4 = -9 es una suma. El resultado de sumar dos números negativos es un número
negativo.
-5(-4) = +20 es una multiplicación. El resultado e multiplicar dos números negativos es
un número positivo.
Propiedad conmutativa: Si a y b son números enteros entonces, a . b = b . a
Comprueba si la multiplicación de números enteros es conmutativa en los siguientes
casos
a) (-5) . 8
b) (-2) .(-3)
13
Propiedad asociativa: Si tenemos que multiplicar tres o más números enteros se
pueden multiplicar dos de ellos y sustituirlos por el resultado.
( (-2) .(3) ) . (-5) = -6 .(-5) = +30
27.-Calcula:
a) (+5). (+8) =
b) (-5).(+2) =
c)(- 8) . (+ 4) =
d) (-3) . (-7) =
e) (-9 ) . ( -6 ) =
f) (+ 5) .(+3) =
g)(+9) .(-2) .(+4)=
h)(-3) .(+2) .(+6) =
i) (-5) .(+3) .(-4)
División de números enteros.
Para dividir dos números enteros lo que hay que hacer es dividir los valores absolutos y
poner delante del cociente un signo + o – según corresponda. La regla de los signos es
igual que en el caso de la multiplicación.
+
+
-
:
:
:
:
+
+
-
=
=
=
=
+
+
28.- Calcula:
a) (+60) : (+5) =
c) (+4) : (+2) =
b)(+12) : (+6) =
d)(+8) : (-4) =
f) (+4) : (-5) =
h) (-99) : (-11) =
J) (+66) : (-6) =
e) (-12 ) : (+4) =
g) (-77) : (-11) =
i) (+88) : (-11) =
29.-Realiza las siguientes operaciones:
a) ( + 4) + (+ 12) =
e)
(- 8 ) + ( + 10 ) =
b) ( + 12) – ( - 5 ) =
f)
(-7)–(+4)=
c) ( + 5) . (- 3) =
g)
(-2).(+7)+(+5).(+6)=
14
TEMA 2.- POTENCIAS
El producto de un número por sí mismo puede escribirse así: 6 x 6 = 62
62 se lee “seis elevado al cuadrado” o “seis elevado a dos”
1.-Completa esta tabla:
Producto
Se expresa
Se lee
12 x 12
162
37 elevado al
cuadrado
2.- Completa la tabla con los cuadrados de los 10 primeros números naturales:
12 22 32 42 52 62 72 82 92
102
36
3.- Expresa con el cuadrado de un número las siguientes situaciones:
a) Número de latas en 4 paquetes de 4 unidades
b) Maite hace 17 ramos de flores con 17 flores en cada ramo.
El cubo de un número es el resultado de multiplicar el número por sí mismo 3 veces.
4.- Completa la tabla con los cubos de los 10 primeros números naturales
13
23
33
43
53
63
73
83
93
216
103
5.- Señala cuáles de las siguientes expresiones se pueden escribir mediante el cubo de
un número:
a) 7+7+7
b)21x21x21
c)15-5-15
d)3x3
e) 86x86x86
f)4+4+4
g)12x12x12
h)6-6-6
Una potencia es una expresión abreviada que se utiliza para escribir una multiplicación
de factores iguales.
 La base es el factor que se repite.
 El exponente indica el número de veces que se repite.
15
6.- Completa la tabla:
Producto
Base
5x5x5x5
3
Exponente
Potencia
Se lee
7
1 elevado a 6
7.- Calcula el valor de estas potencias:
a) 25 b) 52
c)34
d)16
e)46
g) 102
h)113
f) 95
8.-. Une con una flecha las expresiones que indiquen el mismo resultado:
54
5+5+5+5
45
4x5
4x4x4x4x4
5x5x5x5
4+4+4+4+4
Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de un modo abreviado los
números muy grandes.
Potencias de base 10
Producto
Número
104
10x10x10x10
10.000
5
10
10x10x10x10x10
100.000
106
10x10x10x10x10x10
1.000.000
7
10
10x10x10x10x10x10x10
10.000.000
108
10x10x10x10x0x10x10x10 100.000.000
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el
exponente.
9.- Escribe el número que representa cada una de estas potencias de base 10.
102
1012
106
108
101
1010
16
10.- Expresa estos números en forma de potencia de base 10.
a) 100
c)100.000.000
b)100.000
d)1.000
e)1000.000.000
f)1.000.000
10.- Escribe en forma e potencia y resuelve.
3.3.3 =
4.4.4.4.4=
11.-Calcula:
23=
32 =
43=
25 =
106=
34=
52=
18 =
12.- Escribe en forma de potencia.
100=
10.000=
10.000.000=
13.- Escribe utilizando potencias de base 10, los siguientes números:
13.000.000=
340.000.000=
Potencias de base de un número negativo
¿Cómo se puede escribir esta multiplicación?: (-3) .(-3) .(-3) .(-3)
La base es –3 y el exponente es 4: (-3).(-3).(-3)-(-3) = (-3)4
Esta potencia vale 81;es positiva porque resulta de multiplicar un número par de
factores negativos.
¿Cómo se puede escribir (-5).(-5).(-5)?
La base es (-5) y el exponente es 3: (-5).(-5).(-5) = (-5)3
Esta potencia vale –125; es negativa porque resulta de multiplicar un número impar de
factores negativos.
Las potencias de base negativa y exponente par son positivas.
Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas.
Si la base es un número positivo, el resultado es siempre positivo
cualquiera que sea el exponente.
17
11.- Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 34 b)(-3)4
c)33
e)25 f)(-2)5
g)(-10)4
d)(-3)3
Operaciones con potencias
Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se deja la misma base se suman
los exponentes.
am . an = am+n
Ejemplo: 32 . 34 = 36
12.- Escribe como una sola potencia.
a)74 .75
b)53 .53
c)93.95 .94
d)42.43.44
13.- Halla el valor de estos productos de potencias.
a) 104 . 105
b) 103.102.101
14.- Calcula el número de baldosas de una habitación cuadrada, si cada fila contiene 14
baldosas.
Cociente de potencias de la misma base.
Para dividir dos potencias con la misma base, se deja la misma base y se restan los
exponentes.
am : an = am-n
35 : 32 = 3 3
Una potencia de exponente 1 es igual a la base . a1 = a
Una potencia de exponente 0 es igual a 1
a0 = a
15.- Calcula.
54 : 53
78 :75
18
54: 54
16.-Calcula.
a) (34 : 32) . 33
97 : 96
b) (56 . 52) : 57
Potencia de una potencia.
Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los
exponentes.
(am)n = am.n
Ejemplo: (43)2 = 46
La potencia de una multiplicación es igual a producto de las potencias de sus factores.
(a .b) n = an .bn
La potencia de una división es igual al cociente de las potencias del dividendo y del
divisor.
(a: b)n = an : bn
17.-Calcula.
3
a) ( 4 . 2)
3
b) ( 8: 2)
18.-Calcula.
(24)3
(63)5
(14.16)5
19.- Realiza las siguientes divisiones.
22 : 24 =
32 :36 =
53 : 57 =
75: 79 =
42 : 45 =
23 : 24 =
Cuadrados perfectos y raíces cuadradas exactas.
Los cuadrados perfe4ctos se obtienen elevando al cuadrado los números naturales.
Observa la tabla de los cuadrados perfectos comprendidos entre 1 y 100:
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Naturales
Cuadrados
perfectos
12= 1 22= 4 32= 9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100
19
Raíz cuadrada exacta
El suelo de una habitación cuadrada tiene exactamente 100 baldosas.¿Cuántas baldosa
tiene por lado?
Tenemos que pensar en un número que elevado al cuadrado dé 100.
El número es 10, porque 102 = 100.
Al número 10 se le llama raíz exacta de 100.
Se indica así:
100 = 10
Raíz cuadrada exacta de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al
número dado.
Obtener la raíz cuadrada exacta es la operación opuesta a la de elevar al cuadrado:
consiste en, dado un cuadrado perfecto, hallar el número del que proviene.
Cuadrados 1
perfectos
Raíz
1
cuadrada
4
9
16
25
36
42
64
81
100 121 144 169
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
20.- Haz una tabla de cuadrados perfectos comprendidos entre 100 300
Números 10
Cuadrados 100
perfectos
11
12
13
14
15
16
17
20
TEMA 3.-PORCENTAJES
En una votación escolar Natalia ha recibido el 46% de los votos. Esto significa que le
han votado 46 de cada 100 alumnos. 46 % es un porcentaje o tanto por ciento. Se lee
“ 46 por ciento”.
Los porcentajes pueden expresarse como una fracción decimal de denominador 100.
Porcentaje Fracción
46%
46
100
Observa los resultados de los demás candidatos:
Lucas
Marta
Ramón
Fracción
27/100
19/100
8/100
Porcentaje
27%
19%
8%
Significado
Se lee
27 de cada 100
27 por ciento
19 de cada 100
19 por ciento
8 de cada 100
8 por ciento
1.- Completa esta tabla:
Porcentaje
78%
Se lee
Significa
45 por ciento
92 de cada 100
2.-Completa:
Porcentaje
29%
Fracción
decimal
53%
25%
3
100
95
100
3.- Juan ha anotado la gente que ha ido a comprar a su tienda a lo largo del año. De cada
100 personas que entran en la tienda, 30 no compran nada, 15 compran un solo artículo
el resto se lleva más de uno. Expresa estás cantidades en porcentajes.
 No compran nada :
 Compran un solo artículo:
 Compran más de un artículo:
Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número
que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100.
Ejemplo: Cuánto es el 3% de 1.200?
3% de 1.200 =(3 x 1.200) : 100 = 36
4.- Calcula los siguientes porcentajes:
21
5% de 500 =
19% de 8.000=
25% de 300 =
2% de 5.000 =
14% de 1.500 =
10% de 1.600 =
5.- El 26% de los libros de la biblioteca son novelas, el 18% son libros de poesía, el
10% son libros de historia, el 22% son libros de ciencias y el 24% son enciclopedias y
diccionarios.
En la biblioteca hay 1.250 libros.¿Cuántos libros hay de cada tipo?
6.-Indica el porcentaje expresado por las siguientes fracciones:
a) 2
b) 99
c) 15
100
100
100
e) 4
20
f) 2
5
g) 14
25
d) 1
100
h) 2
50
7.- Expresa en forma de fracción irreducible los siguientes porcentajes:
Ejercicio resuelto: 12% = 12 = 6 = 3
100 50 25
a) 5%
b) 2%
c) 8%
d) 4%
e) 75%
f) 50%
g) 45%
h) 40%
8.- En un curso hay 25 estudiantes, de los cuales el 60% son alumnas.¿Cuántas alumnas
hay en este curso?
9.- A la cantidad 5.400 aplica los siguientes porcentajes:
22
a) 5%
b) 12%
c) 15%
d)8%
e) 1%
f)10%
10.- Completa el precio final de los siguientes artículos en las rebajas:
Precio inicial
Botas
Mochila
Gorro
Descuento
20%
8%
25%
45€
50€
24€
Precio final
11.- Pilar y Enrique han comprado un ordenador que les ha costado 1.250 € .Les han
añadido 245 del 18 % de IVA, y han reclamado porque la factura es incorrecta. ¿Cuánto
tienen que pagar?
12.- Ramiro ha gastado el 60% de sus ahorros en una bicicleta de montaña. Tenía 270€.
¿Cuánto dinero se ha gastado? ¿Cuánto dinero le queda?
13.- Une con flechas cada fracción con el porcentaje equivalente:
5/100
2/10
20%
50%
60%
75%
25%
40%
5%
25/50
1/4
2/5
3/4
18/30
14 Completa la tabla:
400
300
25%
100
100
50
25
10
1000
1
23
15.- De cada 100 partes de un tipo de queso, 28 son de grasa. ¿Qué porcentaje de grasa
tiene este tipo de queso?
16-El 2,06 % de la superficie de España corresponde a Navarra.¿Cuál es la superficie de
Navarra si la de España es 504.782 km2?
17.- Beatriz le pusieron una multa de 90 € por no llevar el casco en la moto. Como la
pagó fuera de plazo le pusieron un recargo del 15%. ¿Cuánto pagó por la multa?
18.- Aproximadamente el 35% de un yogur de fruta de 125 g corresponde a la fruta.
¿Cuántos gramos de fruta contiene un yogur?
¿Cuántos yogures serían necesarios para que entre todos contengan 1 kg de fruta?
19.- Calcula mentalmente los porcentajes siguientes:
a) 10% de
200
650
1000
b)15% de
200
500
4500
c)30% de
50
700
1200
24
TEMA 4.-PROPORCIONALIDAD
Para hacer 3 tortillas gastamos 12 huevos. ¿Cuántos huevos serán necesarios para hacer
9 tortillas?
Necesitaremos el triple de huevos, es decir 12 x 3 = 36 huevos.
Decimos que entre el número de huevos y el número de tortillas hay proporcionalidad.
Otros ejemplos de proporcionalidad:
 1 m de tela vale 11€. 4 m de tela valen 44 €
 1 saco de patatas pesa 20 kg. 3 sacos de patatas pesan 60 kg.
1.- Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
-Al comprar el doble de entradas en el cine nos cobran el doble. V / F
-Cuando tengas el doble de edad tendrás el doble de estatura. V / F
-Si cocinas para el triple de personas necesitas el triple de ingredientes. V / F
Observa la tabla de equivalencias:
Precio entrada: 6€ Entradas 1
2
Precio
6€ 12€
3
4
5
6
7
8
9
18€ 24€ 30€ 36€ 42€ 48€ 54€
¿Cuánto cuestan 7 entradas? 42 €
Con 48 € podemos comprar8 entradas.
Las dos series de números ( nº de entradas y precio) son proporcionales, porque si
aumenta una , aumenta la otra siempre en la misma proporción.
Dos series de números son proporcionales si podemos pasar de una serie a la otra
multiplicando o dividiendo por el mismo número.
2.- Elabora la tabla de equivalencias con los siguientes datos:
Una máquina fabrica 40 botones en dos segundos. ¿Cuántos botones fabricará en 8
segundos? ¿Cuánto tiempo necesita para fabricar 320 botones?
Segundos 1
Botones
2
40
3
4
8
9
10
12
16
3.- Abel necesita 24 fresas para preparar 3 postres.¿Cuántas fresas necesita si organiza
una cena para 5 personas?
Fresas
Personas
1
2
3
24
4
5
Relación de proporcionalidad
Dos magnitudes son directamente proporcionales si...
25
 al aumentar una (doble, triple....) la otra aumenta de la misma manera(doble,
triple...)
 al disminuir una (mitad, tercio....) disminuye la otra.
4.- Vamos a completar la siguiente relación de proporcionalidad:
Nº de
1
2
3
4
8
chocolatinas
25
50
75
Peso en
150
250
gramos
Una chocolatina pesa 25 g, 2 chocolatinas pesan 50 g. ¿Cuánto pesan 4 chocolatinas?
¿Cuántas chocolatinas pesan 150 g? ¿ y 250g?
5.-¿Son magnitudes directamente proporcionales? Escribe SI o NO.
 Peso de las naranjas y el precio pagado.
 La edad de una chica y su altura
 Es espacio recorrido por un camión a 80 km/h y el tiempo que tarda en
recorrerlo.
 El tiempo que está abierto un grifo y el agua que echa.
6.- Cuatro cajas de caramelos pesan 2 kg. ¿Cuánto pesan...
 1 caja?
 2 cajas?
 3 cajas?
Cajas 1
2
3
4
peso
2
kg
 5 cajas?
7.- Completa la tabla.
He pagado 0,30 céntimos por 5 fotocopias.
5
Copias 1
2
3
4
0,30
céntimos 0,06
6
8
5
7
10
20
8.- Una caja de manzanas les dura a 2 personas 30 días. ¿Cuánto les duran a 4
personas?
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si...
 al aumentar una ( el doble, el triple...) disminuye la otra
26
 al disminuir una ( la mitad, la cuarta parte...) aumenta la otra.
Nº de
4
personas
Nº de días 15
2
1
3
6
30
60
20
10
Como vemos en la tabla de equivalencias anterior, a medida que aumenta el número
de personas, disminuye el nº de días que dura la caja de manzanas. Es lógico, pues
cuatro personas comen más que dos y las manzanas duran menos.
9.- Señala con una X las expresiones que sean inversamente proporcionales:
 Velocidad de un coche y el tiempo que tarda entre dos ciudades.
 La edad de una persona y su peso.
 Precio de naranjas y los kg que puedo comprar con 6 €.
 El número de operarios que descargan un camión y el tiempo que tardan.
10.- una cuadrilla de 5 agricultores tarda en recolectar un campo de tulipanes 12 horas.
Completa la tabla.
Nº
1
2
3
5
10
20
30
personas
Nº horas
12
11.- Si 4 litros de aceite cuestan 8 €:
a) ¿Cuánto cuesta 1 litro de aceite?
b) ¿Cuántos litros de aceite podremos compra con 18 €?
12.-Un camión recorre 70 km en una hora.¿Cuántos kilómetros recorrerá en 6 horas?
Problemas de proporcionalidad. Reducción a la unidad
Si 3 cajas pesan 1,5 kg, ¿cuánto pesan 5 cajas?
- 3 cajas
1,5 kg
Nº cajas
3
- 1 caja
¿........?
Peso
1,5
-5 cajas
¿ ........?
1
5
Este método consiste en calcular primero el valor de la unidad. Si 3 cajas pesan 1,5,
entonces 1 caja pesará 1,5 : 3 = 0,5 Kg. Por tanto 5 cajas pesarán 5 x 0,5 = 2,5 Kg.
27
13.- Un manantial arroja un caudal de 6 litros por minuto.¿Cuánto tardará en llenar un
recipiente de 20 litros?
Nº de litros
Tiempo( segundos)
6
60
1
20
Calcula primero cuánto tarda en arrojar 1 litro.
14.- Un grifo abierto durante 5 minutos hace que el nivel de un depósito suba 20
cm.¿Cuánto subirá el nivel si el grifo se abre durante 7 minutos?
Tiempo( minutos)
Nivel (cm)
5
20 cm
1
7
15.- 3 kg de naranjas cuestan ,60 €.¿Cuánto costará n 5 kg?
Kg
Coste ( €)
3
3,60
1
5
16.- 150 g de jamón pata negra cuestan 6€. ¿Cuánto cuestan 250 g?
Jamón ( g)
Coste ( €)
150
6
100
250
REGLA DE TRES SIMPLE.
La razón entre dos números es el cociente entre ellos.
Ejemplos: La razón entre 14 y 7 es 2 porque 14/7 = 2
La razón entre los números 6 y 8 es 6/8 = 0,75
Dos parejas de números forman una proporción si sus razones coinciden.
Ejemplo: Los números 3, 5, 6 y 10 forman una proporción, ya que: 3/5 = 6/10 = 0,6
28
1.- Halla el número que falta en las siguientes razones:
a) 6 = 2
b) 10 = 2,5
c) 8 = x
x
x
5
d) 7 = x
2
2.- Señala cual de las siguientes parejas de números forman una proporción con 2 y 5.
a) 6 y 14
b)8 y 20
c) 3 y 10
d) 6 y 15
3.-Calcula el valor de x en las siguientes proporciones:
a) 20
x
= 4
b) x
2
5
= 5
25
c) 23 =
x
3
9
d)
2 = 6
4
x
(Nota: en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de lo medios:
a/b = c/d
a.d = b.c)
La regla de tres simple directa sirve para resolver problemas en los que se relacionan
dos magnitudes directamente proporcionales, se conocen tres cantidades y piden hallar
la cuarta.
Ejemplo:
Un grifo tarda 90 segundos en llenar un cubo de 25 litros.¿Cuánto tardará el mismo
grifo en llenar un cubo de 15 litros?
Sabemos que :
25 litros se llenan en 90 segundos
Nos preguntan:
15 litros se llenarán en X segundos
25litros
15litros
25
15
= 90
x
90 s
x s
25x = 15 .90
x = 15.90 / 25 = 54
Luego el grifo tardará 54 segundos en llenar un cubo de 15 litros.
29
4.- Si una persona de 1,80 metros de altura proyecta una sombra de 2 metros, ¿cuánto
medirá un árbol cuya sombra a la misma hora mide 10 metros?
5.-Si dos docenas y media de huevos cuestan 3€, ¿cu ánto costarán 12 huevos?
6.-La rueda de un coche da 3.960 vueltas en 4 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 1
hora?
7.-Si 7 bolígrafos cuestan 2 €?, ¿cuántos bolígrafo s podré comprar con 10 €?
8.-Una persona camina 2 km en ½ hora. ¿cuánto tardará en caminar 16 kilómetros?
9.- Los embalses que abastecen Madrid se encontraban en diciembre al 22% de su
capacidad, lo que representaba 176 Km3.¿Cuál es la capacidad total?
10.-El 16% de los alumnos de un colegio estuvieron enfermos de gripe durante el curso
pasado.
a) Si hubo 14 enfermos con gripe,¿cuántos alumnos tiene el colegio?
b) Si el colegio tiene 1.350 alumnos ¿cuántos estuvieron con gripe?
30
11.-En 50 l de agua de mar hay 1.300 g de sal.¿cuántos litros de agua de mar contendrán
5.200 g de sal?
12.-Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100km. Si quedan en el depósito 6
litros,¿cuántos km podrá recorrer el coche?
13.-Una máquina fabrica 400 clavos en 5 horas.¿Cuánto tiempo necesitará para fabricar
1000 clavos?
14.- Con 200 kg de harina se elaboran 250 kg de pan
a) ¿Cuántos kg de harina se necesitan para hacer un pan de 2kg?
b) ¿Cuántos panecillos de 150 g se podrán hacer con 500 kg?
15.-Quince libros cuestan300€. ¿Cuánto costarán 7 l ibros?
16.- Un árbol de 5 m da una sombra de 7 m. ¿Qué sombra da un edificio de 15 m?
31
17.- Un alumno tarda en escribir 12 palabras 30 s. ¿Cuánto tiempo tardará en escribir,
como mínimo, una redacción de 150 palabras?
18.- Un trabajador gana 120€ en dos días.¿Cuánto ga nará en un mes?
19.-Tres cucharadas suponen 60 ml de sopa. Cuanto supondrán 40 cucharadas?
Magnitudes inversamente proporcionales
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18
hombres para realizar el mismo trabajo?
Hombres
Días
3
24
18
x
3 . 24 = 18 x; x = 3.24/ 18 = 4
20.- Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 l de agua por
minuto.
a)¿Cuánto tiempo tardará en llenarse la piscina si el grifo arrojara 360 l por minuto?
Litros
Tiempo
180
12
360
x
180 . 12 = 360 x
2160 = 360x
x = 2160: 360 = 6
b)El número de litros que arroja el grifo por minuto y el tiempo que tarda en llenarse la
piscina, ¿son magnitudes inversamente proporcionales?
32
21.-Un ganadero tiene pienso para alimentar 22 vacas durante 45 días.¿Cuántos días
podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?
22.- 10 hombres hacen una obra en 45 días.¿Cuántos hombres s necesitarán para hacerla
en 15 días? ¿ Y en 90 días?
23.- Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200l de capacidad
cada uno. Queremos envasar la misma cantidad empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser
la capacidad de estos toneles?
24.- Un rectángulo tiene 10 m de base y 7 m de altura. Otro rectángulo de igual área
tiene 5 m de altura.¿Cuál será la medida de su base?
25.-Un coche tarda 15 minutos en hacer cierto recorrido cuando va a 120Km/h. ¿Cuánto
tardará si va a 50 Km/h?
26.-Cinco asnos comen cierta cantidad de heno en 10 días. ¿Cuántos días tardarán en
comer esa misma cantidad de heno 25 asnos?
33
27.-Sesenta obreros hacen un puente en 10 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para
hacer ese puente en 3 días?
28.-Las ruedas delanteras y traseras de un tractor tienen 0,5 y 1,2 metros de diámetro,
respectivamente. Cuando las ruedas traseras dan 100 vueltas, ¿cuántas vueltas han dado
las delanteras?
34
TEMA 5.-LENGUAJE ALGEBRAICO
El Lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar
informaciones.
Ejemplos de cómo expresar frases del lenguaje natural en lenguaje algebraico:
Lenguaje natural
Un número aumentado en 2
Un número disminuido en 5
El cuadrado de un número
Diferencia de los cuadrados de dos números
La mitad de un número
Dos números naturales consecutivos
El doble de un número
La suma de dos números
El triple de un número aumentado en 5 unidades
Lenguaje
algebraico
a+2
c-5
x2
p2 – r2
t/2
n, n + 1
2. x
x+ y
3.b + 5
1.- Expresa en lenguaje algebraico:
Lenguaje natural
Lenguaje
algebraico
a)El número natural siguiente al número n
b)El número natural anterior al número n
c)El doble de un número
d)El tercio de un número
e)El cuadrado de un número menos el número
f)El perímetro de un cuadrado de lado x
Las fórmulas de geometría son expresiones algebraicas.
Área del rectángulo = b.a
Arreadle triángulo = b.a
2
Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los
signos de las operaciones aritméticas de la adición, sustracción, multiplicación, división
y potenciación.
Hay 2 partes e la expresión:
a)Coeficiente (factor numérico)
b)Parte literal (letras y sus exponentes)
5.a. b2 .c
Coeficiente = 5
Parte literal = a. b2 .c
35
Expresión
a+b
(a + b) 2
a2 + b2
2x2
(2x)2
abc
Como se lee
Suma de a y b
Cuadrado de la suma de a y b
Suma de los cuadrados de a y b
Doble del cuadrado de x
Cuadrado del doble de x
Producto de a, b y c
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir
las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la
expresión.
Ejemplo: El valor numérico de 5x – 6 para x = 2 es el siguiente:
5.2 – 6= 10- 6 = 4
Suma y resta de expresiones algebraicas
Para sumar y restar expresiones algebraicas es necesario que sus partes literales sean
iguales.
5ab3 + 2ab3 = 7ab3
7p2 q – 2 q p2 = 5 p2 q
3a2b + 2ab( no se puede reducir porque a2 no es lo mismo que a.
5b3 + 3 a3 ( no se puede reducir)
2.- Reduce las siguientes sumas y restas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a2 + 3 a2 = 4 a2
4 a3 – 2 a2 =
4x – 3x =
5x + x =
4 a- a =
4 a + b=
3.- Calcula el valor numérico de las expresiones:
a) 3x – 2 cuando x= 5
b) 5x – 2y cuando x = -2 e y =3
c) 4x2 – 7x si x = -1
36
UNA ECUACIÓN es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números
relacionados por operaciones aritméticas
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola
incógnita con exponente 1.
x + 8 = 18 ;
6 t – 2 = 22 ;
7–d=3d+1
La solución de una ecuación son los valores de la incógnita que verifican la igualdad.
Resolver una ecuación es encontrar su solución.
En una ecuación tenemos dos miembros , uno a cada lado del símbolo =
En la ecuación : 4x + 3 = 11 – 2x, los miembros son:
4x +3
y
11-2x.
4x y 3 son los términos del primer miembro. 11 y –2 son los términos del segundo
miembro.
Resolución de ecuaciones sencillas. Reglas de suma-resta y producto- división.
5x – 1 = 7 + 3x
Para resolverla los pasos a seguir son:
1) Se pasan a un lado o miembro de la igualdad( por ejemplo a la
izquierda) todos los términos que tengan incógnita y al otro lado o
miembro aquellos términos que no tienen incógnita. Aplicamos la regla
de la suma –resta que dice que al trasponer, es decir, al cambiar de lado
un término, si está sumando pasará restando, y al revés, si está restando
pasará sumando.
De forma que al pasar 3x al primer término y –1 , al segundo, se obtendrá la
ecuación equivalente:
5x –3x = 7 + 1
Fíjate cómo el 1 y 3x han cambiado de signo al cambiar de miembro.
2) Se efectúan las operaciones como aparecen. Esto se conoce como
reducción de términos semejantes .
2x = 8
3) Despejamos la incógnita aplicando la regla del producto-división que
dice que un coeficiente que multiplica la incógnita pasa al otro miembro
dividiendo, y al revés, si está dividiendo, pasa al otro lado multiplicando
de tal forma que, tras operar, se obtiene:
x = 8/2 = 4
37
Resolución de una ecuación paso a paso:
1º paso: quitar los paréntesis.
3(x-7) = 5(x-1) –4x
3x –21 = 5x - 5 – 4x
2º paso: operar 5x –4x.
3x –21 = x –5
3º paso: pasar las x al mismo miembro. En este caso la x del segundo miembro la
pasamos al primer miembro. Como está sumado, la pasamos restando.
3x-x –21 = -5
4º paso: pasamos –21 al segundo miembro. Como está restando lo pasamos sumando.
3x-x= 21 –5
5º paso: operamos 3x-x y 21 –5.
2x= 16
6º paso: Despeamos x .Aplicamos la regla del producto-división. Pasamos el 2 al
segundo miembro. Como está multiplicando, pasa dividiendo. Así:
x = 16:2
último paso: resolvemos.
x=8
4.-Resuelve . Entrenamiento en la resolución de ecuaciones
a) x + 3 = 4
b) x – 1 = 5
c) 3x = 4
d) x/7 = 2
e) 2x = 16
f) x/6 = 7
g) x + 2 = 7
h) x + 10 = 4
i) 8 = x + 2
j) 3 = 9+ x
k) x – 5 = 8
l) x + 4 = -3
m) x –2 = -7
n) –1 = x + 10
o) 2x = 6
p) 18 = 3x
q) –2x = 10
r) –15 = 5x
s) 3x + 5x = 16
t) 7x – 3x = 12
u) 6x –2x = -8
38
v) 12x – 8x = 15 –7
w) x – 2x = 7
x) 4x = 3x + 5
y) 5x –2x= x + 8
z) 2x + 7 = x + 14
aa) 4x-6 = 3-5x
bb) x + 3x +2 = 2x + 8
cc) 3x + 5 –x = 3 +x
dd) 5 –x =3x +2x –8
ee) 5x –4 –x = 2x –1
ff) 6x + 10 = 10x-10
gg) 8-(1 –2x) = 11
5.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4 + 8x +2 = 7x +9
b) 6- 7 = 2x –3 +x
c) 8- 6x –4= -7x + 6
d) 4x + 10 + 4x = 6x –3
39
Resolución de ecuaciones con paréntesis.
Al tener que resolver ecuaciones con paréntesis, lo primero es efectuar los paréntesis
teniendo en cuenta, en todo momento, la regla de los signos a la hora de multiplicar.
3 – 5 (2x –3 ) = 3 (3x + 2) –7
Los números que anteceden a los paréntesis están multiplicando a todo el contenido de
cada uno de ellos; por lo que al operar resulta:
3-10 x + 15 = 9x + 6 –7
De esta forma eliminados los paréntesis y efectuadas las operaciones indicadas queda
como una ecuación sencilla:
-10x-9x = 6-7-3-15
-19x=-19
x = -19/ -19 = 1
6.- Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:
a) 3x + 6(4x-2) =2x –7
b) 5-3(2x+1) = 3 –2 (4x –5 )
c)8- (2x-7 ) = 3 + (9 -3x)-x
d)5x –4(2x-3) –(x +3) = 2- (5-3x)
Resolución de ecuaciones con denominadores.
Cuando en una ecuación haya números fraccionarios, habrá que eliminar los
denominadores, para lo cual se calcula el mínimo común múltiplo(m.c.m.) de los
denominadores y se multiplica toda la ecuación por él. De esta forma se eliminan los
denominadores.
x - 1 –2x
5
2
= x - 3x –4
10
40
1.- Se multiplican ambos miembros por el m.c.m.. En este caso m.c.m.(5,2,10) = 10
1 –2x
x
10.
3x-4
5
= 10 .
x-
2
10
2.- Si aún aparecen paréntesis se eliminan y se simplifican los coeficientes que se
pueda:
2x – 5(1-2x) = 10x –(3x-4)
2x –5+10x = 10x –3x+4
3.- Se sitúan todos los términos que contienen la incógnita a un lado y los otros al
otro lado:
2x +10x-10x+3x= 5+4
4.- Se opera cada miembro para smplificarlo:
5x = 9
5.- Se despeja la incógnita y se calcula su valor:
x= 9:5
7.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x –4
3 –x
-
2
x
=
6
9
b) 2x
7-x
-2 = 9 –
3
c)
5
x –6
x
=
3
6
41
Resolución de problemas con ecuaciones.
¿Existen tres números consecutivos cuya suma sea 72?
Para solucionar un problema debemos seguir las siguientes fases:
1.-Comprensión del problema: el enunciado debe leerse varias veces hasta
entender bien cuáles son los datos, qué es lo que nos pregunta y como están
relacionadas las pistas con las incógnitas.
En el caso de este problema s habla de tres números consecutivos, por lo
que si se considera que uno de ellos es x, los otros dos pueden ser x+1 y x+2.
2.-Planteamiento: expresa el contenido del problema en términos algebraicos. Si se
hace correctamente enseguida se pone de manifiesto la relación entre los datos y la
incógnita. Los tres números han de sumar 72, luego:
x + (x+1) + x+2) = 72
3.-Resolución: calcular la solución al problema que suele coincidir con la
resolución de la ecuación planteada.
x + x + x = 72-1-2
3x = 69
x = 69: 3
x = 23
4.- Comprobación:
x= 23 ; x+1 = 24 ;
x+2 = 25
23 + 24 +25 = 72
8.- Si al dinero que tengo le añado 3€, tendré 7 €.¿Cuá
nto dinero tengo?
9.-Si al dinero que tengo le añado 8€, tendré 13 €. ¿Cuánto tengo?
10.-Si del dinero que tengo me quitan 6 € tendré 14€.¿Cuánto dinero tengo?
42
11.-Hace 4 años tenía 37.¿Cuántos tengo ahora?
12.-El doble de mi dinero es 64.¿Cuánto tengo?
13.-El quíntuplo de mi edad son 250 años.¿Cuántos tengo?
14.-El perímetro de un triángulo equilátero es 27 .¿Cuánto mide su lado?
15.-El lado de un hexágono regular mide 5 metros.¿Cuánto mide su perímetro?
16.-Enrique tiene el triple de dinero que Antonio. Juan tiene la mitad que Antonio.
Entre los tres tienen 180€.¿Cuánto tiene cada uno? ( si Antonio tiene X, entonces....)
17.-El perímetro de este rectángulo es 40 cm. Calcula su largo y su ancho.
x
4x
18.-Calcula un número sabiendo que ese número más su mitad suman 48.
43
19.- Un padre tiene 44 años y su hija 10.¿Cuántos años tienen que pasar para que la
edad del padre sea el triple de la de la hija?
20.-Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base es el triple qu su
altura y su perímetro es 88cm.
21.-En un corral hay conejos y gallinas. Si contamos las cabezas obtenemos 34 y si
contamos las patas, 96.¿Cuántos conejos y gallinas hay?
22.- Si al triple de un número se le resta 36 resulta 72.¿Cuál es el número?
23.Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54.¿Cuál es el número?
24.- La edad de un padre es el triple que la de su hijo.¿Qué edad tiene cada uno si
ambas edades suman 72 años?
44
TEMA 6.- GEOMETRÍA
TIPOS DE POLÍGONOS
Según el número de lados que tenga el polígono, éstos se clasifican en:
Triángulos
3 lados
Cuadriláteros
4 lados
Pentágonos
5 lados
Hexágonos
6 lados
Heptágonos
7 lados
Octágonos
8 lados
Eneágonos
9 lados
Decágonos
10 lados
LOS TRIÁNGULOS. CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
Un triángulo es cualquier polígono que tenga tres lados.
Los podemos clasificar en función de la longitud de sus lados o de la amplitud
(abertura) de sus ángulos.
Por sus lados
Equilátero
Tiene los tres lados iguales
Isósceles
Tiene dos lados iguales
Escaleno
Tiene los tres lados desiguales
Por sus ángulos
Acutángulo
Tiene los tres ángulos agudos
Rectángulo
Tiene un ángulo recto
Obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso
Respecto a estas dos clasificaciones, hay combinaciones que son posibles y otras
que no lo son. Ej.: un triángulo puede ser rectángulo e isósceles, pero no puede ser
rectángulo y equilátero.
BASE Y ALTURA DE TRIÁNGULOS
La base de un triángulo es cualquiera de sus lados.
La altura es el segmento perpendicular desde una base al vértice opuesto de la
misma.
CUADRILÁTEROS. CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados. Para clasificarlos vamos
a utilizar la longitud y posición relativa de sus lados y la relación que existe entre
sus
ángulos.
Cuadrado
Tiene sus cuatro lados iguales, paralelos dos a
dos y sus cuatro ángulos iguales.
Rectángulo
Es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos
dos a dos e iguales dos a dos. Los cuatro
ángulos son iguales.
Rombo
Es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados
iguales, paralelos dos a dos y sus ángulos
también iguales dos a dos.
Romboide
Es un cuadrilátero que tiene sus lados iguales
dos a dos y paralelos dos a dos. Sus ángulos
son iguales dos a dos.
Trapecio
Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos
y otros dos no paralelos. Hay tres clases de
trapecios: isósceles, rectángulo y escaleno.
Trapezoide
Es un cuadrilátero que no tiene ningún lado
paralelo a otro.
EL HEXÁGONO REGULAR. CONCEPTO Y ELEMENTOS
NOTABLES
Un hexágono es un polígono de seis lados. Si es regular, los seis lados son iguales y
los seis ángulos también serán iguales entre sí.
En los polígonos regulares, además de los lados, vértices, ángulos y diagonales,
también podemos estudiar otros elementos notables. Vamos a definir algunos de
estos elementos en la figura del hexágono regular, teniendo en cuenta que estas
definiciones son extensibles a cualquier clase de polígono regular.
La definición de lados, vértices, ángulos y diagonales es la que figura en la definición
de polígono.
Otros elementos notables son los siguientes:
Centro. Es un punto interior que equidista de todos los vértices del hexágono. En
la figura corresponde al punto “K”.
Radio. Es un segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Ej.: segmento KB.
Apotema. Es un segmento que une el centro del polígono con el punto medio de
cualquiera de sus lados. Ej.: segmento KH
PATRONES DE MEDIDA DE SUPERFICIE. EL METRO CUADRADO
El patrón para las medidas de superficie es el metro cuadrado (m2). Un metro
cuadrado es la superficie que ocupa un cuadrado cuyo lado mide 1 m. Al igual que
en las medidas de longitud, para hacer mediciones de superficies pequeñas o mucho
más grandes que el m2 necesitamos de submúltiplos y de múltiplos que nos faciliten
esta tarea.
La definición de los múltiplos y submúltiplos se hace de forma análoga a la del m2.
Por ejemplo, un cm2 se corresponde con un cuadrado cuyo lado mide un cm. En el
caso de múltiplos, un km2 sería un cuadrado cuyo lado mide un km de lado.
En la imagen hemos representado 1 m2, es decir, un cuadrado cuyo lado mide 1 m, y
hemos marcado en sus lados las divisiones en decímetros, por lo que en cada lado
hay 10 dm.
Cada una de las cuadrículas pequeñas tiene 1 dm de lado, es decir, cada cuadrícula
es 1 dm2.
En total, en 1 m2 hay 10 filas y cada una de ellas con 10 cuadrículas, por tanto, en 1
m2 tenemos 100 dm2.
La equivalencia entre ambos es: 1 m2 = 100 dm2.
Si en 1 m2 se dividen sus lados en cm., las cuadrículas resultantes serían cm2. Si
ahora contamos el número de cuadrículas, veríamos que tenemos 100 filas y en
cada una de ellas 100 cuadrículas, es decir: 100 x 100 = 10.000 cm2.
Por tanto la equivalencia sería: 1 m2 = 10.000 cm2
Si comparamos las diferentes medidas de longitud con las relaciones entre las
medidas de superficie, observamos que, mientras que en las de longitud cada unidad
es 10 veces la inmediatamente inferior, en el caso de las de superficie, cada unidad
es 100 veces la inmediatamente inferior
CÁLCULO DE PERÍMETROS Y ÁREAS