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UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO EN UTUADO
Departamento de Ciencias Naturales
PRONTUARIO
Título del Curso
:
Precálculo II
Codificación
:
MATE 3172
Horas de Contacto
:
Tres (3) horas semanales de conferencia
Créditos
:
Tres (3)
Prerequisito
:
Precálculo I (MATE 3171)
Descripción del Curso:
Funciones trigonométricas y sus inversas, funciones exponenciales y logarítmicas y sus
gráficas; números complejos; sucesiones; sistemas de ecuaciones.
Texto:
Algebra and Trigonometry
9th Edition
Michael Sullivan
Prentice Hall, 2012
Objetivos Generales:
Se espera que al finalizar el curso, los estudiantes estén capacitados para:
1.
usar con precisión el vocabulario y simbolismo matemático
2.
demostrar dominio de los siguientes conceptos básicos:
a.
funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
b.
trigonometría analítica
c.
números complejos
d.
sistemas de ecuaciones
e.
álgebra de matrices
f.
sucesiones
g.
inducción matemática
h.
Teorema del Binomio
1
PRONTUARIO MATE 3172
Objetivos Específicos:
Al finalizar el curso el estudiante estará preparado para:
1) dada una función exponencial:
a) trazar su gráfica usando transformaciones
b) hallar su dominio y su campo de valores (o alcance)
c) hallar su asíntota horizontal
d) hallar los interceptos en los ejes (si los tiene)
e) hallar su función inversa
2) dadas varias gráficas de funciones exponenciales y varias funciones
exponenciales, parear cada función con su gráfica.
3) dada una tabla de valores de una función, determinar si es o no una
función exponencial y si lo es, hallar la base de la función.
4) resolver ecuaciones exponenciales:
a) con la misma base
b) con bases distintas que se pueden igualar
c) con bases distintas que no se pueden igualar
d) de tipo cuadrático
5) cambiar de forma exponencial a forma logarítmica y viceversa
6) hallar el valor exacto de un logaritmo (sin usar una calculadora)
7) dada una función logarítmica:
a) trazar su gráfica usando transformaciones
b) hallar su dominio y su campo de valores
c) hallar su asíntota vertical
d) hallar los interceptos en los ejes (si los tiene)
e) hallar su función inversa
8) dadas varias gráficas de funciones logarítmicas y varias funciones
logarítmicas, parear cada función con su gráfica
9) resolver ecuaciones logarítmicas cambiándolas a la forma exponencial
o hallando el valor del logaritmo
10) resolver ecuaciones exponenciales cambiándolas a la forma
logarítmica
11) resolver problemas verbales en los cuales hay funciones
exponenciales y logarítmicas
a) evaluando valores en la función
b) resolviendo para la variable que está en el exponente
c) resolviendo una ecuación con logaritmos
2
PRONTUARIO MATE 3172
12) usando las propiedades de los logaritmos:
a) hallar el valor exacto de una expresión
b) escribir una expresión como una suma y/o resta de logaritmos y
expresar las potencias como factores
c) escribir una expresión que tiene sumas y/o restas de logaritmos
como una expresión con un solo logaritmo
d) expresar y como función de x en una igualdad donde hay
logarítmos
e) resolver ecuaciones
13) usar el teorema de cambio de base para:
a) cambiar la base de un logaritmo
b) simplificar una expresión y hallar su valor
14) cambiar un ángulo de grados a radianes y viceversa
15) cambiar un ángulo de grados, minutos y segundos a grados y
viceversa
16) usar la fórmula del largo del arco s, subtendido por un ángulo
central  (medido en radianes), en un círculo de radio r, para:
(s = r  )
a) hallar s, dados r y  (en radianes)
b) hallar s, dados r y  (en grados)
c) hallar r, dados s y  (en radianes)
d) hallar r, dados s y  (en grados)
e) hallar  (en radianes), dados s y r
f) hallar  (en grados), dados s y r
17) usar la fórmula del área (A) de un sector formado por un ángulo
central  ( medido en radianes) en un círculo de radio r, para:
1
(A = r 2  )
2
a) hallar A, dados r y  (en radianes)
b) hallar A, dados r y  (en grados)
c) hallar r, dados A y  (en radianes)
d) hallar r, dados A y  (en grados)
e) hallar  (en radianes), dados A y r
f) hallar  (en grados), dados A y r
18) dados dos lados de un triángulo rectángulo, hallar las seis funciones
trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos del triángulo
19) dado el valor de una o de dos funciones trigonométricas, hallar el
valor de las otras funciones
3
PRONTUARIO MATE 3172
20) usar el teorema de los ángulos complementarios y las cofunciones
para:
a) hallar el valor exacto de una expresión
b) junto a las identidades fundamentales, hallar las
funciones trigonométricas de un ángulo
21) usar las funciones trigonométricas (tanto en grados como en
radianes) de los ángulos especiales ( 30, 60, 45 ) y de los ángulos
cuadrantales ( 0, 90,180,270,360 ) , para hallar el valor exacto de una
expresión
22) hallar las seis funciones trigonométricas de un ángulo  en
posición estándar, si nos dan un punto (x,y)  (0,0) en su
lado terminal
23) hallar el cuadrante donde está  , si nos dan los signos de dos
funciones trigonométricas de 
24) hallar el ángulo de referencia para un ángulo  en posición estándar
25) hallar el valor exacto de las funciones trigonométricas de
ángulos mayores de 360 o 2  , usando ángulos coterminales
26) usar el ángulo de referencia y las funciones trigonométricas de los
ángulos especiales y cuadrantales para hallar el valor exacto de una
expresión
27) hallar las demás funciones trigonométricas de un ángulo  en
posición estándar si se conoce una función trigonométrica de  y el
cuadrante donde está  o si se conoce una función trigonométrica
de  y el signo de otra de sus funciones trigonométricas
28) dada una función definida por f ( x)  a sen(bx  c)  d ó f ( x)  a cos(bx  c)  d
a) evaluar la función f en valores dados.
b) determinar:
1) amplitud
2) período
3) desplazamientos
a) horizontal ( c  0 )
b) vertical ( d  0 )
4) dominio
5) campo de valores (recorrido o alcance)
6) los valores extremos de f (máximo, mínimo).
7) cambio de fase
29) dada la gráfica de una función seno o coseno, determinar
a) período
b) amplitud
4
PRONTUARIO MATE 3172
c) desplazamientos
d) la fórmula que define la función
30) dada la amplitud y el período de una función seno o coseno, hallar la ecuación que
define la función.
31) dada una función definida por: f ( x)  tan x , f ( x)  sec x , f ( x)  cot x ó
f ( x)  csc x
a) determinar:
1) período
2) dominio
3) campo de valores
4) asíntotas verticales
b) trazar la gráfica de f .
1) un ciclo
2) dos ciclos o más
32) dada una función trigonométrica inversa básica,
a) determinar:
1) el dominio de la función.
2) el campo de valores de la función.
b) evaluar la función para valores especiales.
33) evaluar expresiones que contengan composiciones entre funciones
trigonométricas y funciones trigonométricas inversas.
34) simplificar expresiones trigonométricas.
35) demostrar identidades trigonométricas.
36) aplicar el concepto par o impar de las funciones trigonométricas para:
a) evaluar expresiones.
b) verificar identidades.
37) utilizar las fórmulas trigonométricas de suma y diferencia de ángulos para:
a) evaluar expresiones.
b) simplificar expresiones.
c) verificar identidades.
38) utilizar las fórmulas trigonométricas del doble o la mitad de un ángulo para:
a) evaluar expresiones.
b) simplificar expresiones.
c) verificar identidades.
39) utilizar las fórmulas trigonométricas del doble y la mitad de un ángulo o de la
suma o diferencia de ángulos para evaluar expresiones que contengan funciones
trigonométricas inversas.
5
PRONTUARIO MATE 3172
40) hallar el conjunto general de soluciones o el conjunto de soluciones en un
intervalo en particular de una ecuación trigonométrica.
a) de tipo lineal que involucran funciones trigonométricas.
b) de tipo cuadrático que involucran funciones trigonométricas.
c) que se resuelvan usando identidades trigonométricas.
41) resolver triángulos rectángulos donde se conoce:
a) uno de los lados y uno de los ángulos agudos
b) dos lados
42) resolver problemas verbales usando triángulos rectángulos
43) utilizar la ley de los senos para resolver triángulos
a) dada la medida de un lado y de dos ángulos.
b) dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (caso ambiguo de la ley
de los senos), determinando si se forma un triángulo, dos ó ninguno.
44) utilizar la ley de los cosenos para resolver triángulos
a) dada la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b) dada la medida de los tres lados.
45) resolver problemas de aplicación utilizando la ley de senos o de cosenos.
46) hallar el área de un triángulo
a) dado dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b) dado las medidas de sus tres lados (Ley de Heron).
47) localizar puntos en coordenadas polares.
48) convertir coordenadas de forma polar a forma rectangular y viceversa.
49) convertir un número complejo de forma rectangular a forma polar y viceversa.
50) localizar puntos en el plano complejo.
51) hallar otras representaciones de un punto en coordenadas polares.
52) hallar productos y cocientes de números complejos en forma
polar y escribir la respuesta tanto en forma polar como rectangular.
53) hallar potencias enteras positivas de un número complejo utilizando el teorema
de De Moivre y escribir la respuesta tanto en forma polar como rectangular.
54) determinar las n raíces enésimas de un número complejo y escribir éstas
tanto en forma polar como rectangular.
55) localizar en el plano complejo las raíces de un número complejo.
6
PRONTUARIO MATE 3172
56) determinar si un sistema de ecuaciones en dos desconocidas es consistente o
inconsistente y dependiente o independiente.
57) resolver sistemas de ecuaciones en dos desconocidas usando el método
gráfico.
58) dados dos números reales α y β y dos matrices A y B, determinar cuáles de
las siguientes expresiones están definidas y hallar aquellas que lo están:
a) A  B
b)  A
c) α A  β B
d) AB
e) BA
59) dada una matriz, determinar:
a) el menor de una posición dada, si existe
b) el cofactor de una posición dada, si existe.
c) su determinante, si existe.
60) resolver sistemas de ecuaciones (con dos o tres ecuaciones y dos o tres
desconocidas) usando los métodos de:
a) eliminación.
b) sustitución.
c) reducción de Gauss-Jordan (matriz aumentada) o matrices
d) la regla de Cramer.
61) dada la fórmula para el enésimo término de una sucesión:
a) hallar los primeros k términos
b) hallar un término específico
c) determinar si la sucesión es aritmética, y si lo es, hallar su diferencia
común.
d) determinar si la sucesión es geométrica, y si lo es, hallar su razón común.
62) dados los primeros términos de una sucesión:
a) determinar si la sucesión es aritmética o no.
b) determinar si la sucesión es geométrica o no.
63) dados los primeros términos de una sucesión aritmética, hallar la fórmula para
su enésimo término.
64) dados los primeros términos de una sucesión geométrica, hallar la fórmula para
su enésimo término.
65) encontrar términos de una sucesión infinita definida por recursión.
66) sabiendo que una sucesión es aritmética, hallar la fórmula para su enésimo
término si se conoce:
7
PRONTUARIO MATE 3172
a) dos términos cualesquiera de la misma
b) su primer término y la diferencia común
67) sabiendo que una sucesión es geométrica, hallar la fórmula para su enésimo
término si se conoce:
a) dos términos cualesquiera de la misma
b) su primer término y la razón común
n
68) evaluar   , donde n y j son enteros y o  j  n .
 j
69) desarrollar una potencia de un binomio usando el Teorema del Binomio y el
Triángulo de Pascal.
70) hacer demostraciones sencillas utilizando inducción matemática.
Bosquejo General del Curso:
I.
Logaritmos
A. Definición
B. Propiedades
C. Evaluación
D. Cambio de base
E. Ecuaciones
II.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas
A. Definición
B. Dominio, campo de valores, interceptos, asíntotas, gráficas
C. Aplicaciones
III.
Funciones Trigonométricas
A. Funciones trigonométricas de cualquier ángulo
B. Ángulos de referencia
C. Gráficas de funciones trigonométricas funciones de la forma
1. f(x) = a sen (bx + c)
2. f(x) = a cos (bx + c)
D. Funciones trigonométricas inversas
IV. Trigonometría Analítica
A. Identidades
1. Simplificación
2. Verificación
3. Fórmulas de suma, resta, doble y medio ángulo
B. Ecuaciones trigonométricas
C. Leyes de seno y coseno
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PRONTUARIO MATE 3172
V. Números Complejos
A. Representación gráfica
B. Forma trigonométrica
C. Operaciones de producto y división
D. Teorema de De Moivre
E. Raíces de números complejos
F. Raíces de la unidad
VI. Sistemas de Ecuaciones
A. Método gráfico
B. Método de sustitución
C. Método de adición
D. Sistemas de ecuaciones lineales n x n (n ≤ 3)
1. Método de reducción de Gauss
E. Resolución de sistemas n x n por triangulación de la matriz aumentada
F. Operaciones con matrices
1. Suma y Resta
2. Producto escalar
3. Producto de matrices
G. Determinante de una matriz n x n
H. Regla de Cramer
I. Aplicaciones
VII. Sucesiones
A. Sucesiones en general, Término enésimo, Recurrencia.
B. Sucesiones aritméticas.
C. Sucesiones geométricas
VIII. Teorema del Binomio
A. Factoriales
B. Teorema del binomio
C. Triángulo de Pascal
D. Cálculo del término enésimo en el Teorema del Binomio
IX. Inducción Matemática
A. Principio de Inducción
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PRONTUARIO MATE 3172
DISTRIBUCIÓN DE CONTENIDO
MATE 3172
TEXTO: ALGEBRA AND TRIGONOMETRY
AUTOR: MICHAEL SULLIVAN, NOVENA EDICIÓN, 2012
Lección/
Horas
Capítulo
Artículo
1-3
6.3
4-6
6.4
7-8
6.5
6.6
6.8
9-10
7.1
11-13
7.2
7.3
7.4
14-15
7.5
16-18
7.6
7.7
7.8
Problemas
Asignados
(impares)
Tema
Introducción al curso. Funciones
Exponenciales, Dominio, Campo de
Valores, Propiedades, Gráficas.
Transformaciones Lineales. Función
exponencial común y natural. Teorema 11 , Ecuaciones exponenciales
Funciones Logarítmicas, Dominio,
Campo de Valores, Evaluación,
Propiedades, Gráficas. Transformaciones
Lineales. Ecuaciones con una sola
expresión logarítmica
Propiedades de los Logaritmos, Fórmula
de Cambio de Base. Ecuaciones
Exponenciales y Logarítmicas.
Aplicaciones: Crecimiento y
Decrecimiento (desinhibido)
Ángulos. Medidas: grados y radianes,
conversiones. Largo de arco. Área de un
sector de círculo.
Razones Trigonométricas en el Triángulo
Rectángulo. Independencia de Triángulo.
Identidades de Reciprocidad. Identidades
Pitagóricas. Ángulos Complementarios y
Co-funciones. Razones Trigonométricas
para los ángulos 30, 45, 60 y cuadrantales.
Las Razones Trigonométricas de
cualquier ángulo. Ángulos co-terminales y
ángulos de referencia
Examen I
(Profesor lo notifica)
Círculo Unitario. Definición de funciones
trigonométricas. Dominio y Campo de
Valores. Funciones Periódicas. Funciones
pares e impares.
Gráficas de las Funciones Seno y Coseno.
Transformaciones Lineales: Amplitud,
Período y Desfase. Gráficas de las otras
funciones Trigonométricas.
10
11-105
5-119
Páginas
432-435
446-448
1-107
5-60
1-10
457-458
463-464
484
1-95
513-515
3-65
5-27
1-101
525-527
536
548-549
Se coordina
horario (2 horas)
5-77
3-75
3-27
3-17
559-560
571-574
581-582
592
PRONTUARIO MATE 3172
Lección/
Horas
Capítulo
Artículo
19-21
8.1
8.2
22-23
8.3
24-25
8.4
26-27
8.5
28-29
8.6
30
9.1
31-32
9.2
33-34
9.3
9.4
35-37
10.1
10.3
12.1
38-42
12.2
12.6
12.3
Tema
Funciones Trigonométricas Inversas de
seno, coseno, tangente y secante.
Dominios y campos de valores. Gráficas
de las funciones inversas. Determinar
valores exactos de las trigonométricas
inversas. Composición de funciones
inversas.
Ecuaciones Trigonométricas. Soluciones
generales, soluciones restringidas a un
intervalo, soluciones de ángulos alterados.
Ecuaciones tipo cuadrático.
Verificación de Identidades
Trigonométricas
Fórmulas de suma y diferencia de
ángulos. Determinar valores exactos.
Verificación de identidades. Composición
con funciones inversas.
Fórmulas para ángulo doble y ángulo
medio. Determinar valores exactos.
Verificación de identidades.
Aplicaciones usando el Triángulo
Rectángulo
Examen II
(Profesor lo notifica)
Ley de senos, Problemas tipo ángulo,
ángulo, lado y tipo lado, lado, ángulo.
Caso ambiguo. Problemas de aplicación
Ley de cosenos, problemas de aplicación,
área de triángulos
Coordenadas Polares. Conversión de
coordenadas polares a rectangulares y
viceversa
El Plano Complejo. Magnitud y
conjugado de un número complejo. Forma
polar, conversión del plano complejo al
rectangular. Productos y cocientes de
números complejos en forma polar. El
Teorema de De Moivre, Raíces de
Números Complejos
Sistemas de Ecuaciones Lineales:
Sistemas consistentes e inconsistentes,
independientes y dependientes.
Métodos: Gráficos, Sustitución: Sistemas
No Lineales.y Eliminación.
Método de Matrices
Determinantes, Regla de Cramer
11
Problemas
Asignados
7-59
Páginas
613-614
4- 35,41,45
57-61
620-621
11-79
628-629
9-98
637-639
9-95
649-651
7-77
659-660
9-33
676-677
Se coordina
horario (2 horas)
9-49
685-687
9-45
5-31
693-694
699
9-65
725-726
11-61
748-749
7-53
854- 855
37-59
5-53
7-41
870-871
912-913
881
PRONTUARIO MATE 3172
Lección Capítulo
/Horas
Artículo
13.1
13.2
13.3
43-44
45
13.5
Tema
Examen III
(Profesor lo notifica)
Sucesiones. Término enésimo
Sucesiones Aritméticas
Sucesiones Geométricas
Recurrencia
Teorema del Binomio. Triángulo de
Pascal
Distribución de Tiempo:
Problemas
Asignados
Páginas
Se coordina
horario (2 horas)
9-41
947
5-41
953
9-39
5-39
45 horas conferencia/discusión
6 horas exámenes parciales (coordinados)
51 horas Total
Estrategias Instruccionales:
Los profesores (a discreción) que ofrecen el curso utilizan las siguientes actividades para
promover el proceso enseñanza-aprendizaje:
1.
Conferencias
2.
Discusión
3.
Trabajos en grupos
4.
Repasos
5.
Uso de tecnología
6.
Asignaciones individuales
7.
Estudio independiente
8.
Materiales Audiovisuales
9.
Tutorías (Laboratorio)
10.
Módulos instrucciones
11.
Exámenes de práctica
12
963
975
PRONTUARIO MATE 3172
Recursos de Aprendizaje:
1.
Calculadora científica (opcional/a discreción del profesor)
2.
Plataforma Black Board
3.
Libros de referencia en la Biblioteca en el área de Reserva
4.
La Biblioteca posee computadoras con acceso al “internert” disponible
para que el estudiante pueda hacer búsqueda sobre tópicos relacionados a
las matemáticas.
5.
Centro de Tutorías y Laboratorio de matemáticas (A303), donde el
estudiante puede acudir por iniciativa propia o referida por el instructor.
Materiales Requeridos:
Opcional: Calculadora gráfica con capacidad de “TRACE” y “ZOOM”, gráficas en
coordenadas rectangulares y polares como TI-85, TI-86, TI-83, TI-82, HP 48 G y
HP 48 GX.
Criterios Generales de Evaluación:
1.
Se usará una escala de 0 a 100.
2.
Se administrarán tres (3) exámenes parciales coordinados que serán fuera
de hora y un examen final coordinado, e incluirá todo el material del
curso. Los exámenes parciales se ofrecerán fuera del horario de clase.
Distribución de notas:
100-90
89-80
79-65
64-60
59-0
3.
A
B
C
D
F
El profesor podrá incluir pruebas cortas, asignaciones individuales u otras
actividades en su evaluación.
Referencias:
Blitzer, R. (2007). Algebra and Trigonometry. 3rd Edition. Upper Saddle River, NJ.
Prentice Hall.
Blitzer, R. (2007). Precalculus. 3rd Edition. Upper Saddle River, NJ.
Prentice Hall.
13
PRONTUARIO MATE 3172
Dugopolski, M. (2007). Precalculus. 4th Edition. Boston. Addison Wesley.
Larson, R., Hostetler, R. (2007). Precalculus. Séptima Edición. Boston. Houghton
Mifflin.
Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Séptima Edición. Upper Saddle River, NJ.
Pearson-Prentice Hall.
Referencias Electrónicas
Dawkins, P. (2007). Tutorial. http://tutorial.math.lamar.edu
Fife, E.D., Husch, L. (1999). Hosted on SUNSITE. http://archives.math.utk.edu
Johansen, I. (2006). Graficador. Versión 4.2. http://www.pdowan.dk
Sin autor. (1995). MathMedics. http://www.sosmath.com
Universidad de Puerto Rico en Bayamón. Página Título V.
http://titulov.uprb.edu/matematicas
Weisstein, E. (2007). Mathworld. http://matheworld.wolfram.com
Revisado por: Prof. Esteban Hernández
Enero de 2012 UPR-B
Modificado por: Prof. José A. Toro Clarke
Prof. José J. Moreno Cordero
Prof. José D. Padin Jiménez
Noviembre de 2013 UPR-U
Gracias a la Universidad de Puerto Rico Recinto de Bayamón Departamento de
Matemática por su colaboración en facilitarnos este prontuario para así ir creando
equidad en los cursos del sistema de la Universidad de Puerto Rico.
La UPRU cumple con las leyes ADA (Americans with Disabilities Act) y 51 (Servicios
Educativos Integrales para Personas con Impedimentos y de Rehabilitación Vocacional)
para garantizar igualdad en el acceso a la educación y servicios.
Después de informar a la institución y al profesor los estudiantes con necesidades
especiales recibirán acomodo razonable en sus cursos y evaluaciones. Los estudiantes
pueden ponerse en contacto con la oficina de Servicios Médicos o en el Centro de
Asistencia Tecnológica (CAT): el número telefónico de la Oficina de Servicios Médicos
es: (787) 894-2828; ext. 2605 y 2606. Se guardará confidencialidad.
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