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FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA Y TEORIA DE CONJUNTOS FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA 1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p “la comida es buena” ; con q “el servicio es bueno” y con r “es de tres estrellas”. Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones : a) La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas b) La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas. c) La comida es buena y el servicio no. d) No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas e) Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas f) No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio. 2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial y, si es posible, simplificar : a) p q b) p q c) q p 3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales : a) (p q) p b) (p q) p c) p (p q) d) (q p) (p q) e) (p q) ( r) f) (r r) 4) Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son respectivamente V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : i) [(p q) r] s ii) r (s p) iii) (p r) (r s) 5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo. i) (p q) r ; ii) (p q) ( p q) ; r es V q es V 6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones : a) (p q) q si pq es Falso b) p (p q) si pq es Verdad c) [ (p q) q] q si p es Verdad y q es Verdad 7) Simplificar las siguientes proposiciones : a) ( p q) b) (p q) ( p q) 8) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas : i) p q r iii) p [ p q ] ii) [ (p q) (q r) ] (p r) 9) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes i) (p q) r iii) q r ii) p q iv) p (q r) TEORIA DE CONJUNTOS 10) Escribir simbólicamente : a) R es un subconjunto de T b) x es un elemento de Y c) El conjunto vacío d) M no es un subconjunto de S e) z no pertenece a A f) R pertenece a A 12) Escribir por extensión los conjuntos : iii) C = {x : x 2 9 i) A = { x : x 2 x 2 0 } } ii) B = {x es dígito del número 2324} x 3 5 iv) D = {x : x es vocal} 13) Escribir por comprensión los siguientes conjuntos : A = { 1, 2, 4, 8, 16,...} B = { 1, 3, 5, 7, 9, .... } D = {1, 4, 9, 16, 25, 36} 14) Escribir por extensión los siguientes conjuntos definidos por comprensión : A = { x / x N 3 x 10 } 15) Sean A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 } ; C = {1, 3, 5, 7, 9 } B={ x / x N 5 / x} B = { 2, 4, 6, 8 } ; D = { 3, 4, 5 } E = { 3, 5 } ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales a X ?, si se da la siguiente información: i) X y B son disyuntos iii) X A pero A C ii) X D pero X B iv) X C pero X A 16) Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o falsa : i) {1, 4, 3} = {3, 4, 1} iii) 1 {1,2} v) {4} {{4}} ii) {3, 1, 2} {1, 2, 3} iv) {4} {{4}} vi) {{4}} 17) Determine si los conjuntos dados son vacíos: i) X = {x : x 2 9 2x 4 } ii) Y = { x : x x } iii) Z = { x : x + 8 = 8 } 18) ¿ Cuales de los conjuntos siguientes son finitos ? i) Los meses del año iv) El conjunto Q de los números racionales ii) {1, 2, 3, . . . ., 99, 100} v) El conjunto R de los números reales iii) El número de personas que viven en la tierra. 19) En los siguientes diagramas de Venn, sombree : ii) Vc W i) W - V iii) V Wc iv) Vc – Wc 20) Dados tres conjuntos A, B y C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores, dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes zonas : a) A B b) A B c) (A - C) B d) (A - C) B e) (A B C) D 21) Sean U= {1, 2, . . . . , 8, 9} ; A ={1, 2, 3, 4} ; B={2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6} . Hallar: i) Ac ii) A C iii) (A C)c iv) A B 22) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones : a) A B A ( A B ) c) C - A = C A v) (B - C) b) B A ( A B ) A d) A = B A B = A 23) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian únicamente francés; 200 estudian frabcés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. ¿ Cuántos estudian solo inglés ? 24) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45 estudian biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias. a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias. b) Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres materias. 25) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis, el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el 30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis, ¿ lo creería ?¿ porqué ? 26) Setenta y cinco niños fueron a un parque de diversiones donde subieron a la rueda de la fortuna, la montaña rusa y al trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos.