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NIP: 222503 - Pág.: 10 - MAT
M: 10826
C1: 10830
C2: 10000
C3: 10000
C4: 10000
Los números naturales, los
enteros, las fracciones y decimales
han sido objeto de estudio en
diferentes oportunidades. En este
caso se retoman esos conjuntos de
números pero prestando especial
atención a sus características y
CONTENIDOS
❚ Números naturales
❚ Números enteros
❚ Números racionales
❚ Números irracionales
❚ Números reales
1
propiedades.
A partir de las propiedades se
podrá profundizar en el estudio
de cuestiones más generales. Se
resolverán problemas que requieren
ampliar los conjuntos numéricos
conocidos.
NÚMEROS REALES
Problema 1
Indiquen en qué conjuntos numéricos pueden resolverse los siguientes problemas:
a. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado cuya área es 1 cm2?
b. Encontrar todos los números que verifican que al multiplicarlos por su siguiente se
obtiene por resultado 20.
c. Si se conoce que 9 veces el cuadrado de un número es 4, ¿de qué número se trata?
d. ¿Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si se
sabe que su área es 2,5 cm2?
e. Encontrar, si existe, un número cuyo cuadrado sea –1.
Cada uno de los problemas anteriores apunta al estudio de un conjunto numérico
diferente orientado por las siguientes cuestiones:
❚ ¿Cuáles son los números que intervienen y cómo se opera entre ellos?
❚ ¿Qué otras cuestiones pueden estudiarse con ellos? ¿A qué problemas dan respuesta y cuáles no pueden resolverse?
❚ ¿Qué propiedades tienen? ¿Qué propiedades que valían en un conjunto numérico dejan
de valer en otro? ¿Qué propiedades que no valían en otro conjunto numérico ahora valen?
De todas estas cuestiones se tratará este capítulo.
10
Capítulo 1. Números Reales.
Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa
Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123
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en
El problema a. de la página anterior puede pensarse de la siguiente manera:
si un cuadrado de lado l tiene un área de 1 cm², entonces, para calcular el lado puede
plantearse la ecuación l2 = 1.
Esta ecuación tiene dos soluciones l = 1 o l = –1; sin embargo en el contexto del problema la única solución posible es l = 1.
Dicho de otro modo; en el conjunto de los números naturales esta ecuación tiene por
solución l = 1 y en el conjunto de los números enteros tiene dos soluciones l = 1 y l = –1.
Este problema apunta entonces al estudio de los números naturales.
Los números naturales son los que se usan para contar. Suelen representarse con la
letra ¥, y pueden mostrarse por extensión (de manera incompleta) así:
¥ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; ...}
Como hay infinitos números naturales, se dice que el conjunto de los números naturales
es un conjunto infinito. Todos los elementos de este conjunto son positivos (mayores que 0).
Tiene un elemento, el 1, que es el menor de todos; a este número se lo denomina el primer elemento del conjunto. No hay ningún número natural que sea el mayor que todos, es decir, este
conjunto no tiene “último” elemento, pues es suficiente con sumar 1 para obtener uno mayor.
El resultado de sumar dos números naturales cualesquiera es siempre otro número natural, pero
esto no siempre sucede con la resta. Por ejemplo, no puede resolverse la operación 20 – 27.
El conjunto de los números
naturales está formado por
aquellos números que sirven para
contar ;
¥ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ...}
En ocasiones se considera al 0 como
número natural. En este caso, se lo
simboliza ¥0.
¥0 = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ...}
En el conjunto de los números naturales todo elemento a tiene su siguiente a + 1 y todo
elemento b distinto de 1 tiene su anterior, b – 1.
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El conjunto de los números enteros
Si se analiza ahora el problema 1.b. de la página 10:
Encontrar todos los números que verifican que al multiplicarlos por su siguiente se
obtiene por resultado 20.
Se llama conjunto
solución de una ecuación
al conjunto formado por todas sus
soluciones. Se lo simboliza S.
Este problema puede traducirse a través de la ecuación x (x + 1) = 20.
Es sencillo reconocer que el número 4 verifica la ecuación porque 4 . 5 = 20. Con lo cual
en el conjunto de los números naturales el conjunto solución de la ecuación es: S = {4}.
Si solo se piensa en números naturales, la solución es única. Pero si se admite el uso de
números enteros, también ocurre que (–5) . (–4) = 20. Es decir, aparece otra solución x = –5.
El conjunto solución en el conjunto de los números enteros es S = {4 ; –5}
Problema 2
¿Es posible encontrar un número que al restárselo a 20 dé por resultado 27?
Si se piensa este problema en términos de ecuaciones, la expresión que lo representa
es la siguiente: 20 – x = 27. No hay ningún número natural que, restado al 20 dé por resultado 27. Esto quiere decir que no hay solución para esta ecuación dentro del conjunto de
números naturales. Luego S = ø.
Para encontrar la solución de esta ecuación es necesario definir un nuevo conjunto de
números, el de los enteros, que se simboliza ¢. Está formado por los números naturales, el
0 y los opuestos de los números naturales. Puede definirse:
¢ = { ... ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ...}
enumerando sus elementos de manera incompleta. En este conjunto la solución es S = {–7}
El conjunto de los números enteros es también un conjunto infinito y no hay un número entero que sea el menor de todos ni tampoco un número entero que sea el mayor de
todos. Es decir, en este conjunto no existen ni primer elemento ni último elemento.
Ubicación en la recta numérica
Al número –a se lo llama
opuesto de a.
Por ejemplo:
–5 es el opuesto de 5;
7 es el opuesto de –7, porque
–(–7) = 7;
0 es el opuesto de 0, porque – 0 = 0;
– a es el opuesto de a y a es el
opuesto de – a.
El opuesto de un número es
negativo cuando ese número es
positivo; es positivo cuando ese
número es negativo y es 0 cuando
ese número es 0.
12
Problema 3
En la siguiente recta numérica están ubicados
el 0 y el 8.
¿Dónde se ubica el número 5?¿Dónde se
ubican los números –1 y –2?
0
8
Para resolver este problema, una posibilidad es intentar ubicar el número 1. Para ello
es conveniente ubicar el 4, justo en el punto medio entre 0 y 8. Luego el 2 en el punto
medio entre 0 y 4 y finalmente el 1 entre 0 y 2. Determinada la posición del 1, es sencillo
señalar la ubicación del 5:
0
1
2
4
5
8
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Es decir, para ubicar los números naturales en una recta, basta con señalar el 0 y el
1, o sea, elegir una unidad en la recta, luego, el 2 se ubica a una unidad de distancia a la
derecha del 1, el 3 a una unidad de distancia a la derecha del 2, etcétera.
Para ubicar el número –1 en esta recta alcanza con tomar la misma unidad de medida
pero para la izquierda. Entonces:
–2 –1
0
1
2
4
5
8
En la recta puede observarse que dados dos números enteros distintos, el que está más a la
derecha en la recta numérica será el mayor. Por ejemplo, 5 está a la derecha de –2 y 5 > –2.
En el conjunto de los números naturales se puede observar que el más grande es el que
está más lejos del cero. Sin embargo, esta propiedad deja ser cierta en el conjunto de los
números enteros, ya que, por ejemplo, –10 está más lejos del 0 que 5.
–10
0
5
En el conjunto de los
números enteros, el mayor
entre dos números es el que está
ubicado en la recta numérica más a
la derecha.
4
En el conjunto de los números enteros todo elemento a tiene su siguiente o consecutivo a + 1 y todo elemento b tiene su anterior, b – 1.
Por ejemplo: –6 es el siguiente de –7, y el anterior de –5; 450 es el anterior de 451 y
–123 es el anterior de –122.
Problema 4
a. ¿Cuántos números enteros hay ente 10 y 14?
b. ¿Cuántos números enteros hay entre –303 y 304? ¿y entre –400 y –126?
c. ¿Hay alguna forma de calcular la cantidad de números enteros que hay entre dos
números enteros p y q?
Entre 10 y 14 están solamente los números enteros 11, 12 y 13, es decir hay tres
números enteros.
Para hallar los números enteros entre –303 y 304 hay que contar los números –302,
–301 … hasta 303. Para saber cuántos hay, se puede realizar la cuenta 304 – (–303) = 607.
Pero en este cálculo se está considerando el número –303, entonces hay que restarle uno:
607 – 1 = 606. Es decir, hay 606 números. Pueden resumirse los resultados en la siguiente tabla:
Entre ...
hay ...
10 y 14
3 (11, 12 y 13)
–303 y 304
606
–400 y –126
273
¿Cuántos son?
14 – 10 = 4 ; 4 – 1 = 3
304 – (–303) = 607
607 – 1 = 606
–126 – (–400) = 274
274 – 1 = 273
14 – 10 – 1 = 3
304 – (–303 ) – 1 = 606
–126 – (–400) – 1 = 273
Para hallar los números enteros que hay entre p y q (p < q) se calcula la diferencia q – p y se
obtienen los números entre p y q, pero incluyendo a p. Al restar 1 se excluye al número p.
Puede deducirse entonces que entre dos números enteros cualesquiera, la cantidad de
números enteros que hay entre ellos es siempre finita y se calcula haciendo q – p – 1.
A partir de esta propiedad se dice que el conjunto de números enteros es un conjunto
discreto.
Todo número natural
tiene un siguiente, que
se obtiene al sumarle 1. Todos,
excepto el 1, tienen además un
elemento anterior que se obtiene
restando 1 al número.
En el caso de los números enteros,
todos tienen anterior y siguiente.
Dado un número entero a, su
anterior es a – 1 y su siguiente
a + 1.
Entre dos números enteros
a y b (b > a) hay siempre una
cantidad finita de números enteros
y ésta es exactamente b –a –1.
Si a = b, la cantidad de números
enteros entre ellos es 0.
Esta propiedad de los números
enteros se conoce con el nombre de
discretitud.
Si se quiere contar cuántos números
enteros hay desde a hasta b (es
decir, los que hay “entre” y también
a y b) esa cantidad es b – a + 1.
Si a = b, hay 1.
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Divisibilidad
Uno de los temas más importantes en el conjunto de los números enteros es el de la
divisibilidad, tal como se propone en el siguiente problema.
Problema 5
Sean a y n números enteros tales que a = 25 . n + 7, hallar el resto de dividir a por 5.
Un número entero es par
cuando se lo puede escribir
como a = 2 . k, con k ∊ ¢ .
Un número entero es impar cuando
se lo puede escribir como a = 2 . k + 1,
con k ∊ ¢.
n
25 . n + 7
Resto al dividirlo por 5
0
7
2
1
32
2
3
82
2
10
257
2
123
3082
2
Aparentemente el resto siempre es 2. Pero, ¿cómo se puede hacer para estar seguros de
que el resto siempre es 2?
Como a = 25 . n + 7 es posible transformar esta expresión en otra equivalente
a = 25 . n + 7 = 5 . 5 . n + 5 + 2 = 5 (5n + 1) + 2
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Dados dos números enteros
a y b (b distinto de 0), existen
únicamente dos números enteros
q y r, llamados respectivamente
cociente y resto, tales que
a = b . q + r,
siendo r mayor o igual que 0 y
menor que b.
Para resolver esta cuestión, una posibilidad es comenzar a explorar asignándole a n
algunos valores, tal como se muestra en la tabla:
múltiplo de 5
La última expresión muestra que el número a es dos unidades mayor que un múltiplo
de 5. Y como al dividir un múltiplo de 5 por 5, su resto es cero, al dividir un número dos
unidades mayor que un múltiplo de 5, el resto es 2.
Problema 6
4 Un número entero es primo
cuando tiene exactamente
cuatro divisores: el 1, el –1, el
número y su opuesto.
Por ejemplo 13 es primo porque sus
únicos divisores son –1, 1, –13 y 13,
en cambio 4 no es primo porque,
además de –1,1,–4 y 4 tiene a –2
y 2 como otros divisores. 1 y –1 no
son números primos porque tienen
exactamente dos divisores: 1 y –1.
Si a = k . b con a, b, k ∊ ¢
entonces a es múltiplo de b o
b es divisor de a.
14
¿Cuáles son los posibles restos que se obtienen al dividir un número entero a por:
a. 2?
b. 3?
Si a es un número entero par, entonces al dividirlo por 2 se obtiene un cierto cociente
q y resto 0. Entonces a = 2 . q con q ∊ ¢.
Si a es un número entero impar, entonces al dividirlo por 2 se obtiene un cierto
cociente n y resto 1. Entonces a = 2 . n + 1 con n ∊ ¢.
Si a es divisible por 3, al dividir a a por 3 se obtiene un cociente m y resto 0.Entonces a = 3 . m con m ∊ ¢.
Si a no es divisible por 3, al dividir a a por 3 se obtiene un cociente n y un resto que puede
ser 1 o 2. Entonces, puede ser que a = 3 . n + 1 con n ∊ ¢ o a = 3n + 2 con n ∊ ¢.
En general puede decirse que si a y b son números enteros entonces:
❚ a es divisible por b, si existe un número entero k tal que a = b . k.
❚ Si a no es múltiplo de b entonces existen números enteros q y r tales que:
a = b . q + r y 0 < r < b.
Capítulo 1. Números Reales.
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Ecuaciones
Con los números enteros se pueden resolver algunas ecuaciones que no tenían solución en ¥.
Problema 7
Para cada una de las ecuaciones siguientes, hallar el conjunto solución en ¥ y en ¢.
a. x + 5 = 1
b. 4x = –20
c. 2x = 3
d. x² = 100
e. x² = 64
f. x² = –4
4
h. x³ = 27
i. x³ = –64
g. x = 16
La ecuación x + 5 = 1 no tiene solución en ¥ porque no existe ningún número natural
que sumado a 5 dé por resultado 1, luego S¥ = ∅. Sin embargo, la ecuación tiene solución
en ¢ y es x = 1 – 5 = – 4 . S¢ = {– 4}.
La ecuación 4x = –20 tiene solución en ¢ pero no en ¥ porque: x = –20 : 4 = –5 luego
S¢ = {–5} y S¥ = ∅.
La ecuación 2x = 3 no tiene solución en ¥ ni en ¢ porque ningún número entero multiplicado por 2 da 3. S¥ = S¢ = ∅.
La ecuación x2 = 100 tiene una única solución en ¥ que es 10. S¥ = {10}. Sin embargo,
tiene dos soluciones en ¢: 10 y –10, ya que 102 = 100 y (–10)2 = 100. S¢ = {–10 ; 10}.
Esta ecuación introduce un problema en los clásicos “despejes” usados al resolver
ecuaciones, que conviene analizar.
____
La resolución x2 = 100 ⇔ x = √ 100 ⇔ x =10 es válida para resolver la ecuación en
¥, pero no en ¢, ya que se pierde una solución.
En estos casos se debe tener presente que hay dos números enteros que elevados al
cuadrado dan 100 y estos números son 10 (la raíz cuadrada de 100) y –10 (el opuesto de
la raíz cuadrada de 100).
La ecuación x2 = 64 puede resolverse de la siguiente manera:
x2 = 64 ⇔ x = 8 o x = –8
Entonces S¥ = {8} y S¢ = {8 ; –8}
Cuando se intenta resolver la ecuación x2 = –4, se observa que ningún número entero elevado al cuadrado da negativo. Luego esta ecuación no tiene solución en ¥ ni en ¢. S¥ = S¢ = ∅.
La ecuación x4 = 16 ⇔ x = 2 o x = –2 porque 24 = 16 o (–2)4 = 16. Entonces S¥ = {2}
y S¢ = {2 ; –2}.
Las consideraciones anteriores son necesarias en los pasajes de potencias pares a raíces; los que contienen potencias impares no tienen mayores dificultades.
x3 = 27 ⇔ x = 3, dado que el único número entero que elevado al cubo da 27 es
3. S¥ = S¢ = {3}.
x3 = –64 ⇔ x = –4 porque el único número entero que elevado al cubo da –64 es –4.
S¥ = ∅, S¢ = {–4}.
Se simboliza S¥ al
conjunto solución de
una ecuación en el conjunto de
los números naturales. De igual
forma S¢ es el conjunto solución
en el conjunto de los números
enteros.
4
Los números
pertenecientes a ¥0 que
tienen raíz cuadrada en ¥0 se
llaman cuadrados perfectos.
Por ejemplo: 36 es un cuadrado
___
perfecto porque √36 = 6.
Si a es un cuadrado perfecto,
entonces:
En ¥0 :
__
x2 = a ⇔ x = √a
En ¢:
x2 = a, a ≥ 0 ⇔
__
__
x = √a o x = – √a
1. ¿Cuántos números enteros hay desde –154 hasta 5201?
a. La cantidad de números primos que hay entre 40 y 50 es la misma que
2. Si a = 79, propongan un número entero b de forma tal que entre a y b
hay entre 70 y 80.
haya 53 números enteros. Expliquen cómo lo pensaron.
b. Todos los números enteros que terminan en 1 y son mayores que 10 y
3. Decidan si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.
menores que 50 son primos.
ADES
ACTIVID
Justifiquen la decisión.
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*0000-222503-15-MAT-9*
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M: 10826
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C2: 10000
C3: 10000
C4: 10000
El conjunto de los números racionales
Si se retoma el problema 1.c.
Si se conoce que 9 veces el cuadrado de un número es 4, ¿de qué número se trata?
Es posible traducir este problema con la ecuación 9x² = 4
Si x es un número entero, al elevarlo al cuadrado seguirá siendo entero y al multiplicarlo por 9, el resultado será un múltiplo de 9, con lo cuál nunca da 4. Esta ecuación no
tiene solución en ¢.
Para dar respuesta a problemas como éste se define otro conjunto de números.
El conjunto de números racionales, que se simboliza ¤ , es el conjunto formado por
todos los números que pueden ser expresados como fracción, es decir, como cociente de
dos números: a entero y b natural.
EL conjunto de los números
racionales es:
a , con a ∊ ¢ y b ∊ ¥}.
¤ = {x/x = __
b
Puede pensarse también que
el denominador es un número
entero, sin embargo
–a = ___
a
a = ___
– __
b b –b
S¤ es el conjunto solución
en ¤.
Los números enteros son
fracciones de denominador
1, lo que demuestra que el
conjunto de los números enteros
está incluido en el de los racionales.
Además, el conjunto de los
naturales está incluido en el de los
enteros. Simbólicamente:
¥ ⊂¢⊂¤
En un diagrama de Venn, puede
mostrarse esta relación entre los
conjuntos:
a , con a ∊ ¢ y b ∊ ¥ }.
¤ = { x/x = __
b
2 y – __
2 . LueEn este conjunto numérico la ecuación 9x² = 4 tiene dos soluciones __
3
3
2
2
__
__
go S¤ = { ; – }.
3
3
Así como los números enteros son una “extensión” de los naturales (porque los contienen), los racionales son una “extensión” de los enteros, ya que todo número entero
puede ser pensado como una fracción con denominador 1.
El conjunto de los números racionales es también un conjunto infinito y no hay un
número racional que sea el menor de todos ni tampoco un número racional que sea el mayor
de todos; es decir, como ocurre con los enteros, no hay ni primer ni último elemento.
Problema 8
Si a es un número racional, ¿es cierto que no existe ningún otro número racional
entre a y a + 1?
Si a es un número entero, a + 1 es el entero siguiente a a y no existe otro número
entero entre ellos.
Pero, a diferencia de los enteros, en ¤ no tiene sentido hablar de siguiente ni de
5 no es su siguiente porque
2 + 1 = __
2 es un número racional, pero __
anterior. Por ejemplo, __
3
3
3
7
2 con __
1.
hay otros números racionales que están entre ellos, como __ que se obtiene al sumar __
6
3
2
5.
7 está entre __
1 es menor que 1 y mayor que cero, entonces __
2 y __
Como __
2
6
3 3
¤
¢
16
¥
Los números racionales no van “saltando de a 1” en la recta como los enteros.
Capítulo 1. Números Reales.
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*0000-222503-16-MAT-9*
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Ubicación en la recta numérica
Los números racionales también pueden ubicarse en la recta numérica, como se muestra a continuación.
Problema 9
1 en la siguiente recta numérica.
Ubicar el número – __
3
0
1
Para resolver este problema hay varias posibilidades. Una es señalar la ubicación de
– 1, como opuesto de 1, para luego dividir en tres la distancia entre 0 y – 1.
1
– __
3
–1
0
1
1 para lueOtra forma es dividir en tres partes iguales la distancia entre 0 y 1, marcar __
3
1
1
__
__
go ubicar – como opuesto de :
3
3
1
– __
3
–1
1
__
0
1
3
En la siguiente recta se pueden ubicar también otros números racionales, por ejemplo:
–1
1
–__
3
1
_
0
2
1
5
__
4
7 2
_
8
__
3
3
4
Se puede observar que los números racionales están más “apretados” en la recta que los
enteros.
Números decimales
Los números racionales pueden también expresarse como decimales, como propone el
siguiente problema.
Problema 10
¿Qué números van en las casillas libres en las siguientes tablas?
Fracción
1
__
4
...
Decimal
...
3,͡5
Fracción
5
__
2
...
...
Decimal
Fracción
Decimal
...
...
0,23
2,26͡1
...
11
___
90
1,3
͡
0,25
Las expresiones decimales
de todas las fracciones
siempre tienen parte decimal finita
o tienen parte decimal periódica.
El período no tiene que empezar
necesariamente en la primera
cifra decimal. En el caso en que
el período no comienza en la
primer cifra decimal se dice que la
expresión decimal es mixta.
Realizar el pasaje de la expresión fraccionaria a decimal es sencillo. Por ejemplo, la
5 es
1 es 0,25 porque 1 dividido 4 da 0,25; la escritura decimal de __
escritura decimal de __
4
2
2,5, pues basta con hacer la cuenta.
17
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M: 10826
C1: 10830
C2: 10000
C3: 10000
C4: 10000
Pasaje de decimal a
fracción:
1. Para números racionales cuyo
desarrollo decimal es finito
como por ejemplo x = 2,461, se
multiplica por la unidad seguida de
ceros hasta que quede un número
entero.
En este caso
2461
1000 . x = 2461 ⇒ x = ____
1000
2. Para números racionales cuyo
desarrollo decimal es periódico no
)
mixto, como x = 5,3 , se multiplica
por la unidad seguida de ceros
hasta que quede un número
decimal con el mismo período
que el original. En este ejemplo
se multiplica por 10 y se obtiene
)
10 x = 53, 3 . Luego se restan las
ecuaciones obtenidas, y queda una
ecuación cuyos coeficientes son
todos enteros.
)
)
10 x – x = 53, 3 – 5, 3 ⇔
16
48 = ___
9 x = 48 ⇔ x = ___
9 3
3. Para números decimales
periódicos mixtos, como por
)
ejemplo x = 2,38 4 , se multiplica la
ecuación dos veces por la unidad
seguida de ceros hasta obtener
números racionales con igual
desarrollo decimal periódico, no
mixto. En este caso se multiplica
por 100 y por 1000 y se obtiene:
)
100 x = 238, 4
)
1000 x = 2384, 4
Se restan luego ambas igualdades
obtenidas y quedan expresadas
solo con números enteros.
)
)
1000 x – 100 x = 2384, 4 – 238, 4
⇔ 900 x = 2146 ⇔
1073
2146 = _____
x = ____
900 450
18
¿Cómo se pasará de una expresión decimal a su equivalente fraccionaria?
Para realizar este proceso pueden presentarse distintos casos, como se muestra en la
siguiente tabla.
Números decimales con ...
parte entera ...
parte
decimal ...
igual a cero
distinta de cero
x = 0,23
100 x = 23
23
x = ____
100
finita
x = 1,3
10 x = 13
13
x = ___
10
º (1)
x = 0, 25
Se multiplican ambos miembros por
100.
º (2)
100 . x = 25,25
periódica
Se restan las ecuaciones (2) y (1) :
º – 0,25
º
100 x – x = 25,25
.
99 x = 25
25
x = ___
99
x = 3,5º (1)
Se multiplican ambos miembros por 10.
10 x = 35,5º (2)
Se restan las ecuaciones (2) y (1)
10 x – x = 35,5º – 3,5º
9 x = 32
32
x = ___
9
)
x = 2,26 1 (1)
Se multiplican ambos miembros por 1000.
)
1000 . x = 2261, 1 (2)
Se multiplican ambos miembros de (1) por 100.
)
100 . x = 226, 1 (3)
Se restan las ecuaciones (2) y (3) :
)
)
1000 x – 100 x = 2261, 1 – 226, 1
900 x = 2035
407
2035 = ____
x = ____
900 180
mixta
Ahora es posible completar la tabla
Fracción
1
__
4
32
___
9
Decimal
Fracción
Decimal
Fracción
Decimal
0,25
5
__
2,5
13
___
1,3
3,͡5
2
23
____
100
407
____
180
0,23
2,26͡1
10
25
___
99
11
___
90
0,͡
25
0,12͡
Capítulo 1. Números Reales.
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C4: 10000
Problema 11
la
¿Cuántos números racionales hay entre 1 y 2?
Unos cuantos de ellos pueden listarse fácilmente: 1,3 ; 1,8 ; 1,25 ; 1,761 ; etc. Pero,
para poder decidir cuántos hay, se propone el siguiente razonamiento:
Se calcula el promedio entre el 1 y el 2, luego entre el 1 y el promedio anterior y así siguiendo:
Promedio entre ...
Resultado
1y2
1,5
1 y 1,5
1,25
1 y 1,25
1,125
1 y 1,125
1,10625
1 y 1,0625
1,03125
1
1,25
1,5
2
1,125
1,0625
1,03125
De esta manera se han encontrado 5 números racionales entre 1 y 2. Pero el proceso de promediar al 1 con el promedio obtenido en el paso anterior puede continuarse indefinidamente.
Puede pensarse que, en algún momento, se llegará al 1, sin embargo, esto no es así
porque, en cualquier paso, el promedio se realiza entre el 1 y el promedio del paso anterior (que es mayor que 1), obteniéndose un número que está entre ambos, por lo que es
cada vez más próximo a 1, pero mayor que él.
Como este proceso puede seguir indefinidamente, hay infinitos números racionales
entre 1 y 2.
De igual manera puede procederse con cualquier par de números racionales distintos;
por lo tanto el conjunto de los números racionales no es discreto sino denso.
El promedio entre dos
números distintos a y b es
a + b . Este número es
el número ____
2
distinto de a y de b y está ubicado
entre ambos en la recta numérica.
El conjunto de los números
racionales no es un conjunto
discreto como ¢ sino que es un
conjunto denso dado que entre
dos números racionales distintos
siempre es posible encontrar
infinitos números racionales.
4
)
¿Cuántos números racionales hay entre 0,9 y 1?
)
Si se supone que 0, 9 es menor que 1, entonces deberían existir infinitos números
racionales entre ellos, como entre cualquier par de racionales distintos. Pero es imposible
)
encontrar tan siquiera uno que sea mayor que 0, 9 y menor que 1. Esto no contradice la
)
propiedad de densidad de este conjunto dado que si se escribe el número 0,9 en su forma
)
)
fraccionaria se obtiene que x = 0,9 (1)⇔ 10 x = 9,9 (2) ⇔ restando (2) – (1) 9 x = 9 ⇔ x = 1.
)
Luego 0,9 = 1 y entonces estos dos números son iguales.
)
4. Hallen cuatro números racionales entre 9, 7 y 9,8. Expresen a dos de
ellos como fracción y a los otros dos como decimal.
5. Ordenen de menor a mayor a cada una de las dos listas siguientes de
)
Otra forma de ver que 0,9 = 1
es:
)
)
0,9 = 3 . 0,3 =
) 1
Como 0,3 = __
3
)
1 =1
0,9 = 3 . __
3
Lo mismo sucede con todos los
decimales con período 9.
)
)
Por ejemplo: 7,9 = 8; 26,59 = 26,6.
2 (1 – x) = –3
b. 2 . (x + 3) = 1 – 4x c. – __
3
121
27
e. x2 = ____
f. x3 = – ___
d. x2 = 144
64
8
8. Sin resolverlas, indiquen cuáles de las siguientes ecuaciones tienen
a. 3 x – 4 = –5x + 1
números racionales:
)
)
a. 8,9 ; 8,9 ; 8,º
98 ; 8,º
89 ; 8, 8 ; 9 ; 8,98 ; 8,99.
)
528 ; –2,52 8 ; –2,5º
28 ; –2,528
b. –2, ͡
6. ¿Los números 2,͡
52 y 2,5͡
25 son iguales? Justifiquen sus respuestas
solución en ¥ y en ¢.
desde la expresión decimal y desde la expresión fraccionaria de ambos
9. Resuelvan las siguientes ecuaciones en ¢. Escriban el conjunto solución.
a. 2x – 1 = 5
b. –4 . (x + 3) = 12
–5x
+
1
______
=8
d. x2 = 121
c.
2
números.
7. Resuelvan las siguientes ecuaciones. Indiquen su conjunto solución en ¤:
a. x – 100 = 43
b. 20 + x = 10
c. 4x = 18
d. x : 3 = 4
e. x + 10 = 3
f. 12x = 1
g. –4x = –16
h. x : (–3) = 4
ADES
ACTIVID
19
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El conjunto de los números irracionales
Si se retoma el problema 1.d de la página 10:
¿Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si se sabe
que su área es 2,5 cm²?
Como el triángulo es rectángulo isósceles, sus dos catetos son iguales.
x
Como además el área es 2,5 cm², queda expresada la ecuación:
x . x = 2,5 ⇔ x² = 5
____
x
2
Las raíces cuadradas de
números primos son
siempre irracionales.
El conjunto de los números
irracionales es aquel
cuyos elementos tienen desarrollo
decimal infinito, no periódico.
Dicho conjunto se simboliza con
la letra .
Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números racionales porque no
existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé por resultado 5.
Aparece entonces un nuevo conjunto numérico, el de los números irracionales.
El desarrollo decimal de los números racionales, es finito o periódico. Quedan fuera
de este tipo de números aquellos cuyo desarrollo decimal es infinito pero no periódico,
como por ejemplo:
5,10110111011110...
π = 3,14159265...
–108,414243444546...
__
Estos números son números irracionales. El lado del triángulo anterior mide √ 5 y es
__
3 __
un número irracional. Otros números irracionales son √2 ; √ 7 y 42/3.
Ubicación en la recta numérica
⎧
⎨
⎩
Definición de potenciación:
❚ con exponente natural:
Siendo a ∊ ¡ y N ∊ ¥0:
a . a . ... a
si N > 1
Los números irracionales también tienen lugar en la recta.
Problema 12
__
¿Dónde estará ubicado el número √ 5 en la recta numérica?
N veces
a
si N = 1
a =
1
si N = 0 y a ≠ 0
no está definida si N = 0 y a = 0
N
❚ con exponente entero negativo:
1N
a ∊ ¡ y N ∊ ¥: a – N = __
a
()
❚ con exponente fraccionario:
M es una fracción:
Si a ∊ [0 ; +∞) y __
N
__
N
___
aM/N = ( √a ) = √aM
N
20
M
__
Para ubicar el número √5 es posible realizar lo que sigue:
Se construye sobre la recta numérica un triángulo rectángulo cuyos
catetos tengan longitud 2 y 1.
Por el Teorema de Pitágoras la
__
hipotenusa del triángulo mide √5 .
Con un compás se hace centro en el
0 y, con radio igual a la hipotenusa,
se traza un arco que interseque a la
recta. Ese valor de intersección es la
__
ubicación de √ 5 .
í
I
í
Capítulo 1. Números Reales.
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C1: 20565
C2: 10000
C3: 10000
C4: 10000
El conjunto de los números reales
El conjunto formado por todos los números racionales y todos los números irracionales se denomina conjunto de los números reales.
En el siguiente diagrama de Venn se pueden observar las relaciones de inclusión entre
los distintos conjuntos numéricos.
El conjunto de los números
reales es el que está
formado por todos los números
racionales y todos los números
irracionales.
¡=¤U
¡
¤
¢
¥⊂¢⊂¤⊂¡,¤U =¡
¥
Si a y b dos números reales,
con a < b:
❚ para nombrar a todos los números
reales que están entre a y b se usa la
notación (a ; b), que se lee “intervalo
abierto ab”
(////////)
a
b
Este conjunto tiene la propiedad de “llenar” la recta numérica. Cada número real es
un punto en la recta numérica y cada punto de la recta numérica es un número real. Al
conjunto de los números reales se lo simboliza ¡.
El conjunto de los números reales es también un conjunto denso, es decir, entre dos números reales distintos siempre hay infinitos números reales (tanto racionales como irracionales).
Por ejemplo, en el intervalo (0 ; 2) hay infinitos números racionales y también hay infinitos
1 √__
números irracionales. Allí se ubican los números de la forma __
n 2 , siendo n cualquier natural.
Con la incorporación de los números irracionales pueden resolverse ecuaciones que no
tienen solución en ¤ como por ejemplo:
__
__
__
__
x2 = 7 ⇔ x = √7 o x = – √7 . Entonces S¡ = { √7 ; – √7 }
5⇔x=
x2 = __
9
___
__
__
__
❚ para nombrar a todos los números
desde a hasta b inclusive, se usa
[a ; b], y se lee “intervalo cerrado ab”
[////////]
a
b
❚ para nombrar a todos los números
reales mayores que a se usa (a ; +∞).
(///////////
a
__
√5
√5
√5
√5
5 = ____
__
o x = – ___
. Entonces S¡ = {___
; – ___
}
√9
3
3
3
3
❚ para nombrar a todos los números
reales menores que a se usa (–∞ ; a).
///////////)
a
No obstante, hay ecuaciones que no tienen solución en ¡.
Si se retoma el problema 1. e.
Encontrar, si existe, un número cuyo cuadrado sea –1.
S¡ es el conjunto solución de
una ecuación en el conjunto
de los números reales.
En este problema queda planteada la ecuación x2 = –1. Sin embargo cuando se multiplica un número real por sí mismo el resultado siempre es positivo. No existe entonces
ningún número real que elevado al cuadrado dé –1. Luego S¡ = ∅.
10. De la siguiente lista de números, indiquen cuáles son___
irracionales:
) 3 ___
) 1
27
12 ; 4π ; 2__14 ; –5 ; 2,1234... ; 7–1 ; 6,1 ; √____
___
150 ; 82/3 ; 21,6 ;
; 9,124; __
4
5
8
11. ¿Cuántos números hay en el intervalo [–5 ; 1] que sean:
a. naturales?
b. enteros?
c. racionales?
√
d. irracionales?
()
13. Completen el cuadro colocando una cruz cuando el número que
encabeza la fila pertenece al conjunto numérico que encabeza la columna:
¥
¢
¤
¡
–3
e. reales?
En los casos en que haya una cantidad finita, muéstrenlos a todos; si
–34,2345
____
son infinitos, muestren cuatro de ellos.
√ 101
12. Resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen su conjunto
23,21
12
___
solución en ¡.
a. x2 = 8
ADES
ACTIVID
64
b. x3 = ___
27
16
c. x4 = ___
81
d. x4 = –81
5
21
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C4: 10000
Módulo o valor absoluto de un número real
Un concepto importante en el conjunto de los números reales es el de módulo o valor
absoluto.
El módulo o valor absoluto de un número real x es la distancia que hay en la recta
numérica entre 0 y x. Se lo simboliza ⎪x⎪.
Por ejemplo:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
5
Si x ∊ ¡:
x si
⎮5⎮= 5
0
x≥0
5
⎪x⎪ =
–x si
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3
⎮–3⎮= 3
x<0
–3
0
Otros ejemplos son: ⎪–5,34⎪= 5,34 ; ⎪0⎪= 0 ; ⎪π⎪= π.
Por ser una distancia, el módulo de cualquier número real es siempre positivo o cero.
Problema 13
Encuentren, en cada caso, todos los números reales que verifiquen lo pedido.
a. Su módulo es 4.
b. Su módulo es menor que 5.
c. Su distancia al cero es mayor que dos.
4
Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+ U {0}:
ΙxΙ= a ⇔ x = a o x = –a
Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+
ΙxΙ< a ⇔ – a < x < a ⇔
x ∊ (– a ; a)
ADES
ACTIVID
–4
4
0
hay dos números cuyo módulo es 4: 4 y – 4.
En términos de ecuaciones, esta situación puede ser representada de la siguiente manera:
| x⎪ = 4 cuyo conjunto solución es S¡ = {4 ; –4}.
Hay dos números cuyo módulo es 5: 5 y –5. Todos los números que estén entre ellos
dos tendrán una distancia al 0 menor que 5.
En términos de ecuaciones esta situación puede plantearse así: ⎮x⎮< 5 cuya solución es S = (–5 ; 5) es decir, el
intervalo abierto (–5 ; 5).
Hay dos números cuyo módulo es 2: 2 y –2. Todos los
números que son mayores que 2 están a una distancia
al 0 mayor que 2. Pero también los números menores
que –2 están a una distancia del 0 mayor que 2.Una vez
más, en términos de ecuaciones, la situación puede
escribirse así:⎮x⎮> 2 y tiene,entonces, solución
S = (–∞ ; –2) ∪ (2 ; +∞)
(////////////////////////)
–5
5
0
2
2
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+:
ΙxΙ > a ⇔ x > a o x < – a ⇔
x ∊ (–∞ ; – a) ∪ (a ; +∞)
4
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Como se ve en la figura,
////////)
–2
(///////
0
2
14. Resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen su conjunto solución:
15. Resuelvan las siguientes inecuaciones, dando su conjunto solución:
a. |x| = 10
a. |x| ≤ 6
22
b. |x| = –4
c. |x| = 0
d. |x| = 5,1
b. |x| > 1
c. |x| ≥ 8
d. |x| < 2,3
Capítulo 1. Números Reales.
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Operaciones con números reales
Para resolver situaciones que involucran números irracionales que son raíces de
números enteros, la única manera de escribirlos en forma exacta es expresándolos como
radicales, ya que es imposible anotar sus infinitas cifras decimales no periódicas. Se
trabajará ahora, sobre la operatoria con este tipo de números.
Problema 14
En la figura se ven dos cuadrados de áreas 8 cm2 y 2 cm2 respectivamente.
a
Calcular el perímetro de la figura sombreada.
b
d
c
e
f
g
Como el área del cuadrado grande es 8 cm², entonces:
__
__ __ __ __
ac = cg = gf = fa = √ 8 cm
Como el área del cuadrado chico es 2 cm², luego:
__ __ __ __
__
ab = be = ed = da = √2 cm
__
__
Para calcular la longitud del segmento bc hay que encontrar el resultado de √ 8 – √2 .
__
__
____
__
__
__
__
__
__
√8 – √2 = √4 . 2 – √2
__
Se escribe al 8 como 4 . 2.
__
Se aplica la propiedad distributiva de la
radicación respecto de la multiplicación.
√8 – √2 = √4 . √2 – √2
__
__
√8 – √2 = 2 √2 – √2
__
__
Se resuelve la raíz exacta.
__
√8 – √2 = √2
__
__
Se opera.
__
La potenciación y la
radicación son distributivas
respecto de la multiplicación y de
la división. Simbólicamente:
__
Luego bc = √ 2 cm. De la misma forma df = √ 2 cm.
El perímetro de la figura sombreada es:
__ __ __ __ __ __
__
__
__
__
__
__
bc + cg + gf + fd + de + eb = (√2 + √ 8 + √8 + √ 2 + √2 + √ 2 )cm =
__
__
__
__
__
__
__
(√ 2 + 2√2 + 2√2 + √ 2 + √2 + √ 2 ) cm = 8 √2 cm.
Para resolver otros cálculos se puede proceder como en este ejemplo.
Si a, b ∊ ¡ y n ∊ ¥, b ≠ 0, se cumple
que:
(a . b)n = an . bn
(a : b)n = an : bn
Problema 15
Comparar, en cada caso, los siguientes números.
3 con __
3 √__
2 con 2 – √__
a. ____
2
b. _______
2
__
__
2
√ 2__
√2 + 2
__
__
__
__
c. ( √ 2 – √ 3 )2 – (3 √ 2 + 4 √ 3 )2 con –26 √ 6
Si a ≥ 0, b > 0 y n ∊ ¥ , n > 1, se
cumple que:
n
____
n
__
n
__
√a . b = √a . √b
__ n __
n __
√a
a = ___
__
b n√b
√
23
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C3: 10000
C4: 10000
Para poder comparar los números planteados en a. es conveniente transformar las
expresiones en otras equivalentes.
Para lograrlo, es posible realizar lo siguiente:
__
__
√2
3 = ___
3 . ___
____
__
__
__
√2
√2 √2
__
En una expresión algebraica
o en un número que tenga
por divisor a un radical puede
multiplicarse dividendo y divisor
por otro radical conveniente, de
modo de obtener una expresión
equivalente que tenga por
divisor un número racional.
Esta transformación se llama
racionalización.
Se multiplican el numerador y denominador por √2 .
__
3 √2 = __
3 √2 = _____
3 = _____
3 √__
____
2
__
__
2
2
√2
( √2 )2
Se opera, simplificando la expresión obtenida.
3 √__
3 = __
2 lo que indica que ambos números son iguales.
Entonces, ____
__
2
√2
__
2
con 2 – √2 se puede recurrir a la siguiente técnica:
Si se trata de comparar _______
__
√2 + 2
__
__
√2 – 2
2 = ______
2 . ______
______
__
__
__
√2 + 2
√2 + 2
Se multiplican el numerador y denominador por √2 –2.
√2 – 2
__
__
2 . (√2 – 2)
2 . (__√ 2 – 2)
______________
= _________
__
__
(√2 )2– 4
Se opera utilizando la propiedad de diferencia de
cuadrados.
( √2 + 2)( √2 – 2)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
__
__
__
2 . (√2 – 2)
2 . (√2 – 2)
_________
= _________ = –√ 2 + 2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2–4
Se opera.
–2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
__
2
Entonces, _______
= 2 – √2 .
__
√2 + 2
__
__
__
__
__
Si se trata de comparar a los números (√ 2 – √ 3 )2 – (3√ 2 + 4√ 3 )2 y –26√ 6 se puede
pensar de la siguiente manera:
Se desarrollan los cuadrados de los binomios y queda:
__
__
__
__
__
__ __
__
__
__
__
__
√
( 2 – √3 )2 – (3√2 + 4√3 )2 = [(√2 )2 – 2√ 2 √3 + (√3 )2] – [(3√2 )2 + 2 . 3√2 . 4√ 3 + (4√ 3 )2]
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
(√2 – √ 3 )2 – (3√2 + 4√ 3 )2 = (2 – 2√6 + 3) – (9 . 2 + 24√ 6 + 16 . 3)
Expresiones que tengan
por divisor una suma
compuesta por uno o dos radicales
(de índice 2) pueden racionalizarse
multiplicando el numerador y
denominador por la resta de esos
radicales.
__
__
__
(√ 2 – √3 )2 – (3√2 = 4√3 )2 = 5 – 2√ 6 – 18 – 24√6 – 48 = –61 – 26√ 6
__
__
__
__
__
__
Como (√2 – √ 3 )2 – (3√2 + 4√ 3 )2 = –61 – 26√ 6 , el resultado es menor que –26√6 , ya
que se le resta 61.
__
__
__
__
__
Entonces: (√2 – √ 3 )2 – (3√2 + 4√ 3 )2 < –26√6 .
__
ADES
ACTIVID
forma simplificada:
__
___
____
___
__
__
1 (8 – 2 √7 )
c. (√7 –2)2 – __
2
17. Comparen los siguientes pares de números:
__
__
1__
__1
b. ______
y √2 + 3
a. √7 y ___
√7
√2 – 3
a. √3 – 4 √12
24
b. 4 √125 – 7 √20
__
__
__
√3
1__ +1 y ___
d. ___
–1
2
√3
18. Escriban una expresión equivalente a cada una de las dadas donde
c. (4 – √3 )2 y (2 – √3 ) . (2 + √3 )
16. Realicen las siguientes operaciones e indiquen el resultado en
los radicales estén en el numerador.
1__
__ 1 __
b. _______
a. ___
√2 – √3
√5
3__
2__ + ___
c. ___
√2 √3
Capítulo 1. Números Reales.
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Resolución de ecuaciones
Problema 16
__
a. ¿Es cierto que x = √3 es solución de la ecuación –x2 + 2 . (1 – x)2 = 5 – 4x?
b. ¿Cuáles son todas las soluciones de la ecuación anterior?
Para saber si un número es solución de una ecuación puede reemplazarse la variable por
ese número y ver si la verifica, es decir, si se convierte en una igualdad numérica verdadera.
__
__
– (√3 )2 + 2 . (1 – √ 3 )2
__
__
–3 + 2 [1 – 2√3 + (√3 )2]
__
5 – 4 √3
__
Se reemplaza x por √3 cada vez que aparece.
__
5 – 4 √3
Se desarrolla el cuadrado del binomio y se opera.
__
–3 + 2 (1 – 2 √__3 + 3) =
–3 + 2 – 4√3__+ 6 =
5 – 4√ 3
__
5 – 4 √3
Se simplifica, se aplica la propiedad distributiva y
se opera.
__
__
__
Como se ha llegado a una igualdad verdadera (5 – 4√ 3 = 5 – 4 √3 ), √3 es solución de
la ecuación.
__
¿Es x = √3 la única solución de la ecuación?
Para responder a esta pregunta no alcanza con lo realizado en a., ya que eso no permite
saber si algún otro número verifica la ecuación. Para saber si es la única solución, debe
resolverse la ecuación.
–x2 + 2(1 – x)2 = 5 – 4x ⇔ – x2 + 2 . (1 – 2x + x2) = 5 – 4x ⇔
__
__
⇔ –x2 + 2 – 4x + 2x2 = 5 – 4x ⇔ x2 –4x + 4x = 5 – 2 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = √ 3 o x = – √3 .
__
__
__
Entonces, √3 no es la única solución. El conjunto solución es S¡ = {√ 3 ; –√ 3 }
Hay propiedades de los números reales que son útiles para encontrar soluciones a
diferentes tipos de ecuaciones. Sobre el análisis de esas propiedades y cómo resolver esas
ecuaciones tratan los siguientes problemas.
Problema 17
¿Qué valores de x verifican las siguientes ecuaciones?
a. (x – 1) . (x + 5) = 0
x2 – 4 = 0
d. _____
x+2
b. x.(x2–1) . (2x + 3) = 0
4x – 2 = 1
e. ______
2x – 1
c. x2 – 2x = 0
– x2 es equivalente a –(x2), es
decir que primero se eleva
al cuadrado al número y luego se
obtiene su opuesto, por lo que el
resultado será siempre negativo
o cero.
Si a ∊ ¡ y b ∊ ¡:
a.b=0⇔a=0ob=0
En matemática decir a = 0 o b = 0
equivale a decir que a vale 0, b vale
0 o ambos valen 0.
Como en la ecuación (x – 1) . (x + 5) = 0 se trata de un producto entre dos expresiones (x – 1) y (x + 5), dicho producto es 0 cuando alguna de ellas sea 0. Es decir cuando
x – 1 valga 0 o cuando x + 5 valga 0. Entonces:
(x – 1) . (x + 5) = 0 ⇔ x – 1 = 0 o x + 5 = 0 ⇔ x = 1 o x = –5
Luego, S¡ = {1 ; –5}.
25
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Definición de división:
Dados dos números reales a
y b, b distinto de 0,
a:b=c⇔a=b.c
0 : 5 = 0, porque 0 = 5 . 0;
¿Por qué la definición pide que el
divisor no sea 0?
7 : 0 no se puede resolver porque si
existe un c ∊ ¡ tal que
7 : 0 = c ⇒ 7 = c . 0, luego 7 = 0 y
esto es imposible.
0 : 0 tampoco se puede resolver
porque la operación no tendría
solución única.
Para encontrar la solución de la ecuación x . (x2 – 1) . (2x + 3) = 0 se puede pensar de
manera similar al caso anterior:
x . (x2 – 1) . (2x + 3) = 0
3
2x + 3 = 0 ⇔ x = – __
2
x2 – 1 = 0 ⇔ x = 1 o x = –1
x=0
3 }.
Con lo cual, S¡ = {0 ; 1 ; –1 ; – __
2
El modo de trabajo utilizado en la resolución de las ecuaciones anteriores es fértil
para resolver una ecuación como: x2 – 2x = 0
La expresión x2 – 2x puede transformarse en otra equivalente extrayendo factor común
x. Así, quedará expresada como un producto igual a 0.
x2 – 2x = 0 ⇔ x . (x – 2) = 0 ⇔ x = 0 o x – 2 = 0 ⇔ x = 0 o x = 2.
S¡ = {0 ; 2}
Pero hay que ser un poco más cuidadoso si se trata de buscar las soluciones de una
x2 – 4 = 0
ecuación como la siguiente: _____
x+2
2
x – 4 = 0 ⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 o x = – 2.
_____
x+2
Si a ∊ ¡ y b ∊ ¡ con b ≠ 0:
a = 0 ⇔ a = 0.
__
b
Pero la solución x = –2 anula al divisor, pues – 2 + 2 es 0; por lo tanto, x = –2 no puede
formar parte de la solución. Luego, S¡ = {2}.
4x – 2 = 1 puede ser tratada de la siguiente manera:
La ecuación ______
2x – 1
4x – 2 = 1 ⇔ 4x – 2 = 1 . (2x–1) ⇔ 4x – 2 = 2x – 1 ⇔ 2x = –1 + 2 ⇔ x = __
1
______
2x – 1
Definición de radicación:
❚ Dados a ∊ ¡ y n un número
natural impar mayor que uno:
n __
√a = b ⇔ bn = a
❚ Dados a ∊ ¡+ U {0}, b ∊ ¡+ U {0} y n
un número natural par:
n __
√a = b ⇔ bn = a
2
1 –1 es 0. Entonces x = __
1 no
1 es el valor que anula el denominador, pues 2 . __
Pero x = __
2
2
2
puede ser solución. Como es la única que surgió de la resolución, entonces S¡ = ø.
a = c son expresiones equivalentes excepto cuando b
Esto sucedió porque a = c . b y __
b
vale 0. Por ejemplo: 0 = 1 . 0 es una igualdad, pero no existe 0:0.
Problema 18
¿Es lo mismo elevar un número al cuadrado y luego extraer su raíz que extraer su raíz
y luego elevarlo al cuadrado?
__
Elevar un número al cuadrado y luego extraer su raíz se representa √x2 .
Si se prueba para algunos valores,
por ejemplo:
__
_____
__
___
x = 3 ⇒ √ 32 = √9 = 3 o x = –4 ⇒ √ (–4)2 = √16 = 4
En el primer caso, se obtiene el mismo número.
Esto ocurre para todos los valores de x
__
mayores o iguales que 0. Es decir: si x ≥ 0, √x2 = x (puede simplificarse cuadrado y raíz).
En el segundo caso, se obtiene el número
opuesto. Esto ocurre con todos los valores de x
__
que son negativos; es decir, si x < 0, √x2 = –x (no puede simplificarse cuadrado y raíz).
Sintetizando lo anterior, elevar al cuadrado a un número y luego extraerle raíz cuadrada equivale a calcular el módulo de dicho número.
26
Capítulo 1. Números Reales.
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__
En cambio, extraer la raíz de un número y luego elevar al cuadrado se escribe: (√ x )2
Si se prueba con algunos valores se obtiene:
__
___
x = 9 ⇒ (√ 9 )2 = 32 = 9 o x = –4 entonces , (√ –4 )2 que no se puede resolver porque no
está definida la raíz cuadrada de un número negativo.
Este cálculo contiene las mismas operaciones que el anterior pero en distinto orden;
es sustancialmente distinto: solo está __
definido para valores positivos o cero.
__
√
Es posible concluir entonces que x2 no es lo mismo que (√ x )2.
El análisis anterior permite pensar en la búsqueda de soluciones de distintas ecuaciones.
__
Si x ∊ ¡:
x si x ≥ 0
√x2 =
–x si x < 0
Dicho de otra manera:
__
√x2 = ⎮x⎮
__
Si x ∊ ¡+ U {0} : (√x )2 = x
Problema 19
Buscar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
_____
b. (x + 3)2 = 81
c. √x – 5 = 2
a. x2 = 81
______
d. √ 2x + 5 = x + 1
Una forma de resolver la primera ecuación es pensar en cuáles son los números que
elevados al cuadrado dan 81. De allí se obtiene que,
x2 = 81 ⇔ x = 9 o x = –9
Otra forma de resolverla es:
__
___
x2 = 81 ⇔ √ x2 = √81
⎮x⎮ = 9
Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros.
Se usa la propiedad anterior.
x = 9 o x = –9
Se usa la definición de módulo.
Para resolver (x + _______
3)2 = 81 se puede proceder de manera similar:
___
2
(x + 3) = 81 ⇔ √(x + 3)2 = √81 ⇔ ⎮x + 3⎮= 9 ⇔ x + 3 = 9 o x + 3 = –9 ⇔ x = 6 o x = –12
_____
Para resolver √ x – 5 = 2 el primer paso puede consistir en tratar de deshacerse de la
raíz cuadrada para lo cual se elevan ambos miembros al cuadrado. Hay que tener en cuenta que para que la raíz cuadrada esté definida debe cumplirse que x – 5 ≥ 0:
x – 5 = 22 ⇔ x – 5 = 4 ⇔ x = 4 + 5 ⇔ x = 9
______
Y para resolver la ecuación √ 2x + 5 = x + 1 se puede pensar en el siguiente recorrido:
2x + 5 = (x + 1)2 ⇔ 2x + 5 = x2 + 2x + 1 ⇔ x2 + 2x – 2x + 1 – 5 = 0 ⇔ x2 – 4 = 0
⇔ x = 2 o x = –2
Si a ∊ ¡, b ∊ ¡, a ≥ 0 y b ≥ 0:
__
√a = b ⇔ a = b2.
Sin embargo, x = 2 verifica la ecuación inicial, pero x = –2 no pues:
__________
________
si x = 2 ⇒ √ 2 . 2 + 5 = 2 + 1 ⇔ 3 = 3, si x = –2 ⇒ √2.(– 2) + 5 = –2 + 1 ⇔ 1 = –1
__
Esto se debe a que la expresión √ a = b no es equivalente a la expresión a = b2. Con
un valor negativo de b, puede ser cierta una de las igualdades y no la otra. Por ejemplo:
__
9 = (–3)2 pero √ 9 ≠ –3.
Por lo tanto, este método de resolución puede usarse, pero teniendo en cuenta que
pueden aparecer resultados que no son soluciones y que deben ser descartados.
Para evitar ese inconveniente puede plantearse inicialmente la condición que debe
cumplir x + 1. En este caso, x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ –1.
Así, solo queda por ver que los resultados de la ecuación cumplan la condición; x = 2 la
cumple (por eso es solución) y x = –2 no (por eso no lo es).
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Inecuaciones
Inecuaciones lineales
Problema 20
Encontrar todos los números que son solución de las siguientes inecuaciones:
2x–1≤2
a. 2x + 3 > 5
b. – __
c. –7 < –4x + 1 ≤ 9
3
Sean a, b y x números reales:
x+a<b⇔x<b–a
x+a>b⇔x>b–a
b
a . x < b, a>0 ⇔ x < __
a
b
a . x < b, a<0 ⇔ x > __
a
Para encontrar la solución de la primera inecuación se puede proceder de la siguiente manera:
2x + 3 > 5 ⇔ 2x > 5 – 3 ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 2 : 2 ⇔ x > 1
La inecuación tiene infinitas soluciones, todos los valores de x que verifican x > 1.
Para indicar el conjunto solución se puede escribir el intervalo correspondiente S = (1 ; +∞)
o representarlos en la recta numérica:
(///////////////////////
1
0
Al resolver la segunda inecuación se obtiene:
9
2 ⇔ x ≥ – __
2 x ≤ 2 + 1 ⇔ – __
2 x ≤ 3 ⇔ x ≥ 3 : – __
2 x – 1 ≤ 2 ⇔ – __
– __
3
3
3
3
2
( )
2 es un número negativo.
El cambio del signo de la desigualdad ocurre porque – __
3
9
__
El conjunto solución es: S = [– ; +∞) y su representación en la recta numérica:
2
[////////////////////////
9
– __
2
0
La tercera inecuación es un ejemplo de una inecuación doble.
–7 < –4x + 1 ≤ 9 ⇔ –7 < –4x + 1 y –4x + 1 ≤ 9 , quedan por resolver dos inecuaciones:
a<x<b⇔a<x y x<b
–7 < –4x + 1
y
–4x + 1 ≤ 9
–7 – 1 < –4x
y
–4x ≤ 9 –1
–8 < –4x
y
–4x ≤ 8
–8 : (–4) > x
y
x ≥ 8 : (–4)
2>x
y
x ≥ –2
x<2
y
x ≥ –2
Las dos condiciones deben cumplirse en simultáneo porque están conectadas por “y”,
por lo que debe realizarse la intersección entre ellas:
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)
[//////////////////////
–2
0
2
El conjunto solución es: S = [–2 ; 2)
28
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Inecuaciones cuadráticas
Problema 21
a. ¿Cuáles son los números reales que verifican la inecuación: x2 ≤ 4?
b. ¿Cuáles son los números reales que verifican la inecuación: x2 > 3?
Existen distintas formas de resolver la primera inecuación.
Una forma, es pensar en qué números elevados al cuadrado dan menores o iguales que 4.
Estos números deben ser menores que 2, pero también mayores que –2. Entonces S = [–2 ; 2].
Otra forma de hacerlo__es:
__
x2 ≤ 4 ⇔ √x2 ≤ √4 ⇔ ⎮x⎮ ≤ 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 2. Luego, S = [–2 ; 2]
Los números que elevados __
al cuadrado dan mayores que 3 verifican:
__
__
__
__
2
√
x > 3 ⇔ x2 > √ 3 ⇔ ⎮x⎮ > √3 ⇔ x > √ 3 o x < – √3
__
__
La solución es S = (–∞ ; –√3 ) ∪ (√3 ; +∞).
Problema 22
¿Para qué valores de x se verifica (x + 3).(x – 5) > 0?
Como un producto de dos números es positivo cuando ambos números tienen el mismo signo:
(x + 3).(x–5) > 0 ⇔
x+3>0 y x–5>0
o
x+3<0 y x–5<0
x > –3 y x > 5
o
x < –3 y x < 5
(\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
(////////////
–3
\\\)
/////////////////)
–3
5
5
S1 = (5 ; +∞)
S2 = (–∞ ; –3)
Luego: S = (–∞ ; –3) ∪ (5 ; +∞).
Problema 23
x + 2 < 0?
¿Cuáles son los números que verifican la inecuación: _____
x–4
Como un cociente es negativo cuando el dividendo es positivo y el divisor es negativo
x + 2< 0 ⇔
o viceversa: _____
x–4
x+2>0 y x–4<0
o
x+2<0 y x–4>0
x > –2 y x < 4
o
x < –2 y x > 4
(////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\)
o
–2
4
S1 = (–2 ; 4)
(\\\\\\\\
//////)
o
–2
La regla de los signos
de la multiplicación y
de la división puede ser escrita
simbólicamente de la siguiente
manera:
a ∊ ¡ y b ∊ ¡:
a . b > 0 ⇔ (a>0 y b>0) o (a<0 y b<0)
a . b < 0 ⇔ (a>0 y b<0) o (a<0 y b>0)
Si además b ≠ 0:
a > 0 ⇔ (a>0 y b>0) o (a<0 y b<0)
__
b
a < 0 ⇔ (a>0 y b<0) o (a<0 y b>0)
__
b
Es decir, el producto y el cociente
de dos números reales son
positivos cuando ambos números
tienen el mismo signo y son
negativos cuando ambos números
tienen distinto signo.
4
S2 = ø
Luego: S = (–2 ; 4)
29
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ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN
19. Decidan cuál de los siguientes números es mayor:
____
a = √144 – 10
o b = (34 – 43) – (42 – 24).
a. Hallen cuatro ternas pitagóricas. Verifiquen que cumplen el
Teorema de Pitágoras.
b. Encuentren ahora dos ternas pitagóricas que contengan a algún
20. Escriban una fórmula que permita obtener a todos los múltiplos de
número irracional. Verifiquen que cumplen el Teorema de Pitágoras.
8. Muestren, usándola, que el número 808 es uno de ellos.
26. Se supone, sin certeza, que los griegos fueron quienes tuvieron los
21. ¿Cuál es el resto de dividir 24 n + 17 por 4? ¿Y por 6?
primeros acercamientos con los números irracionales. Ellos hablaron
de segmentos inconmensurables (hoy se diría segmentos de longitud
22. Resuelvan las siguientes inecuaciones e indiquen su conjunto solución:
irracional). En un diálogo entre Teeteto, amigo de Platón, y Sócrates
a. ⎮x⎮ ≤ 10
b. ⎮x⎮ > 2
c. ⎮x⎮ ≥ 3,1
(en la primera mitad del siglo IV a.C.) discutían sobre los números
d. ⎮x⎮ < √2
e. ⎮x⎮ < 0
f. ⎮x⎮ ≥ 0
inconmensurables: observaron que distintos pares de números eran
g. ⎮x⎮ ≥ –5
h. ⎮x⎮ < –2
i. ⎮x⎮ < 6,1
inconmensurables y que la razón de sus cuadrados podía o no serlo
__
(aclaración:
la razón entre dos números es el cociente entre ellos).
______
__
______
__
23. La escuela pitagórica estuvo compuesta por un grupo de
a. √1 + √3 y √1 + √5 son irracionales. ¿Cómo es la razón de sus
matemáticos griegos liderados por Pitágoras (siglo V a.C.). Se atribuye
cuadrados?
a ellos la clasificación de los números naturales (mayores que 1) en
b. √3 y √5 también son irracionales. ¿Cómo es la razón de sus cuadrados?
__
__
perfectos, abundantes y deficientes. A cada número se le calcula la
suma de sus divisores positivos (sin contarlo a él). El número es perfecto
27. Escriban una fórmula que genere a todos los números enteros que
cuando la suma de esos divisores coincide con él, es deficiente cuando
tienen resto 3 al dividirlos por 4. Justifiquen, usando la fórmula, que 75
es menor que él y es abundante cuando es mayor que él.
tiene resto 3 al dividirlo por 4 y que 53, no.
a. Clasifiquen a los siguientes números naturales: 4, 6 y 36.
b. Hallen los dos primeros números naturales que sean perfectos.
28. Propongan tres pares de números a y b que cumplan que entre
ambos haya 36 números enteros y a y b sean ...
24. Los pitagóricos también estudiaron a aquellos pares de números
I. positivos.
II. negativos.
contarlo a él mismo) coincide con el otro y viceversa. Llamaron amigos
a estos pares de números.
III. uno positivo y otro
negativo.
naturales en los que la suma de los divisores positivos de uno (sin
29. Hallen dos números racionales y dos irracionales que estén entre:
__
__
3 y 0,37
7 y __
7
c. ___
b. √3 y √6
a. __
10 9
8
a. 12 y 15 no son números amigos. Verifíquenlo.
b. 220 y 284 son números amigos. Prueben esta afirmación.
30. En una calculadora se dividieron dos números enteros. En la
c. Thabit Ibn-Qurra (siglo IX) fue un matemático árabe, que se ocupó
pantalla apareció escrito: 6,618025751. El cociente entre los dos
de realizar traducciones del griego y del sirio. Al traducir una de las
números elegidos, ¿es racional o irracional? Justifiquen.
obras de los pitagóricos, realizó un aporte valioso: halló una forma de
generar pares de números amigos, que es la siguiente.
31. Las siguientes afirmaciones son falsas. Justifíquenlas.
Si p, q y r son números primos positivos tales que p = 3 . 2n – 1,
a. Cualquiera sea a ∊ ¡, el número –a es negativo.
q = 3 . 2n – 1 – 1 y r = 9 . 22n – 1 – 1 (con n ε ¥ y n > 1), entonces los
números x = 2n . p . q e y = 2n . r son pares de números amigos.
b. Cualquiera sea a ∊ ¡, el número (–a)2 es negativo.
__
2
1
c. Si a = –√6 , el número __
a – a es irracional.
(
)
Muestren que el par de números amigos indicados en b. son el menor
__
posible y encuentren el próximo par de amigos.
32. Hallen el valor de la expresión –x2 + 3x – 1 cuando x = 2 + √5 .
25. Los pitagóricos propusieron una forma de obtener ternas de
33. Indiquen el conjunto solución de las siguientes ecuaciones e
valores enteros que cumplan el que hoy se conoce como Teorema de
inecuaciones:
4 = –1
a. 3 + ____
x+3
d. ⎮x⎮ ≥ 9
1 – 3x ≥ –2
g. _____
4
j. x2 + 6 ≥ 0
Pitágoras. Sin embargo, esta versión parece una modificación de lo que
ya conocían los babilonios, por lo que es posible que no sea un aporte
totalmente original de los griegos. Las ternas propuestas tienen la
p2 – 1 p2 + 1
forma p, _____ y _____ , siendo p un natural impar mayor que 1.
2
2
30
b. (–2x + 1) . (x – 5) . x = 0
______
e. √x2 + 5x = x
h. –2 (x + 5) > – x +3
–3x + 4 > –5
c. ______
2
f. 4 + (x + 2)2 = 13
2x – 4 < –3
i. _____
x–1
Capítulo 1. Números Reales.
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C1: 10830
C2: 10000
C3: 10000
C4: 10000
AUTOEVALUACIÓN
Elijan, en cada caso, las alternativas correctas:
a
Cualquiera sea el valor real de x.
b
Solo cuando x es mayor o igual que 0.
c
Solo cuando x es menor que 0.
d
Solo cuando x es entero.
1. A. x = 4 es una solución de la ecuación
x2 – 16
a
x–4 =0
______
b
______ = 0
c
1=4
__
d
1 =0
_____
x2 – 16
x
x+4
__
5. La expresión √x2 está definida:
x–4
B. Una ecuación cuya solución es S = ø es ...
1 =5
__
a
x
1 =0
__
x
c
a = 0 es equivalente a ...
C. __
b
a=0yb=0
a
a≠0y b=0
c
__
b
1 = √2
__
x
d
Ninguna de las anteriores.
a
Cualquiera sea el valor real de x.
b
Solo cuando x es mayor o igual que 0.
c
Solo cuando x es menor que 0.
d
Solo cuando x es entero.
6. Cualquier número irracional elevado al cuadrado da por
b
a=0yb≠0
d
a≠0yb≠0
resultado un número:
a
Entero.
b
Racional.
c
Irracional.
d
Real.
D. Una ecuación que tiene solución en ¢ es ...
1
x2 = __
4
x2 = 5
a
c
b
x3 = 8
d
x4 = –1
7. Entre 4,51 y 4,52 ...
2. Las afirmaciones verdaderas son:
__
__ 2
a
No hay números racionales.
b
No hay números irracionales.
c
Hay infinitos números irracionales.
d
Hay números enteros.
Cualquiera sea el número real x, se cumple que √x2 = (√x ) .
a
__
Existen números reales para los cuales la expresión √x2 no
b
está definida.
6 – x = 0 es …
8. El conjunto solución de la ecuación ______
36 – x2
{6}
{–6}
a
b
Cualquier número irracional elevado al cuadrado da por
c
c
resultado un número racional.
{6 ; –6}
d
ø
Hay ecuaciones que no tienen solución en el campo de los
d
–2x < 0 es:
9. El conjunto solución de la inecuación _____
x–1
números reales.
e
Existen números racionales que son enteros.
f
El siguiente de 2,3 es 2,4.
3. El único número que cumple simultáneamente las siguientes
a
(–∞ ; 0) ∪ (1 ; +∞)
b
(1 ; +∞)
c
(0 ; +∞)
d
(0 ; 1)
10. Una solución de la ecuación 4x + (x–2)2 = 11 es:
condiciones: es primo, pertenece al intervalo (–80 ; –70), la suma de las
cifras de su módulo es un cuadrado perfecto, es:
a
–77
b
–73
c
–71
d
–79
__
__
4. √x2 = (√x )2
a
c
__
1 √7
__
2 __
–2√7
__
b
–√7
d
2√7
__
3 y 2x2 + 8 < 16 es:
11. Una solución común a las inecuaciones ⎮x⎮ ≥ __
2
a
2
b
c
–2
d
7
– __
4
__
–√2
31
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