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Lección 2.4 MAGNITUDES INCONMENSURABLES (NÚMEROS IRRACIONALES) Objetivos 1.-Demostrar que raíz cuadrada de 2 es un número irracional. 2.- Definir a los números irracionales como decimales no periódicos Existen decimales no periódicos y estos no provienen de los racionales . Escuela Pitagórica Al principio la gente sencillamente no pensó en esta cuestión. Si al dividir o medir un intervalo se llegaba a partes muy pequeñas , estas se desechaban sin más; en la práctica no tenía sentido hablar de una precisión infinita en el proceso de medida. Pero existen distancias inconmensurables. Por ejemplo la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado; en otras palabras, el cociente de los dos no puede expresarse como el cociente de dos números enteros. Este descubrimiento produjo gran impresión a los científicos griegos. En la existencia de intervalos inconmensurables los griegos descubrieron una profunda paradoja inherente al concepto de continuidad. Pero esta cuestión NO se abordara en este curso, por lo que recomendamos al lector interesado en el tema consultar libros avanzados de Análisis Matemático. Ejemplos de decimales no periódicos π ≈ 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511… e ≈ 2.7182818284590452353602874713526624977572470937… 2 ≈ 1.41421356237309504880168872420969807856967187 ü Demostración de que 2 no es un numero racional, consecuentemente es un decimal NO periódico.Considere el triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud igual a uno. Colocado sobre la recta en la forma indicada por la figura 2.3 Figura 2.3 Por el teorema de Pitágoras sabemos que la hipotenusa tiene por longitud unidades, pero 2 2 ! no es decimal periódico !, y si no es decimal periódico entonces no es número racional; ya que sí así fuera, entonces sabríamos, que existen números p y q tales que: 2= p q donde p y q no son múltiplos uno del otro. Así, 2= p q q 2= p p 2 = 2q 2 (1) Lo cual implica que p 2 es un entero par y, por lo tanto, p es par. Así entonces, p = 2s (2) sustituyendo (2) en (1) tenemos: 4s2 = 2q 2 lo que implica que también q es par, lo cual contradice el hecho de que p y q no eran múltiplos uno del otro. Los griegos denominaban racionales a los números que podían expresarse como una razón de enteros ( esto es, p/q); y como hemos visto, esto no es posible para 2 , por lo que a los números que no pueden expresar como razón de dos enteros se les llama números irracionales Los números irracionales son expresiones decimales no periódicas