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TRIGONOMETRÍA
1.
ÁNGULOS
Origen: A
Positivos: sentido antihorario.
Negativos: sentido horario.
+
Sistema sexagesimal

MEDIDA DE ÁNGULOS Sistema centesimal
Radianes

O
A
• SISTEMA SEXAGESIMAL. Unidad: El grado sexagesimal (º).
1 ángulo completo= 360º
1º =
1
ángulo completo
360
1º

1º = 60' 1' =
Minuto sexagesimal (' )
60
Divisores 
1'
Segundo sexagesimal (" ) 1' = 60" 1" =
60

• SISTEMA CENTESIMAL. Unidad: El grado centesimal (g).
1 ángulo completo= 400 g.
1g =
1
ángulo completo
400

1g
g
m
m
1m =
Minuto centesimal ( ) 1 = 100
100
Divisores 
m
Segundo centesimal ( s ) 1m = 100 s 1s = 1

100
• RADIANES. Unidad: El radián (rad).
Un radián es un ángulo central correspondiente a un arco
de circunferencia de longitud igual al radio de dicha
circunferencia.
r
r
Longitud de la circunferencia= 2πr.
1 rad
1 ángulo completo= 2π rad.
1 rad =
r
1
ángulo completo
2π
1 rad = 57º17’44”
RELACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS
360º = 400g = 2π rad
y simplificada
180º = 200g = π rad
TRIGONOMETRÍA
Gerardo Bustos Gutiérrez
1
2.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
(Razones trigonométricas de un ángulo agudo)
r
y
α
x
SENO
sen α =
cateto opuesto
hipotenusa
sen α =
y
r
COSENO
cos α =
cateto contiguo
hipotenusa
cos α =
x
r
TANGENTE
tg α =
cateto opuesto
cateto contiguo
tg α =
y
x
COSECANTE
cosec α =
hipotenusa
cateto opuesto
hipotenusa
sec α =
cateto contiguo
cosec α =
r
y
SECANTE
COTANGENTE
cotg α =
r
x
x
cotg α =
y
sec α =
cateto contiguo
cateto opuesto
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO
P(x,y)
r
α
SENO
COSENO
TANGENTE
COSECANTE
SECANTE
COTANGENTE
TRIGONOMETRÍA
y
x
ordenada
radio
abscisa
cos α =
radio
ordenada
tg α =
abscisa
sen α =
radio
ordenada
radio
sec α =
abscisa
abscisa
cotg α =
ordenada
cosec α =
sen α =
cosec α =
Gerardo Bustos Gutiérrez
y
r
x
cos α =
r
y
tg α =
x
r
y
r
x
x
cotg α =
y
sec α =
2
3.
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
P(x,y)
P(x,y)
r
r
y
y
α
α
x
x
Primer cuadrante
α∈I
Segundo cuadrante
α ∈ II
x>0
y>0
x<0
y>0
r>0
α
x
α
x
y
y
r
r
P(x,y)
TRIGONOMETRÍA
P(x,y)
Tercer cuadrante
α ∈ III
Cuarto cuadrante
α ∈ IV
x<0
y<0
x>0
y<0
I
II
III
IV
sen
+
+
-
-
cosec
cos
+
-
-
+
sec
tg
+
-
+
-
cotg
Gerardo Bustos Gutiérrez
3
4.
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
cosec α =
1
sen α
sec α =
1
cos α
1
tg α
cotg α =
tg α =
sen α
cos α
cotg α =
cos α
sen α
Fórmula fundamental de la Trigonometría
sen 2α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 =
1
1 + cot g 2α =
cos α
2
tg 2 α + 1 = sec 2 α
1
sen 2 α
1 + cot g 2α = cos ec 2α
Recorrido de las razones trigonométricas
5.
−1 ≤ sen α ≤ 1
cosec α ≤ −1
−1 ≤ cos α ≤ 1
sec α ≤ −1
−∞ < tgα < +∞
−∞ < cotg α < +∞
cosec α ≥ 1
ó
ó
sec α ≥ 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS
Razones trigonométricas de 0º, 90º, 180º y 270º.
0º
90º
180º
270º
sen
0
1
0
-1
cos
1
0
-1
0
tg
0
0
cosec
sec
1
-1
1
-1
cotg
0
0
Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.
TRIGONOMETRÍA
30º
45º
60º
sen
1
2
2
2
cos
3
2
2
2
3
2
1
2
tg
3
3
1
3
cosec
2
2
2 3
3
sec
2 3
3
2
2
cotg
3
1
3
3
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4
6.
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos la circunferencia trigonométrica: r = 1
E
F
A
E
F
C
A
α
α
O
B D
D
O
B
C
Segundo cuadrante
α ∈ II
Primer cuadrante
α∈I
r=1
E
F
E
F
C
α
B
O
α
B D
O
D
A
A
Cuarto cuadrante
α ∈ IV
Tercer cuadrante
α ∈ III
sen α = AB
cos α = OB
tg α = CD
cosec α = OF
secα = OC
cotgα = EF
¡OJO! Esto es cierto únicamente cuando el radio es la unidad: r = 1 .
TRIGONOMETRÍA
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5
C
7.
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS
I
II
α
180º−α
I
III
α
180º+α
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Son aquellos que suman 180º
P’(-x,y)
P(x,y)
P’
P
y
y
180º-α
α
Q’
-x
O
x
sen (180º −α ) = sen α
Q
cosec (180º −α ) = cosec α
cos (180º −α ) = − cos α
sec (180º −α ) = − sec α
tg (180º −α ) = − tg α
cotg (180º −α ) = − cotg α
ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º
P(x,y)
P
y
180º+α
Q’
α
-x
O
x
Q
-y
P’
P’(-x,-y)
sen (180º +α ) = − sen α
cosec (180º +α ) = − cosec α
cos (180º +α ) = − cos α
sec (180º +α ) = − sec α
cotg (180º +α ) = cotg α
tg (180º +α ) = tg α
TRIGONOMETRÍA
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6
I
IV
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
α
360º−α
P(x,y)
P
y
O
α
x
360º-α
Q
-y
P’
P’(x,-y)
sen (360º −α ) = − sen α
cosec (360º −α ) = − cosec α
cos (360º −α ) = cos α
sec (360º −α ) = sec α
tg (360º −α ) = − tg α
cotg (360º −α ) = − cotg α
I
IV
ÁNGULOS OPUESTOS
α
−α
P(x,y)
P
y
O
α
-α
x
Q
-y
P’
P’(x,-y)
sen (−α ) = − sen α
cosec (−α ) = − cosec α
cos (− α ) = cos α
sec (− α ) = sec α
tg (− α ) = − tg α
TRIGONOMETRÍA
cotg (− α ) = − cotg α
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7
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son aquellos que suman 90º
I
I
α
90º−α
I
II
α
90º+α
P’(y,x)
x
º-α
90
α y
O
P(x,y)
y
Q’
Q
x
sen (90º −α ) = cos α
cosec (90º −α ) = sec α
sec (90º −α ) = cosec α
cos (90º −α ) = sen α
tg (90º −α ) = cotg α
cotg (90º −α ) = tg α
ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 90º
P’(-y,x)
P(x,y)
P’
P
x
y
90º+α
α
Q’
-y O
sen (90º +α ) = cos α
Q
cosec (90º +α ) = sec α
sec (90º +α ) = − cosec α
cotg (90º +α ) = − tg α
cos (90º +α ) = − sen α
tg (90º +α ) = − cotg α
TRIGONOMETRÍA
x
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8
8.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ADICIÓN
SUMA Y DIFERENCIA
sen (α + β )= sen α ⋅ cos β + cos α ⋅ sen β
sen (α − β )= sen α ⋅ cos β − cos α ⋅ sen β
cos (α + β )= cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ sen β
cos (α − β )= cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β
tg α + tg β
tg (α + β ) =
1 − tg α ⋅ tg β
tg (α − β ) =
tg α − tg β
1 + tg α ⋅ tg β
ÁNGULO DOBLE
sen 2α =
2 ⋅ sen α ⋅ cos α
cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
2 ⋅ tg α
tg 2α =
1 − tg 2 α
ÁNGULO MITAD
sen
A
1 − cos A
=±
2
2
cos
A
1 + cos A
=±
2
2
tg
A
1 − cos A
=±
2
1 + cos A
TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS
1
⋅ [sen (α + β ) + sen (α − β )]
2
1
cos α ⋅ cos β = ⋅ [cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sen α ⋅ sen β = ⋅ [cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
sen α ⋅ cos β =
TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS
A+ B
A− B
⋅ cos
2
2
A+ B
A− B
⋅ sen
sen A − sen B = 2 ⋅ cos
2
2
A+ B
A− B
cos A + cos B = 2 ⋅ cos
⋅ cos
2
2
A+ B
A− B
cos A − cos B = −2 ⋅ sen
⋅ sen
2
2
sen A + sen B = 2 ⋅ sen
TRIGONOMETRÍA
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9
9.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
B
a
ÁNGULOS
A = 90º 
 ⇒ B + C = 90º
A + B + C = 180º 
c
B y C son complementarios
C
b
B + C = 90º
A
TEOREMA DE PITÁGORAS
a2 = b2 + c2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
b
a
c
sen C =
a
sen B =
c
a
b
cos C =
a
b
c
c
tg C =
b
cos B =
tg B =
10. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
B
ÁNGULOS
a
C
c
b
A + B + C = 90º
A
TEOREMA DEL SENO
b
c
a
=
=
sen A sen B sen C
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
La razón constante entre el lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita al mismo:
a
b
c
=
=
= 2R
sen A sen B sen C
siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
TEOREMA DEL COSENO
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el
doble producto de los mismos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
Análogamente:
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
TRIGONOMETRÍA
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10
TEOREMA DE LA TANGENTE
a+b
=
a −b
A+ B
2
A− B
tg
2
tg
En todo triángulo, la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos
opuestos es a la tangente de la semidiferencia de los mismos.
FÓRMULAS DE BRIGGS
tg
A
=
2
( p − b)⋅ ( p − c )
p ⋅ ( p − a)
tg
B
=
2
( p − a )⋅ ( p − c )
p ⋅ ( p − b)
tg
C
=
2
( p − a )⋅ ( p − b)
p ⋅ ( p − c)
donde p es el semiperímetro.
11. ÁREA DE UN TRIÁNGULO
B
• Dado un lado y la altura sobre dicho lado.
a
S=
c
b⋅h
2
h
• Dado un lado y dos ángulos.
C
b
A
S=
b 2 ⋅ sen A ⋅ sen C
2 ⋅ sen ( A + C )
• Dados los lados y el radio de la circunferencia circunscrita.
S=
a ⋅b⋅c
4R
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita.
• Dado el perímetro y el radio de la circunferencia inscrita.
S = p⋅r
siendo p el semiperímetro y r el radio de la circunferencia inscrita.
• Dados los tres lados.
S=
p ⋅ ( p − a )⋅ ( p − b)⋅ ( p − c )
donde p es el semiperímetro.
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11
TRIGONOMETRÍA
π/2
π
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FUNCIÓN COSENO
3π/2
π
π/2
0
0
π
270º
180º
90º
0º
3π/2
0
3π/2
π/2
FUNCIÓN SENO
2π
360º
12. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12
FUNCIÓN TANGENTE
0
TRIGONOMETRÍA
π/2
Gerardo Bustos Gutiérrez
π
3π/2
2π
13