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Trigonometría es una palabra de etimología
griega, aunque no es una palabra griega.
Se compone de trigonon que significa
triángulo y metria que significa medición.
Y se habla de ella como matemática
práctica.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS
CATETO
AGUDOS
HIPOTENUSA

CATETO CONTIGUO A
SENO
COSECANTE
COSENO
SECANTE
TANGENTE
COTANGENTE
CatetoOpuestoa a
sena =
Hipotenusa
CatetoContiguo a 
cos  
Hipotenusa
OPUESTO
A


Hipotenusa
cosec 
Cateto Opuesto 
Hipotenusa
sec  
Cateto Contiguo 
CatetoOpuesto a 
Cateto Contiguo a 
tan  
cot  
CatetoContiguo a 
Cateto Opuesto 
EJEMPLO :
H

sen 
cos  
TEOREMA DE PITÁGORAS
12
H  1369  37
35
12
37
35
37
H2  122  35 2
tan
cot 
12
 35
35
 12
sec  
csc  
37
35
37
12
MEDIDAS DE ÁNGULOS:
•SISTEMA SEXAGESIMAL
•La circunferencia se divide en 360
partes iguales.
•Cada una de ellas es un grado
sexagesimal.
•Cada grado se divide en 60 minutos y
cada minuto en 60 segundos.
•En la calculadora aparece con la
denominación DEG
Notación:
30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’
•RADIANES
•Un radián es la medida del ángulo central
cuyo arco mide lo mismo que el radio de la
circunferencia
R
R
•Una circunferencia mide 2p radios y como
cada radio da lugar a un radián:
360º equivalen a 2p radianes
¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián?
360º
___________ 2p rad
xº
___________ 1 rad
x = 360º/2p = 57,29º
100º
•SISTEMA CENTESIMAL
•Cada cuadrante se divide
en 100 partes.
•En la calculadora aparece con la
denominación GRA.
0º
200º
400º
•Actualmente apenas se utiliza.
300º
Ángulos equivalentes :
Como
360º
p
____ 2p rad
entonces
180º ____p rad
90º
____ p/2 rad
30º
____ p/6 rad
0
p
60º ______2p/6 =p/3 rad
p
p
270º ______ 3p/2 rad
p
p6
Ejemplo: Cuántos radianes son 300º
180º ____p rad
0
p
p
300º ____ x rad
entonces
p
x=300º p/180º = 5p/3 rad
p
Circunferencia goniométrica
De todos los triángulos rectángulos
semejantes, elegimos el de hipotenusa la
unidad.
De esta manera, el seno y el coseno se
identifican con la longitud de los catetos:
y
1
x
cos α 
1
sen α 

y  sen α

x  cos α
y
y'
:
tg α 
aplicando Thales tg α 
 tg α  y'
x
1
Observamos que entonces que
senα
=tgα
cosα
R=1
3 p /2
Construimos triángulos
rectángulos semejantes que
contengan al ángulo
.
Según el Teorema de Thales sus
lados son proporcionales, por lo
que:
y

x
tg α 
y
y' y' '


x
x' x' '
Las razones trigonométricas de un ángulo son
independientes del triángulo en el que se
calculen.
Diremos que las razones trigonométricas son
propias de cada ángulo, lo califican y lo
diferencian de los demás ángulos.
x'
y'
y''
x''
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
Y1
sen g
-1
A
b
g
a
cos b
O
d
C
-1
cos 
cos d
D
0
1  1
 1  sen
sen 
cos g
El seno y el coseno de cualquier
ángulo toma valores mayores o
iguales a –1 y menores o iguales
a1
sen d
sen b
B
1
X
 1  cos   1
+
+
__
-1
SIGNO DEL SENO
_ +
_ +
SIGNO DEL
COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
cotg
d
Y
cotg
b
cotg

cotg g
b
g
a
La tangente y la
cotangente de un
ángulo puede
tomar cualquier
valor .
tg d
tg b
C
   tg   
1
O
d
A
tg 
tg g
B
D

  cot g   
X
_ +
_
+
TANGENTE Y
COTANGENTE
IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS
senα
=tgα
cosα
Como hemos visto antes tenemos que
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de
hipotenusa la unidad:
sen2α+cos2α=1
Dividiendo ambos miembros entre cos2a:
tg2α+1=sec2α
Y dividiendo entre
2
2
1+cotg α=cosec α
sen2a:
Como consecuencia de la primera igualdad se cumple:
-1 ≤
sen
≤
-1 ≤
cos

1
≤ 1
EJEMPLO 1 Sabiendo que es un ángulo agudo tal
que sen =2/3 calcula el cos y tan
3
2
sen   cos   1 
2
2
4
 cos 2   1 
9
sen
tan  

cos 
2
2

cos
 1
 
3
4 5
cos   1   
9 9
2
2
2 5
3
tan  

5
5
3

5
5
cos  

9 3
2
EJEMPLO 2
Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que
cos α=0,63 calcula el sen α y tan α
sen    0,63  1  sen   0,3969  1 
2
2
2
sen   1  0,3969  0,6031 
2
sen   0,6031  0,777
EJEMPLO 3
Sabiendo que α es un ángulo agudo tal que
tagα=2 calcula el sen α y cosα
sen

 tag

cos 

sen 2  cos 2   1
sen
 sen  2cos 
2

cos 


sen 2  cos 2   1 4cos2   cos2   1 
1
2
2
1 1
5
5cos   1  cos   
cos  


5
5
5
5
5
sen  2· 
5
2 5
sen 
5
RAZONESTRIGONOMÉTRICAS
DE 30º, 45º y 60º
Triángulo rectángulo isósceles
1
2
sen45 

2
2
cos 45o 1  2
2
2
o
tg45  1
o
1
2
45o
45o(
1
Triángulo rectángulo mitad de un
triángulo equilátero
30
1
sen30
o
3
60
1
2
O
2
o
1

2
sen 60 
3
2
cos60 
cos 30o 
tg30  3
3
o
o
3
2
1
2
o
tg60o 
3
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º
el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo
tanto
sen 90º = 1
Y
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
O
cos 
Observa que al ir disminuyendo
el ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser
0, mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es
decir,
P(x,y)
sen 

sen 
sen 
sen 
sen 
cos 90º = 0
sen 0º = 0
radio=
1
X
cos 0º = 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º
(0,1)
Ángulo
coseno
seno
tangente
0º
1
0
0
90º
0
1
∞
180º
-1
0
0
270º
0
-1
∞
(-1,0)
(1,0)
(0,-1)
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
1) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b90º
b90º - 
sen  = cos ( 90º -  )
cos  = sen ( 90º -  )
tg 
= ctg ( 90º - )
2) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 20 CUADRANTE
a) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
b180º
b180º - 
sen (180º -  ) = sen 
cos (180º -  ) = - cos 
tg (180º -  )
b) ÁNGULOS 
= - tg 
y p/2 + 
sen ( p/2 +  ) = cos 
cos ( p/2 +  ) = - sen 
tg ( p/2 +  ) = - cotg 
3) REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 3er CUADRANTE
a) 
y
180º + 
sen (180º +  ) = - sen 
cos (180º +  ) = - cos 
tg (180º +  )
b)

y
= tg 
270 - 
sen (270º-) = - cos 
cos (270º-) = - sen a
tg (270º-a) =
cotg a
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO 
En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27º y la
hipotenusa 46m. Halla los dos catetos
46
c
27o
b
c
sen27º 

46
c  46·sen27º 
b
cos 27º 
 b  46·cos 27º 
46
c  20, 88m
b  40, 99m
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO 2 : DATOS ; LOS DOS CATETOS
Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17cm y
40cm. Hallar los ángulos del triángulo
b
17
tg 
 0, 425 
40

40
  arct g 0, 425 
23º1' 32''
b  90º 23º 1' 32 '' 
66º 58' 28''
17
PROBLEMA 1.
Cuando los rayos del sol forman 40º con el suelo, la sombra
de un árbol mide de 18m. ¿Cuál es su altura?
x
tg40º =
 x =18·tg40º 
18
x =15,1m
PROBLEMA 2.
Una escalera de 3m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo
forman la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?
1,2
cosα =
= 0, 4  α = arccos0, 4
3
 = 66º25'19''
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en
un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias
llamadas horizontal y visual
)
)b
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
HORIZONTAL
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
EJEMPLO :
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis
volando a una misma altura con ángulos de elevación de
530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué
altura están los ovnis?
SOLUCIÓN
70
h
h
53 O 37o
x
+
h
h
h
h
h

=
- 70
x
=
=
- 70 


1,33
0,75
tg53º
tg53º tg37º





h
h  x=
- 70  0,75h =1,33h-69,825  0,58h = 69,825
tg37º =

tg37º
h =120,39m
x + 70 
h
tg53º =
x