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TRIGONOMETRÍA 1. ÁNGULOS Origen: A Positivos: sentido antihorario. Negativos: sentido horario. + Sistema sexagesimal MEDIDA DE ÁNGULOS Sistema centesimal Radianes O A • SISTEMA SEXAGESIMAL. Unidad: El grado sexagesimal (º). 1 ángulo completo= 360º 1º = 1 ángulo completo 360 1º 1º = 60' 1' = Minuto sexagesimal (' ) 60 Divisores 1' Segundo sexagesimal (" ) 1' = 60" 1" = 60 • SISTEMA CENTESIMAL. Unidad: El grado centesimal (g). 1 ángulo completo= 400 g. 1g = 1 ángulo completo 400 1g g m m 1m = Minuto centesimal ( ) 1 = 100 100 Divisores m Segundo centesimal ( s ) 1m = 100 s 1s = 1 100 • RADIANES. Unidad: El radián (rad). Un radián es un ángulo central correspondiente a un arco de circunferencia de longitud igual al radio de dicha circunferencia. r r Longitud de la circunferencia= 2πr. 1 rad 1 ángulo completo= 2π rad. 1 rad = r 1 ángulo completo 2π 1 rad = 57º17’44” RELACIÓN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS 360º = 400g = 2π rad y simplificada 180º = 200g = π rad TRIGONOMETRÍA Gerardo Bustos Gutiérrez 1 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO (Razones trigonométricas de un ángulo agudo) r y α x SENO sen α = cateto opuesto hipotenusa sen α = y r COSENO cos α = cateto contiguo hipotenusa cos α = x r TANGENTE tg α = cateto opuesto cateto contiguo tg α = y x COSECANTE cosec α = hipotenusa cateto opuesto hipotenusa sec α = cateto contiguo cosec α = r y SECANTE COTANGENTE cotg α = r x x cotg α = y sec α = cateto contiguo cateto opuesto RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO P(x,y) r α SENO COSENO TANGENTE COSECANTE SECANTE COTANGENTE TRIGONOMETRÍA y x ordenada radio abscisa cos α = radio ordenada tg α = abscisa sen α = radio ordenada radio sec α = abscisa abscisa cotg α = ordenada cosec α = sen α = cosec α = Gerardo Bustos Gutiérrez y r x cos α = r y tg α = x r y r x x cotg α = y sec α = 2 3. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS P(x,y) P(x,y) r r y y α α x x Primer cuadrante α∈I Segundo cuadrante α ∈ II x>0 y>0 x<0 y>0 r>0 α x α x y y r r P(x,y) TRIGONOMETRÍA P(x,y) Tercer cuadrante α ∈ III Cuarto cuadrante α ∈ IV x<0 y<0 x>0 y<0 I II III IV sen + + - - cosec cos + - - + sec tg + - + - cotg Gerardo Bustos Gutiérrez 3 4. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO cosec α = 1 sen α sec α = 1 cos α 1 tg α cotg α = tg α = sen α cos α cotg α = cos α sen α Fórmula fundamental de la Trigonometría sen 2α + cos 2 α = 1 tg 2 α + 1 = 1 1 + cot g 2α = cos α 2 tg 2 α + 1 = sec 2 α 1 sen 2 α 1 + cot g 2α = cos ec 2α Recorrido de las razones trigonométricas 5. −1 ≤ sen α ≤ 1 cosec α ≤ −1 −1 ≤ cos α ≤ 1 sec α ≤ −1 −∞ < tgα < +∞ −∞ < cotg α < +∞ cosec α ≥ 1 ó ó sec α ≥ 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS Razones trigonométricas de 0º, 90º, 180º y 270º. 0º 90º 180º 270º sen 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 0 cosec sec 1 -1 1 -1 cotg 0 0 Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º. TRIGONOMETRÍA 30º 45º 60º sen 1 2 2 2 cos 3 2 2 2 3 2 1 2 tg 3 3 1 3 cosec 2 2 2 3 3 sec 2 3 3 2 2 cotg 3 1 3 3 Gerardo Bustos Gutiérrez 4 6. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Consideremos la circunferencia trigonométrica: r = 1 E F A E F C A α α O B D D O B C Segundo cuadrante α ∈ II Primer cuadrante α∈I r=1 E F E F C α B O α B D O D A A Cuarto cuadrante α ∈ IV Tercer cuadrante α ∈ III sen α = AB cos α = OB tg α = CD cosec α = OF secα = OC cotgα = EF ¡OJO! Esto es cierto únicamente cuando el radio es la unidad: r = 1 . TRIGONOMETRÍA Gerardo Bustos Gutiérrez 5 C 7. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS I II α 180º−α I III α 180º+α ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Son aquellos que suman 180º P’(-x,y) P(x,y) P’ P y y 180º-α α Q’ -x O x sen (180º −α ) = sen α Q cosec (180º −α ) = cosec α cos (180º −α ) = − cos α sec (180º −α ) = − sec α tg (180º −α ) = − tg α cotg (180º −α ) = − cotg α ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º P(x,y) P y 180º+α Q’ α -x O x Q -y P’ P’(-x,-y) sen (180º +α ) = − sen α cosec (180º +α ) = − cosec α cos (180º +α ) = − cos α sec (180º +α ) = − sec α cotg (180º +α ) = cotg α tg (180º +α ) = tg α TRIGONOMETRÍA Gerardo Bustos Gutiérrez 6 I IV ÁNGULOS QUE SUMAN 360º α 360º−α P(x,y) P y O α x 360º-α Q -y P’ P’(x,-y) sen (360º −α ) = − sen α cosec (360º −α ) = − cosec α cos (360º −α ) = cos α sec (360º −α ) = sec α tg (360º −α ) = − tg α cotg (360º −α ) = − cotg α I IV ÁNGULOS OPUESTOS α −α P(x,y) P y O α -α x Q -y P’ P’(x,-y) sen (−α ) = − sen α cosec (−α ) = − cosec α cos (− α ) = cos α sec (− α ) = sec α tg (− α ) = − tg α TRIGONOMETRÍA cotg (− α ) = − cotg α Gerardo Bustos Gutiérrez 7 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Son aquellos que suman 90º I I α 90º−α I II α 90º+α P’(y,x) x º-α 90 α y O P(x,y) y Q’ Q x sen (90º −α ) = cos α cosec (90º −α ) = sec α sec (90º −α ) = cosec α cos (90º −α ) = sen α tg (90º −α ) = cotg α cotg (90º −α ) = tg α ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 90º P’(-y,x) P(x,y) P’ P x y 90º+α α Q’ -y O sen (90º +α ) = cos α Q cosec (90º +α ) = sec α sec (90º +α ) = − cosec α cotg (90º +α ) = − tg α cos (90º +α ) = − sen α tg (90º +α ) = − cotg α TRIGONOMETRÍA x Gerardo Bustos Gutiérrez 8 8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ADICIÓN SUMA Y DIFERENCIA sen (α + β )= sen α ⋅ cos β + cos α ⋅ sen β sen (α − β )= sen α ⋅ cos β − cos α ⋅ sen β cos (α + β )= cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ sen β cos (α − β )= cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β tg α + tg β tg (α + β ) = 1 − tg α ⋅ tg β tg (α − β ) = tg α − tg β 1 + tg α ⋅ tg β ÁNGULO DOBLE sen 2α = 2 ⋅ sen α ⋅ cos α cos 2α = cos 2 α − sen 2 α 2 ⋅ tg α tg 2α = 1 − tg 2 α ÁNGULO MITAD sen A 1 − cos A =± 2 2 cos A 1 + cos A =± 2 2 tg A 1 − cos A =± 2 1 + cos A TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS 1 ⋅ [sen (α + β ) + sen (α − β )] 2 1 cos α ⋅ cos β = ⋅ [cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sen α ⋅ sen β = ⋅ [cos(α + β ) − cos(α − β )] 2 sen α ⋅ cos β = TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS A+ B A− B ⋅ cos 2 2 A+ B A− B ⋅ sen sen A − sen B = 2 ⋅ cos 2 2 A+ B A− B cos A + cos B = 2 ⋅ cos ⋅ cos 2 2 A+ B A− B cos A − cos B = −2 ⋅ sen ⋅ sen 2 2 sen A + sen B = 2 ⋅ sen TRIGONOMETRÍA Gerardo Bustos Gutiérrez 9 9. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS B a ÁNGULOS A = 90º ⇒ B + C = 90º A + B + C = 180º c B y C son complementarios C b B + C = 90º A TEOREMA DE PITÁGORAS a2 = b2 + c2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b a c sen C = a sen B = c a b cos C = a b c c tg C = b cos B = tg B = 10. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS B ÁNGULOS a C c b A + B + C = 90º A TEOREMA DEL SENO b c a = = sen A sen B sen C Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. La razón constante entre el lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al mismo: a b c = = = 2R sen A sen B sen C siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. TEOREMA DEL COSENO a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los mismos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. Análogamente: b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C TRIGONOMETRÍA Gerardo Bustos Gutiérrez 10 TEOREMA DE LA TANGENTE a+b = a −b A+ B 2 A− B tg 2 tg En todo triángulo, la suma de dos lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos es a la tangente de la semidiferencia de los mismos. FÓRMULAS DE BRIGGS tg A = 2 ( p − b)⋅ ( p − c ) p ⋅ ( p − a) tg B = 2 ( p − a )⋅ ( p − c ) p ⋅ ( p − b) tg C = 2 ( p − a )⋅ ( p − b) p ⋅ ( p − c) donde p es el semiperímetro. 11. ÁREA DE UN TRIÁNGULO B • Dado un lado y la altura sobre dicho lado. a S= c b⋅h 2 h • Dado un lado y dos ángulos. C b A S= b 2 ⋅ sen A ⋅ sen C 2 ⋅ sen ( A + C ) • Dados los lados y el radio de la circunferencia circunscrita. S= a ⋅b⋅c 4R donde R es el radio de la circunferencia circunscrita. • Dado el perímetro y el radio de la circunferencia inscrita. S = p⋅r siendo p el semiperímetro y r el radio de la circunferencia inscrita. • Dados los tres lados. S= p ⋅ ( p − a )⋅ ( p − b)⋅ ( p − c ) donde p es el semiperímetro. TRIGONOMETRÍA Gerardo Bustos Gutiérrez 11 TRIGONOMETRÍA π/2 π Gerardo Bustos Gutiérrez FUNCIÓN COSENO 3π/2 π π/2 0 0 π 270º 180º 90º 0º 3π/2 0 3π/2 π/2 FUNCIÓN SENO 2π 360º 12. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 12 FUNCIÓN TANGENTE 0 TRIGONOMETRÍA π/2 Gerardo Bustos Gutiérrez π 3π/2 2π 13