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TRIGONOMETRÍA
ETIMOLOGÍA
Trigonometría viene de
Tri-gonos = tres ángulos = triángulo
y de metros = medir
Es decir, significa medida de ángulos
DEFINICIÓN
La Trigonometría es la rama de las
matemáticas que estudia las relaciones
entre los lados y los ángulos de los
triángulos.
MEDIDAS DE ÁNGULOS:
•SISTEMA SEXAGESIMAL
•SISTEMA CENTESIMAL
•RADIANES
•SISTEMA SEXAGESIMAL
La circunferencia se divide en 360
partes iguales.
Cada una de ellas es un grado
sexagesimal.
Cada grado se divide en 60
minutos y cada minuto en 60
segundos.
En la calculadora aparece con la
denominación DEG
Notación:
30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’
RADIANES
Un radián es la medida del ángulo
central cuyo arco mide lo mismo que
el radio de la circunferencia
Una circunferencia mide 2p radios y
como cada radio da lugar a un radián:
R
R
360º equivalen a 2p radianes
¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián?
360º ___________ 2p rad
xº
___________ 1 rad
x = 360º/2p = 57,29º
SISTEMA CENTESIMAL
100º
Cada cuadrante se divide
en 100 partes.
0º
En la calculadora
aparece con la
denominación GRA.
200º
400º
300º
Actualmente apenas se
utiliza.
p
De la misma manera, los
siguientes ángulos son
equivalentes :
0
p
p
180º ________ p rad
p
90º
30º
________
________
p/2 rad
p
p
p6
p/6 rad
0
p
p
60º ______ 2p/6 =p/3 rad
p
p
0
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
p/3
p/6 triángulo rectángulo definimos las
En un
siguientes razones trigonométricas del ángulo
0
$1$
agudo 2p
a:
cateto opuesto y
sen α 

hipotenusa
h
3p/2
cos α 
tg α 
cateto contiguo x
x 
hipotenusa
h
cateto opuesto y sen α
 
cateto contiguo x cos α
h
y
a
x
p
0
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
p/3
p/6
Así
mismo definimos las razones
trigonométricas
recíprocas:
0
$1$
2p
1
h
cosec α 

sen α y
3p/2
sec α
1
h


cos α x x
1
x
cotg α 

tg α
y
h
y
a
x
3 p /2
Construimos triángulos
rectángulos semejantes que
contengan al ángulo a.
Según el Teorema de Thales
sus lados son
proporcionales, por lo que:
y
a
x
tg α 
y
y' y' '


x
x' x' '
Las razones trigonométricas de un ángulo
son independientes del triángulo en el que
se calculen.
Diremos que las razones trigonométricas
son propias de cada ángulo, lo califican y lo
diferencian de los demás ángulos.
x'
y'
y''
x''
Circunferencia goniométrica
De todos los triángulos rectángulos
semejantes, elegimos el de
hipotenusa la unidad.
De esta manera, el seno y el coseno
se identifican con la longitud de los
catetos:
y
sen α 
1

x
1

cos α 
tg α 
y  sen α
R=1
x  cos α
y
y'
aplicando Thales tg α   tg α  y'
x
1
IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS
Aplicando Pitágoras en el triángulo
rectángulo de hipotenusa la unidad:
+cos2a
sen2a
=
1
Dividiendo ambos miembros entre
sen2a:
1
+ cotg2a
= cosec2 a
Y dividiendo entre cos2a:
tg2a
+
1
=
sec2a
Como consecuencia de la primera igualdad se cumple:
-1 ≤
sen
a≤ 1
-1 ≤
cos
a ≤ 1
RAZONES DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES DEL 1er CUADRANTE
•ÁNGULO DE 60º
Consideremos un triángulo equilátero de
lado la unidad.
Calculamos su altura h aplicando Pitágoras:
1
1
3
3
h  1     1  

4
4
2
2
2
2
Hallamos las razones del ángulo de 60º en el triángulo
rectángulo de la izquierda:
sen60º 
h
 h 
1
cos60º 
1/2
1

1
2
tg60º 
h

1/2
3
2
3 2
1/2

3
•ÁNGULO DE 30º
Consideramos el mismo triángulo
rectángulo que para el ángulo de 60º ya
que su complementario es el de 30º:
12 1
sen 30º 
  cos 60º
1 2
h
3
cos 30º   h 
 sen 60º
1
2
12
1
tg 30º 

 ctg 60º
3 2
3
•ÁNGULO DE 45º
Consideramos un triángulo rectángulo
isósceles de hipotenusa la unidad
Aplicando Pitágoras:
1
2
 x
1  2x
x
+
2
x
2
2
1
2

2
2
Las razones del ángulo de 45º serán:
x
2
sen 45º  cos 45º   x 
1
2
x
tg 45º   1
x
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
Y
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
sen a
a
sen 0º = 0
radio=1
O
cos a
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
P(x,y)
sen a
sen a
sen a
sen a
cos 90º = 0
X
cos 0º = 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º
(0,1)
Ángulo
coseno
seno
tangente
0º
1
0
0
90º
0
1
∞
180º
-1
0
0
270º
0
-1
∞
(-1,0)
(1,0)
(0,-1)
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
Y1
B
sen g
b
g
a
cos b
O
d
C
cos a
-1
sen a
cos g
-1
A
cos d
D
0
1
 1  sen a  1
1
sen d
sen b
El seno y el coseno de cualquier
ángulo toma valores mayores o
iguales a –1 y menores o iguales a 1
X
 1  cos a  1
+
_ +
_
_ +
_ +
SIGNO DEL SENO
SIGNO DEL COSENO
-1
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
cotg d
cotg b
cotg g
Y
cotg a
tg g
B
A
a
1
d
La tangente y la
cotangente de un
ángulo puede tomar
cualquier valor .
D
tg b
tg d
O
C
   tg a  +
tg a
b
g
X
   cot g a  +
_ +
_
+
TANGENTE Y
COTANGENTE
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
a+b90º
b90º - a
sen a = cos ( 90º - a )
cos a = sen ( 90º - a )
tg a
= ctg ( 90º - a)
b) ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE
b1) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a+b180º
b180º - a
sen (180º - a ) = sen a
cos (180º - a ) = - cos a
tg (180º - a )
= - tg a
GEOGEBRA
HTML
b2) ÁNGULOS a
y p/2 + a
sen ( p/2 + a ) = cos a
cos ( p/2 + a ) = - sen a
tg ( p/2 + a ) = - cotg a
c) ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE
c1) a
y
180º + a
sen (180º + a ) = - sen a
cos (180º + a ) = - cos a
tg (180º + a )
c2)
a
y
= tg a
270 - a
sen (270º-a) = - cos a
cos (270º-a) = - sen a
tg (270º-a) =
cotg a
d) ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE
d1)
a
y
270 + a
sen (270 + a) = - cos a
cos (270 + a)
tg (270 + a)
d2)
a
y
=
sen a
= - ctg a
360 – ao  a
sen (360º - a) = - sen a
cos (360º - a) =
tg (360º - a)
cos a
= - tg a
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y = cos x
y = tg x
y = sen x