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MATRICES REALES
CONCEPTOS BÁSICOS
Una empresa produce cuatro productos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. El productor de cada
artículo requiere cantidades específicas de dos materias primas, 𝑋e 𝑌, y
también cantidades determinadas de mano de obra. Suponga que la
empresa desea comparar los números de unidades de 𝑋e 𝑌 y de mano
de obra que se requieren en la producción semanal de estos cuatro
productos. En la tabla 1 aparece la
información. Por ejemplo, la
producción semanal de 𝐴 requiere 250 unidades de 𝑋, 160 unidades de
𝑌 y 80 unidades de mano de obra.
TABLA 1
Producto
A
B
C
D
Unidades de material 𝑌
160
230
75
120
Unidades de material 𝑋
250
Unidades de mano de obra 80
300
85
170
120
100
un arreglo rectangular. Si se suprimen los encabezados, obtenemos el
250
�160
80
300 170 200
230 75 120�
85 120 100
números. Si el arreglo tiene m filas (horizontales) y n columnas
(verticales), se llama matriz de orden 𝑚 × 𝑛.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los
Página
elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que
indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la
fila i y la columna j se escribe 𝑎𝑖𝑗 . Si el elemento genérico aparece
entre paréntesis también representa a toda la matriz: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
200
Observemos que los datos de esta tabla aparecen en forma natural en
arreglo rectangular de números:
Definición.- Una matriz es un arreglo o disposición rectangular de
Por ejemplo el siguiente arreglo:
3
𝐴=�
1
7
4
2
�
6
Es una matriz 𝐴 de orden 2 × 3, porque tiene dos filas y tres columnas.
•
•
•
•
•
En la primera fila y segunda columna aparece el número 8.
En la segunda fila y tercera columna aparece el número 6.
En la primera fila y primera columna aparece el número ___.
En la segunda fila y primera columna aparece el número ___.
A cada número en el arreglo se le denomina entrada.
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5. Karla tiene dos tiendas de venta de ropa deportiva, una de ellas
Ejercicios.
En las siguientes matrices:
0
𝐴=�
1
3
�
4
2 1
𝐵 = �3 5
1 0
2
7�
4
ubicada en Lima y la otra en Cusco. La última semana las tiendas
𝐶 = [9
1
7]
1. ¿Cuál es el orden de las matrices 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶?
registraron la venta de ropa deportiva para niños y adultos de la
siguiente manera:
Lima: S/. 3500 en ropa de niños y S/. 2000 en ropa de adultos
Cusco: S/. 2500 en ropa de niños y S/. 1000 en ropa de adultos
Representar la información en una matriz de orden 2x2.
Página
2. ¿Qué número está ubicado en la tercera fila y segunda columna de la
matriz 𝐵 ?
3. Ubicar los elementos de la matriz A: 𝑎11 =___ , 𝑎21 =___
6. Una compañía de muebles fabrica butacas, mecedoras y sillas, y
cada una de ellas de tres modelos: E (económico), M (medio) y L
(lujo). Cada mes produce 20 modelos E, 15 M y 10 L de butacas; 12
modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras, y 18 modelos E, 20 M y 12 L de
4. Ubicar los elementos de la matriz B :𝑏11 =___ , 𝑏22 =___ , 𝑏32 =___ ,
𝑏33 =___ .
sillas. Representa esta información en una matriz.
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MATRICES IGUALES
Dos matrices 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 y 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑝×𝑞 son iguales, sí y solo si,
tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir:
𝑚 = 𝑝, 𝑛 = 𝑞; 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ∀𝑖, ∀𝑗
TIPOS DE MATRICES
Se representa por At ó AT
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su
MATRIZ OPUESTA La matriz opuesta de una dada es la que resulta de
forma, sus elementos, reciben nombres diferentes :
MATRIZ FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su
orden 1 × 𝑛
𝐴1×3 = [7 2
−5]
MATRIZ COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su
orden 𝑚 × 1
𝐴3×1
−7
=� 1 �
6
MATRIZ RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de
filas que de columnas, siendo su orden m × n , m ≠ n.
𝐴3×1
1
= �5
7
3 5 9
−4 8 5�
0 1 2
MATRIZ TRASPUESTA Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la
matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las
columnas.
Si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 su transpuesta es 𝐴𝑇 = (𝑎𝑗𝑖 )𝑛×𝑚 .
sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
MATRIZ NULA Si todos sus elementos son cero. También se denomina
matriz cero y se denota por 0m×n
MATRIZ CUADRADA Aquella matriz que tiene igual número de filas que
de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
DIAGONAL PRINCIPAL: son los elementos a11 , a22 , ..., ann
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38
TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA (tr A): es la suma de los elementos
de la diagonal principal.
tr A=1+2+5 = 8
MATRIZ SIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a su
traspuesta.
A = At , aij = aji
MATRIZ ANTISIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a la
MATRIZ ESCALAR Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos
nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1.
Tambien se denomina matriz unidad.
TRIANGULAR Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por
encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
opuesta de su traspuesta.
A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0
MATRIZ INVERSA Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa,
A-1, si se verifica que :
A·A-1 = A-1·A = I
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39
Ejercicios.
1) La siguiente información da cuenta del número de veces que tres
amigos asistieron a tres cines diferentes durante este año.
• Mónica fue al cine Alambrito 13 veces, al cine Estación 7 veces y al
cine Azul 10 veces.
• Roberto fue al cine Alambrito 17 veces, al cine Estación 8 veces y al
cine Azul 11 veces.
• Teresa fue al cine Alambrito 5 veces, al cine Estación 9 veces y al cine
Azul 16 veces.
A partir de los datos proporcionados:
a) Expresar la información en una matriz de datos. ¿Cuál es el orden de
la matriz?
b) Hallar el elemento 𝑎31 . ¿Qué significa este número?
c ) Determinar cuál de los tres amigos asistió más veces al cine.
2) Encuentra las componentes de la matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ), si 𝐵 es de orden
2 × 3 y 𝑏𝑖𝑗 = 2𝑖 − 4𝑗 .
3) Encuentra las componentes de la matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 ), si 𝐶 es de orden
4× 1 y 𝑐𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗.
4) Si 𝐴 y 𝐵 son iguales, encontrar 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑.
0
4
𝑎
𝐴=� 5
(𝑏 − 1) 1
0
3�
2
𝐵=�
(𝑐 − 3)
5
0
4 0
0 3�
1 𝑑
Página
1 𝑚 −1
5) Dada la matriz 𝐴 = �
� y la matriz 𝐵 de orden 2 × 3 en
3 2
𝑛
donde 𝑏𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗, hallar 𝑚 y 𝑛 si se sabe que 𝐴 y 𝐵 son iguales.
6) Clasifica las siguientes matrices especiales.
3
𝐴 = �7 �
4
𝐵 = [−1 9 0]
=�
1 2
�
1 2
𝐶=�
0 0
0 0
0
�
0
𝐷
7) María, Ester y Rosa gustan de coleccionar monedas. Los números de
monedas por países que posee cada una de ellas se muestra en la tabla
siguiente:
BOLIVIA
CHILE
BRASIL
Argentina Venezuela
María
5
0
3
2
8
0Ester
0
5
3
0
1
Rosa
0
0
1
6
5
¿Qué tipo de matriz representa la colección de María, Ester y Rosa?
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