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CONFIGURACIONES EPISTÉMICAS Y DESARROLLO HISTÓRICO DE LA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO COMO RECURSO DIDÁCTICO.
Angélica María Martínez de López
[email protected]
Mario José Arrieche Alvarado
[email protected]
Universidad Pedagógica Experimental Libertador-Maracay, Venezuela
Recibido: Junio 2009
Aceptado: Octubre 2010
RESUMEN
Este artículo tiene como propósito fundamental mostrar el análisis
realizado, en torno a las configuraciones epistémicas y el desarrollo
histórico, de la ecuación de segundo grado como recurso didáctico en la
formación inicial de profesores de matemática. Bajo el Enfoque
Ontosemiótico del Conocimiento e Instrucción Matemática (Godino,
Batanero y Font, 2008), se destaca la importancia de analizar la faceta
epistemológica, porque permite vislumbrar bajo marcos institucionales
específicos las configuraciones epistémicas, que en otras palabras
constituyen el uso y relación de situaciones-problema, técnicas,
lenguajes, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos, que
dieron origen en el tiempo a dicha ecuación. Metodológicamente se
realizó un estudio documental, teniendo en cuenta distintos períodos de
la humanidad, para llegar a conclusiones de tipo didáctico. Entre ellas,
el uso de diversas técnicas geométricas que pueden constituir una
alternativa educativa al momento de resolver ecuaciones de segundo
grado.
Palabras clave: ecuación de segundo grado, configuración epistémica,
desarrollo histórico.
ABSTRACT
This article is intended to show the analysis done about the epistemic
configurations and historical development of the quadratic equation like
didactic resource in the initial training of teachers of mathematic. Under
the ontosemiotic approach of Mathematic Cognition and Instruction
(Godino, Batanero and Font, 2008), the importance of analyzing the
epistemological facet is highlighted, because it allows a glimpse of the
epistemic configurations arising from the institucional guidelines, which
in other words constitute the use and relationship of problem-situations,
techniques, languages, concepts, proposals, arguments and procedures,
which led, in time, to the origen of this equation. Methodologically, a
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EPISTEMIC CONFIGURATIONS AND HISTORICAL DEVELOPMENT OF
THE QUADRATIC EQUATION LIKE DIDACTIC RESOURCE.
Angélica M. Martínez de López / Mario J. Arrieche Alvarado
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documental study was performed, taking into account different periods
of mankind, to reach conclusions of didactic type. Among them, the use
of various geometric techniques that can be an educational alternative
when solving quadratic equations.
Keywords: quadratic equation, epistemic configuration, historical
development.
Introducción
Por la importancia que tiene la enseñanza y aprendizaje de la
ecuación de segundo grado en la educación básica, es de interés
establecer posibles alternativas de tipo didáctico para su enseñanza. De
esta necesidad surge el presente artículo bajo la perspectiva
epistemológica, inmersa en el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento
e Instrucción Matemática (Godino, Batanero y Font, 2008). Es así como
se tiene para este trabajo el propósito de mostrar brevemente el análisis
realizado en torno a las configuraciones epistémicas y el desarrollo
histórico de dicha ecuación, como recurso didáctico en la formación
inicial de profesores de matemática.
La relevancia de un estudio epistemológico e histórico dentro de un
trabajo investigativo de tipo didáctico ha sido expuesta por muchos
investigadores en Didáctica de la Matemática, tal es el caso de Artigue
(1990), quien señala los alcances del análisis epistemológico; o el caso
de González (1991) quien refiere los aportes específicos del
conocimiento de la historia a la práctica docente; o por ejemplo
Sierpinska y Lerman (1996), quienes junto con Gascón (1999) han
analizado la relación entre epistemología, matemática y educación; o
también Godino (2003) quien ve su implicación en los procesos de
enseñanza y aprendizaje; por citar algunos.
La epistemología, como señala Campos (2004), es la rama de la
filosofía dedicada al estudio del origen, la estructura, los métodos y la
validez del conocimiento. A partir de allí se deduce que la epistemología
de la matemática tiene que ver con el conocimiento del conocimiento
matemático. Ahora bien a pesar de la relevancia de la faceta
epistemológica, su aplicación en el campo educativo es bastante
controversial dada la necesidad de dotarla de sólidos fundamentos
teóricos. De hecho, Gascón (1999) plantea adecuar la posición del
enfoque epistemológico en la Didáctica de la Matemática y concluye que
lo verdaderamente importante es que cada uno de los modelos
epistemológicos (el euclideanismo, cuasi-empírico y constructivista)
den en gran medida cuenta, no sólo de la producción, sino también de la
enseñanza, la utilización y la transposición institucional del saber
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15
Definición dada por Chevallard en 1990, para referirse a la transformación del saber científico o
saber sabio a un saber que puede ser enseñado
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matemático, para que se convierta en un eslabón de lo didáctico. Quizá,
viéndolo en una forma más sencilla, como indica Paruelo (2003): “La
epistemología es una de las herramientas necesarias para el desarrollo
de nuevas estrategias para la enseñanza de las ciencias” (p. 329), en este
caso para la Enseñanza de la Matemática; o desde el punto de vista del
Enfoque Onto-semiótico (EOS), como señalan Godino y Batanero (1994),
el análisis epistemológico de los objetos matemáticos debe permitir
16
clarificar la naturaleza de dichos objetos y sus diversos significados
según los contextos institucionales.
Mientras que en el aspecto histórico, González (1991) advierte cómo
“el conocimiento de la Historia de las Matemáticas con sus momentos
sublimes y gloriosos y sus períodos sombríos y baldíos, influirá
decisivamente en el espíritu del profesor y en su actitud hacia la propia
Matemática” (p. 287). Además, apoyándose en otros autores, sigue
defendiendo la importancia de la historia en los procesos de enseñanzaaprendizaje de la matemática al mencionar a Kline (1978), quien se basa
en la evidencia histórica y se adhiere incondicionalmente al método
17
genético, a lo cual expresa: “Cada persona debe pasar
aproximadamente por las mismas experiencias por las que pasaron sus
antepasados si quiere alcanzar el nivel de pensamiento que muchas
generaciones han alcanzado…” (González, 2004).
Ahora, complementando con lo relativo al EOS, es de interés el
análisis de la historia de las matemáticas, interpretada desde un punto
de vista epistemológico, pues permite recabar información sobre los
sistemas de prácticas utilizadas para solucionar situaciones-problemas,
en relación a marcos institucionales específicos, interés que no sólo
abarca los problemas, sino también las técnicas, los lenguajes, las
notaciones, los conceptos, proposiciones, procedimientos y
argumentos, puestas en juego en cada momento y circunstancia, ya que
según Godino y Font (2007) la forma como estos aspectos se relacionan
originan las configuraciones epistémicas; entendidas como redes de
objetos intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas
18
institucionales. Gracias al estudio de estas configuraciones epistémicas
y de las entidades primarias, se puede concretar el significado de un
objeto o noción matemática estudiada y tomar decisiones de tipo
instructivo o curricular eficaces para la selección de los sistemas de
prácticas matemáticas que mejor se adapten a un proyecto educativo.
16
Palabra que se refiere a sistemas de prácticas; siendo práctica, toda actuación o manifestación
realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución, validarla y
generalizarla a otros contextos y problemas (Godino y Batanero, 1994).
17 “Este método intenta reconstruir el clima psicológico que envuelve a cada momento creador que haya
supuesto un salto cualitativo en la Historia de las Matemáticas” (González, 2004, p.22).
18 Hace referencia a las prácticas compartidas en el seno de una institución y consideradas significativas
para resolver un campo de problemas. Mientras que “institución matemática”, se relaciona con grupo de
personas que en el seno de la sociedad están comprometidas en la resolución de nuevos problemas
matemáticos (Godino y Batanero, 1994).
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Por todo lo anterior, si de lo epistemológico se puede hacer un análisis
concienzudo del origen de los objetos matemáticos y de lo histórico
recabar los aspectos temporales, que dan luz de las circunstancias
generales de cómo evolucionan; entonces, para dar contexto a este
artículo, se realizó un estudio documental a través de la revisión y
lectura de diversas fuentes, entre ellas tesis doctorales, libros de
filosofía de la matemática, artículos de revistas de Educación
Matemática relacionadas con el tema, para precisar por una parte el
origen, desarrollo, evolución y papel en la matemática, de la ecuación
de segundo grado; y por otro, para contemplar determinados períodos
históricos y destacar la problemática, los métodos, los argumentos y las
diferentes maneras de concebir esta ecuación en cada momento, a modo
de reconstruir aspectos que pueden ser herramienta didáctica en el
proceso de su enseñanza-aprendizaje y, por consiguiente sirvan de apoyo
en la formación inicial de profesores de matemática, esto último,
basado en estudios previos de Martínez (2008).
Así, se presentan, en forma sucinta, tres apartados: Configuraciones
Epistémicas y Desarrollo Histórico de la ecuación de segundo grado,
Conclusiones generales a nivel didáctico y Referencias Bibliográficas.
Configuraciones Epistémicas y Desarrollo Histórico de la Ecuación
de Segundo Grado
Es de notar que en todo el proceso histórico en el cual se va
configurando la ecuación de segundo grado, tanto el simbolismo como el
trabajo de algunos personajes influyeron notoriamente para que la
noción de ecuaciones en general evolucionara. Por esto, a lo largo de la
historia ha sido diferente la manera de concebir la ecuación de segundo
grado y más aún difiere de cómo hoy en día la vemos; sin embargo, las
nociones cuadráticas han estado presentes en diferentes períodos
históricos de las Matemáticas, de los cuales se detallan los más
relevantes, analizando en cada uno las entidades primarias: lenguaje,
situaciones problemas, conceptos, proposiciones, procedimientos y
argumentos.
Siglos XVIII – VIII a.C.: Para este período, corresponde el desarrollo de
civilizaciones como la babilónica y egipcia. Por estudios realizados a
tablillas de arcilla de origen babilónico que datan aproximadamente del
s. XVIII a.C. descubiertas en la zona de Nuffar, al sureste de Bagdad, en
1889. Se infiere que esta civilización fue la primera en trabajar
aproximaciones algorítmicas para resolver ciertos problemas, las cuales
según nuestra terminología, darían lugar a una ecuación cuadrática
(Masini, 1980). La motivación para realizar estos cálculos, donde se veía
implicada la ecuación de segundo grado, obedecía a necesidades de tipo
comercial, repartición de tierras, de dinero, etc., por lo que resolvieron
problemas donde debían hallar dos números, dadas su suma y su
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Para este trabajo tanto el término “ecuación de segundo grado” como “ecuación cuadrática” harán
referencia del mismo objeto de estudio.
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producto; o llegaron a encontrar los lados de un rectángulo conociendo
su área y semiperímetro. Según Luque, Mora y Torres (2003), los
babilonios empleaban como método de solución la completación de
cuadrados y para esto se valían de factorizaciones simples que ya
conocían. Desde el punto de vista moderno, ellos pudieron por este
método llegar a la solución de ecuaciones con la forma x² - bx = c, entre
otras. Para citar un caso, Boyer (1999) se refiere al siguiente problema
planteado por los babilonios: halla el lado de un cuadrado si su área
menos el lado es igual a 14;30 (a modo de aclaración, esta notación se
hace de esta manera porque es la forma de representar el número en
base sexagesimal), diciendo que lo resolvían siguiendo una serie de
pasos, expresados de la siguiente manera:
Toma la mitad de 1, que es 0;30, y multiplica 0;30 por 0;30, que es
0;15; suma este número a 14;30, lo que da 14,30;15; éste es el cuadrado
de 29;30; ahora suma 0;30 a 29;30, cuyo resultado es 30, que es el lado
del cuadrado (pág. 56)
Todo lo anterior lo veríamos como una ecuación de la forma: x² - x =
870, donde 870 es el equivalente a 14;30 según el sistema sexagesimal
del cual se basaban; y finalmente, procedían a solucionar dicha ecuación
con completación de cuadrados.
Entre tanto, si sus problemas estaban determinados por ecuaciones
conocidas hoy en día como ax² + bx = c, estas eran resueltas
multiplicando por "a" los datos conocidos, algo así como convertir la
ecuación anterior en (ax)² + b(ax) = a.c y hallaban "ax", luego por análisis
de datos llevaban el resultado al valor de x. Con esto, se tiene el primer
ejemplo de sustitución de la incógnita para resolver ecuaciones y es un
gran hallazgo considerando los conocimientos empíricos para esta
época. incluso los babilonios usaron dicho método para resolver algunas
ecuaciones de 4º y 8º grado, conocidas actualmente como bicuadradas.
En resumen, se sabe que los babilonios lograron determinar dos
soluciones para la ecuación cuadrática pero sólo asumían la respuesta
positiva, quizá por no contar con un soporte numérico más amplio.
Asimismo como señala Masini (1980), transmitían dicha solución a través
de un lenguaje natural, es decir, en forma “retórica”, la cual
permanecerá hasta antes de Diofanto. Por otra parte, los babilonios
utilizaron algunos términos para nombrar aspectos matemáticos como:
“us” para indicar el largo, “sag” para el ancho y “asa” para referirse al
área de una figura geométrica; pero no construyeron proposiciones
matemáticas y sus procedimientos eran básicamente duplicación,
extracción de raíz, completación de cuadrados, factorización y
sustitución; mientras sus argumentos se basaban en la formulación de
técnicas básicas.
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Siglos VII a.C. - VI d.C.: Corresponde al desarrollo de la civilización
griega. Allí también manejan ecuaciones de segundo grado, pero las
trabajan desde el campo geométrico porque el uso de la numeración
griega y la aplicación de números racionales no resultaba práctico para
ellos (Ochoviet, 2007). Por esto, las magnitudes eran representadas por
segmentos y el producto de dos magnitudes a y b era representado por el
rectángulo de lados a y b. Así que, para hallar la solución de una ecuación
como x² = 2, sabían que esta no admitía una solución racional, pero sí
tenía una solución trivial desde el punto de vista geométrico, tomando x
como la diagonal del cuadrado cuyo lado mide uno. Sin embargo, para
casos diferentes como por ejemplo, para una ecuación vista hoy en día
como x² - 10x + 9 = 0, procederían de este modo:
Trace el segmento AB =10. Por M, punto medio de AB, levante el
segmento perpendicular ME = 3 (igual a la raíz cuadrada de nueve) y, con
centro en E y radio MB, trace un arco de circunferencia que corta a AB en
el punto C. La raíz deseada está dada por la medida AC. (Ochoviet, 2007,
p. 4).
Es decir, tendríamos la figura 1
fig. 1
E
A
C
M
B
Geometría griega para solucionar ecuaciones x²- bx + c = 0
De esa figura, podemos deducir por construcción geométrica un
triángulo rectángulo en CME, lo que permite calcular la medida del
segmento AC, porque se tiene AC=AM+MC, como AM=10/2 y MC es un
cateto del triángulo CME, se tendrá AC equivalente a:
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10/2 + ( 10/2)²- ( 9 )²
Y de lo anterior, al realizar las operaciones indicadas se obtiene AC =
9, lo cual viene a ser una respuesta o raíz de la ecuación dada.
Para esta época, los trabajos de dos personajes como Diofanto y
Euclides no pueden pasar por alto. Euclides (quien vivió alrededor del s.
IV y III a.C.) realizó estudios donde se requiere el uso de la ecuación de
segundo grado, a través de situaciones geométricas. Tal como señalan
Luque, Montes y Sánchez (2004), en el libro II de Los Elementos de
Euclides, hay 14 proposiciones para resolver problemas algebraicos con
procedimientos en los cuales se involucra la aplicación de áreas,
justamente la proposición 5 interpreta el trabajo para ecuaciones de
segundo grado de la forma ax - x² = b². Esta proposición dice:
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Si se divide una recta en partes iguales y desiguales, el rectángulo
comprendido por las partes desiguales de la recta entera, más el
cuadrado de la diferencia entre una de las dos partes iguales y una parte
desigual, es equivalente al cuadro de la mitad de la recta dada. (pag.
301)
En la fig. 2 se muestra la construcción geométrica de la proposición.
Ejemplo Proposición 5 de Euclides
La fig. 3 es el ejemplo particular de la proposición 5, que representa
gráficamente la ecuación de la forma: 10x - x² = 21(a), la cual puede
solucionarse por los procedimientos de dicha proposición, construyendo
primero un rectángulo de 10 unidades de largo y con ancho desconocido;
luego al dividirlo por la mitad y extraer un cuadrado con lado x, se forma
la siguiente relación: (10x - x² ) + (5 - x)² = 25 (b). Posteriormente, se
reemplaza lo obtenido en (a) por el primer paréntesis de (b) teniendo 21
+ (5 - x)² = 25, lo cual equivale a (5 - x)² = 25 - 21, es decir, (5 - x) = 4,
calculando la raíz cuadrada a ambos lados se tiene 5 - x = 2, y despejando
x, da x = 3.
Por otra parte, Luque y cols. (2004) indican que también Euclides dio
soluciones para las ecuaciones de la forma ax + x² = b² usando la
proposición 6 de su obra, que expresa:
Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea
recta, otra recta; el rectángulo comprendido por la recta entera con la
recta añadida y la recta añadida junto con el cuadrado de la mitad es
igual al cuadrado de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida.
(pag. 304).
Una forma de representar gráficamente esta proposición sería, como
dicen los anteriores autores, trazar una un segmento AB = a y construir,
por una parte, un rectángulo ABTK de área a.x; y de otra, por
prolongación del segmento AB el rectángulo ADMK de área ax + x², que
exceda al rectángulo anterior en un cuadrado de área x y que es igual al
área de un cuadrado de lado b, es decir, ax + x² = b². Finalmente, se
completa con un cuadrado denominado LTHF, cuyos lados midan a/2, y
con el rectángulo de lados x y a/2 denominado TMZH. Todo lo anterior
puede verse en la fig. 4
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Proposición 5 de Euclides
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fig. 4
Proposición 6 de Euclides
De su construcción se puede deducir en términos actuales el siguiente
procedimiento:
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Llegando a la solución que suele llamarse “la resolvente”, la
diferencia radica en que esta solución se obtiene a partir de otro tipo de
deducción, normalmente no usada.
Incluso, un caso particular de
aplicación a la anterior proposición de Euclides, podría ser buscar la
solución a la ecuación 6x + x² = 72 (a), donde se realizaría una
construcción geométrica como se muestra en la fig. 5
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De aquí, por los pasos señalados con anterioridad, llegaríamos al
siguiente procedimiento:
(por equivalencia geométrica)
(6x + x²) + 3² = (3 + x) ²
72 + 9 = (3 + x) ²
(por sustitución del valor de (a))
81 = (3 + x) ²
(por suma de términos independientes)
9 =3+x
(por extracción de raíz cuadrada a ambos
miembros considerando sólo la raíz
6= x
Además, Luque y cols. (2003) hacen la observación de cómo Euclides a
su vez fue el primer matemático en plantear y recopilar los conceptos
básicos de factorización de números, en los libros VII, VIII y IX de su obra
Elementos, de los cuales con la demostración del “Teorema
Fundamental del Álgebra”, dada por Gauss en 1797 (siglo XVIII), se
desprende la solución de ecuaciones algebraicas a través de la
factorización de polinomios. Este es en muchos casos el método que hoy
en día se utiliza para dar solución a ecuaciones cuadráticas.
En el libro “Las Aritméticas” de Diofanto (de quien se dice vivió
aproximadamente entre los siglos III y IV a.c.), se encuentran estudios de
ecuaciones indeterminadas de difícil deducción, donde se observa un
trabajo menos teórico y se marca el uso de problemas prácticos.
También utiliza las primeras notaciones simbólicas; por ejemplo,
emplea un símbolo único para la incógnita de la forma “óô”, mientras
que usó abreviaturas para las potencias de la incógnita como: “äò” para
el cuadrado, “ääò” para el duplo del cuadrado, “÷ò” para el cubo, “ä÷ò”
para la quinta potencia, etc.; y a su vez mostró solución a las ecuaciones
llamadas pitagóricas, las cuales serían actualmente de la forma: x ² + y ²
= z ². De hecho, Franco (1964) señala que para resolverlas, Diofanto
trabajó con ternas de números primos entre sí, o ternas coprimas; es
decir, usaba grupos de tres números, los cuales tomados de a dos no
admiten otro divisor común que la unidad; además, debían cumplir con
las siguientes relaciones: x = 2AB, y = B² - A², z = A² + B²; siendo A y B
números coprimos, a su vez naturales y de distinta paridad.
De todo este recorrido, se puede deducir que para este período se usa
un lenguaje de tipo sincopado (sincopado viene de abreviar), por el uso
de algunas abreviaturas para las incógnitas y las relaciones de uso
frecuente (como la resta); a diferencia de los cálculos, donde se recurría
a un lenguaje natural (Masini, 1980). En el caso de las situacionesproblema, estas eran de tipo geométrico, de construcción, etc. Por otra
parte, los conceptos matemáticos manejados eran entre otros, las
ecuaciones diofánticas, teorema de Pitágoras, recta, rectángulo, área,
resta, suma, etc.; las proposiciones se basaban en las de Euclides y
teorema de Pitágoras; los procedimientos eran las construcciones
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positiva)(por despeje)
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geométricas y la argumentación se fundamentaba en las deducciones
geométricas, desarrolladas inicialmente a través de los trabajos
realizados por Apolonio en el siglo V a.C. a las secciones cónicas (Mesa y
Villa, 2007).
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2.3.-Siglos VII – XIII d.C.: Este período abarca las civilizaciones hindú y
árabe. En el año 1020, de acuerdo a Franco (1964), el matemático
Sriahara inventó el “método hindú” para resolver la ecuación de la forma
ax² + bx = c. Este método consistía en multiplicar los dos miembros de la
ecuación por 4 veces el coeficiente de x al cuadrado, luego se agrega el
cuadrado del coeficiente de x a ambos miembros y, finalmente, se
extraía la raíz cuadrada.
Por otra parte, Luque, Mora y Torres (2004) citan al árabe Tabit Ben
Qurra y expresan que:
“representó geométricamente el polinomio x² + 3x + 2 como un producto
de factores así: x² como el área de un cuadrado de lado x, a 3x como tres
rectángulos cada uno de dimensiones x y 1; y a 2 por dos cuadrados de
lado 1” (pag. 212) (como referencia véase la figura 6)
Representación geométrica del polinomio x² + 3x + 2
Ahora, lo interesante es notar cómo al obtener la suma de estas áreas
resulta equivalente a un producto notable el cual se deduce al formar un
rectángulo con todas ellas, llegando a la conclusión de que el polinomio
dado puede ser escrito de la forma: (x + 1).(x + 2), tal como vemos en la
figura 7.
Otro árabe, Al-Tusi (s. XII d.C.) usó ecuaciones de grado menor o igual
a tres, y hasta introdujo nociones de análisis local para hallar el máximo
de una función a través de la solución de una ecuación (Malisani, 1999).
En general, los árabes logran aportar mucho al álgebra por la
correspondencia que establecen entre ésta y la geometría para la
solución de ecuaciones, Llegaron a transformar las igualdades por los
principios fundamentales de “al-jabr” y “wa'l-muqabala” (es decir,
reducción y cancelación), dados por Al-Khwarismi (750-850 d.C.), quien
según Cadenas (2004) pudo solucionar ecuaciones de segundo grado
usando la completación de cuadrados, tal como se ve en las figs. 9, 10 y
11, referentes a los casos que el denominaba de este modo: cuadrados y
raíces iguales a números (actualmente de la forma x² + bx = c); cuadrados
y números iguales a raíces (es decir, x² + c = bx); raíces y números iguales
a cuadrados (en otras palabras de la forma bx + c = x²).
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Un ejemplo es el caso de solucionar la ecuación x ² + 6x = 7, para lo cual
realiza el siguiente procedimiento, y cuya construcción se ve con ayuda
de la fig. 8:
Ejemplo particular x ² + 6x + 9 y Construcción geométrica para
ecuaciones de la forma: x² + bx = c, bx + c = x² y x² + c = bx
Como conclusiones de este período, se tienen que el lenguaje usado
fue tanto retórico como sincopado; las situaciones problema iban acorde
con las necesidades propias de las comunidades, a nivel de construcción,
comercio, etc., pero comienza un interés por temas meramente
matemáticos. De los conceptos matemáticos no se aceptaban los
números negativos, ni como coeficientes de las ecuaciones, ni como
raíces, muy a pesar de que, algunos matemáticos antiguos de la India,
como Brahmagupta si conocían las raíces negativas y tal como lo
expresan Luque y cols. (2004) no se trabaja con ellas en lugares fuera de
la China o la India, a diferencia de otros conceptos como recta,
cuadrados, insertar, reducir; etc., normalmente usados. De las
proposiciones y los procedimientos se tenían el método hindú y la
completación de cuadrados. Finalmente, los argumentos empleados
eran dados por la transmisión de técnicas específicas según el problema
a resolver y luego se extendió a casos más genéricos aplicando
razonamiento deductivo y geométrico.
Siglos XIV – XVII d.C.: Correspondiente al período conocido como
Renacimiento. En éste, se dan nuevas maneras de plantear la ecuación
de segundo grado gracias al uso de simbologías y deducciones más
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1.- Se comienza por construir el cuadrado de lado x, ABCD, cuya área
es x ².
2.- Luego se prolongan los lados AB y AD en 3 unidades
respectivamente (de este modo se obtienen dos rectángulos de área
6x, los cuales conformarán el segundo término de la ecuación).
3.- Se completa el cuadrado construyendo un nuevo cuadrado de
superficie 9 u 2.
4.- Puede verse que el área total del cuadrado es x ² + 6x + 9, y por
esto, para resolver la ecuación x² + 6x = 7, se le suma 9 a ambos
miembros, quedando x² + 6x + 9 = 7 + 9 = 16, lo cual es a su vez (x + 3) ²
= 4 ², quedando x + 3 = 4 (considerando la raíz positiva por tratarse de
distancia), y por lo tanto x = 1.
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avanzadas en el campo matemático, en cuyo caso se deben en gran
medida a la intervención de François Viète (1540-1603), quien es el
artífice del nacimiento de la simbolización algebraica. Como señala
Sestier (1997), Viète en su obra “Introducción al Arte Analítico”
representa sistemáticamente a través de letras diversas cantidades,
llama a su álgebra simbólica “Logística Speciosa” y transforma el álgebra
en el estudio de los tipos generales de formas y ecuaciones, porque sus
métodos se aplican de lo general a lo particular.
Viète, en sus trabajos, tal como mencionan Luque, Mora y col. (2004),
deduce la solución de la ecuación x² + 2bx = c (a), siguiendo los
siguientes pasos:
Primero coloca
luego
y = x + b,
(llamémosla ecuación * )
y ² = x ² + 2bx + b²; (por elevar al cuadrado ambos miembros)
y² = c + b², (reemplazando en el paso anterior el valor de (a))
y por tanto
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de * se tiene que
y=
c
b
2
x = y- b =
Más adelante, durante el siglo XVII, surge la geometría analítica, lo
cual acoplaría el álgebra y la geometría para dar origen a nuevas
interpretaciones matemáticas, y esto gracias a dos grandes matemáticos
de la época como fueron René Descartes y Pierre de Fermat.
En la última parte de su celebre obra "La Géométrie" (1596-1650), tal
como señala Boyer (1999), Descartes detalla instrucciones geométricas
para resolver ecuaciones cuadráticas, en forma similar a como lo
hicieron los griegos en la antigüedad, para resolver ecuaciones de la
forma x² = bx + c² y emplea una construcción geométrica con los
siguientes pasos: primero se construye el segmento AB con AB = c, luego
se levanta una perpendicular en el punto A, y se traza el segmento AC =
b/2 (donde el valor de c y b vienen por la ecuación dada), de esto se
construye un círculo con centro en C y radio AC, luego se traza una línea
entre los puntos B y C de manera que corte el círculo en otros puntos
denominados E y D. Al final, deduce el valor de x como la medida del
segmento BE (Luque, Mora y col., 2004).
Véase su construcción a través de la fig. 12, donde obviamente puede
aplicarse el teorema de Pitágoras para llegar a la conclusión dada por
Descartes, donde (x - b/2)² = (b/2)² + c², y de acá obtener la ecuación x²
= bx + c².
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Construcción geométrica de Descartes para x² = bx + c²
Por otra parte, con Descartes, Pierre de Fermat (1601-1655)
desarrolló un sistema análogo, plasmado en su obra: "Introducción a la
Teoría de los Lugares Planos y Espaciales". Fermat se tomó el trabajo de
reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, y con la ayuda de la
notación de Viète, representó como líneas, hipérbola, parábola,
circunferencia y elipse respectivamente, las ecuaciones Ax = B y las
expresiones xy = k²; a + x² = ky; x² + y² + 2ax + 2by = c²; a² - x2 = ky². Para el
caso de ecuaciones cuadráticas generales, con varios términos de
segundo grado, rotó los ejes de coordenadas y así pudo reducirlas a los
términos anteriores (Sestier, 1997). En general, de este período se
puede decir que el lenguaje para desarrollar ecuaciones de segundo
grado es simbólico; las situaciones-problema planteadas son más de tipo
abstracto; los conceptos son muy variados, desde el plano cartesiano,
polinomios, ecuaciones, parábolas, hasta elipses, etc.; las proposiciones
están relacionadas con la logística espaciosa, la geometría analítica y la
ley fundamental del álgebra; los procedimientos son más rigurosos,
demostrativos, complejos y están asociados con la manera de
representar funciones en el plano, con la completación de cuadrados y la
factorización; mientras que los argumentos se realizan bajo el estricto
orden deductivo, apoyados naturalmente en el avance matemáticos de
esta época donde los procedimientos se han enriquecido y se han
facilitado una gran cantidad de cálculos.
2
donde
2
= 1
(x + -b2 ) + (y - c+1
2 ) 4
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2
2 2
b + (c - 1) (*)
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Siglos XVIII hasta nuestros días: Este período hace referencia a la
época actual. Cadenas (2004) menciona a Thomas Carlyle (1795-1881),
quien usó una solución geométrica para la ecuación cuadrática de la
forma x² + bx + c = 0, tomando como base definiciones de la geometría
plana, entre ellas: distancia entre puntos, punto medio y ecuación de
una circunferencia. Realizó una analogía del trabajo de Descartes, pero
a diferencia de éste, Carlyle usó el sistema de coordenadas para hallar su
solución. La figura 13 muestra la forma de análisis geométrico empleado
por Carlyle, y de la cual, por geometría analítica se desprende la
ecuación (*):
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Dialógica 2010 Volumen 7 Nº 1
Construcción geométrica de Carlyle para x² + bx + c = 0
Por su parte, el matemático alemán Karl Von Staudt (1798 - 1867),
como señalan Luque, Mora y col. (2004), plantea otro método para
hallar la solución de la ecuación x² - px + q = 0; usa también coordenadas
para ubicar los puntos (q/p , 0) y (4/p , 2), emplea la construcción de un
círculo con radio igual a 1 y centro (0,1), para finalmente llegar a la
conocida resolvente a través de deducciones geométricas sencillas. Una
forma gráfica de esto puede apreciarse en la fig. 14.
Construcción geométrica de Von Staudt para x² - px + c = 0
Pero quizá lo más significativo de este período es la definición formal
de la ecuación de segundo grado, estableciéndose de la forma: ax² + bx +
c = 0, con “a” diferente de 0. Se puede llegar a su solución a través de la
conocida “fórmula resolverte”, pues el uso del método axiomático es
más evidente, lo que permite analizar y encontrar sus posibles raíces ó
soluciones.
En esta última etapa, las entidades primarias presentan una serie de
características. Así, el lenguaje es netamente simbólico y abstracto; las
situaciones-problema se relacionan a aplicaciones matemáticas o de
otras áreas como física, química, etc. Entran nuevos conceptos como son
los números complejos, la resolverte, los procesos de racionalización,
etc., además comienzan a usarse cantidades negativas y, por lo tanto, se
pueden solucionar ecuaciones de tipo x² + bx + c = 0 con mayor facilidad a
la mostrada en otras épocas; para las proposiciones se deduce el manejo
de la teoría axiomática; para los procedimientos se llega a la solución
por la resolverte, la factorización, el método de Ruffini, etc.; y
finalmente, los argumentos son de tipo deductivo-analítico y
geométrico.
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Conclusiones generales de Tipo Didáctico
Este recorrido histórico-epistemológico evidencia la existencia de
diferentes alternativas para la enseñanza de la ecuación de segundo
grado. Por lo general, en la enseñanza del álgebra predomina la
manipulación de símbolos de acuerdo a reglas preestablecidas, pero en
el caso de la enseñanza de la ecuación de segundo grado puede hacerse
mayor uso del trabajo geométrico, o de las diversas técnicas
anteriormente expuestas, a modo de favorecer su comprensión por
parte del educando, en la medida que encuentra una nueva forma de
resolverla y representarla.
A través del análisis histórico-epistemológico, se puede tener una
visión más global del lenguaje, los problemas, conceptos, proposiciones,
procedimientos y argumentos, que han entretejido el surgimiento de
este objeto matemático con el fin de precisar su origen y rescatar su
importancia tanto en el contexto matemático como en el educativo. De
hecho, hay situaciones comunes en el surgimiento de la ecuación de
segundo grado, pese a la diversidad cultural y socioeconómica de cada
período histórico, como por ejemplo en el caso de aplicaciones
geométricas.
Es necesario rescatar diversas técnicas para deducir las raíces de la
ecuación cuadrática en el momento de su enseñanza-aprendizaje; entre
ellas, la factorización, la completación de cuadrados, el método hindú,
el de Descartes, etc., considerando problemas con ecuaciones
cuadráticas simples hasta llegar a casos más complejos pero de interés
para el estudiante, teniendo aplicaciones hacia la geometría, comercio,
ciencia, industria, y otros campos.
Tal como sucedió en la historia y con base en la solución de problemas,
se podrían considerar ciertas etapas para superar los grados de dificultad
en el aprendizaje de la ecuación de segundo grado, así se podría pasar:
1º De lo sencillo, formular problemas donde se involucre el uso de
ecuaciones de segundo grado incompletas con sus múltiples variantes
y con coeficiente 1 para la variable al cuadrado.
3º Plantear problemas con ecuaciones de segundo grado completas,
en los cuales se requiera el uso de los métodos de Al-Kwarizmi, por el
hecho de analizar cómo convertir la ecuación emergente en trinomio
cuadrado perfecto (o hacer variantes con el método de Diofanto o el
de Sriahara).
4º Pasar, luego a realizar la construcción gráfica de los problemas
anteriormente analizados, para darles conexión entre el álgebra y la
geometría.
5º Solucionar ecuaciones de segundo grado por factorización y así
profundizar en la descomposición en factores de la ecuación dada.
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2º Luego, formular situaciones donde el educando agregue términos
para que un binomio se convierta en trinomio cuadrado perfecto.
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6º Llegar a los casos donde la ecuación de segundo grado contenga un
número distinto de 1 en la variable al cuadrado, lo cual llevará a su
resolución con la fórmula general.
7º Por último, expandir a la enseñanza y aprendizaje de las
manipulaciones operativas de carácter literal, para solucionar las
ecuaciones de segundo grado completas, con sus diversas
aplicaciones, ya sea en física, biología, química, etc.
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Finalmente, las conclusiones expuestas son apenas un modesto aporte
ante el amplio campo de posibilidades existentes en el proceso
educativo de un objeto matemático, sólo al momento de entablar
contacto con los educandos y el tema a enseñar, se podrán establecer
otras estrategias y se facilitarán otros mecanismos idóneos según las
características propias del medio físico, emocional, social, etc., que se
presenten en el aula. Lo más relevante es notar cómo este recorrido
histórico permite rescatar la importancia de la enseñanza de la ecuación
de segundo grado mostrando diversas formas de acercar el objeto
matemático al estudiante, para convertirlo en un tema más accesible,
práctico e interesante.
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[Traducción de Juan D. Godino]
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Angélica M. Martínez de López / Mario J. Arrieche Alvarado
RESUMEN CURRICULAR
Angélica María Martínez
Licenciada en Matemática y Física, Universidad Pontificia Bolivariana
(Medellín-Colombia). Profesora de Matemática, Universidad Pedagógica
Experimental Libertador “Rafael Alberto Escobar Lara” (UPEL –
Maracay). Magíster en Educación mención Enseñanza de la Matemática
(UPEL-Maracay) (Mención Honorífica). Miembro del Núcleo de
Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio Medina” (NIEM), y
adscrita a la línea de investigación Perspectivas del enfoque semióticoantropológico para la Didáctica de la Matemática. Integrante de la Junta
Directiva de la Asociación Venezolana de Educación Matemática
(ASOVEMAT) - Capítulo Aragua. Profesora contratada del Departamento
de Matemática de la UPEL – Maracay.
Mario Arrieche
Dialógica 2010 Volumen 7 Nº 1
Profesor de Matemática Universidad Pedagógica Experimental
Libertador “Rafael Alberto Escobar Lara” (UPEL – Maracay). Doctor en
Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada. Coordinador de la
Maestría en Educación mención Enseñanza de la Matemática de la UPELMaracay. Coordinador General de Postgrado de la UPEL-Maracay.
Miembro fundador del Núcleo de Investigación en Educación Matemática
“Dr Emilio Medina” (NIEM) y Coordinador de la Línea investigación
perspectivas del enfoque semiótico antropológico para la Didáctica de la
Matemática. Profesor Asociado con Dedicación Exclusiva del
Departamento de Matemática en la UPEL-Maracay.
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