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Elaboración de objetos físicos como
alternativa didáctica para la
enseñanza del álgebra en grado 8º
OLGA LUCIA MASSO SANJUÁN
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería y Administración
Palmira
2013
Elaboración de objetos físicos como
alternativa didáctica para la
enseñanza del álgebra en grado 8º
OLGA LUCIA MASSO SANJUAN
Trabajo de grado para optar al título de:
MAGISTER EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
Director (a):
Ing. RAÚL ANTONIO DÍAZ PACHECO MSc.
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería y Administración
Palmira
2013
DEDICADO A…
A mi gran y mayor tesoro, mi hija MARIA CAMILA, a mi
madre. Por quererme ellas, comprenderme y apoyarme en
cada momento de la vida y regalarme todo el tiempo que les
quite para realizar este proyecto; a mis hermanos.
A Dios, por guiarme en este camino y en cada momento de
mi vida, dándome la oportunidad de avanzar en mi
formación profesional y alcanzar cada vez más logros y
metas.
Agradecimientos
A mi director Raúl Antonio Díaz Pacheco por su valiosa
orientación
y
tiempo
dedicado
para
realizar
satisfactoriamente este proyecto.
Y a todas aquellas personas que directa o indirectamente
me aportaron consejos y motivaciones para realizar esta
investigación: mis profesores de maestría MECENA, mis
compañeros, mis estudiantes rafaelianos y los estudiantes
de diseño industrial que me colaboraron para realizarla.
Resumen y Abstract
IX
Resumen
Este trabajo es resultado de la presentación y desarrollo de una propuesta pedagógica
que tiene como propósito facilitar y mejorar significativamente el aprendizaje del álgebra
en grado 8º en la institución Educativa Rafael Navia Varón de la ciudad de Cali, a partir
de la observación y el análisis de los procesos cognitivos implicados cuando los
estudiantes la aprenden; estudiando principalmente la construcción del lenguaje
algebraico con su riqueza de significados, sus ideas fundamentales (resolución de
ecuaciones y problemas algebraicos) y analizando el tratamiento conceptual necesario
en la fase de transición entre el pensamiento aritmético y el pensamiento algebraico,
reconociendo además, las dificultades y obstáculos que surgen en el aprendizaje de este
conocimiento, elaborando e implementando para ello objetos físicos como alternativa
didáctica para potenciar las prácticas pedagógicas que se llevan a cabo en el aula,
apoyadas en el uso de las nuevas tecnologías, la lúdica y el juego, y de esta forma
favorecer tanto la enseñanza y comprensión de los procesos algebraicos que realizan los
educandos como el desarrollo de sus competencias matemáticas.
Palabras clave: Procesos cognitivos, álgebra, didáctica, objetos físicos,
lenguaje algebraico.
Abstract
This essay is the result of the presentation and the development`s pedagogic proposal
which intends to facility and improve significantly the earning`s in Algebra in 8th grade at
the Rafael Navia Varon Educational Institution in Cali city, starting from the observation
and the analysis of cognitive processes implied when the students learn it, studying
mainly the construction of the algebraic language with its rich meanings, yours
fundamentals ideas (resolution of equations and algebraic problems) and analyzing the
necessary conceptual processing in the transition phase between the arithmetic thought
and the algebraic thought; also recognizing the difficulties and the obstacles that come up
in the learning of this knowledge, elaborating and implementing for it physical objects as
didactic alternative to develop the pedagogic practices which carries out in the classroom
basing on the use of the new technologies, the ludic and the game and this way to
contribute the teaching and the comprehension of the algebraic processes that the
students realize as much as the development of the mathematical competence.
Keywords: Cognitive processes, Algebra, didactic, physical objects, algebraic
language.
Contenido
XI
CONTENIDO
Pág.
Resumen ........................................................................................................................... IX
Lista de figuras................................................................................................................ XII
Lista de tablas ................................................................................................................. XV
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 1
1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ............................................................................ 5
2. OBJETIVOS .............................................................................................................. 14
2.1
General ................................................................................................... …….14
2.2
Especifícos ...................................................................................................... 14
3. CONSIDERACIONES TEÓRICAS ............................................................................ 15
3.1
Desarrollo Histórico del Álgebra ......................................................... ……… .15
3.2
El Lenguaje y el Álgebra .................................................................... ……… .26
3.3
Teorías del Aprendizaje en la Enseñanza de las Matemáticas ......... ……… .34
3.4
Implementación de Objetos Físicos como Estrategia Didáctica para el Trabajo
en el Aula ....................................................................................................... ……… .36
4. DESARROLLO METODOLÓGICO ........................................................................... 39
4.1
PRIMERA ETAPA: Diseño y Elaboración de los Objetos Físicos de
Aprendizaje OFA y de las Secuencias Didácticas de Apoyo (AAA) .............. ……… .39
4.1.1
Objetos de Aprendizaje ........................................................................ 40
4.1.2
Diseño de las Secuencias Didácticas .................................................. 61
4.2
SEGUNDA ETAPA: Puesta a Prueba de los OFA y de la Secuencias
Didácticas Usando Protocolos de Validación ................................................ ……… .74
4.2.1
Uso en el Aula de los OFA con Respectivas Secuencias Didácticas . 75
4.2.2
Recolección de Información Mediante el Uso de protocolos de
Comprobación al Utilizar los OFA en el Aula ...................................................... 78
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS ..................................................................................... 89
5.1
Resultados Obtenidos al Implementar en el Aula OFA Colorgebra .. ………...90
5.2
Resultados Obtenidos al Implementar en el Aula OFA Gebratorre . ………...95
5.3
Resultados Obtenidos al Implementar en el Aula OFA Pascalgebra .... ….....98
5.4
Situación Actual del Proceso de Enseñanza Debido a la Implementación en el
Aula de los OFA .………………………………………………………………… .….....102
6. CONCLUSIONES .................................................................................................... 109
REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS ................................................................................ 113
ANEXOS ......................................................................................................................... 115
Contenido
XII
LISTA DE FIGURAS
Pág.
Figura 1.
Planilla de registro de valoraciones periódicas de
Estudiantes de grado octavo
7
Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 3ro
I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de
Desempeño en matemáticas año 2012
11
Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 5to
I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de
Desempeño en matemáticas años 2009 y 2012
12
Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 9o
I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de
Desempeño en matemáticas años 2009 y 2012
12
Evidencias de dificultades de los estudiantes de grado 8º al hacer
Operaciones básicas algebraicas
42
Evidencias de dificultades de los estudiantes de grado 8º al utilizar
Lenguaje algebraico
43
Evidencias: estrategia didáctica utilizada en años lectivos anteriores
Antes de implementar OF para la enseñanza de productos notables
45
Ilustraciones de fuentes de Inspiración para el diseño de los Objetos
Físicos de Aprendizaje
53
Figura 9.
Objeto Físico de Aprendizaje COLORGEBRA
55
Figura 10.
Imágenes de la evolución del diseño del OFA Colorgebra
55
Figura 11.
Objeto Físico de Aprendizaje GEBRATORRE
57
Figura 12.
Imágenes de la evolución del diseño del OFA Gebratorre
57
Figura 13.
Objeto Físico de Aprendizaje PASCALGEBRA
58
Figura 14.
Imágenes de la evolución del diseño del OFA Pascalgebra
59
Figura 2.
Figura 3.
Figura 4.
Figura 5.
Figura 6.
Figura 7.
Figura 8.
Contenido
XIII
Figura 15.
Componentes de Diseño de los Objetos Físicos de Aprendizaje
60
Figura 16.
Hoja de predicciones individual AAA No.1
62
Figura 17.
Hoja de predicciones individual AAA No. 2
64
Figura 18.
Hoja de predicciones individual AAA No. 3
66
Figura 19.
Hoja de predicciones individual AAA No. 4
67
Figura 20.
Evidencias gráficas del uso e implementación del
OFA Colorgebra en el Aula
76
Evidencias gráficas del uso e implementación de los
OFA Gebratorre y Pascalgebra en el Aula
77
Figura 22.
Condiciones espaciales para la prueba de validación No.1
81
Figura 23.
Evidencias otras fuentes de recolección de información
87
Figura 24.
Porcentaje de estudiantes que emplean 4 horas clase para AAA #1
90
Figura 25.
Porcentaje de estudiantes que tardan en reconocer la noción de
Variables sobre el objeto
91
Porcentaje de Estudiantes que Logran Derivar de los
Elementos del OF el Concepto de Variable
92
Figura 27.
Porcentaje de estudiantes que desarrollaron completamente AAA#1
93
Figura 28.
Cantidad de estudiantes que reconocen la
Función de las partes del OFA
94
Figura 21.
Figura 26.
Figura 29.
Porcentaje de estudiantes que logran relacionar forma de las
Fichas del objeto con el uso de 2 variables, combinaciones (
+
Figura 30.
Porcentaje de estudiantes que logran formar la combinación (
+
Figura 31.
Porcentaje de estudiantes que escriben la combinación (
Con elementos y símbolos propios del álgebra
Figura 32.
Porcentaje de estudiantes que logran configurar el
Triángulo de Pascal usando el OFA Pascalgebra
+
)2
96
)2 96
)2
97
98
XIV
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 33.
Porcentaje de estudiantes que maneja correctamente las
Fichas del OFA Pascalgebra
99
Porcentaje de estudiantes que logran configurar el Triángulo de
Pascal para combinaciones (x + y)n, con potencias altas (n≥ 5)
99
Evidencias de modificaciones hechas a formatos de registro y de
Control de actividades, usados en las pruebas de validaciones
100
Figura 36.
Evidencias de Uso de los OFA Dentro del espacio Escolar
101
Figura 37.
Porcentaje de estudiantes que mejoran significativamente la
Aprehensión de los conceptos del álgebra con la implementación
De los OFA
102
Evidencias por medio de evaluaciones escritas del Rendimiento
Académico de los estudiantes de grado 8º, antes de
Implementar la propuesta
105
Evidencias por medio de evaluaciones escritas del Rendimiento
Académico de los estudiantes de grado 8º, después de
Implementar la propuesta
106
Evidencias de respuestas dadas por estudiantes participantes en el
Proyecto a encuesta realizada para conocer su opinión acerca de la
Implementación de OFA como estrategia didáctica en el aula
107
Figura 34.
Figura 35.
Figura 38.
Figura 39.
Figura 40.
Contenido
XV
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1.
Rendimiento académico de estudiantes de octavo
Temática del álgebra
8
Competencias y componentes evaluados en las Pruebas
Saber aplicadas en octubre del 2012
9
Descripción genérica de los niveles de desempeño en las
Pruebas Saber aplicadas en octubre del 2012
10
Distribución de los estudiantes de la I.E. Navia Varon
Evaluados en el año 2012 con Pruebas Saber
10
Tabla 5.
Evolución histórica del lenguaje algebraico
29
Tabla 6.
Fases de la evolución del lenguaje algebraico
31
Tabla 7.
Trabajos de investigación ya desarrollados que contribuyen
Para la sustentación teórica de esta propuesta
32
Criterios más relevantes tenidos en cuenta para el
Diseño de los OFA
48
Resumen de trabajos teóricos relacionados con la
Problemática del Álgebra
51
Tabla 10.
Estado del Arte
52
Tabla 11.
Protocolo de Validación No. 1
79
Tabla 12.
Conclusiones inmediatas a la aplicación de la
Prueba No. 1
81
Tabla 13.
Protocolo de Validación No.2
82
Tabla 14.
Conclusiones inmediatas a la aplicación de la
Prueba No. 2.
83
Tabla 15.
Protocolo de Validación No. 3
84
Tabla 16.
Conclusiones inmediatas a la aplicación Prueba No.3
86
Tabla 2.
Tabla 3.
Tabla 4.
Tabla 8.
Tabla 9.
XVI
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
ANEXOS
Pág.
Anexo A:
Anexo B:
Anexo C:
Anexo D:
Desempeño de los estudiantes en el área de Matemáticas
De la temática Factorización evidenciado en evaluaciones
Escritas antes y después de implementar la propuesta.
115
Respuestas a Encuestas hechas a los estudiantes durante
El proceso de Socialización.
117
Formato de registro de observaciones y resultados
De pruebas de validación.
118
Registro escrito que evidencia el desarrollo de las
Actividades propuestas en las secuencias didácticas
Respuestas a predicciones.
119
Contenido
XVII
GLOSARIO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ACTIVO (AAA): Son el conjunto de guías de
actividades o tareas que deben ser desarrolladas por los estudiantes para construir los
conocimientos matemáticos, basándose en la observación directa de situaciones que se
les presenta para posteriormente hacer predicciones, discutir y sacar conclusiones
sobre los hechos observados. Estas guías están estructuradas y organizadas con la
Metodología del Aprendizaje Activo y permiten al educando trabajar en forma individual o
grupal y al docente la orientación permanente durante su ejecución. Su objetivo es
apoyar el uso de los objetos de aprendizaje.
ÁLGEBRA: Es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades
generales de las operaciones aritméticas y los números para generar procedimientos que
puedan globalizarse para todos los casos análogos. Caracterizada por hacer implícitas
las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica. Etimológicamente,
proviene del árabe ( al-dejaber ), con el significado de reducción.
APREHENSIÓN: Ésta palabra corresponde a la asimilación o comprensión inmediata
que tiene un sujeto de una idea o de un conocimiento por completo.
APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: Éste según AUSBEL (1968, 1978,1986, 2000), es
aquél en que, el significado del nuevo conocimiento, viene de la interacción con algún
conocimiento específicamente relevante ya existente en la estructura cognitiva del
aprendiz con un cierto grado de estabilidad y diferenciación. En esta interacción, no sólo
el nuevo conocimiento adquiere sentido sino también el conocimiento anterior queda más
rico, más elaborado, adquiere nuevos significados. Interacción (entre conocimientos
nuevos y previos) es la característica clave del aprendizaje significativo.
COMPETENCIA MATEMÁTICA: Es aquella que permite a los educandos utilizar sus
habilidades cognitivas, su capacidad de razonamiento lógico (cálculos matemáticos,
pensamiento numérico, problemas de lógica, solución de problemas, comprender
conceptos abstractos, razonamiento y de relaciones) todo en conjunto que les favorezca
el resolver un problema en contexto. Formulación tomada de los Lineamientos
Curriculares de Matemáticas dados por el Ministerio de Educación Nacional para orientar
los procesos curriculares y que aparece en el documento Estándares Básicos de
Competencias en Matemáticas, potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar!
2006 pág. 49.
DIDÁCTICA: Disciplina práctica, presentada como la necesidad de un saber teórico
sobre la enseñanza, a partir de cómo se desarrolla el currículo en el contexto del aula, y
que genera normas de acción. Por su carácter investigativo de los procesos de
enseñanza y aprendizaje que se llevan a cabo en el aula, posibilita un saber sobre las
XVIII
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
estrategias de enseñanza más efectivas para promover el aprendizaje de los estudiantes;
atravesando con una doble dimensión (descriptiva y normativa), desde sus orígenes, el
conocimiento didáctico.
DISEÑO INDUSTRIAL: es una actividad intelectual, creativa y proyectual que establece,
siempre con anterioridad y mediante una metodología que permite soluciones objetivas,
todas las propiedades necesarias para la más adecuada fabricación seriada de cualquier
tipo de objeto. Éste, no solo se encarga de los aspectos técnicos-tecnológicos que han
de permitir siempre la más optimizada fabricación de los objetos sino que incorpora todas
las propiedades necesarias para que estos puedan resultar Productos. Es decir, se
ocupa también de las necesidades del mercado y de todos los condicionantes y aspectos
funcionales y comunicativos-culturales de los objetos. (Pensamiento tomado de grandes
teóricos del diseño como por ejemplo, Tomás Maldonado y expuesto en una ponencia del
1er Congreso de Diseño Industrial, Málaga-España “Esto es Diseño Industrial” enero de
2012). En el campo educativo, sus aportes e importancia en la enseñanza radica en que
presenta soluciones que llaman la atención de los estudiantes al diseñar y elaborar
equipos y materiales didácticos que optimizan el aprendizaje cumpliendo tanto con
requerimientos dados desde los conceptos de uso, función y de diseño como con
propósitos curriculares.
ESTÁNDARES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS: Los estándares
Básicos de Competencias en Matemáticas son la selección de algunos de los niveles de
avance en el desarrollo de las competencias asociadas con los cinco tipos de
pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional, y ponen el
énfasis en uno o dos de los cinco procesos generales de la actividad matemática que
cruzan dichos tipos de pensamiento (formular y resolver problemas; modelar procesos y
fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular, comparar y ejercitar
procedimientos y algoritmos).
FACTORIZACIÓN: es un proceso en el que dado un polinomio, éste puede ser
expresado como el producto de dos o más factores, que al ser multiplicados dan
nuevamente el polinomio original (antes de factorizarla), inverso a la multiplicación de
polinomios y llevado a cabo mediante procedimientos definidos y denominados casos de
factorización.
LINEAMIENTOS CURRICULARES: Según el Ministerio de Educación Nacional son
orientaciones para que las instituciones, desde sus PEI (Proyecto Educativo
Institucional), asuman la elaboración de sus propios currículos. Se estructuran por ejes
problémicos y a través de competencias, de manera que permitan un aprendizaje
significativo, vinculando lo aprendido con el medio circundante (2002).
LÚDICA: Es una dimensión en el desarrollo de un individuo y es entendida como una
acción que produce diversión, placer y alegría; que se identifica con la recreación y con
Contenido
XIX
una serie de expresiones culturales (como el teatro, la danza, la música, las
competencias deportivas, los juegos infantiles, los juegos de azar, actividades de
recreación, entre otros). La lúdica en el aprendizaje es considerada como una tendencia
que utiliza el método experiencial, por medio de la cual basándose en el juego se diseñan
un conjunto de estrategias para crearles un ambiente de armonía a los estudiantes que
están inmersos en este proceso.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (MEN): Ministerio que formula las políticas
nacionales de educación, y que establece los criterios y parámetros técnicos cualitativos
que contribuyen al mejoramiento de la calidad educativa y a la formación de mejores
ciudadanos.
METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE ACTIVO: Es una estrategia didáctica para el
aprendizaje que facilita la construcción del conocimiento a través de la observación
directa del mundo real, que le otorga un papel muy relevante al estudiante al permitirle
hacer predicciones, discutir y sacar conclusiones de los hechos observados.
OBJETOS FÍSICOS DE APRENDIZAJE (OFA): material físico o instrumentos con
características, requerimientos y determinantes adecuados para su configuración desde
la perspectiva de los conceptos de uso y de diseño que propone el diseño industrial para
la elaboración de material educativo, con el objetivo de ser implementados durante la
actividad escolar, facilitando el aprendizaje, generando conocimiento y desarrollando en
los estudiantes habilidades, actitudes y competencias en función de sus necesidades.
PENSAMIENTO ALGEBRAICO llamado también Pensamiento Variacional, como su
nombre lo indica, este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la
percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes
contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos
sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos
(formulas y ecuaciones matemáticas). Referido al conjunto de operaciones lógico
matemáticas que explican las formas de razonar los estudiantes para comprender el
sentido y el significado de la variabilidad (mediante el desarrollo de diferentes técnicas de
cálculo numérico y algebraico). Planteamiento tomado desde los Lineamientos
Curriculares de Matemáticas dados por el Ministerio de Educación Nacional MEN para
orientar los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la
comprensión del uso y significado de la noción de variable que aparece en el documento
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, potenciar el pensamiento
matemático: ¡un reto escolar! 2006 pág. 66.
PENSAMIENTO ARITMÉTICO referido al conjunto de operaciones lógico matemáticas
que explican las formas de razonar los estudiantes para comprender el sentido y el
significado de las operaciones y de las relaciones entre números (mediante el desarrollo
de diferentes técnicas de cálculo y estimación). Planteamiento tomado desde los
Lineamientos Curriculares de Matemáticas dados por el Ministerio de Educación Nacional
XX
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
MEN para orientar los procesos curriculares y la organización de actividades centradas
en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la numeración que
aparece en el documento Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas,
potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar! 2006 pág. 59.
PENSAMIENTO DE ORDEN SUPERIOR: Conjunto de actividades mentales o
habilidades cognitivas de pensamiento requeridas para el análisis de situaciones
complejas o problemas que van más allá de su comprensión o de su aplicación. Se
caracterizan por una disposición del pensamiento para analizar, sintetizar y evaluar;
acciones clasificadas como de orden superior. Otros ejemplos de actividades cognitivas
que se clasifican en este grupo son: argumentar, hacer comparaciones, resolver
problemas no algorítmicos complejos, trabajar con controversias e identificar
suposiciones subyacentes, formular preguntas de investigación, proponer hipótesis,
planear experimentos o sacar conclusiones.
PROCESO ENSEÑANZA – APRENDIZAJE: la enseñanza y el aprendizaje forman parte
de un único proceso que tiene como fin la formación del estudiante. Donde el proceso de
enseñar es el acto mediante el cual el profesor muestra o suscita contenidos educativos
(conocimientos, hábitos, habilidades) al estudiante, a través de unos medios, en función
de unos objetivos y dentro de un contexto; y el proceso de aprender es el proceso
complementario al de enseñar. Aprender es el acto por el cual un educando intenta
captar y elaborar los contenidos expuestos por el profesor, o por cualquier otra fuente de
información. Él lo alcanza a través de unos medios (técnicas de estudio o de trabajo
intelectual). Este proceso de aprendizaje es realizado en función de unos objetivos, que
pueden o no identificarse con los del profesor y se lleva a cabo dentro de un determinado
contexto.
PRODUCTO NOTABLE: Según Baldor (2002) se llaman productos notables a ciertos
productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
SECUENCIA DIDÁCTICA: entendida como una serie ordenada de actividades o tareas
relacionadas entre sí, que pretenden enseñar ciertos contenidos. Rutas de acciones
diseñadas para alcanzar los propósitos de enseñanza. Según las características de las
actividades y la función que desempeñen, se pueden identificar diversas fases en ella:
presentación o iniciación (motivación), comprensión de la información, práctica o
ejercitación y transferencia o aplicación de lo aprendido.
Introducción
Tradicionalmente, las formas de enseñanza de las matemáticas y en especial del
álgebra en las instituciones educativas de nuestro país han mostrado grandes
deficiencias en cuanto a su aprendizaje y comprensión. Cuando se trabaja las
matemáticas en el aula se evidencia en los estudiantes que la aprenden más de manera
mecánica, es decir, desde su operatividad o de su simple interpretación simbólica, que se
valora poco la importancia de su significación y aplicación en contextos reales.
Concretamente, observando y analizando los procesos cognitivos implicados cuando
aprenden el álgebra los estudiantes de grado 8º de la institución educativa Rafael Navia
Varón, se ha encontrado que presentan dificultades en cuanto a que no reconocen el
significado y la utilización de una variable para representar o modelar diferentes
situaciones, o que confunden las expresiones algebraicas cuando realizan operaciones
con los elementos del álgebra, esto se debe a que no diferencian el significado
matemático de algunas de ellas, por ejemplo, confunden 2x con x2, e igualmente,
desconocen la aplicación de reglas necesarias para hacer operaciones algebraicas
básicas, como identificar términos semejantes, entre otras dificultades más.
Detectar e identificar dichos obstáculos conceptuales al trabajar cursos de álgebra en
secundaria en años lectivos anteriores permitió elaborar y proponer este trabajo para
realizarlo con estudiantes de grado octavo jornada de la mañana de la institución ya
mencionada, así como también superar la inquietud por mejorar las prácticas llevadas a
cabo en el aula e igualmente, suplir las expectativas ofrecidas en el programa de
maestría de aspirar a formar docentes que sean capaces de crear y evaluar sus propias
estrategias de enseñanza, de actualizarse por sí mismos y de establecer redes
académicas que soporten su trabajo1.
1
Tomado de la página web de descripción de la Maestría Enseñanza de las Ciencias Exactas y
Naturales MECENA, www.ciencias.unal.edu.co/mecena Consultada en agosto de 2011.
2
Introducción
A partir de la problemática, se plantea la necesidad de que los estudiantes comprendan y
se apropien acertadamente de las nociones algebraicas. El campo de acción de este
concepto se fundamenta a partir de la asimilación de los procesos matemáticos previos,
y de la naturaleza de los elementos propios de la actividad algebraica (como son: signos,
variables, igualdades y ecuaciones que se usan para representar las relaciones
aritméticas) y en favorecer el desarrollo de su pensamiento de orden superior. Por esta
razón, es pertinente incorporar y diseñar para la intervención o mediación dentro del aula,
estrategias metodológicas que le permitan a los estudiantes el modo más adecuado para
desarrollar su pensamiento matemático y para lograrlo, cualquier material bien
estructurado es válido como medio didáctico a la hora de aprender conceptos
matemáticos.
Dentro de estos, la elaboración y uso de objetos físicos didácticos para mejorar el
aprendizaje aparece como herramienta didáctica poderosa para potenciarlo, por el
enorme atractivo que generan (apoyados en el juego, la lúdica y las nuevas
tecnologías2), de esta forma y bajo los presupuestos teóricos de la pedagogía, la
didáctica y el diseño, elaborar y presentar dicho material bien estructurado con diversas
estrategias metodológicas sirve como alternativa didáctica para que los educandos
aprendan mejor y aclaren las nociones propias del álgebra sin que les resulte algo
aburrido y repetitivo sino por el contrario, participen con agrado en su proceso de
aprendizaje y de este modo se logra trascender a las formas tradicionales de enseñanza
de esta disciplina en la construcción de aprendizajes.
En este proyecto, con la metodología utilizada se encuentra una gran variedad de retos,
ésta es desarrollada en dos fases básicamente, por una parte, diseñar los objetos
didácticos con los que se pretende facilitar y mejorar la comprensión de los conceptos del
álgebra en los estudiantes de grado octavo, valorando aquí la importancia del diseño
industrial en la construcción de objetos de aprendizaje desde sus perspectivas y
consideraciones, ya que éste al fomentar estrategias de diseño y de desarrollo, aporta
soluciones que atraen más la atención de los estudiantes y optimizan y favorecen la
enseñanza de las matemáticas, y por otra simultáneamente, se hace la elaboración de
las guías de trabajo o secuencias didácticas fundamentadas en el Aprendizaje Activo que
llevan a la manipulación del objeto y su puesta a prueba bajo investigación exploratoria, a
través de la ejecución de actividades denominadas AAA (Actividades de Aprendizaje
Activo) que apoyan su uso, evidenciando con lo anterior el desarrollo conceptual,
pedagógico y didáctico de este trabajo concretizando así de esta manera el propósito
2
Centradas en los desarrollos tecnológicos con sus procesos y aplicaciones y no como
informática.
Introducción
3
fundamental de cursar el programa de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y
Naturales3 con énfasis en profundización.
La consideración tanto de los pocos resultados favorables obtenidos al trabajar la
temática del álgebra con estudiantes de grado octavo en años lectivos anteriores (un
90% de los estudiantes manifestaban dificultades para aprenderla) como del rendimiento
académico de ellos en matemáticas en esos periodos (un 12% de reprobaba el curso),
evidencian su bajo nivel en esta área, es por esta razón que desarrollar este proyecto
cobra sentido y demuestra la pertinencia de aplicar nuevas estrategias didácticas y
pedagógicas para incentivar en ellos el estudio de esta ciencia. Es de resaltar que la
situación anterior no es ajena a nivel universitario y diferentes trabajos ya realizados lo
comprueban, un ejemplo es el desarrollado por Robledo (2003) quien con su
investigación expone que los estudiantes llegan a la universidad con falencias que traen
desde cuando cursan en secundaria estos temas. Robledo citado por García E., Jaime
en su tesis para optar al título de maestría4, basó su estudio en resultados académicos
obtenidos entre los años 2001 al 2004 del primer parcial de Cálculo I de los estudiantes
de las carreras de Ingeniería de la Universidad del Valle o de la Nacional de Colombia
sede Palmira, llegando a la conclusión de que “La formación matemática de los
estudiantes de primer semestre de ingeniería de la Universidad del Valle (…y de la
mayoría de las universidades de Colombia…) es desigual: hay estudiantes con una
buena formación matemática, al lado de estudiantes que debido a su deficiente formación
matemática se constituyen en una población en riesgo de desertar de la universidad o de
permanecer en la misma durante períodos de tiempo socialmente inaceptables”5.
El programa de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales tiene como objetivo
ofrecer al docente de educación media y básica una formación que integre tanto el conocimiento
disciplinar sólido de los contenidos científicos en las ciencias exactas y naturales (Matemáticas,
Estadística, Física, Química, Biología, Geociencias, Astronomía) como las estrategias didácticas
que le permitan enseñar estos contenidos con los medios a su disposición y adecuado a las
características de su entorno.
3
4
García, Jaime en su tesis denominada Incidencia de las tecnologías de la información y la
comunicación como estrategia de aprendizaje del álgebra en estudiantes de primer semestre de la
Universidad Nacional de Colombia sede Palmira, presenta una forma alternativa para mejorar la
comprensión de los estudiantes diseñándoles ambientes tecnológicos para el aprendizaje de esta
temática utilizando el software de GeoGebra.
5
Texto tomado completamente como aparece del documento de García, J. en la página 12.
4
Introducción
Todo lo antes mencionado, el poder aprovechar las condiciones y los recursos de tipo
tecnológico, pedagógico y didáctico con los que se cuentan en la I.E. y la necesidad de
mejorar las prácticas que se llevan a cabo al interior de la escuela particularmente, para
abordar con estrategias adecuadas el tratamiento de los problemas que tienen la
enseñanza aprendizaje del álgebra en octavo, representan el objetivo general que motivó
a desarrollar este proyecto.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
La enseñanza del álgebra para un número considerable de estudiantes de educación
media conlleva a problemas de aprendizaje que tienen que ver con la interpretación y el
manejo de diferentes representaciones del concepto (debido a que normalmente se
aborda el concepto a nivel formal, es decir, éste se da a conocer en forma acabada,
quedando ocultos, para los estudiantes, los procesos de construcción) desarrollar este
trabajo es importante para mejorar significativamente en la institución escolar los
procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, principalmente del álgebra.
En consecuencia, la propuesta se plantea como problema a abordar, la siguiente
pregunta:
¿Cómo mejorar la enseñanza y la comprensión de los procesos algebraicos
(especialmente la factorización) en los estudiantes de grado 8º elaborando objetos físicos
como alternativa didáctica?
Por esta razón, el objeto de estudio en esta propuesta se centra entonces en las ideas
fundamentales del álgebra como son la resolución de ecuaciones y sus problemas
algebraicos relacionados, y el tratamiento conceptual necesario en la fase de transición
entre el pensamiento aritmético y el pensamiento algebraico. De este modo, la
problemática se plantea a partir de la necesidad de que los estudiantes entiendan,
comprendan y se apropien acertadamente de estas nociones. El campo de acción de
este concepto se fundamenta a partir de la asimilación de los procesos matemáticos
previos, y de la naturaleza de los elementos propios de la actividad algebraica (como
son: signos, variables, igualdades y ecuaciones que se usan para representar las
relaciones aritméticas).
Sumado a lo anterior, hay que tener en cuenta que un número de estudiantes manifiestan
de forma verbal que como no aprenden fácilmente el álgebra, les resulta difícil ésta
disciplina. Lo que genera en ellos sentimientos contrarios o de rechazo hacia las
matemáticas, otra más de las ocupaciones del profesor, intentar cambiar estas actitudes
y hacerlas positivas.
6
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Con los resultados obtenidos tanto en pruebas de desempeños que miden el trabajo
realizado por los estudiantes de grado octavo de la institución Rafael Navia, como los del
reporte del bajo rendimiento académico en el área de matemáticas cuando cursan este
nivel de escolaridad y que se derivan de sus informes de valoración periódicos (un 30%
aproximadamente de los educandos reprueban, lo que significa que en promedio 12 de
ellos por cada grupo de 45, se encuentran en esta condición, al igual que con los de las
mediciones hechas a través de pruebas externas como las Pruebas Saber Icfes (ver
tablas 1 a 3), se tienen indicadores para evidenciar las dificultades y la problemática que
se genera en los educandos al aprender los conocimientos matemáticos, en particular
para el aprendizaje del álgebra.
Capítulo 1
7
Figura 1 Planilla de registro de valoraciones periódicas: desempeños de los
estudiantes de grado 8º, cuando se trabaja la temática del álgebra
Fuente: Formato de registro de valoraciones de los estudiantes, manejado por los docentes.
En este caso, se toman de muestra los datos obtenidos durante el segundo periodo
académico del año lectivo 2011, a un grupo de 34 estudiantes de uno de los tres cursos
de matriculados para ese nivel escolar durante ese tiempo lectivo, periodo en el cual se
trabaja la temática propia del álgebra referida a los contenidos para su iniciación y
tratamiento conceptual hasta llegar al proceso de factorización y que corresponden a la
8
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
evaluación de las dimensiones Cognitiva (Conocer); Procedimental (Hacer) y Actitudinal
(Ser y Convivir) que se les hace a ellos.
Dichas valoraciones se expresan con una nota numérica entre 1,0 y 5,0 asignándole el
mismo nivel de ponderación a cada dimensión que para este caso corresponde al 32%.
El 4% faltante lo constituye la valoración dada por los estudiantes de sí mismos
atendiendo al proceso de autoevaluación (ver figura 1).
La observación y análisis de los datos registrados en dicho informe, sobre el rendimiento
académico de los educandos en el área de matemáticas de este grado de escolaridad,
permite concluir los siguientes resultados (véase tabla 1):
Tabla 1 Rendimiento Académico temática del Álgebra
Nivel de Desempeño
(Rango de Valoración)
Bajo
(1,0 – 2,9)
Básico
(3,0 – 3,9)
Alto
(4,0 – 4,5)
Superior
(4,6 – 5,0)
Dominio Conceptual
Tienen conocimiento inferior al mínimo o
escaso referido a la temática del álgebra.
Tienen conocimiento básico y simple de las
nociones algebraicas.
Aplican su conocimiento y comprensión en
situaciones algebraicas complejas.
Organizan su conocimiento algebraico, hacen
argumentaciones,
generalizaciones
y
resuelven problemas complejos.
Cantidad de
Estudiantes
11
18
3
2
Fuente: Elaboración propia.
Los resultados por niveles de desempeño sobre el rendimiento académico en el área de
matemáticas en grado octavo con relación al dominio conceptual del álgebra indican que
el 33% de los estudiantes se encuentran en el nivel bajo, un 52% en el básico, el 9%
alcanza el nivel alto y sólo el 6% está en el nivel superior.
Estas cifras son preocupantes puesto que más de las tres cuartas partes de los
estudiantes presentan dificultades en el manejo de los conocimientos básicos del álgebra
y no saben aplicar apropiadamente sus conocimientos matemáticos para resolver
problemas. Igualmente, tomando como referencia los logros alcanzados en las pruebas
externas, los resultados son similares, se observa claramente identificada dicha
problemática.
Capítulo 1
9
Los reportes propios de este establecimiento muestran bajos resultados obtenidos, esto
aparece bien detallado en el informe presentado por el Instituto Colombiano para la
Evaluación de la Educación (ICFES) de la aplicación de las Pruebas Saber6 3ro, 5to y 9o
en el año 2012 donde además, se tiene un comparativo entre las mediciones obtenidas
en dicho año con las del 2009, esas medidas reflejan las carencias y debilidades de los
estudiantes en el área de matemáticas en estos cursos, especialmente en lo relacionado
con las competencias que deben poseer y los componentes que tienen que manejar y
que son evaluados mediante estas pruebas para esta disciplina por constituir la base
para el trabajo escolar. (Véase la tabla 2).
Tabla 2 Competencias y componentes evaluados en las Pruebas Saber aplicadas
en octubre del 2012
Fuente: ICFES. Pruebas Saber 3˚, 5˚ y 9˚. Aplicación realizada en octubre de 2012. Guía para la
lectura e interpretación de los reportes de resultados institucionales. Segunda entrega. Publicada
en www.icfes.gov.co y consultada en marzo de 2013.
La interpretación de los resultados de estas pruebas requiere tener en cuenta que ellos
se expresan con puntajes dados en porcentajes y en rangos de puntajes de 0 a 500, de
acuerdo con niveles de desempeño que indican el saber hacer en contexto de los
educandos y que son ponderados como Insuficiente, Mínimo, Satisfactorio y Avanzado,
véase tabla 3.
6
Estas pruebas miden el rendimiento académico de los estudiantes colombianos en las áreas de
Lenguaje, Matemáticas y Ciencias Naturales con el objetivo de determinar qué tanto los
estudiantes de educación básica se acercan al logro de los resultados esperados, según los
estándares básicos de competencias definidos por el Ministerio de Educación Nacional para estas
áreas; con el propósito de que esta evaluación permita a las instituciones educativas, las
secretarías de educación y al MEN construir planes de mejoramiento en sus respectivos ámbitos
de actuación valorando los avances en el tiempo.
10
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Tabla 3 Descripción genérica de los niveles de desempeño en las Pruebas Saber
aplicadas en octubre del 2012
Fuente: ICFES. Pruebas Saber 3˚, 5˚ y 9˚. Aplicación realizada en octubre de 2012. Guía para la
lectura e interpretación de los reportes de resultados institucionales. Segunda entrega. Publicada
en www.icfes.gov.co y consultada en marzo de 2013.
Los estudiantes que se tomaron como muestra para este informe y que en total fueron
503, corresponden a los matriculados en el año lectivo 2012 en la entidad escolar Navia
Varon, están distribuidos tal como se observa en la tabla 4.
Tabla 4 Distribución de los estudiantes de la I.E. Rafael Navia Varon evaluados en
el año 2012 con Pruebas Saber
NIVEL DE
ESCOLARIDAD
SEDE
JORNADA
CANTIDAD DE
ESTUDIANTES
Francisco
Montes
Mañana y tarde
95
3ro.
5to.
Panamericana
Francisco
Montes
Panamericana
Navia Varon
TOTALES
143
Mañana
48
Mañana y tarde
91
133
Mañana
Mañana
42
136
9o
227
Navia Varon
Tarde
TOTAL
91
503
503
Fuente: Elaboración propia, datos tomados del registro de matrícula Zimat de la institución en el
año 2012.
Capítulo 1
11
En las siguientes gráficas se muestra la distribución de los estudiantes según su rango
de puntaje y niveles de desempeño en matemáticas de la institución tanto del año 2009
como del 2012 (Véase figuras 2, 3 y 4) información reportada por el Icfes y publicada en
su página web, resultados Pruebas Saber para el establecimiento educativo: 35-01
Rafael Navia Varon. Código DANE: 176001020359. Fecha de actualización de datos,
viernes 22 de marzo 2013.
Figura 2 Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 3ro de la I.E.
Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de desempeño en matemáticas
año 2012
Fuente: Datos tomados de la página web del Icfes, consultados en marzo de 2013.
12
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 3 Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 5to de la I.E.
Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de desempeño en matemáticas
años 2009 y 2012
Fuente: Datos tomados de la página web del Icfes, consultados en marzo de 2013.
Figura 4 Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 9o de la I.E. Navia
Varon según rangos de puntajes y niveles de desempeño en matemáticas años
2009 y 2012
Fuente: Datos tomados de la página web del Icfes, consultados en marzo de 2013.
Capítulo 1
13
La distribución porcentual de los estudiantes según los desempeños alcanzados en
matemáticas de la entidad educativa Navia Varon indican que la mayoría de los
estudiantes de grado tercero, el 78%, se encuentran en el nivel Avanzado cifra favorable
que demuestra que más de las tres cuartas partes de los educandos de este nivel tienen
un buen manejo de los conocimientos matemáticos debido a que el trabajo escolar que
se realiza con ellos permite acercarlos a los preconceptos y a las nociones iniciales y
básicas del álgebra; en estas pruebas, este componente (numérico-variacional) tiene un
alto número de participación en las preguntas a resolver7. En quinto en el año 2012, la
situación es desfavorable, la mayor parte de los evaluados se encuentran en los niveles
Insuficiente y Mínimo, 38% y 30% respectivamente, resultados contrarios a las
mediciones registradas en el 2009 donde la gran mayoría los participantes de la prueba
se concentró en los niveles Satisfactorio y Avanzado, 30% y 40% respectivamente (es de
tener en cuenta que los que presentaron la prueba en dichos años de realización son
grupos diferentes de estudiantes), estas cifras son preocupantes, si bien es cierto que el
grado de complejidad de los conocimientos matemáticos ha aumentado, ellas determinan
que muchos de los evaluados no saben aplicar la matemática para resolver problemas
complejos, quedando de este modo ubicados por debajo de los promedios nacionales.
En cuanto a la distribución para noveno en el año 2012 se ve que gran parte de los
educandos están ubicados en el nivel Mínimo (resultado similar al obtenido en el 2009), y
aunque se tiene una reducción de 16 puntos porcentuales de los que se encuentran en
este nivel, esta cifra resulta poco significativa teniendo en cuenta que en este rango de
desempeños ese 56% registrado quiere decir que más de la mitad de los evaluados no
superan las preguntas de menor complejidad de la prueba y por tanto carecen de
muchas de las competencias que se requieren para tener un buen dominio conceptual de
los conocimientos matemáticos, este valor describe que esos participantes no saben y no
saben hacer con situaciones y problemas que se les presenta en esta ciencia.
Si bien es cierto, que diseñar estos objetos de aprendizaje no suple directa y totalmente
las carencias evidenciadas en la presentación de pruebas como por ejemplo, las Saber,
la idea con el uso de estos recursos es ofrecer a los estudiantes una forma alternativa
didáctica para aprender los conocimientos matemáticos. Con ellos la pretensión es
contribuir para fortalecer y desarrollar más sus competencias y habilidades al atenderse
aspectos no sólo de tipo cognitivo sino que también a los de orden afectivo, social y de
pensamiento que están vinculados en el contexto de aprendizaje de esta ciencia y de
este modo que estén mejor preparados para el abordaje de dichas pruebas.
7
En la página web del Icfes aparecen cuestionarios simulacros de Pruebas Saber que pueden ser
consultados para conocer acerca de las preguntas, temáticas y formas de evaluar esta entidad en
esta clase de pruebas.
OBJETIVOS
2.1 Objetivo General
Mejorar de manera efectiva y significativa la comprensión y aprehensión de las nociones
fundamentales del álgebra, particularmente, la factorización a partir de la manipulación
de objetos físicos.
2.2 Objetivos Específicos
2.2.1 Desarrollar una propuesta didáctica, pedagógica e innovadora para mejorar la
enseñanza y facilitar el aprendizaje del álgebra.
2.2.2 Elaborar objetos de aprendizaje como material didáctico que permitan a través de
su manipulación mejorar significativamente en los estudiantes la comprensión de las
nociones algebraicas.
2.2.3 Apoyarse en las nuevas tecnologías, la lúdica, el juego y diferentes recursos y
materiales como estrategia didáctica para el desarrollo de esta propuesta.
CONSIDERACIONES TEÓRICAS
En este marco, para efectos de sustentar la presente propuesta se atiende en primer
lugar a la problemática de la formulación conceptual del álgebra haciendo un recorrido
histórico para comprender acerca de su evolución y desarrollo, destacando algunos de
los elementos necesarios para los procesos de construcción del lenguaje algebraico
donde se pone de manifiesto la fase de transición entre el pensamiento aritmético y el
algebraico, y para los procedimientos y métodos utilizados al resolver ecuaciones,
seguido de ciertas consideraciones teóricas sobre los procesos de enseñanza
aprendizaje de esta ciencia desde el enfoque del aprendizaje significativo y del
aprendizaje activo (teorías que particularmente sustentan este trabajo) y en los
fundamentos de la estructura curricular propuesta por el MEN en los lineamientos y
estándares para la enseñanza de las Matemáticas; finalmente, se valora la importancia y
se trata el porqué de implementar objetos físicos de aprendizaje como alternativa
didáctica para desarrollar el trabajo que se realiza en el aula desde la perspectiva
pedagógica, didáctica y del diseño industrial para el abordaje de esta problemática base
de este proyecto.
3.1 Desarrollo Histórico del Álgebra
Desde la antigüedad se ha planteado la problemática de la formulación conceptual del
álgebra; este planteamiento matemático ha girado en torno a las teorías que han sido
expuestas y trabajadas por Filósofos- Matemáticos como Diofanto (s. III), Fibonacci (s. XI
y XII), Vieta (s. XV), Harriot y Newton (s. XVI), Descartes (s. XV y XVI), Leibnitz (s. XVIII),
entre muchos otros.
Fue durante los Siglos XVI y XVII que se mostró que el pensamiento variacional no se
podía refinar sin los sistemas algebraicos y analíticos ni éstos sin aquél. La relación del
pensamiento variacional con el manejo de los sistemas algebraicos colocó al álgebra
como un sistema potente de representación que describía los fenómenos de variación y
de cambio, dejando de ser solamente un juego formal de símbolos no interpretados.
18
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
El desarrollo de los conceptos básicos del álgebra tuvo diversos enfoques a través de la
historia, en su recorrido fueron muchos los matemáticos que trabajaron por su
perfeccionamiento, siendo en la última mitad del siglo XVIII cuando fue llevada a un
máximo grado de perfección, al hacerla como el más apto y el más útil instrumento para
adelantar todas las demás ciencias.
Un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con
sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos (variables, constantes, parámetros,
términos, fórmulas y otras expresiones algebraicas como las ecuaciones e inecuaciones,
los sistemas de ecuaciones o de inecuaciones, por ejemplo), para lo que se requiere
ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los
sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación
y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición, o el carácter simétrico y
transitivo de la igualdad y el carácter anti simétrico y transitivo de la desigualdad), de esta
manera, el cálculo algebraico surge como una generalización del cálculo aritmético.
Al hacer un recorrido por el desarrollo histórico del álgebra8 se evidencia claramente que
la construcción del lenguaje simbólico fue muy lenta y dificultosa, en ciertos periodos se
tiene un mejoramiento progresivo en cuanto a este tema y en otros se ve un
estancamiento del mismo; por ejemplo, los babilonios (2000 a.C.), los egipcios (1700
a.C.), los griegos (600-200 a.C.) y los chinos (300 a.C.-300 d.C.) utilizaban
exclusivamente el lenguaje natural, sin recurrir a algún signo para representar la
incógnita. Fue Diofanto cuando en el año 250 d.C. introdujo, por primera vez en la
historia de las matemáticas, abreviaturas usando letras griegas para indicar la incógnita
en una ecuación y sus potencias:
xllamada "il número del problema" x2 "cuadrado" o "potencia"
x3 "cubo"
x4 "cuadrado-cuadrado"
8
En este proyecto, las ideas tenidas en cuenta para mostrar el desarrollo histórico del álgebra
fueron tomadas casi de forma literal y casi completa de como aparecen en el trabajo desarrollado
por Elsa Malisani: Los Obstáculos Epistemológicos en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico.
Visión histórica. Articolo pubblicato nella “Revista Irice” del instituto Rosario de investigaciones en
Ciencias de la Educación” di Rosario – Argentina, nel n° 13 del 1999, in lingua spagnola. ISSN
0327-392x.
Capítulo 3
19
x5 "cuadrado-cubo"
x6"cubo-cubo"
1/x 
También en esa época la adición se representaba escribiendo los términos uno al lado
del otro, para la diferencia se utilizaba el símbolo /|\; y no había signo alguno para
representar la multiplicación, la división y coeficientes; la igualdad se expresaba con is y
los cálculos se desarrollaban usando el lenguaje natural escribiendo sus soluciones en
un texto continuo. (Kline, M. 1991 citado por Malisani).
Más adelante, en el siglo VII los hindúes crearon un simbolismo algebraico bastante
eficiente que permitió desarrollar nuevos procedimientos para la resolución de
ecuaciones. En la obra de Brahmagupta (598 d. C.) se encuentran algunas abreviaturas
que se utilizaron para representar la incógnita y sus potencias por ese tiempo:
x → ya [primera sílaba de la palabra yavattavat (tanto-cuanto)]
x2 → va
x3 → gha
x4 → vava
x9 → ghagha
x 1/2 → ka [primera sílaba de la palabra karana (raíz cuadrada)].
Los hindúes no contaban con algún símbolo para indicar la adición y el producto; y para
la resta, utilizaban un punto sobre el sustraendo y para igualar dos cantidades se
limitaban a escribir los dos miembros en dos líneas consecutivas. Cuando en un
problema aparecían varias incógnitas, una de ellas se representaba con la sílaba ya y las
otras con objetos de diversos colores: en general, usaban la primera sílaba de la palabra
relativa al respectivo color. Este simbolismo, si bien es cierto era muy rudimentario,
resultó suficiente para catalogar el álgebra hindú como "casi-simbólica".
En el siglo XII, Leonardo Pisano, introdujo en Occidente los procedimientos aritméticos
utilizados por los árabes, las características de esta álgebra se transmitieron por toda
Europa y tuvo una fuerte influencia durante más de tres siglos. En las obras de Leonardo
y en el tratado de ábaco llamado Trattato d'Algibra (Anónimo del Siglo XIV), se observa
que estos desarrollos empleaban básicamente el lenguaje natural. Más tarde, en el Siglo
XVI Pacioli (1445- 1514) usaba en su obra otras abreviaturas tales como: p de più (más),
m de meno (menos), ae de aequalis (igual), R2 y R3 (atravesadas por una barra oblicua)
que indicaban raíz cuadrada y raíz cúbica respectivamente y la m delante de un número
para señalar que éste era negativo.
20
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Con Bombelli (1526-1572) se produjo una verdadera transformación del lenguaje
algebraico, él al introducir símbolos especiales para representar la incógnita y sus
potencias (una semicircunferencia sobre la cual se escribía un número para indicar el
exponente de la potencia) marcó una gran evolución en el uso del lenguaje simbólico
(Bombelli, 1566). La mayor parte de los cambios que se habían efectuado hasta ese
momento consistían en abreviaturas de palabras del lenguaje natural. Bombelli lo que
hizo fue utilizar un lenguaje Sincopado-Avanzado o lenguaje de Signos, resultado de una
combinación entre el lenguaje natural y el simbolismo algebraico, para formular las reglas
de las operaciones numéricas, de los polinomios y de los procedimientos para la
resolución de ecuaciones. Este simbolismo comparte precisamente con el álgebra de
Vieta (1540-1603) la característica de ser auto explicativo; aunque Bombelli necesitó
acompañar sus desarrollos con versiones más retóricas y para demostrar la validez de
las igualdades implicadas en diversos tipos de ecuaciones empleaba construcciones
geométricas.
Muchos de los cambios de notación realizados hasta el 1500 se dieron accidentalmente y
no se apreciaba suficientemente lo que el simbolismo significaba en el álgebra. Entre el
1500 y el 1600 fueron introducidos casi todos los símbolos conocidos en la actualidad,
aunque esto fue un proceso lento, el álgebra simbólica no suplantó de golpe al álgebra
sincopada o de signos. Algunos autores sostienen que los signos + y - fueron
introducidos por los alemanes para indicar los pesos en exceso o en defecto de los
cajones y posteriormente fueron adoptados por los matemáticos Widman (Siglo XV) y
Stifel (1486-1567); pero hay quienes atribuyen este invento a Leonardo da Vinci (14521519). (Kline, pág. 303; Loria, pág. 468 citados por Malisani).
Para indicar la igualdad, Recorde (1510-1558) –que escribió el primer tratado inglés de
álgebra- introdujo el signo = en el 1557, Vieta al principio utilizaba la palabra aecqualis,
después adoptó el signo ~, mientras Descartes (1596-1650) usaba el signo ´ del producto
para ella; los signos > y < indicaban las desigualdades y fueron introducidos por Harriot
(1560-1621). Los paréntesis se conocieron en el 1544, los corchetes y las llaves,
alrededor del 1593. La raíz cuadrada Ö y la raíz cúbica Öc aparecieron en el Siglo XVII
con Descartes (Kline, pág. 304). Los exponentes fueron introducidos gradualmente
Stevin (1548-1620) utilizó también exponentes fraccionarios: 1/2 para la raíz cuadrada y
1/3 para la raíz cubica. Con Vieta se produjo el cambio más significativo en la
construcción del lenguaje simbólico, este autor fue el primero en utilizar sistemáticamente
las letras para todas las cantidades (la incógnita, sus potencias y los coeficientes) y los
signos para las operaciones, empleando este lenguaje simbólico tanto en los
procedimientos resolutivos como para la demostración de reglas generales.
Capítulo 3
21
Respecto a los métodos de resolución de ecuaciones el desarrollo del simbolismo
algebraico fue también lento y dificultoso debido a la ausencia de un lenguaje adecuado y
de algunos conocimientos requeridos de los conjuntos numéricos. En un principio, se
utilizaban procedimientos geométricos para la resolución de ecuaciones de primer y
segundo grado. Por ejemplo, en la obra de Euclides, Los Elementos; la proposición 12
del Libro VI (pág. 107) que consiste en calcular el cuarto proporcional de tres
segmentos dados, La aplicación de esta propiedad implica resolver "geométricamente"
ecuaciones del tipo ax = b con coeficientes positivos, considerando como segmentos: AB
= a, BC = b, AD= 1 e DE = x . De la misma obra, para demostrar las proposiciones 28 y
29 del Libro VI (pág. 146-150) se resuelven "geométricamente" como ecuaciones de
segundo grado que admiten al menos una raíz positiva. Ellas son expresadas mediante
ecuaciones de tipo ax – x2 = b2; y corresponden al problema geométrico: "Sobre un
segmento dado (a) construir un rectángulo (de altura x), que exceda al cuadrado de la
altura (x2) en un área equivalente a un cuadrado dado (b2).
Los árabes resolvían las ecuaciones de segundo grado considerando separadamente
cinco casos distintos, de manera que los coeficientes fueran siempre positivos. Este
modo de proceder era similar al de Diofanto, pero representaba un paso atrás respecto al
álgebra hindú que consideraba la forma general de la ecuación de segundo grado, estos
admitían coeficientes negativos y empleaban lenguaje natural para describir todas las
operaciones algebraicas. Por ejemplo, el árabe al-Khowârismî, presentó una ecuación
de segundo grado de este modo: Un cuadrado y diez de sus raíces son iguales a nueve y
treinta (por treinta y nueve) dirhems, es decir tú sumas diez raíces a un cuadrado y la
suma es igual a treinta y nueve. Este enunciado, traducido al lenguaje simbólico del
álgebra, corresponde a la ecuación: x2 + 10 x = 39, pudiendo el autor obtener su solución
completando el cuadrado.
Un aporte muy interesante de la matemática árabe consistió en que lograron resolver
ecuaciones de tercer grado mediante la intersección de curvas cónicas desarrollado una
correspondencia entre geometría y álgebra cinco siglos antes de Descartes y Fermat.
Después de la difusión del Tratado de Algebra (Al-jabr w'al muqâbala) de al-Khowârismî
se generaron dos corrientes de ideas:
* Ciertos problemas geométricos se pueden resolver a partir del desarrollo de ecuaciones
algebraicas con una incógnita;
* La(s) solución(es) de determinadas ecuaciones de tercer grado se pueden obtener
mediante la construcción geométrica.
Con al-Khayyam (1038-48 -1123) el álgebra se transformó en la teoría general delas
ecuaciones algebraicas con coeficientes positivos y de grado menor o igual que tres.
22
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Este autor resolvió las ecuaciones de segundo grado con raíces positivas utilizando el
procedimiento geométrico de Euclides. Obtuvo, además, la solución general de las
ecuaciones de tercer grado (con raíces positivas y no reducibles a ecuaciones de
segundo grado) mediante la intersección de curvas cónicas.
Hasta 1500 aparecieron los métodos europeos para resolver ecuaciones, en su obra el
Liber Abaci (1202), Fibonacci resolvió numerosos problemas de tipo práctico (relativos a
transacciones comerciales), mediante la aplicación de la sucesión que lleva su nombre o
de procedimientos relativos al análisis indeterminado de primer y segundo grado,
siguiendo el estilo diofantino y árabe considerando separadamente cinco casos distintos,
de manera que los coeficientes resultaran siempre positivos, para cada uno de ellos,
encontró la solución utilizando los razonamientos geométricos de Euclides.
El autor del Trattato d'Algibra (siglo XIV) estableció 25 reglas para resolver ecuaciones
de los primeros cuatro grados, considerando separadamente varios casos particulares de
ecuaciones del mismo grado, superior al primero, de modo que los coeficientes
resultaran siempre positivos. Siguió, además, la tradición árabe de aceptar solamente las
soluciones reales positivas no nulas. Resolvió las primeras 22 ecuaciones aplicando la
transposición de términos (esto es, "cambiar de lado-cambiar de signo") o la fórmula
resolutiva para las ecuaciones de segundo grado, que en algunos casos debió adaptar
para encontrar solamente la solución positiva. Transformó las ecuaciones bicuadráticas
en cuadráticas y ciertas ecuaciones cúbicas y cuárticas en ecuaciones de segundo
grado, dividiéndolas por la incógnita o su cuadrado. Es interesante subrayar que, estas
observaciones pueden parecer obvias para la persona que está acostumbrada a utilizar
el simbolismo algebraico, pero en realidad eran mucho menos triviales para el autor que
las formuló disponiendo sólo del lenguaje natural.
Alrededor del 1500 Scipione Dal Ferro enunció la fórmula resolutiva de la ecuación x3 +
px = q con p y q positivos, utilizando el lenguaje natural. En el 1535, de manera
independiente, Tartaglia descubrió la fórmula resolutiva de las ecuaciones cúbicas con
coeficientes positivos: x3 + px = q y x3 + q = px, que fueron publicadas en el 1545 por
Cardano en su obra l'Ars magna. En este texto, el autor expuso el método de resolución
de las ecuaciones cúbicas y, siguiendo la tradición árabe, realizó una demostración
geométrica para cada una de las reglas obtenidas describiendo también el método de
solución para algunas ecuaciones cuárticas, procedimiento descubierto por Ferrari y
estableció las condiciones para que el número de raíces de una ecuación (de segundo o
tercer grado) sea igual a su grado, junto con las reglas para bajar el grado de una
ecuación de la cual ya se conoce una raíz.
Capítulo 3
23
En su obra L'Algebra, Bombelli (1566), desarrolló la teoría de las ecuaciones de los
primeros cuatro grados. Consideró separadamente tantos casos particulares de
ecuaciones del mismo grado, superior al primero, de manera que los coeficientes fueran
siempre positivos. Para cada tipo de ecuación enunció (en lenguaje retórico) una regla
práctica de resolución, realizó la construcción geométrica (en los casos posibles) para
justificar la validez de la igualdad formulada en la ecuación y analizó la naturaleza y la
multiplicidad de las raíces. Siguió, además, la tradición árabe y medieval de aceptar
solamente las soluciones reales positivas no nulas, porque las raíces negativas o
complejas resultaban difíciles de interpretar de modo adecuado, en relación con los
problemas que permitían resolver. Además, utilizó la construcción geométrica para
resolver problemas algebraicos, pero su procedimiento era inverso del que se encuentra
álgebra geométrica de los antiguos, porque este autor no resolvió directamente el
problema geométrico para obtener la solución analítica de la interpretación aritmética de
la construcción realizada, sino que utilizó precisamente la resolución algebraica para
deducir la construcción geométrica.
Este análisis histórico de los distintos
procedimientos utilizados para resolver ecuaciones deja ver que los exponentes de estos
procedimientos no solo usaron los elementos algebraicos sino que además recurrieron a
otros tipos de lenguajes: natural, aritmético o geométrico.
El álgebra tiene gran presencia en los contenidos matemáticos tratados en la institución
escolar, y es por esta razón que hay que considerar las dificultades que se dan (cuando
se le aprende o se le enseña), como consecuencia de la transición dada al pasar del
pensamiento aritmético al pensamiento algebraico9 y que son manifestadas en la
utilización de:

El lenguaje algebraico (letras con significado – variables – organizado desde lo
epistemológico, cognitivo y didáctico).

Las expresiones algebraicas (ecuaciones lineales y cuadráticas).

Los procesos de pensamiento (específicamente la sustitución formal, la
generalización y la modelación) y

La resolución de problemas.
Sobre estos aspectos, es importante que los procesos de aprendizaje que realicen los
educandos se guíen hacia el desarrollo de estructuras cognoscitivas10 que les permitan
9
SOCAS, Martín. La enseñanza del álgebra en la educación obligatoria: Aportaciones de la investigación.
En: Revista NÚMEROS. Vol. 77. p. 5 - 34. Julio de 2011. ISSN: 1887-1984
10
Para Piaget y los constructivistas éstas son estructuras que permiten al sujeto acercarse al objeto de
conocimiento haciendo uso de capacidades sus intelectuales dejándole ver el objeto de cierta manera y así
24
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
acceder al conocimiento con el menor desgaste pero con el mayor disfrute posible.
Como se sabe, los estudiantes están en capacidad de extraer información de los objetos
de conocimiento y en esta etapa de desarrollo su vida mental ha alcanzado ya altos
niveles de percepción de dicho objeto (es decir, elaboran con más precisión conceptos
como por ejemplo, la noción de número, de clase, de espacio, de tiempo, etc.).
Referirse al estudio del álgebra como tal, implica considerar los planteamientos teóricos
formulados desde las contribuciones hechas por los antiguos matemáticos hasta llegar a
las modernas teorías del desarrollo del álgebra, en el álgebra moderna, no basta con
tener el enfoque notacional del análisis algebraico, se precisa de las formas simbólicas
para denotar las entidades algebraicas, esa clara inclinación hacia el análisis es
considerado dentro de ella como un método el cual es conocido como la logística
simbólica, introducido por Vieta (y desarrollado por otros como Harriot, Fermat, Leibniz,
etc.) en su Arte Analítico (p.17), y que “... emplea símbolos o signos para cosas, como,
digamos, las letras del alfabeto”.
Este método, dentro del desarrollo evolutivo del álgebra al permitir representar por medio
de las letras del alfabeto las variables, e incluso los coeficientes, en una ecuación; le trajo
una ventaja adicional a esta disciplina: las operaciones presentes en la resolución de una
ecuación se hicieron mucho más evidentes.
Esta forma de razonamiento puede resultar ser útil si permite:

La generalización de ecuaciones aritméticas (e inecuaciones) para ser indicadas
como leyes (por ejemplo,
para toda
y ), y es así el primer
paso al estudio sistemático de las propiedades del sistema de los números reales.

La referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una
variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede
ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.

La exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, si
usted vende x cantidad de boletos, entonces, su ganancia será 3x - 10 pesos).
extraer de él información. La nueva información produce modificaciones y acomodaciones en las primeras
de tal forma que el sujeto cuando se acerca nuevamente al objeto lo ve de manera distinta.
Capítulo 3
25
Estos tres aspectos (generalizar, referir y explorar) son fundamentos esenciales del
álgebra elemental según diversas investigaciones hechas en educación matemática por
diversos autores (Wagner y Kieran, 1989; Bednarz, Kieran y Lee, 1996; Kieran, 2007) y
citadas por Godin11 y otros (2010), caracterizando las dificultades de los estudiantes en el
tránsito desde la aritmética hasta el álgebra en la escuela secundaria. Según los autores
estas investigaciones han descrito aproximaciones al razonamiento algebraico que,
posteriormente, permitieron aportar datos experimentales y justificaciones teóricas para
apoyar la inclusión del álgebra desde la escuela y que debe ser distinguida del álgebra
abstracta por ser una temática más avanzada y enseñada generalmente a nivel
universitario.
Trabajar el álgebra al interior del aula desde sus fundamentos esenciales, posibilita un
mayor acercamiento de los estudiantes a las nociones propias de este campo. Cuando
ellos reconocen que una expresión algebraica contiene números, variables y operaciones
aritméticas e igualmente entienden la forma como estas expresiones aparecen escritas
les es más fácil su tratamiento.
Concretamente, tal acercamiento es evidenciado en momentos como cuando los
educandos escriben expresiones algebraicas teniendo en cuenta las condiciones
requeridas para ello, por ejemplo colocar los términos con exponente más altos a la
izquierda (forma ascendente utilizada al escribir un polinomio, como se muestra a
continuación: x + 3; y2 + 2x; z7 + a (b + x3) + 42/y – π); o cuando conciben a una
ecuación como la igualdad entre dos expresiones; o cuando razonan de que algunas
ecuaciones son verdades para todos los valores de las variables implicadas, un ejemplo
de ello es:
; y reconocen que tales ecuaciones son llamadas
identidades y las diferencian de las ecuaciones condicionales (las cuales son verdades
solamente para algunos valores de las variables implicadas), como se puede ver en:
; o cuando determinan que los valores de las variables que hacen la
ecuación verdadera son llamados solución de la ecuación.
Merchán (2009), menciona que al caracterizarse las dificultades de los estudiantes
durante el tránsito de la aritmética al álgebra en la escuela y que al adoptar estrategias
adecuadas para superarlas se reafirma el propósito de que es necesario ¨…conocer lo
que ocurre al interior de las aulas para entender el papel que juega la escuela en la
11
Trabajo como proyecto de investigación sobre la naturaleza del álgebra elemental realizado por Juan D.
Godin, Walter F. Castro, Lilia P. Aké y Miguel R. Wilhelm, publicado en el Boletín de Educación Matemática
EDU2010-14947, Ministerio de Ciencia e Innovación (MCINN) y fondos FEDER.
26
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
formación matemática de los jóvenes…¨ y así poder identificar que puede hacerse para
mejorar las prácticas educativas, perfilando lo mejor posible los contenidos y métodos de
enseñanza propios de esta ciencia; formulando una teoría de acción en el aula con
posibilidades y estrategias adecuadas para el cambio y desarrollando propuestas
fundamentadas en los campos de la didáctica y la pedagogía.
3.2 El Lenguaje y el Álgebra
Al considerar la influencia12 sobre los estudiantes de las estructuras aprendidas mediante
el lenguaje algebraico se determina la capacidad de éste para resolver un problema. En
particular, el estudio de la construcción del lenguaje algebraico con su ambigüedad
semántica y su riqueza de significados pone de manifiesto la fase de transición entre el
pensamiento aritmético y el algebraico, Malisani (1999). Aquí se encuentra el pasaje
entre lo semiótico significativo (la aritmética) y el tentativo de poner a punto un nuevo
lenguaje (el álgebra) relativos a una cierta clase de problemas (resolución de
ecuaciones). En tanto que en los procesos cognitivos implicados en el aprendizaje del
álgebra se evidencian los errores que cometen los estudiantes y las dificultades que
encuentran cuando empiezan a aprenderla, al tener que resolver ecuaciones y problemas
algebraicos y no realizar los cambios conceptuales necesarios para pasar de un
pensamiento a otro.
Por otro lado, en cuanto al problema de la enseñanza del álgebra, se pone de manifiesto
que su función principal no es la de generalizar la aritmética sino la de modelar sistemas
matemáticos y no matemáticos, como lo afirmaba Chevallard13: “…que la enseñanza del
álgebra debe promover una dialéctica entre el manejo formal del cálculo algebraico y el
contenido de los sistemas numéricos”; quien cuestionaba además, el modelo
epistemológico didáctico del álgebra elemental dominante en la institución escolar que se
caracterizaba como una aritmética generalizada.
En álgebra, las letras se usan de diversas maneras. Pueden representar:
-. Un número o más desconocidos específicos, como por ejemplo en las ecuaciones de
las formas -5x +2 = -2 ó x² = 49.
12
13
Influencia basada en el desarrollo de su capacidad para ordenar, calcular, clasificar entre otras.
Afirmaciones hechas en sus trabajos de investigación en torno a este tema entre los años 1984 y 1990.
Capítulo 3
27
-. Una cantidad variable que tiene relación con otra variable, como en y = 3x.
-. Una generalización que puede tomar valores de un conjunto numérico, como el caso
x + (-x) = 0.
-. Un rótulo u objeto, como en 3P = 1Y (3 pies = 1 yarda).
Para el desarrollo de estrategias algebraicas, los estudiantes deben comenzar utilizando
el lenguaje verbal para explicar sus razonamientos; progresivamente, deben incorporar el
uso de la letra como objeto, ante la necesidad de una representación más práctica, y más
adelante, utilizarla como incógnita en la resolución de ecuaciones.
Se trata de acercar a los estudiantes para la enseñanza-aprendizaje del álgebra desde
un lenguaje transicional (el lenguaje cotidiano) que les posibilite mayor aproximación y
comprensión de los símbolos. Señalarles los obstáculos habituales que se presentan en
algunos aspectos del tratamiento algebraico de situaciones problemáticas: traducción del
lenguaje verbal al simbólico, generalización (siempre intentan asociar a un valor
numérico), operaciones inversas (al despejar una ecuación), interpretación de la solución
de un sistema de ecuaciones o de una ecuación, diferencias entre el tratamiento dado a
valores conocidos y desconocidos.
Sobre esta problemática en el tratamiento del lenguaje algebraico, Mc Gregor y Stacey
(1997), citados por Rabino y otros (2004), formulan para la enseñanza del álgebra partir
de experiencias reales de los estudiantes “...Al comienzo los alumnos tienden a recurrir y
asociar las letras a otros aspectos accesibles de su experiencia personal. Por ejemplo:
asocian la letra con el número de orden en el alfabeto y se sugiere que esto se debe a
las experiencias de los estudiantes con los rompecabezas y actividades donde se
utilizan códigos”, y expresan además, que los símbolos tienen que servir realmente para
recordar y comprender los procesos que se han seguido, y para facilitar y hacer posibles
los cálculos cuando se necesitan.
Los autores Rabino y otros mencionan que en la enseñanza tradicional del álgebra no se
tiene suficientemente en cuenta las dificultades en la comprensión, por parte del
educando, del tratamiento algebraico para la solución de situaciones problemáticas; al
respecto Streefland (1995) citado por ellos, encontró a partir de sus experiencias de
enseñanza, que la comprensión del significado de símbolos literales es un constituyente
importante en el proceso de matematización vertical (formalización progresiva) en los
alumnos. “El cambio del significado de una letra, necesita ser observado y se debe tener
cuidado durante el proceso de aprendizaje. De esta manera el nivel matemático del
pensamiento de los niños evoluciona”.
28
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Los autores continúan con sus consideraciones sobre la dificultad del lenguaje algebraico
planteando que frecuentemente éste se subestima y no es explicativo por sí mismo y lo
reafirman en lo que al respecto promulga Freudenthal (1992) “…su sintaxis consiste en
un largo número de reglas basadas en principios que, parcialmente, contradicen el
lenguaje cotidiano y el lenguaje de la aritmética y que, además, son mutuamente
contradictorios”
Ellos además, explican lo anterior diciendo por ejemplo, que 3 + 4 es un problema de
aritmética, y se debe interpretar como sumar 3 a 4, mientras que, a + b no es fácilmente
interpretado como un problema14. En consecuencia, son múltiples las consideraciones e
implicaciones que trae consigo el tratamiento del algebra, precisan de un adecuado
manejo tanto de las estructuras psicológicas como cognitivas que desarrollan los
estudiantes cuando aprenden y que han sido explicadas por las diferentes teorías
relacionadas con este tema.
El desarrollo del lenguaje algebraico fue dificultoso, se tuvo que pasar de ciertos nombres
para designar a la incógnita y a algunas relaciones (utilizando para ello códigos
intermedios entre el lenguaje retórico y el algebraico) para llegar finalmente a los
símbolos propios de esta ciencia, abreviando en un comienzo dichos códigos y
depurándolos gradualmente hasta conseguir elaborar el simbolismo algebraico correcto
sintácticamente y más eficiente operativamente, dejándose ver en este proceso el
abandono progresivo del lenguaje natural como medio de expresión de las nociones
algebraicas. La tabla 5 que aparece a continuación, muestra un esquema de la forma
cómo este lenguaje se desarrolló históricamente, teniendo en cuenta al hacerlo los
aportes más relevantes que contribuyeron para su evolución.
14
Es pertinente aclarar que para la sustentación teórica del marco conceptual de este proyecto se han
tomado de manera textual en algunas ocasiones, los contenidos de ciertas ideas expuestas por diferentes
autores aquí mencionados y referenciados, a fin de conseguir una mejor comprensión, al igual que conservar
su estructura.
Capítulo 3
29
Tabla 5 Evolución histórica del lenguaje algebraico
Fuente: cuadro tomado del trabajo desarrollado por Malisani, E: Los Obstáculos Epistemológicos
en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico. Visión histórica. Anexos págs. 22 y 23.
30
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Continuación Tabla 5
Tabla 5 Evolución histórica del lenguaje algebraico
Fuente: cuadro tomado del trabajo desarrollado por Malisani, E: Los Obstáculos Epistemológicos
en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico. Visión histórica. Anexos págs. 23 y 24.
El nivel de desarrollo del lenguaje algebraico fue muy escaso, por eso en sus inicios se
hizo necesario recurrir a otros lenguajes (natural, aritmético, geométrico o analítico) para
obtener la solución de un problema, a partir de la interpretación de los procedimientos
efectuados. Algunos por ejemplo, utilizaban la construcción geométrica para justificar la
validez de las igualdades formuladas en las ecuaciones o para resolver problemas
algebraicos, pero su procedimiento era inverso de aquellos seguidos en los otros casos.
El apoyo de otros lenguajes, natural o geométrico, en tales casos se utilizaba para
completar la comunicación, no para resolver el problema. La semántica del lenguaje
algebraico fue menos rica de aquéllas correspondientes al lenguaje natural, aritmético o
geométrico; por lo tanto, se requirió de servirse de ellas para formular sus reglas, para
interpretar adecuadamente el problema a resolver, para obtener su solución o para
Capítulo 3
31
justificar los pasajes algebraicos. Es precisamente esa ambigüedad semántica y la
riqueza de significados las que permitieron poner a punto el lenguaje simbólico.
En la siguiente tabla se propone una clasificación más detallada de las fases de la
evolución del lenguaje algebraico, en ella se considera no sólo el uso de un simbolismo
adecuado, sino también el grado de generalidad del método aplicado y el nivel de
argumentación utilizado en la resolución de ecuaciones (Véase tabla 6).
Tabla 6 Fases de la evolución del lenguaje algebraico
Fuente: cuadro tomado del trabajo desarrollado por Malisani, E: Los Obstáculos Epistemológicos
en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico. Visión histórica. Incluido como anexo pág. 25.
En la siguiente tabla se resumen los planteamientos presentados y desarrollados por los
diversos autores tomados como base para la sustentación del marco teórico de este
proyecto, resaltando cómo éstos contribuyen al mismo (véase tabla 7):
32
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Tabla 7 Trabajos de investigación ya desarrollados que contribuyen para la
sustentación teórica de esta propuesta
REFERENCIAS
CONTRIBUCIÓN AL PROYECTO
MERCHÁN, Javier. La cuestión del
cambio de la práctica de la enseñanza
y la necesidad de una teoría de la
acción en el aula.
Edita: Revista
Iberoamericana de Educación ISSN:
1681-5653 n º 48/6 – 10 de marzo de
2009.
Su importancia radica en la necesidad de
cambio de las prácticas que llevamos a
cabo en el aula los docentes para mejorar
la enseñanza de las matemáticas,
especialmente en mi caso del álgebra para
abandonar las formas tradicionales de
enseñanza.
GRAS, Albert y CANO, Marisa. Tic en
la
enseñanza
de
las
ciencias
experimentales. Módulo del máster
“Nuevas Tecnologías aplicadas a la
educación”. Instituto universitario de
Posgrado. Universidad de Alicante.
2000.
OTERO, María Rita.
Psicología
cognitiva, representaciones mentales e
investigación en enseñanza de las
ciencias. Investigación en enseñanza
de las ciencias. Argentina. 1999. V4
(2), p. 93-119
Porque utilizar estos recursos hace parte
de las estrategias propuestas en el
proyecto para mejorar la comprensión del
álgebra; su uso y el de otros recursos
didácticos (utilización de objetos físicos, por
ejemplo) favorecen los procesos de
enseñanza aprendizaje de los estudiantes.
Debido a la
importancia de las
implicaciones que tiene la psicología sobre
la cognición para explicar dichos procesos
cuando aprenden los estudiantes. Y a la
necesidad de manejar apropiadamente las
representaciones mentales de formas y
conceptos abstractos como lo es el álgebra
y para comprenderla mejor.
Por presentar algunas ideas con respecto a
lo que son los juegos y cómo estos se
relacionan con la matemática para la
resolución de problemas y por su uso como
estrategia para iniciar el estudio del
algebra.
Al retomar García las investigaciones de
Brousseau (1983) y otros en las cuales
identifican los elementos de la didáctica de
las matemáticas y teoriza sobre ellos en el
contexto de su enseñanza aprendizaje en
situaciones didácticas analizando las
interacciones que se presentan en el aula
entre los actores del proceso.
OLFOS, Raimundo y VILLAGRAN,
Eduvina. Actividades lúdicas y juegos
en la iniciación al álgebra. En: Integra
No. 5. Universidad La serena. Chile.
2001.
RIOS G, Yaneth.
Una ingeniería
didáctica aplicada sobre fracciones.
Revista OMNIA vol.13 número 002.
Venezuela (2007) ISSN: 1315-8856, p.
132-139.
Capítulo 3
33
RABINO, A., CUELLO, P. y MUNNO,
M.
Aprehender álgebra utilizando
contextos significativos.
Trabajo
“Comparar cantidades” aplicado a
estudiantes de los colegios Don Bosco
y Amuyen de San Carlos de Bariloche.
Argentina. 2004.
Porque
los
autores
retoman
los
planteamientos teóricos de Romberg y
Spence 1993, para hacer énfasis de las
implicaciones que trae el álgebra cuando es
tratada de forma tradicional, y ser vista
como estéril, desconectada de otros
aspectos de la matemática y del mundo
real.
MALISANI, Elsa.
Los obstáculos
epistemológicos en el desarrollo del
pensamiento algebraico.
Visión
histórica.
Artículo publicado en
Revista IRICE. N° 13. Argentina 1999.
ISSN 0327-392X.
Al estudiar la construcción del lenguaje
algebraico con su ambigüedad semántica y
su riqueza de significados se pone de
manifiesto la fase de transición entre el
pensamiento aritmético y el algebraico.
CHEVALLARD
1984 y 1990. Debido a que los problemas de la
Desarrollo de Trabajos de investigación enseñanza del álgebra evidencian que su
en torno al tema.
función principal no es la de generalizar la
aritmética sino la de modelizar sistemas
intramatemáticos y extramatemáticos como
lo afirmaba él.
RABINO, A., CUELLO, P. y MUNNO, Debido a que los autores destacan de los
M.
Aprehender álgebra utilizando estudios de Mc Gregor y Stacey, 1997,
contextos significativos.
Trabajo para el tratamiento de situaciones
“Comparar cantidades” aplicado a problema, la importancia de acercar a los
estudiantes de los colegios Don Bosco estudiantes para la enseñanza-aprendizaje
y Amuyen de San Carlos de Bariloche. del álgebra desde un lenguaje transicional
que les posibilite mayor aproximación y
Argentina. 2004.
comprensión de los símbolos.
SOCAS, Martín. La enseñanza del Sus aportaciones llevan a concluir que los
álgebra en la educación obligatoria: procesos de aprendizaje que realizan los
Aportaciones de la investigación. En: educandos deben guiarse hacia el
Revista NÚMEROS. Vol. 77. p. 5 - 34. desarrollo de estructuras cognoscitivas que
les permitan acceder al conocimiento ya
Julio de 2011. ISSN: 1887-1984
que están en capacidad de realizar
inferencias y la etapa de desarrollo de su
vida mental ha alcanzado altos niveles de
percepción del objeto de conocimiento (es
decir, elaboran con más precisión ciertos
conceptos como por ejemplo, la noción de
número, de clase, de espacio, de tiempo,
etc.).
Fuente: Elaboración propia con datos tomados de la revisión e indagación de diversos
trabajos de investigación ya desarrollados referidos a la enseñanza aprendizaje del álgebra.
34
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
3.3 Teorías de Aprendizaje en la Enseñanza de las
Matemáticas
Conocer acerca de los aportes de las teorías del aprendizaje para la enseñanza de las
matemáticas, hace reflexionar tanto en las formas como éstas han sido definidas y
concebidas a través de los tiempos, como en el amplio panorama que proporcionan
sobre las múltiples posibilidades que tienen hoy los estudiantes para aprender los
conocimientos matemáticos.
Las anteriores ideas en este trabajo son tratadas desde las formulaciones hechas por
algunos autores dentro del enfoque constructivista, el aprendizaje significativo, el
aprendizaje experiencial, desde las metodologías del aprendizaje activo y desde la
perspectiva didáctico pedagógica que se encarga de investigar la problemática educativa
conocida como “investigación-acción”, todas ellas sustentan y enfatizan en concepciones
y planteamientos teóricos necesarios para el fortalecimiento tanto de los procesos de
enseñanza aprendizaje del álgebra como en las practicas que tienen lugar en el ámbito
escolar, colocando al docente como investigador de su propio ejercicio profesional.
Para entender cómo a través de los tiempos, los desarrollos de las diversas teorías del
aprendizaje, que en su gran mayoría han surgido de la necesidad de investigar las
formas de enseñanza y las prácticas que se llevan a cabo en el aula es necesario
comprender cómo se han dado y evolucionado éstas y cómo han servido para
transformar la enseñanza: enseñar para lo nuevo, el cambio y lo desconocido.
El aprendizaje de las Matemáticas, debe situarse en un ambiente de aprendizaje
agradable, en un ambiente de interacción, donde el docente se convierte en un
orientador y comparte sus conocimientos y los estudiantes asumen un rol protagónico y
participan de su propio aprendizaje, esto posibilita enmarcar la actividad escolar dentro
de la dinámica de las metodologías activas, al otorgarle un papel relevante al estudiante
al permitirle construir su propio conocimiento a partir de escenarios, actividades o pautas
que les diseñan los maestros, es decir desde la perspectiva que proponen los modelos
del Aprendizaje Activo y del Significativo.
El desarrollo de este proyecto se basa en ciertas ideas de Vygotsky (1978) sobre el socio
constructivismo, para él a partir de los saberes previos se inicia el proceso de
construcción de nuevos conocimientos, y esto depende de la situación y del medio en
Capítulo 3
35
que se de ese aprendizaje. El contexto es muy importante, y el estudiante aprende de y
con otros compañeros. Se busca pues que la formación de competencias propias de la
disciplina matemática, permita al estudiante un desempeño acorde a su grado y nivel de
desarrollo; que acrecente su pensamiento categorial mediante el uso de sus capacidades
y habilidades, conocimientos y actitudes. Asimismo, que considere el conocimiento como
un proceso mediante el cual encuentra la relación de la Matemática con otras disciplinas
y con su entorno.
David Ausebel, también menciona que para que el aprendizaje sea óptimo el individuo
debe poseer en su estructura cognitiva conocimiento relacionado con el tema de estudio,
es decir, preconceptos. Su teoría, es que el individuo aprende mediante “Aprendizaje
Significativo”, entendido este como la incorporación de la nueva información a la
estructura cognitiva del individuo. Esto crea una asimilación entre el conocimiento que el
individuo posee en su estructura cognitiva con la nueva información, facilitando el
aprendizaje.
Ausebel plantea: "Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un sólo principio,
enunciaría éste: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el
alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente" (1986).
Estas estrategias de aprendizaje, centran y consideran además, las experiencias que
tienen los educandos dadas de sus vivencias, y no sólo en los conceptos abstractos que
poseen o en el manejo o dominio de algoritmos; es esto lo que les posibilita apropiarse
del conocimiento matemático, aprender a aprender, razonar y pensar de una mejor forma
cuando se les presenta un problema, asimismo, ellos al concentrarse en sus actividades
de trabajo en el aula, logran así un verdadero aprendizaje significativo, y pueden
observar simultáneamente sus alcances y avances. No obstante, la epistemología, la
sicología, la historia de las ciencias, la pedagogía y la didáctica coinciden en reconocer la
importancia de una reflexión sobre el carácter de lo que se aprende y sobre los procesos
mismos de aprendizaje.
Hay autores como Bodanski (1991), Malisani (1999), Rojano (2008) que proponen la
fundamentación teórica para la enseñanza de las matemáticas, otros como Grass y Cano
(2000) estrategias didácticas para la enseñanza y aprendizaje de los conceptos propios
de esta disciplina, lo cierto es que aspectos como la planificación de las acciones
educativas, el carácter de la evaluación formativa, el considerar las ideas previas que los
estudiantes poseen, el incentivarlos a exponer sus puntos de vista, a escuchar los de los
compañeros, a argumentar buscando un consenso; el evaluar para conocer (tomándola
como punto de partida para la elaboración de propuestas de intervención), el considerar
no sólo los contenidos curriculares sino los métodos de construcción del conocimiento
36
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
matemático y los procesos mentales involucrados en esa construcción con lleva a tratar
un tema que es fundamental en el desarrollo didáctico y es objeto de estudio, la
formación académica docente.
Esta última formulación de investigar la formación profesional docente es denominada
por Carr y Kemmis (1988)15, como investigación-acción y es concebida:
"como la adopción de un concepto de verdad y acción socialmente construidas,
englobadas en la historia". Los autores consideran que este modelo permite
trabajar con las "teorías implícitas" de los docentes, para convertirlos en
"investigadores activos que llegan a desarrollar sus propias teorías educacionales
sobre la base de un conocimiento personal, en el supuesto de que únicamente los
prácticos pueden investigar su praxis". En esta perspectiva, "el carácter de la
investigación-acción es lograr una acción emancipadora, para poner a prueba las
prácticas educativas y mejorarlas".
3.4 Implementación de Objetos Físicos Como Estrategia
Didáctica Para el Trabajo en el Aula
Como en el proceso de iniciación al álgebra es donde se presentan las mayores
dificultades a nivel conceptual, al llegar a esta etapa del aprendizaje, en un gran número
de estudiantes se encuentra esta problemática (se estima que por cada grupo de 40
estudiantes 24 de ellos evidencian dichas dificultades, aproximadamente un 60%). Por lo
tanto, para realizar el trabajo en el aula es necesario utilizar todos los medios a nuestro
alcance, es decir, incorporar materiales educativos como recursos didácticos que hagan
más atractivos para los estudiantes los procesos de enseñanza aprendizaje, en este
sentido, la lúdica, el juego y las nuevas tecnologías cumplen ampliamente este
requerimiento y así lo expresan y reafirman Gras y Cano (2000):
“…Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación (TIC) y demás
recursos de aprendizaje están revolucionando nuestro entorno social, efecto
que también se deja sentir en las aulas. Se nos plantea el reto de preparar a
15 Citados por Francisco Guerrero Castro en documento publicado en internet del análisis sobre la didáctica.
(2000) p.19 y consultado en mayo de 2012.
Capítulo 3
37
nuestros alumnos para moverse con seguridad en un mundo complejo y
cambiante, e impregnado de los efectos de las TIC. Se requiere aprender a
utilizar la gran capacidad de procesamiento y de cálculo del ordenador para
incrementar la diversidad de recursos didácticos, y como complemento eficaz
de las metodologías convencionales o renovadas…”16.
Trabajar estos recursos como ambientes facilitadores para llevar a cabo la tarea escolar
sirve para preparar y potenciar procesos de desarrollo humano, su función, en últimas,
está ligada a la cotidianidad como experiencia cultural y social de aprendizaje, a través
de ellos los jóvenes pueden participar directamente en su propio proceso de formación; y
a la par sus actos de creación transforman dichos procesos, es decir, los van dotando de
sentido y de significación.
En consecuencia, implementar estos recursos (lúdica, juegos y tics) como medios o
formas para la enseñanza aprendizaje del álgebra, requiere de diseñar propuestas
creativas e innovadoras para ser desarrolladas al interior del espacio escolar, incorporar
en su aplicación el uso de objetos físicos bien elaborados y estructurados, acompañados
de unidades didácticas de conocimiento adecuadas y pertinentes sirve como una buena
manera para trabajar estas nociones en el aula, en primer lugar por su atractivo para los
estudiantes y en segundo término porque en su manipulación estos materiales
presentados en forma de juego o lúdica y construidos bajo condiciones específicas
aprovechan y dan gran
impulso al proceso de aprendizaje de los educandos
haciéndoselos más significativo y divertido. De este modo, estas alternativas didácticas,
sirven, fundamentalmente, para aclarar conceptos y mejorar las destrezas y habilidades
de los jóvenes en álgebra que, de otra forma, ellos encontrarían aburridas y repetitivas;
resaltando que con su manipulación no sólo perciben objetos, formas, colores; sino que
también perciben significaciones de carácter más generalizado que aislado.
Concretamente en el proyecto, estudiar la transición del pensamiento aditivo al
multiplicativo como una ruta para acceder a la iniciación temprana al pensamiento
algebraico y proponer para esa iniciación partir de contenidos matemáticos como el
razonamiento
variacional y los procesos de generalización; diseñar secuencias
didácticas que toman en consideración tanto aspectos cognitivos como el uso de distintos
16Gras,
Albert y Cano, Marisa. Tics en la enseñanza de las ciencias experimentales. Módulo
del Máster "Nuevas Tecnologías aplicadas a la educación", Instituto Universitario de Posgrado.
Universidad de Alicante (2000). Pág. 1-2
‘
38
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
lenguajes (numérico, geométrico y algebraico), trabajar en dos ambientes simultáneos:
objetos de aprendizaje y guías de actividades que apoyan su utilización con tareas en las
cuales los estudiantes pueden hacer uso de patrones y regularidades desde los entornos:
numérico, geométrico, y algebraico.
En síntesis, se puede concluir que implementar estas alternativas didácticas es ideal para
el aprendizaje de las nociones algebraicas, su utilización brinda mayores beneficios. Su
estado ideal dentro del aprendizaje es aquel que se produce entre la manipulación (uso)
y la concreción (conceptualización), en el cual el estudiante se siente ocupado en una
actividad que lo atrapa, le agrada y que retiene toda su atención sin mucho esfuerzo y
por consiguiente le posibilita producir muchas más asociaciones cognitivas de alto nivel.
Los beneficios aportados por el uso de estos objetos de aprendizaje, están enmarcados
en las características que reúnen estos elementos como material didáctico y que
permiten a través de su manipulación mejorar significativamente en los estudiantes la
comprensión del álgebra al:
• Ser sencillos y adecuados al nivel de los estudiantes.
• Tener y podérseles asignar una finalidad específica.
• Ser atractivos y motivadores.
• Incorporar, siempre que se pueda, estructuras de objetos, figuras y juegos ya
conocidos.
• Posibilitar la realización de actividades individuales y grupales que faciliten la
interiorización del concepto a trabajar.
• Ser asequibles tanto económicamente como en su manipulación, prestando especial
interés en los que para llevar a cabo esta propuesta se van a construir.
DESARROLLO METODOLÓGICO
Como generalmente, los trabajos de investigación sobre el álgebra, muestran que estos
se han ocupado en su gran mayoría de su enseñanza aprendizaje desde el punto de
vista de sus contenidos matemáticos o desde las operaciones algebraicas usadas en los
procesos de razonamiento algebraico para la resolución de problemas cuando se trabaja
en la escuela, con este proyecto, se pretende presentar una alternativa didáctica
diferente para abordar la problemática generada cuando se le enseña, para ello, se
propone la elaboración de objetos físicos de aprendizaje para hacerle más fácil a los
estudiantes el aprendizaje de este conocimiento, permitiéndoles de un modo más
agradable incorporar las cuestiones que implica desarrollar el pensamiento algebraico.
Para suplir dicho propósito se determinó entonces, en el desarrollo metodológico del
proyecto organizarlo para su realización por etapas; la primera, diseñar y elaborar los
objetos físicos de aprendizaje acordes con las características y exigencias que para tal
aporta el diseño industrial así como también, la elaboración de secuencias didácticas o
guías de trabajo fundamentadas en metodología para el aprendizaje activo denominadas
Actividades de Aprendizaje Activo (AAA) que orientan su uso; la segunda, poner a
prueba tanto los objetos didácticos para su validación, como las guías de actividades
didácticas AAA para verificar el cumplimiento de los propósitos curriculares por los
cuales fueron elaborados; y la última, observar y analizar los resultados obtenidos de la
aplicación de los objetos de aprendizaje y de las actividades didácticas para confirmar
que con su implementación se mejora significativamente, en los estudiantes de grado
octavo la enseñanza y el aprendizaje del álgebra.
4.1 PRIMERA ETAPA:
Diseño y Elaboración de los
Objetos Físicos de Aprendizaje y de las Secuencias
Didácticas de Apoyo
El álgebra está presente en la actividad matemática, para facilitar su aprendizaje el
diseñar, construir e implementar objetos físicos representa una estrategia didáctica no
40
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
tradicional para aprenderla, como estos proporcionan creatividad, favorecen su
aprehensión y generan mayor motivación en los estudiantes hacia estas ideas
matemáticas, les brindan diferentes posibilidades para el desarrollo de su pensamiento
inductivo y de sus habilidades al resolver problemas, les ayudan a fortalecer una actitud
positiva hacia la asignatura, así como también, les permiten acrecentar su capacidad
para la formulación de hipótesis y para la búsqueda de caminos propios hacia
procedimientos y métodos que deben aplicar en su hacer matemático.
4.1.1 Objetos Físicos de Aprendizaje
Esta estrategia didáctica de implementar objetos físicos para el aprendizaje, no está
enmarcada en las formas tradicionales de enseñar el álgebra. Comúnmente se piensa
que la matemática no puede ser ni entendida ni entretenida y por esta razón, este
conocimiento resulta aburrido para muchos de los estudiantes e inclusive algunos de
ellos pasan por los cursos de álgebra sin comprender en ningún grado y medida sus
métodos y procedimientos.
Es muy importante destacar que usar objetos físicos de aprendizaje en el aula para llevar
acabo la actividad matemática principalmente, para aprender el álgebra es una práctica
educativa pertinente y significativa pues con ella se permite a los educandos avanzar en
procesos como: el ensayo y error, el empezar por lo fácil, manipular, descomponer,
experimentar, usar analogías, organizar, representar, variar las representaciones,
deducir, conjeturar, analizar casos límites, reformular conocimientos matemáticos entre
otros más que son el propósito de desarrollar este proyecto para mejorar y facilitar el
aprendizaje del álgebra.
Una consecuencia de lo anterior, es que al trabajar esta ciencia, la clase se hace una
actividad más agradable y menos aburrida para los estudiantes, pues ellos participan con
mayor agrado y motivación; sienten que aprenden más, que acrecentan sus
conocimientos y mejoran sus competencias en el campo matemático.
En la etapa de diseño y elaboración de cada uno los objetos de aprendizaje que para
este proyecto se crearon tres17, se distinguen dos fases típicas:
17
El primero denominado “Colorgebra”, el segundo “Gebratorre”, y el tercero, “”Pascalgebra”.
Capítulo 4
41

La comprensión del problema del aprendizaje del álgebra, en la que hay una
exploración inicial para la presentación de propuestas de diseño de los objetos.

La Construcción de los objetos, acorde con los requerimientos que para ello
proporciona el diseño industrial y de las guías de actividades que direccionan su
uso.
 Comprensión de la Problemática
La iniciación al estudio del álgebra se hace, en la mayoría de las veces, con demasiada
rapidez y sin valorarse de forma adecuada las dificultades que conlleva su correcta
asimilación, pues no se tiene en cuenta que éstas no se deben, exclusivamente, a una
asimilación deficiente de los procesos matemáticos previos, sino que se deben también a
la naturaleza de los elementos y de la propia actividad algebraica.
Esto es, el salto al nivel formal que se presenta en la etapa de transición del pensamiento
aritmético al algebraico se realiza tan rápido que no se da tiempo a los estudiantes a
desarrollar sus propios esquemas, y es en este momento cuando se generan las
mayores dificultades en los educandos al aprenderla, dificultades que son manifestadas
en situaciones como por ejemplo (véanse figuras 5 y 6):

Para ellos cuando tienen una expresión como 10 + 4 es un problema de
aritmética, y fácilmente, la interpretan como sumar 10 a 4; pero, al dárseles una
expresión como x + y no les es tan claro y directo interpretarla como un problema
en el cual se presenta la generalización como uno de los procesos propios del
álgebra.

En cuánto a los métodos algebraicos, para ellos, es necesario que además de
hacer cambios de los símbolos, se produzca un cambio en su significado, esto es,
que no sea una sustitución de números por letras, sino que realicen los procesos
de pensamiento necesarios para el paso de número a variable.

El no asimilar situaciones de equilibrio y su propiedad simétrica que representa el
igual (=) de las ecuaciones, sólo reconocen su carácter unidireccional y
desconocen que deben manejar simultáneamente sus dos lados. De esta manera
se consigue que las reglas formales de resolución de ecuaciones no sean meros
procedimientos carentes de sentido.
42
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 5 Evidencias de dificultades de los estudiantes de grado 8º al hacer
operaciones básicas algebraicas
Fuente: Elaboración propia tomada del registro de cuadernos de estudiantes de 8º del año lectivo
2011.

En cuanto al razonamiento algebraico que deben hacer al resolver problemas se
requiere que entiendan que tienen múltiples trayectorias de solución, y que éste
es apto para explorar y hacer aproximaciones creativas de solución. Se debe
motivar y entusiasmar a los estudiantes a considerar y explorar métodos
alternativos de solución y, una vez que resuelven el problema, reflexionen sobre
sus propios métodos y los comparen con los de sus compañeros, lo que
favorecerá de una buena manera desarrollar en ellos su razonamiento lógico y
verificar estrategias. Aquí se debe orientar a los estudiantes para que
comprendan cómo las ecuaciones y sus modificaciones representan acciones con
los objetos y de este modo, mejorar el proceso de traducir palabras a símbolos.
Capítulo 4
43
Los estudiantes al utilizar este material manipulable, no se quedan asignándole a los
valores variables una sola denominación x por ejemplo, ni le asignan a un sólo valor
cuando construyen las expresiones algebraicas, al manejar diferentes formas de
representación (lenguaje verbal, simbólico, gráfico o algebraico), no le restan a la letra o
símbolo el carácter variacional que posee y que toma en estas expresiones. Igualmente,
como estos recursos les son más concretos les facilita la ejecución de las reglas
algorítmicas para hallar los polinomios y factorizarlos empleando la multiplicación inversa
o productos notables binomio, con ellos lo que se les propone es que realicen
procedimientos simples para posteriormente, hacer generalizaciones conectando los
conceptos relacionados con este proceso y de este modo, superar en parte la dificulta
manifestada en la limitada comprensión del mismo (factorizar expresiones polinómicas),
debido a que mantienen aisladas sus ideas sobre las nociones que aquí se relacionan.
El objetivo es que identifiquen patrones de comportamiento o regularidades en las
expresiones que obtienen y de esta manera dirigirlos a predecir su factorización.
Figura 6 Evidencias de dificultades de los estudiantes de grado 8º al utilizar el
lenguaje algebraico
Fuente: Elaboración propia tomada del registro de cuadernos de estudiantes de 8º del año lectivo
2011.
44
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Situaciones como las anteriores entre otras más, motivaron a presentar esta propuesta
didáctica, escogiendo para su realización el diseño de objetos físicos para el aprendizaje
del álgebra, que en un comienzo dichos objetos fueron ideados desde mi experiencia
como docente pero que al empezar mis estudios de Maestría en Enseñanza de las
Ciencias Exactas y Naturales resulta ser otro de los aportes y apoyo que ésta brinda a
los profesores para mejorar los procesos de enseñanza de las matemáticas en la
institución escolar, reafirmándose y fundamentándose tal propuesta sobre todo al
conocer y cursar la asignatura Diseño de Objetos de Aprendizaje para la Enseñanza, al
tener la posibilidad de diseñarlos, elaborarlos y construirlos con los requerimientos que
para tal propone el diseño industrial y con el deseo de superar con mi práctica profesional
las dificultades mencionadas, contando además con la ayuda interdisciplinar tanto de
estudiantes de últimos semestres de Diseño Industrial como de los docentes titulares del
curso.18
Se hace necesario mencionar que antes de contar con estos recursos didácticos, para el
tratamiento de esta temática y que los estudiantes lograran construir las fórmulas de los
productos notables de los binomios suma se utilizaba como estrategia dentro del aula
una actividad que consistía en emplear varias fichas de papel de forma circular hechas
en cartulina y de dos colores diferentes, elementos que ellos debían traer a la clase
previamente recortados (del tamaño de una moneda y aproximadamente 50 de ellos de
cada color), con el material listo según las indicaciones dadas, se les pedía que las
pegaran en una hoja de papel, de tal modo que formaran todas las combinaciones
posibles con ellas al organizarlas en columnas, sabiendo que se contaba con dos colores
de fichas y con la condición de que se tuvieran 2, 3, 4 o más fichas en cada columna
según el producto notable que se quisiera formar, además debían cumplir con la regla de
que ninguna de las combinaciones formadas se repitiera (Ver figura 7).
18 El equipo de trabajo interdisciplinar estuvo conformado por los estudiantes de Diseño Industrial de la Universidad
Nacional de Colombia sede Palmira: Guillermo Gómez Cohen, Harold Rodríguez, Camilo Martínez, Andrés Fernando
Montes, Jaime Alonso Moreno, Felipe Vergaño Payan, y docentes titulares: Raúl Antonio Díaz P., Miguel Fernando
González A. y Sandra Rozo.
Capítulo 4
45
Figura 7 Evidencias: estrategia didáctica utilizada en años lectivos anteriores
antes de implementar OFA para la enseñanza de productos notables
Fuente: Elaboración propia tomada de productos finales del trabajo que realizan los estudiantes
de 8º antes de implementar el uso de los OFA: Colorgebra, Gebratorre y Pascalgebra.
Generalmente, algunos de los estudiantes no traían a la clase el material solicitado (los
círculos recortados debido posiblemente a la cantidad de fichas que debían recortar, por
olvido o por irresponsabilidad frente a tareas asignadas) lo cual ocasionaba hacer dicho
trabajo durante la clase, acortando el tiempo tanto para la clase misma como el que se
requiere para el tratamiento de estos conocimientos, y aunque esta estrategia permite al
docente el seguimiento y control de la actividad de aprendizaje directamente desde el
registro del trabajo que realiza el estudiante es decir, la hoja de papel con las fichas
pegadas (lo que facilita la evaluación); y además potenciar la transferencia de
conocimientos conduce a los estudiantes hacia patrones fijos de aprendizaje (solo
conocimientos teóricos); enfrentándolos a una forma meramente algorítmica de trabajo
alejándolos de experiencias más prácticas . En otras palabras, los estudiantes estaban a
menudo más absorbidos por los aspectos técnicos de la actividad, preocupados más de
cómo alinear las fichas de cartulina o pegarlas por pegarlas que en el sentido de la
misma llegando en ocasiones y en varios de ellos a desconocerlo, esto es, a no pensar
sobre lo que están haciendo. Esta experiencia tendía entonces a ser simple por causa
de limitaciones ya sean de equipamiento o de tiempo y débil en términos del
razonamiento pues se pone en énfasis la falta de pensamiento crítico.
46
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
 Construcción de los Objetos Físicos de Aprendizaje
Partiendo de la premisa de que un material didáctico bien elaborado debe servir de
soporte, contener una estructura didáctica y permitir incluir en su implementación
diferentes tipos de contenidos de un programa educativo, en este caso la temática propia
del álgebra, y con el propósito de que los estudiantes adquieran, aprehendan y
comprendan estos conocimientos mediante su uso se crearon tres objetos físicos de
aprendizaje (denominados Colorgebra, Gebratorre y Pascalgebra) durante el desarrollo
de este proyecto.
Al elaborar y construir los objetos físicos para el aprendizaje del algebra, se consideró
para su diseño cómo hacer posible la interpretación y uso de la variable en el momento
que se deja de usar el número y se empieza a usarla, para esto, se pensó en la
importancia y manejo de los colores y de las formas geométricas para su representación.
Cabe destacarse que la escogencia de estas herramientas didácticas no se hizo desde lo
virtual sino desde lo físico, precisamente este fue un criterio muy relevante al hacerlo,
debido a sus enormes ventajas y por brindar la posibilidad de hacer más concreto y
tangible en el estudiante estos elementos que son propios de una disciplina tan abstracta
como es el álgebra, la idea fundamental es que los educandos puedan ir asimilando
desde el inicio de la etapa de transición de la aritmética al álgebra tanto sus nociones
iniciales como sus métodos y procedimientos.
Ellos, al igual que las herramientas didácticas virtuales exigen un cambio de paradigmas
y cumplen con la necesidad de … rediseñar los procesos educativos incorporando un
modelo pedagógico constructivista y colaborativo, con la flexibilidad de las herramientas
tecnológicas, con un adecuado diseño instruccional, en combinación con entornos
educativos virtuales, con la construcción de objetos de aprendizaje interactivos centrados
en las necesidades de los usuarios y las instituciones, lo que permitirá conseguir un
avance importante hacia la integración de la TIC en la educación … tal como lo exponen
Rosado Briceño, Jesús y otros en su artículo: Construcción de objetos de aprendizaje.19
19 Artículo basado en la metodología y la experiencia de la Universidad Autónoma Metropolitana, sobre el desarrollo de
Objetos de Aprendizaje, partiendo de un caso práctico de un Curso de Náhuatl desarrollado para el Gobierno del Distrito
Federal (GDF) y elaborado por Jesús Alberto Rosado Briceño, Lourdes trinidad Delgado y Vicente Jaime Ampudia Rueda.
(2008).
Capítulo 4
47
Tanto el reconocimiento de la problemática como el considerar los requerimientos y
determinantes que propone el diseño industrial para la construcción de material didáctico
permitió caracterizar los objetos de aprendizaje para su diseño, requerimientos que me
fueron conocidos al cursar durante mis estudios de maestría la asignatura Diseño de
Objetos de Aprendizaje para la Enseñanza.
La estrategia empleada para el diseño y la elaboración de los objetos físicos fue acoger
las sugerencias hechas al respecto tanto por el director de tesis magister Raúl Antonio
Díaz Pacheco, como por el equipo de trabajo interdisciplinar que estuvo conformado por
los estudiantes de Diseño Industrial de la Universidad Nacional de Colombia sede
Palmira: Guillermo Gómez Cohen, Harold Rodríguez, Camilo Martínez, Andrés Fernando
Montes, Jaime Alonso Moreno, Felipe Vergaño Payan, y los docentes titulares: Miguel
Fernando González A., Sandra Rozo y el mismo director, quienes basados en las
necesidades expuestas desde mi experiencia profesional como docente y en la
indagación sobre el estado del arte que para tal se encuentra en trabajos de
investigación ya desarrollados sobre esta temática (véanse Tablas 7 y 9) formularon los
requerimientos para la creación de los objetos, alterno a ello se hizo necesario elaborar
guías de actividades de aprendizaje diseñadas bajo el enfoque de las metodologías para
el Aprendizaje Activo, con el propósito de apoyar y orientar el uso de dicho material
(véanse figuras 16 a 19).
Otra característica que se buscaba en ellos era que permitieran acertadamente la
interacción: contenidos curriculares, objeto de aprendizaje, profesor y educandos; y que
cumplieran con las características y ventajas de aplicación de estándares que propone el
diseño para hacer el aprendizaje más significativo (véanse Tabla 8 y sus respectivas
explicaciones pág. 50).
A continuación se expresa de forma más detallada, cómo están estructurados
(requerimientos, fuentes de inspiración, descripción y componentes) y cómo se diseñaron
los objetos físicos que se crearon para llevar a cabo esta experiencia investigativa y
mejorar la enseñanza aprendizaje del álgebra en grado 8º.
48
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
 Requerimientos de los OFA
Los OFA se desarrollaron de acuerdo con los requerimientos más importantes de diseño
para esta clase de instrumentos tales como: seguridad, comodidad, versatilidad,
flexibilidad e intuición en el uso, y algunos deseables como: estética visual y coherencia
teniendo en cuenta las tendencias más adecuadas para este tipo de herramientas.
La tabla 8 muestra los aspectos más relevantes que definen los requerimientos y
determinantes para la configuración del objeto desde la perspectiva de concepto de uso y
de diseño.
Tabla 8 Criterios más relevantes tenidos en cuenta para el diseño de los OFA
Requerimientos para la configuración del Objeto
Físico
CONCEPTOS DE USO
CONCEPTOS DE DISEÑO
Eficiencia
Versatilidad
Calidad Técnica
Calidad Estética
Amigables
Flexibilidad
Sencillez
Adaptabilidad
Seguridad
Accesibilidad
Fuente: Elaboración propia con datos obtenidos del proceso de selección de los requerimientos
necesarios para diseñar los objetos didácticos, consultados en el documento Construcción de
objetos de aprendizaje de Rosado B., Delgado y Ampudia R. (2008) en febrero de 2012.
Cruz y Galeana citados por Betancur (2009) explican algunos de los anteriores
requerimientos20 y las ventajas de aplicación de estandares y otros más que caracterizan
los objetos de aprendizaje de la siguiente manera:

Reusabilidad: es la capacidad de los objetos para ser combinados dentro de nuevos
cursos (o entornos de aprendizaje)
20
Explicaciones tomadas de la tesis de maestría denominada Incidencias de las Tecnologías de la
Información y la Comunicación como Estrategia de Aprendizaje del Álgebra en Estudiantes de
Primer Semestre de la Universidad Nacional de Colombia sede Palmira, elaborada por Jaime
García E., que aparecen en la pág. 43 y consultada en marzo de 2013.
Capítulo 4
49
Escalabilidad: característica de los objetos que les permite ser integrados a
estructuras más complejas o extensas dentro del dominio de aprendizaje para el que
fueron creados, así como también que las capacidades (multiusuario) que se le anexen
no implique un incremento proporcional en costos.
Generatividad: característica del objeto que permite generar otros objetos derivados
de él.
Gestión: Facilidad que brinda el sistema para tener la información concreta y correcta
acerca de los contenidos que aborda y de las posibilidades de estudio que ofrece al
estudiante.
Interactividad: capacidad que posee el objeto para generar la actividad y la
comunicación entre los sujetos involucrados en el proceso de aprendizaje.
Accesibilidad: facilidad que ofrece al usuario para acceder libremente a los
contenidos apropiados en el tiempo que se requiera.
Durabilidad: se refiere a la vigencia de la información de los objetos a fin de eliminar
su obsolescencia.
Adaptabilidad: característica del objeto de aprendizaje para acoplarse a las
necesidades de aprendizaje de cada individuo.
Autocontención Conceptual: capacidad de los objetos para auto explicarse y
posibilitar experiencias de aprendizaje integral.
Otras características más particulares tenidas en cuenta para cumplir y suplir los
requerimientos necesarios para diseñar los objetos en este proyecto son:
 Comportarse de forma modular permitiendo la representación de diferentes
expresiones algebraicas.
 Contar con fichas, diferenciadas por el color, la forma o por una combinación de
ambas.
 Trabajar y funcionar de forma sistemática con cada una de sus partes.
 Para su diseño, considerar formas geométricas bidimensionales y tridimensionales, y
colores planos.
 Posibilitar con su manejo y diseño construir cualquier expresión algebraica.
 Facilitar con ellos el registro, control, seguimiento y la evaluación del trabajo realizado
por los estudiantes.
50
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
 Ser portables fácilmente.
 Para su almacenamiento, todas sus partes deben autocontenerse para evitar la
pérdida de ellas.
 De su uso, derivarse fácilmente las nociones algebraicas y permitir su control y
orientación por medio de secuencias didácticas.
 Fuentes de Inspiración Para el Diseño de los Objetos y Estado
del Arte
En la revisión de diversas fuentes de información se ha encontrado que se han realizado
numerosas investigaciones (en la tabla 7 se resumen algunos de ellos) y se han
desarrollado trabajos a partir de la necesidad de elaborar propuestas que mejoren
significativamente el aprendizaje del álgebra para su tratamiento en la institución escolar
apoyadas en la implementación del juego, la lúdica y las nuevas tecnologías y en los
referentes teóricos que las sustentan.
Estas referencias se focalizan fundamentalmente en estudios y experiencias previas
desarrolladas por docentes colombianos, latinoamericanos y algunos internacionales,
además, de servir de marco de referencia para guiar la puesta en marcha de esta
propuesta al poderse hacer comparaciones y contar con otras ideas para el abordaje de
esta problemática.
A continuación, se presentan resumidos algunos ejemplos de trabajos teóricos y
prácticos (ver tabla 9); elaborados, aplicados y relacionados con esta problemática y que
hacen parte de su estado del arte (ver tabla 10):
Capítulo 4
Tabla 9
Álgebra
51
Resumen de trabajos teóricos relacionados con la problemática del
PUNTO DE VISTA
DESARROLLO
Desde la investigación didáctica y desde Se
abordan
los
obstáculos
la visión histórica de la evolución del epistemológicos en el aprendizaje del
álgebra:
álgebra y se hace un estudio
experimental, considerando no sólo el
LOS
OBSTÁCULOS camino histórico-epistemológico, sino
también otros caminos significativos para
EPISTEMOLÓGICOS EN EL
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO la formalización del nuevo lenguaje. En él
también se indaga la relación entre el
ALGEBRAICO.
lenguaje algebraico en construcción y los
VISIÓN HISTÓRICA
Elsa Malisani Argentina. 1999.
otros lenguajes (natural, aritmético y
geométrico) en la comunicación de las
Matemáticas y de qué modo estos
lenguajes pueden contribuir y/o interferir
en el desarrollo del lenguaje algebraico,
en los aspectos sintaxis-semántica y
relacional-procedimental.
Desde la resolución de problemas Utilizan situaciones reales para comenzar
contextualizados:
con ellas el desarrollo de los conceptos
matemáticos.
Presentando a los
estudiantes problemas en un contexto
APREHENDER ÁLGEBRA UTILIZANDO real. Mostrando que el problema se
resuelve de una manera que tiene
CONTEXTOS SIGNIFICATIVOS
sentido para ellos. Usando herramientas
Adriana Rabino, Patricia Cuello, Mario de o estrategias diferentes, como nexo entre
Munno. Argentina (2004).
lo concreto y lo abstracto. La experiencia
enseña que si queremos estudiantes que
utilicen estrategias matemáticas para
resolver un problema, se debe proveerlo
de problemas que exijan eso.
ACCESIBILIDAD EN EL APRENDIZAJE
DE LA MATEMÁTICA. A "QUIENES Desarrollo de estrategias de enseñanza
VEN EL MUNDO CON SUS MANOS"
aprendizaje
de
las
matemáticas
Gloria María Isidro Villamizar. Estudiante de accesibles
a
estudiantes
ciegos.
Licenciatura en Matemática en la Universidad Utilizando máquinas para operaciones
Industrial de Santander, Bucaramanga
matemáticas en Braille, el plano táctil.
Colombia. (2007, 2011).
Fuente: Elaboración propia modelo adaptado.
52
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Tabla 10 Estado del Arte
Desde la implementación del juego, la Ayudas didácticas del álgebra usando
lúdica y las tics:
figuras geométricas y software educativo
con videos en YouTube; juegos de mesa
1.
CADENA DE IDENTIDADES basados en álgebra; comics sobre
álgebra; juegos: puzles-rompecabezasNOTABLES.
cadena de identidades.
2.
ROMPECABEZAS BLANCO.
3.
JUEGO DE ADIVINANZA.
4.
COMICS SOBRE ÁLGEBRA.
5.
VIDEOS (ENSEÑANZA DE
CASOS
DE
FACTORIZACIÓN).
García Azcarate. Madrid, 1999.
Revista Creative Child. 2006.
Si te llaman la atención los problemas de
lógica - matemática y las actividades de
habilidad mental.
Tienes la oportunidad de ser el mejor.
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DESAFIO III
EL
ÁLGEBRA
GEOMÉTRICA
COMO
RECURSO DIDÁCTICO PARA INICIAR A LOS
ESTUDIANTES
EN
EL
ÁLGEBRA
ESCOLAR.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá
–Colombia
2009
10mo SIMPOSIO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
MARGARITA
LASCANO
GARCIA
y
otros.
Fuente: Elaboración propia modelo adaptado.
“Solo Para Genios”
No digas que eres el mejor,
¡Demuéstralo!
Capítulo 4
53
Teniendo en cuenta tanto los elementos anteriores, resultantes del análisis de referentes
didácticos como los trabajos de investigación ya elaborados (véase tabla 9) que tomaron
por fuente de inspiración (véase figura 7) y apoyo a los juegos de mesa, rompecabezas,
comics y otros (obtenidos en la búsqueda y revisión de material didáctico existente para
potenciar la enseñanza aprendizaje del álgebra, ver tabla 10) se construyeron las
herramientas didácticas para este proyecto, consisten en tres productos finales quienes
en orden de aparición son llamados respectivamente así por los elementos conceptuales
que movilizan con más fuerza como: “COLORGEBRA” al primero, por permitir a través
del color interiorizar la noción de variable y su operatividad; “GEBRATORRE” al segundo,
por facilitar con formas geométricas y con su estructuración vertical el hacer operaciones
básicas del álgebra y derivarse con su uso las correspondientes fórmulas de ciertos
productos notables, y “PASCALGEBRA” al último, por posibilitar el tratamiento y manejo
de sumas elevadas a cualquier potencia mediante la configuración del Triángulo de
Pascal.
Figura 8 Ilustraciones de fuentes de Inspiración para el diseño de los Objetos
Físicos de Aprendizaje
54
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Fuente:
Elaboración
propia
y
de
www.search.rainbowresource.com/math-games;
consultadas en febrero de 2012.
imágenes
tomadas
de
internet:
www.recursosmatematicos.com/recreat.html
 Descripción de los OFA
Los objetos didácticos constan de los siguientes elementos y partes como se describe a
continuación.
1) COLORGEBRA: Este objeto consta de un tablero horizontal en madera con cierta
inclinación que sirve de base, con perforaciones circulares sobre las que se
disponen las fichas de forma cilíndrica blancas, con tallado a manera de
divisiones para representar diversas cantidades numéricas y tapones en colores.
Sobre su base hay marcadas líneas verticales de separación que indican la
formación de columnas para facilitar su utilización y signos de suma (+) y
producto (x). Una característica física de él es que no permite modificar su
tamaño (ampliarlo o reducirlo), es decir, éste ya está determinado. Sus fichas son
compuestas de dos partes, el vástago que se insertaba en el tablero representa
un número natural de acuerdo a la cantidad de secciones que se le ha tallado.
Cuando ésta base es cubierta por un casquillo o tapa de color, la función del
número desaparece y el vástago hace las veces de variable dada por su color.
(véase figura 9).
Capítulo 4
55
Figura 9 Objeto Físico de Aprendizaje COLORGEBRA
Ficha tapón, con su color
se trata la idea de variable
Tablero con perforaciones
circulares, constituye la
base del objeto
Ficha base, la cantidad
de secciones talladas en
ella representan valores
numéricos
Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto No. 1 Colorgebra.
La figura 10, muestra la evolución del primer objeto hasta llegar a convertirse en el
producto final, Colorgebra:
Figura 10 Imágenes de la evolución del diseño del OFA Colorgebra
56
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto Colorgebra.
Este primer objeto por estar su base (tablero de madera con perforaciones circulares) en
un principio dispuesta casi de manera horizontal, y sin líneas divisorias causaba en los
estudiantes dificultad para entender las indicaciones que aparecen en la guía de trabajo
que apoya su uso: La secuencia didáctica AAA No. 1 “Aprender álgebra si es posible”
(véase figura 15); sobre todo cuando en ella se pide identificar la operación usada
cuando se trabaja con el objeto por columnas o filas para construir las expresiones
algebraicas (numeral 6 de la misma), por esta razón fue necesario hacerle
modificaciones consistentes en colocar líneas verticales de separación, signos de suma +
y producto *; y darle cierta inclinación a la base para que no se vea planar. Además, por
ser su base de forma rectangular (con perforaciones dispuestas por filas y columnas de
máximo 5 x 4), con este tamaño y dimensiones se limitaba y se no permitía el trabajar
sobre él expresiones con muchos términos o con potencias muy grandes para hacer
manejo operativo algebraico, esto motivó a construir el segundo objeto presentando
como posible solución la posibilidad de disponer fichas con las cuales se formaran torres
(de aquí el nombre del segundo objeto: Gebratorre), para ello, se implementó el uso de
una base lineal como riel que sirve para sostener las fichas que en el objeto tienen la
forma de sólidos geométricos y que se incrustan unas sobre otras para formar dichas
columnas.
2) GEBRATORRE: es una base modular lineal en madera con perforaciones
dispuestas a lo largo de una fila, separadas a una distancia determinada y sobre
las cuales se disponen fichas con formas de sólidos geométricos en colores (en
este caso cubos y esferas), cada ficha cuenta con un pin en uno de sus extremos
para ser incrustada sobre otra y una ranura en el otro para incrustársele a ella
otra ficha; de este modo forman columnas o torres que representan ciertos
productos notables: binomios suma de la forma (x + y)n. Su característica física
esencial es que permite modificar su tamaño, es decir, expandirse para poder
trabajar dichas expresiones algebraicas con valores (potencias) ≥ 2 para n. Ver
figura 11.
Capítulo 4
57
Figura 11 Objeto Físico de Aprendizaje GEBRATORRE
Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto No. 2 Gebratorre.
La figura 12, muestra la evolución del segundo objeto, hasta llegar a convertirse en el
producto final:
Figura 12 Imágenes de la evolución del diseño del OFA Gebratorre
Base modular, con
perforaciones sobre
las que se disponen
las fichas y con
acoples.
Fichas con formas de sólidos
geométricos (cubos y esferas)
con las que se forman torres.
Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto No. 2 Gebratorre.
Este segundo objeto aunque mejoró sustancial y significativamente las falencias
encontradas en el primero de ellos (dadas por el tamaño limitando el tratamiento de
productos notables binomio suma de la forma (x+y)n para n mayor de 3), y al tener con él
la posibilidad de manejar su tamaño al permitir expandir su base linealmente, es decir,
adicionarle más módulos base; y así poder construir los productos notables binomios
suma para potencias mayores a 3, se presentó con él, la dificultad de que al expandirlo
se requerían muchas fichas para completar y formar dichos productos notables. Esto
58
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
llevó a diseñar el tercer objeto que representa la configuración hecha por Pascal para
determinar los respectivos coeficientes de los términos que forman cada una de las
sumas elevadas a cualquier potencia (y que corresponden a los productos notables
binomios) estructurando un triángulo conocido como el Triángulo de Pascal (de aquí el
nombre del tercer objeto: Pascalgebra).
3) PASCALGEBRA: este objeto (figura 13) está formado por dos módulos con
fichas planas de forma hexagonal de madera, donde uno se comporta como
fichas base sobre la cuales se puede escribir y el otro sirve, por ser fichas
perforadas y en colores, para determinar con la cantidad de fichas puestas sobre
las fichas base, representando la cantidad de estas últimas fichas los valores
respectivos o coeficientes numéricos de las expresiones que se derivan de la
configuración del Triángulo de Pascal. Además, las fichas base se disponen de
tal modo que se forma con ellas un triángulo donde se aumenta cada vez más su
base dependiendo de la potencia a desarrollar. La característica física más
relevante de este objeto es que al no constituirse por muchos elementos permite
más fácilmente su manejo.
Figura 13 Objeto Físico de Aprendizaje PASCALGEBRA
Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto del tercer objeto.
Con la siguiente figura, se muestra la evolución del tercer objeto (véase figura 14):
Capítulo 4
59
Figura 14 Imágenes de la evolución del diseño del OFA Pascalgebra
Fichas en colores: la cantidad
de ellas colocadas sobre una
ficha base representan los
coeficientes
o
valores
numéricos de los términos de
cada producto notable
Fichas Base: con las que
se forma el triángulo.
Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto No. 3 Pascalgebra.
 Configuración de los Objetos de Aprendizaje
La configuración de los OFA se basa en métodos funcionales y en sus relaciones de uso
(eficiencia, versatilidad, calidad técnica y estética y amigables, definidas en la pág. 50)
que facilitan su seguimiento y control, su utilización está enmarcada en la lúdica y el
juego y por esta razón, al estar construidos bajo condiciones específicas de diseño
permiten por su atractivo una buena manera de trabajar nociones matemáticas en el
aula, igualmente, posibilitan la evaluación.
Con relación a los componentes de uso y de diseño de los objetos (véase figura 15),
estos se escogieron buscando manipular las emociones de los estudiantes,
enfrentándolos a elementos que pueden asociar más fácilmente con su cotidianidad,
siendo el color y las formas geométricas los constitutivos esenciales dentro de su diseño
para llevar al educando al reconocimiento y construcción de la idea de variable (con ello
romper con esquemas tradicionales para el tratamiento conceptual del álgebra, al
brindárseles la posibilidad de materializarla y concretizarla); ésta, la variable, en un
principio le es y representa un elemento intangible, con el uso de los OFA la pretensión
es, hacerla concreta, tangible y real para ellos.
60
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 15 Componentes de Diseño de los Objetos Físicos de Aprendizaje
Aplicar para las fichas un dummie que puede tomar
cualquier valor al adicionar un elemento en el cual el
estudiante decidirá que letra ponerle y dejarle claro que
sin importar el elemento del abecedario que el use la
ficha tiene un carácter numérico.
Eje “y” para
producto
Disponer los dummies para que el estudiante pueda hacer
dependiendo de la ubicación en el eje determinadas
operaciones…
Eje “x” para
suma
Fuente: Imágenes tomadas de internet: www.matematicas.profes.net/propuestas2 consultada en
marzo de 2012
También para su configuración como tal, fue muy importante tener en cuenta cómo se
comportarían las propuestas frente al usuario final (en este caso el educando), de este
modo, tener claridad sobre las respuestas para suplir necesidades, obtenidas éstas de
datos reales del comportamiento de los objetos cuando se implementan en el aula, al
Capítulo 4
61
estar basados en conceptos de diseño destinados para hacer de la calidad de los
productos una realidad.
4.1.2 Diseño de las Secuencias Didácticas
Las guías de actividades o tareas que deben desarrollar los estudiantes se diseñaron
bajo los presupuestos teóricos de las Metodologías para el Aprendizaje Activo, éstas en
el proyecto son denominadas Actividad de Aprendizaje Activo (AAA), y para apoyar el
uso de los objetos se elaboraron cuatro de ellas, éstas determinan el desarrollo
conceptual, pedagógico y didáctico del trabajo y contribuyen a crear un clima favorable
para la implicación de los estudiantes en las tareas que deben abordar.
Dichas guías, se estructuraron desde los contenidos curriculares y estándares necesarios
para desarrollar las nociones del álgebra en grado 8º de educación básica, con el
propósito de resolver en gran medida las dificultades que se presentan cuando se le
aprende o se le enseña; dificultades que son consecuencia de la transición dada al pasar
del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico y que están manifestadas en
situaciones21 que ya han sido mencionadas antes en este documento (ver pág. 24).
Además, éstas secuencias se elaboraron con estrategias educativas centradas en y para
el aprendizaje del álgebra, constituyendo un documento de apoyo que contiene tres
momentos básicos referidos a realizar actividades de inicio, desarrollo y cierre,
permitiendo ir más allá de la planeación curricular, y de la consideración de los
contenidos a trabajar; implicando el empleo y desarrollo de competencias genéricas y
disciplinares por parte de los estudiantes, así como de valores, estrategias, técnicas y
actividades acordes a un determinado tiempo y que serán evaluadas con criterios
establecidos, para definir avances y dificultades durante el proceso (por precisarse en
ellas tanto los objetivos como los criterios y formas de evaluar, así como los aprendizajes
o productos resultado esperados).
21
Como la utilización de: el lenguaje algebraico (letras con significado – variables – organizado
desde lo epistemológico, cognitivo y didáctico); las expresiones algebraicas (ecuaciones lineales y
cuadráticas); los procesos de pensamiento (específicamente la sustitución formal, la
generalización y la modelación) y la resolución de problemas.
62
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
A continuación, primero se caracteriza cada una de las cuatro secuencias didácticas (ver
figuras 16 a 19) o rutas de acciones que deben seguir los estudiantes para alcanzar los
objetivos de aprendizaje, que para este caso consisten en aprender las nociones
algebraicas; seguidamente, se describen las situaciones que las conforman cada una de
las guías AAA referidas a la temática que movilizan con los preconceptos requeridos para
trabajarlas, su objetivo, la relación con el objeto de aprendizaje que apoyan para su uso,
y la explicación de cómo surgieron sus puntos numerales (cómo están agrupados y qué
secuencia tienen).

Caracterización de las Secuencias Didácticas
 Secuencia Didáctica No. 1
La primera secuencia didáctica corresponde a la guía AAA No. 1, denominada
“Aprender Álgebra si es Posible” cuyo objetivo es construir y representar expresiones
algebraicas sencillas,
usando del objeto físico COLORGEBRA y siguiendo las
indicaciones que aparecen en ella (figura 16).
Figura 16 Hoja de predicciones individual AAA No.1
I.E.T.I. RAFAEL NAVIA VARÓN
MATEMÁTICAS GRADO 8º
Lic. OLGA LUCIA MASSO S.
Nombre: __________________________________________
Grupo: ___ Fecha: ______
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE ACTIVO No. 1
“Aprender álgebra si es posible ”
HOJA DE PREDICCIONES – INDIVIDUAL
Instrucciones: Esta hoja será recogida en cualquier momento por el profesor. “escriba su nombre para registrar su asistencia y participación en
esta actividad”. Siga las instrucciones del profesor.
Materiales: Kit: Base tablero, fichas circulares (objeto de aprendizaje COLORGEBRA), ficha de registro y cuaderno de trabajo.
Objetivo: Mejorar en la comprensión y aprehensión de las nociones del álgebra utilizando objetos físicos para el tratamiento y manejo de
expresiones algebraicas.
Tiempo previsto para toda la actividad: 2 sesiones de clase (240 minutos).
¿CÓMO REPRESENTAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS?
Usa el material didáctico para explorar el manejo de expresiones algebraicas siguiendo las indicaciones que aparecen a continuación.
Camila está jugando con fichas que se pueden colocar de diversas maneras en las perforaciones sobre la base-tablero del objeto de
aprendizaje, analiza la forma como las organizó para descubrir que existen características asociadas a ellos que permiten construir expresiones
del álgebra. Realiza las siguientes predicciones primero individualmente:
Capítulo 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
63
Reconoce y explora el objeto de aprendizaje, para ello libremente mueve sus fichas, y forma tus
propias construcciones.
¿Cómo describirías con tus palabras, los elementos (las fichas) que aparecen organizadas en la
base-tablero? Cuál crees que es su función? Escríbelo.
¿Reconoces características comunes que compartan los elementos del objeto de aprendizaje o
respecto a la forma como están colocadas sobre él? Escríbelas.
¿Cómo representarías con un esquema la construcción que está formada sobre la base- tablero?
¿Renombra ahora, utilizando el lenguaje matemático (símbolos, letras o variables, operaciones) la
representación que hiciste anteriormente? ¿Cómo quedaría ahora ella? Escríbelo.
Observa sobre el tablero que operación es utilizada por columnas y por filas. ¿Cómo podrías
expresar utilizando el lenguaje matemático cada organización que aparece en cada columna?
Utiliza la tabla 7 para hacer tus registros.
Une sumando todas las expresiones que encontraste en el ejercicio anterior, para obtener en su
totalidad la expresión algebraica que representa a la construcción inicial. Escribe cómo quedaría.
4. Dibujo o esquema de tus
observaciones
Columna
Respuestas a las predicciones
Fila
7. Tabla
Columna
Expresión
#
1
2
3
4
5
Fuente: Elaboración propia basada en modelos de guías de actividades con Aprendizaje Activo.
 Secuencia Didáctica No. 2
Alterno a la secuencia didáctica No.1 se diseñó otra guía (la número dos), con el
propósito de empezar a trabajar las operaciones básicas con expresiones algebraicas,
colocándole un mayor grado de complejidad a las tareas que deben realizar los
estudiantes. La siguiente gráfica (véase figura 17), corresponde a la guía AAA No. 2
llamada: “Problemas con Figuras de Colores” que apoya el uso de objeto
COLORGEBRA.
64
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 17 Hoja de predicciones individual AAA No. 2
I.E.T.I. RAFAEL NAVIA VARÓN
MATEMÁTICAS GRADO 8º
Lic. OLGA LUCIA MASSO S.
Nombre: __________________________________________
Grupo: ___
Fecha: ______
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE ACTIVO No. 2
“ Problemas con figuras de Colores ”
Instrucciones: Esta hoja será recogida en cualquier momento por el profesor. “escriba su nombre para registrar
su asistencia y participación en esta actividad”. Siga las instrucciones del profesor.
Materiales: Kit: Base tablero, fichas circulares y de colores (objeto de aprendizaje COLORGEBRA), ficha de
registro y cuaderno de trabajo.
Objetivo: Mejorar en la comprensión y aprehensión de las nociones del álgebra utilizando objetos físicos para
el tratamiento y manejo de expresiones algebraicas
y de sus operaciones básicas.
Tiempo previsto para toda la actividad: 2 sesiones de clase (240 minutos).
HACIENDO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS…
Usa el material didáctico para explorar el manejo correcto de operaciones algebraicas siguiendo las
indicaciones que aparecen a continuación.
Coloca sobre el tablero del objeto de aprendizaje, las fichas necesarias para construir las expresiones que
correspondan y representen el área de cada una de las figuras geométricas que aparecen seguidamente, ten
en cuenta al hacerlo utilizar y nombrarlas con variables. Trabaja individualmente.
Encuentra la respuesta de cada una de las siguientes preguntas haciendo las operaciones necesarias, para ello
utiliza el objeto de aprendizaje Colorgebra.
Registra en este documento los procedimientos de las
operaciones.
Capítulo 4
Fuente: Elaboración propia basada en modelos de guías de actividades con Aprendizaje Activo.
65
66
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
 Secuencia Didáctica No. 3
El siguiente diseño corresponde a la guía AAA No.3 denominada “Matemática y
Lúdica” (figura 18) cuyo objetivo es aplicar correctamente procesos de factorización
utilizando objetos físicos para el tratamiento y construcción de algunos productos
notables empleando el objeto físico GEBRATORRE y siguiendo las indicaciones que
aparecen en ella.
Figura 18 Hoja de predicciones individual AAA No. 3
I.E.T.I. RAFAEL NAVIA VARÓN
MATEMÁTICAS GRADO 8º
Lic. OLGA LUCIA MASSO S.
Nombre:________________________________________________
Grupo: ___Fecha: _______
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE ACTIVO No. 3
“MATEMÁTICA Y LÚDICA ”
Instrucciones: escriba su nombre para registrar su asistencia y participación en esta actividad. Siga las instrucciones dadas por el profesor.
Materiales: Kit: Base de madera torre, sólidos geométricos (objeto de aprendizaje GEBRATORRE), tablero de registro y guía de trabajo.
Objetivo: Aplicar correctamente procesos de factorización utilizando objetos físicos para el tratamiento y construcción de algunos productos
notables.
Tiempo previsto para toda la actividad: 3 sesiones de clase (360 minutos).
¿CÓMO CONSTRUIR ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES?
Usa el material didáctico para formar algunos productos notables en este caso, potencias de sumas de binomios, sigue las indicaciones que
aparecen a continuación.
1. Utiliza los sólidos geométricos (esferas y cubos) para formar sobre la base de madera torres o columnas, en las cuales en cada una
de ellas haya dos figuras geométricas. Para ello, tenga en cuenta al formarlas considerar todas las posibilidades que se tienen de
organizarlas o distribuirlas sabiendo que se dispone de dos figuras diferentes para hacerlo.
2.
Ahora, renombra con una letra o variable a cada figura geométrica utilizada para formar las torres. Luego, escriba la expresión
algebraica que corresponde a cada columna construida, utilizando al hacerlo, la multiplicación como operación matemática.
3.
Obtenga la expresión algebraica total uniendo con suma todas las expresiones que resultaron de cada columna formada en el
ejercicio anterior, si es necesario, simplifíquela reduciendo términos semejantes. Escribe cómo quedaría.
4.
Indaga sobre qué producto notable formaste.
5.
Dibuja esquemas gráficos de los resultados obtenidos.
6.
Repite el mismo proceso anterior, para construir ahora torres o columnas en las cuales hayan:
A) 3 sólidos geométricos.
B) 4 sólidos geométricos.
C) 5 sólidos geométricos.
7.
Compara las expresiones algebraicas obtenidas en cada caso y establezca las características de los polinomios resultantes.
8.
Qué crees que sucede, si se quiere formar torres con más de 5 sólidos en cada una de ellas, tanto con el objeto (en relación con sus
elementos y partes) como con las torres o columnas que se forman? Argumenta tu respuesta.
Fuente: Elaboración propia basada en modelos de guías de actividades con metodología del
Aprendizaje Activo.
Capítulo 4
67
 Secuencia Didáctica No. 4
La figura que se muestra a continuación, corresponde a la guía AAA No.4 denominada
“Construyamos el Triángulo de Pascal” cuyo objetivo es calcular diferentes potencias
de binomios para cualquier valor principalmente para valores de la potencia mayores de
4, utilizando el objeto físico PASCALGEBRA y siguiendo las indicaciones que aparecen
en ella.
Figura 19 Hoja de predicciones individual AAA No. 4
I.E.T.I. RAFAEL NAVIA VARÓN
MATEMÁTICAS GRADO 8º
Lic. OLGA LUCIA MASSO S.
Nombre: ________________________________________________ Grupo: ___ Fecha: _______
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE No. 4
“ Construyamos el Triángulo de Pascal ”
Instrucciones: escriba su nombre para registrar su asistencia y participación en esta actividad. Siga las
instrucciones dadas por el profesor.
Materiales: Kit: Base de madera, fichas hexagonales (objeto de aprendizaje PASCALGEBRA), tablero de
registro y guía de trabajo.
Objetivo: Calcular diferentes potencias de binomios para cualquier potencia empleando la configuración del
Triángulo de Pascal.
Tiempo previsto para toda la actividad: 2 sesiones de clase (240 minutos).
¿CÓMO CALCULAR DIFERENTES POTENCIAS DE BINOMIOS?
Usa el material didáctico para determinar los coeficientes de los términos del desarrollo de binomios de
diferentes potencias. Sigue las indicaciones dadas posteriormente para hacerlo.
1. Deriva las potencias de los siguientes binomios, ordenando los números naturales de tal modo
que se forme un triángulo con la característica de qué la suma de dos números consecutivos es
igual al número en la fila siguiente y en medio de ellos como se muestra en la figura que sirve de
base y que aparece a continuación.
a)
(x + y)5 =
2.
3.
4.
b)
(x + y)6 =
c)
(x + y)7 =
d)
(x + y)10 =
e)
(x + y)8 =
PREDICCIONES
Qué deduces de lo que sucede a medida que aumenta el valor de la potencia? Argumenta.
Qué crees que representan cada uno de los números que se ubican y forman cada fila del
triángulo? Explica.
Determina cuales números se ubican y forman la fila 15 del triángulo?
Fuente: Elaboración propia basada en modelos de guías de actividades con Aprendizaje Activo.
68
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º

Descripción de las Secuencias Didácticas (S. D.)

Las guías de trabajo o secuencias AAA como ya se había mencionado, se
diseñaron con el enfoque de la metodología para el Aprendizaje Activo, de tal
forma de que con ellas se pudiera realizar representaciones sobre los objetos en
estudio, desde las perspectivas gráfica, numérica, geométrica y algebraica. La
temática movilizada en las secuencias de actividades AAA Nros. 1 y 2 son la
noción de variable y su tratamiento al hacer operaciones básicas, con las Nros. 3
y 4 son las fórmulas de productos notables derivadas con y sin hacer las
multiplicaciones (mediante construcciones geométricas y numéricas) para el
manejo correcto del proceso de factorización. Los preconceptos relacionados con
estos temas corresponden al dominio conceptual del número, dentro de conjuntos
numéricos como los enteros, racionales y reales, con sus relaciones (igualdades
y ecuaciones) y propiedades de las operaciones básicas (esencialmente las de la
suma y el producto); las leyes de los signos dadas para multiplicación; y el
conocimiento tanto de diferentes lenguajes como de formas de representación
(verbal, gráfica, algebraica, conjuntista).
Los productos notables son multiplicaciones especiales, y como su nombre lo indica,
éstos tienen una relación bien definida entre las expresiones que se multiplican, ellos
permiten hacer los productos siguiendo reglas o casos dados por fórmulas de una
manera abreviada. Además, se puede decir que representan la factorización de
polinomios cuando la igualdad o equivalencia que expresan es tomada en sentido
contrario, es decir, como una multiplicación inversa.
En los textos escolares de matemáticas para grado 8º disponibles para enseñar el
álgebra aparecen como tema a enseñarse anterior al de la factorización, los productos
notables. La existencia de una relación directa entre estas dos temáticas, sugiere para el
trabajo del aula abordar y aprender primero los productos notables para reconocerlos
como un procedimiento inverso a la factorización y de este modo lograr en los educandos
mayor comprensión de este último proceso, igualmente, se hace más fácil en ellos el
dominio conceptual de estos contenidos temáticos.
Por otra parte, en los textos de matemáticas para octavo, aparece la explicación de los
productos notables ya sea por medio de representaciones geométricas que van guiando
al estudiante para derivarlos a través de la relación dada en áreas de cuadrados y
rectángulos o por representaciones aritméticas y algebraicas, fórmulas y procedimientos
de cada uno de ellos, y que son precisamente en los que se centró el interés para
desarrollar esta propuesta usando OFA para su aprendizaje.
Capítulo 4
69
A continuación, se expresan las definiciones de productos notables binomios suma que
corresponden a potencias de n = 2, 3, 4 y 5 que aparecen en libros escolares de
matemáticas para grado octavo:
Cuadrado de la suma de dos cantidades (x+y)2:
Elevar el cuadrado de x + y equivale a multiplicar este binomio por sí mismo.
(x y)2 = (x+y) (x+y)
(x y)2 x2 + xy + xy + y2
(x y)2 x2 + 2xy + y2
(Ecuación 1)
Luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado
de la segunda cantidad.
Con similar procedimiento se derivan las fórmulas para el cubo, la cuarta, la quinta o la
ene-ésima potencia de los binomios suma:
Cubo de la suma de dos cantidades (x+y)3:
(x y)3 x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 (Ecuación 2)

Cuarta potencia de la suma de dos cantidades (x+y)4:
(x y)4 x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4x y3 + y4 (Ecuación 3)
Quinta potencia de la suma de dos cantidades (x+y)5:
(Ecuación 4)
(x y)5 x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5x y4 + y5

El objetivo general con cada una de las S. D. es desarrollar con ellas y con la
mediación dada por la utilización de los objetos de aprendizaje competencias y
habilidades en los estudiantes para la comprensión y aprehensión de las nociones
básicas del álgebra con respecto al tratamiento del lenguaje y la simbología
propios de esta ciencia, a la construcción de expresiones y fórmulas que se
derivan al hacer operaciones con los elementos que la caracterizan como son las
expresiones algebraicas, y al manejo correcto y apropiado de los métodos para
resolver ecuaciones y problemas.
70
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Como objetivos específicos, con la primera y segunda secuencia se pretende mejorar en
la comprensión y la aprehensión de los conceptos algebraicos utilizando objetos de
aprendizaje al igual que propiciar avances en los desempeños de los estudiantes
evaluados en los temas de álgebra que involucran la idea de variable (inmersa dentro de
una expresión algebraica) construida a partir del uso de la terminología del álgebra y de
la aplicación de la reglas para hacerlo, particularmente en la primera de ellas; y al darle
manejo operativo (esto es, hacer operaciones básicas de suma, resta, multiplicación con
estas expresiones) mediante la abstracción de propiedades geométricas (perímetro, área
y volumen de una figura) principalmente con la segunda secuencia. Para la tercera de
ellas, concretamente el objetivo es derivar las fórmulas de los productos notables
binomios suma de forma (x+y)n por medio de la aplicación correcta de la factorización
dada del proceso inverso de la multiplicación desde la perspectiva geométrica; y para la
última secuencia, aunque su propósito es el mismo al de la anterior, con ella se quiere
permitir construir las fórmulas de los binomios configurando el Triángulo de Pascal para
derivar los coeficientes de los términos que forman dichos binomios haciendo énfasis en
la perspectiva numérica.

Las relaciones dadas entre S.D. y OFA están mediadas por factores tales como:
 el tipo de contenidos curriculares a abordar (en este proyecto las nociones
algebraicas).
 La función de apoyo que desempeñan cada uno de ellos para el tratamiento,
organización y desarrollo de dichos contenidos.
 Las interrelaciones entre ellos entendidas como aquellos puntos de conexión y
encuentro que evidencian la relación entre estos dos elementos desde la
perspectiva didáctica, como son la interrelación teórico-disciplinar; la
metodológica; la funcional y la integradora.
 La valoración de estos elementos como instrumentos didácticos que al actuar
simultáneamente, como estrategia que el docente utiliza permite ejercer
participación activa y abordar de forma no convencional, motivante y lúdica estos
contenidos específicos mejorando la calidad de la enseñanza y de los
aprendizajes construidos por los estudiantes.
 La oportunidad ofrecida por ellos al docente para controlar, limitar, organizar,
planificar la movilización de contenidos curriculares para lograr los objetivos
planteados y orientar el trabajo en el aula.
Capítulo 4
71

En las S. D. los numerales que las conforman están descritos como situaciones a
desarrollar a manera de predicciones, aspecto que caracteriza a las guías de
trabajo que están diseñadas con la metodología del Aprendizaje Activo.
‐
Respecto a secuencia AAA No. 1 (véase figura 16), el propósito con las tres
primeras preguntas es que los estudiantes puedan reconocer las características,
elementos y partes del objeto Colorgebra y derivar de la abstracción en el
contacto con él, la idea de variable determinada por el color usado en las fichas
tapa y la cantidad de variables utilizadas en una expresión de acuerdo con los
diferentes colores de fichas tapa empleados en el arreglo que se les entrega
construido sobre la base tablero. Si no se logra identificar en el color usado en
uno de los elementos del objeto (lo implícito) se pueden producir dificultades en
algunos educandos para construir expresiones algebraicas.
Con las situaciones de las preguntas 4 y 5, se pretende introducirlos en el manejo y
tratamiento tanto del lenguaje y la terminología algebraica (símbolos, letras, variables)
como en formas de representación gráfica y matemática para hacer traducciones y
cambios de una representación a otra.
En las preguntas 6 y 7 se les propone hacer manejo operativo utilizando con sentido los
elementos algebraicos (variables, constantes, parámetros, términos, signos) en un nivel
básico, ampliando la notación del lenguaje aritmético y empleando las propiedades
características de los sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la
adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición).
‐
Con la secuencia AAA No. 2 (ver figura 17), se pretende seguir trabajando las
operaciones básicas con expresiones algebraicas utilizando las fichas del OFA
Colorgebra, colocándole un mayor grado de complejidad a las tareas que deben
realizar los estudiantes y como complemento a la propuesta formulada en la
secuencia anterior (en ella, se impone un nivel de aplicación con mayor grado de
dificultad para hacer manejo operativo). Partiendo de la observación y análisis de
una situación problema presentada en forma gráfica y utilizando con sentido los
elementos algebraicos (variables, constantes, parámetros, términos, signos),
ampliando además, la notación del lenguaje aritmético y empleando las
propiedades características de los sistemas geométricos (áreas y perímetros) y
algebraicos (fórmulas y otras expresiones como las ecuaciones, los sistemas de
ecuaciones, el carácter simétrico y transitivo de la igualdad, por ejemplo) para que
de esta manera, el cálculo algebraico surja como un proceso de generalización
del trabajo aritmético con modelos geométricos en situaciones de variación de los
valores de las medidas de las dimensiones relacionadas funcionalmente sobre los
lados de los rectángulos.
72
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Para responder los estudiantes las preguntas 1 a 6 de acuerdo con la información de la
figura mostrada en la situación problema y hallar las áreas y perímetros solicitados. El
énfasis de las preguntas se dió en el marco geométrico para buscar su solución, en esta
guía, el docente propone analizar la información dada en figuras geométricas (los
rectángulos), haciendo hincapié en la interpretación que deben hacer ellos de las
variaciones que se van dando en las dimensiones de los lados de los rectángulos
(medidas dadas no con valores numéricos sino a manera de expresión algebraica) para
pedirles encontrar, las áreas y los perímetros utilizando las reglas para el producto y la
suma de estas expresiones (para lo cual se requiere aplicar las leyes de los signos y la
identificación de términos semejantes). El cambio de representación en este caso, se
hace del lenguaje geométrico al algebraico y requiere de la aplicación de habilidades de
pensamiento lógico matemático (razonar, inferir, generalizar y argumentar). Es posible
que algunos de los educandos no interpreten correctamente la variación que se da en las
dimensiones de los lados de los rectángulos para hallar las áreas que se les pide
encontrar, lo que puede llevarlos a contestar erróneamente las preguntas planteadas y
escoger una opción incorrecta de respuesta (debido a que las preguntas en esta
secuencia están elaboradas a manera de test con opción múltiple pero con única
respuesta) o a no poder hacerlo.
‐
Con relación a la secuencia AAA No. 3 (véase figura 18), las situaciones dadas
en las preguntas 1 a 3, pretenden que los estudiantes continúen con el manejo y
tratamiento tanto del lenguaje y la terminología algebraica (símbolos, letras,
variables) como con diversas formas de representación gráfica (ambiente
geométrico - lúdico) y matemática (ambiente algebraico) para hacer traducciones
y cambios de una representación a otra empleando las fichas que tienen la forma
de sólidos geométricos del objeto Gebratorre y profundizar en el dominio de
fórmulas que en este caso, corresponden a productos notables binomios suma de
la forma (x+y)n. En la pregunta 4, el profesor les pide que identifiquen (haciendo
consulta y revisión bibliográfica sobre este tema), aquellas expresiones que
corresponden a estos productos y los caractericen por su forma, la cantidad de
términos que los componen y por el caso al cual pertenecen. En el evento de que
haya educandos que no logren identificar y definir las fórmulas de los productos
notables, el docente durante la clase presencial introduce este tema, y les explica
en profundidad todo lo relacionado con él.
La idea con las preguntas 5 a 7 es que los estudiantes con procesos de iteración
reafirmen estos conocimientos y alcancen un dominio conceptual alto y apropiado sobre
esta temática al pedirles que resuelvan productos notables para llegar a la comprensión
del proceso de factorización desde este proceso inverso de multiplicación. Con la
pregunta 8, el propósito es incentivar en el estudiante el desarrollo de habilidades y
procesos cognitivos, como la argumentación y la proposición para favorecer su
capacidad de razonamiento con cuestiones matemáticas basándose en las predicciones
que pueden hacer.
Capítulo 4
73
En la secuencia AAA No. 4 (ver figura 19), el propósito en ella es el mismo que el de la
secuencia anterior (la número tres), sólo que la pretensión ahora es hacer más fácil y
posible en los estudiantes la construcción de las fórmulas de los productos notables
binomios suma (x+y)n y el hecho de que puedan derivar cualquier fórmula de estas sin
importar que tan grande sea el valor n potencia del binomio, utilizando la configuración
creada por Pascal que consiste en formar un triángulo ordenando los números naturales,
de tal modo que éste se forme con la característica de que la suma de dos números
consecutivos es igual al número en la fila siguiente y en medio de ello.
La pregunta 1 lleva a los estudiantes a utilizar y realizar procedimientos matemáticos
utilizando los elementos fichas base y fichas colores del objeto Pascalgebra y así derivar
las fórmulas que se le plantean, siguiendo instrucciones ellos deben configurar el
triángulo de Pascal para de ese modo obtener los coeficientes respectivos de las
expresiones que forman cada producto notable. En este punto pueden cometer errores
en cuanto a que realicen un procedimiento erróneo dentro del proceso matemático.
El propósito con las preguntas 2 a 4 es poner de manifiesto la capacidad de
argumentación y proposición de los educandos, ellos al hacer las predicciones deben
presentar soluciones a las formulaciones hechas; en este aspecto se puede perder
significancia si no logran mediante procesos de generalización abstraer las reglas que
están determinadas en las fórmulas de los productos notables.
A medida que se avanzaba en el proyecto se encontró con una gran variedad de retos a
la hora de diseñar tanto los objetos didácticos como las guías de trabajo AAA, ambos
durante las diferentes etapas para su elaboración estuvieron sujetos a modificaciones y
una vez concluida su creación se decidió realizar comprobaciones para determinar sus
beneficios y desventajas, obteniendo resultados interesantes y de gran utilidad para la
evaluación de este proyecto, ver capítulo 5 Resultados y Análisis, secciones 5.1 a 5.3
Resultados de la implementación de los tres OFA en el aula y de sus respectivas
secuencias didácticas, principalmente la 5.4 donde se evidencia la situación actual del
proceso de enseñanza de las nociones algebraicas debido a la implementación en el aula
de los objetos de aprendizaje.
74
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
4.2. SEGUNDA ETAPA: Puesta a Prueba de los Objetos
Físicos y de las Secuencias Didácticas Usando
Protocolos de Validación.
Una vez elaborados los objetos didácticos después de haber sufrido modificaciones de
acuerdo con las necesidades que se iban presentando hasta evolucionar a los tres
objetos resultados, se inició en abril de 2012 su uso y aplicación con 45 estudiantes de
grado 8º de la jornada de la mañana (que en ese momento se contaba con tres grupos
de aproximadamente 45 estudiantes cada uno) en la I.E. Rafael Navia Varon, los
resultados obtenidos se registraron en los protocolos de comprobación (véanse tablas
10, 11 y 12) que fueron creados especialmente para la puesta a prueba y validación de
los mismos, en esta etapa, se aprovechó tanto las condiciones favorables como los
recursos de tipo tecnológico, pedagógico, didáctico y de talento humano con los que
cuenta la entidad, al igual que el hecho de estar motivados por la necesidad de mejorar
las prácticas que se llevan a cabo al interior de la escuela particularmente, para abordar
con estrategias adecuadas el tratamiento de los problemas que tienen la enseñanza
aprendizaje del álgebra en este grado de escolaridad.
La I.E. donde se lleva a cabo este proyecto, está ubicada en el municipio de Santiago de
Cali comuna 10, institución donde soy docente de matemáticas y trabajo con
adolescentes entre los 12 y 16 años de edad, la cual por estar ubicada en una zona del
estrato 4 y por sus favorables condiciones socioeconómicas y demográficas posibilita
adelantar con mayor asertividad la implementación y ejecución de propuestas como esta,
pues en ella se dispone en gran parte de recursos para hacerlo, talento humano
(docentes y estudiantes de la institución), tecnológicos (equipos e infraestructura
adecuada), pedagógicos y didácticos en concordancia con la misión y visión institucional.
En este proceso, se consideraron dos aspectos relevantes, tanto el uso de los tres
objetos con sus respectivas guías de actividades o secuencias didácticas números 1, 2, 3
y 4 (véanse figuras 16 a 19) como la recolección de información para ser analizada
mediante la aplicación de protocolos de comprobación números 1, 2 y 3 diseñados
especialmente para este proceso de validación (ver tablas 10 a 12).
Capítulo 4
75
4.2.1 Uso en el Aula de los Objetos Físicos de Aprendizaje con
sus Respectivas Secuencias Didácticas
Para la implementación y utilización en el aula de los OF se hicieron pruebas de uso
tomando como criterios los segmentos de mercado o rango de usuario con los que se
fundamentaron los objetos para su diseño. Para cada uno de los objetos se hicieron 2
sesiones de uso (cada una de 2 horas de clase: aproximadamente 240 min) en el salón
de clase matemáticas #8 de la institución, escogiendo de forma aleatoria 15 estudiantes
como muestra de cada uno de los tres cursos de grado 8º con que se contaba en ese
momento en la institución.
Para la primera sesión experimental, donde se empleó el objeto denominado
“Colorgebra”, se les facilitó a los estudiantes dicho material (estableciéndose en ese
instante el primer contacto con él), a la par se les proporcionó, la secuencia didáctica
AAA No.1: “Aprender álgebra si es posible” para ser desarrollada con el objetivo que los
educandos escribieran expresiones algebraicas con símbolos y lenguaje propios del
álgebra siguiendo las indicaciones que aparecen en ella, en la sesión posterior, se
aprovechó éste para avanzar en la conceptualización, estructuración y tratamiento de las
nociones algebraicas y se trabajó entonces la segunda guía AAA: “Problemas con
Figuras de Colores” para que ellos hicieran manejo operacional del álgebra, con esta
actividad los estudiantes tuvieron la posibilidad de realizar operaciones básicas de suma,
resta y multiplicación con expresiones algebraicas atendiendo a reglas matemáticas
necesarias para hacerlo como es el uso y reconocimiento de términos semejantes. Este
proceso fue implementado de igual forma para las 4 sesiones (2 para cada objeto) que
se llevaron a cabo para validar en el espacio escolar los objetos “Gebratorre” y
“Pascalgebra” con sus respectivas guías de apoyo para su uso y alcanzar los propósitos
establecidos en ellas: derivar las fórmulas correspondientes de ciertos productos
notables principalmente potencias de binomios suma de la forma (x+y)n, y que
corresponden a las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 respectivamente para valores enteros de n = 2,
3, 4 y 5 (ver pág. 72). Como consecuencia de este proceso aparece ya definido en el
programa curricular plan de aula de grado 8º esta estrategia de implementar OFA para la
enseñanza del álgebra.
Las evidencias de la aplicación de estas pruebas aparecen en imágenes (véase figura
20 y 21), y el análisis de resultados en el capítulo 5 en sus sesiones 1 a 4.
76
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 20 Evidencias gráficas del uso e implementación del OFA Colorgebra en el
Aula
Fuente: Elaboración propia de registro fotográfico seguimiento de actividades.
Capítulo 4
77
Figura 21 Evidencias gráficas del uso e implementación de los OFA Gebratorre y
Pascalgebra en el Aula
Fuente: Elaboración propia de registro fotográfico seguimiento de actividades.
Una vez terminadas las sesiones experimentales y desarrolladas las actividades
propuestas en las guías, se generaban espacios para la socialización y evaluación
grupal de la mismas, momentos guiados a través de preguntas formuladas por la maestra
(ejemplos de algunas de ellas aparecen enumeradas a continuación y en Anexo B)
solicitando a los participantes posturas, opiniones y argumentaciones personales, para
establecer de este modo alcances, aciertos y desaciertos de acuerdo con los objetivos
establecidos en los protocolos de comprobación para implementar en el aula estos
materiales, preguntas como, entre otras más:
1) Por ejemplo con relación a los objetos teniendo en cuenta las partes y elementos
que los componen, se les preguntaba si con su uso al desarrollar las tareas
propuestas en las guías AAA, fácilmente podían representar, abstraer o
representar la noción de variable o hacer operaciones utilizándolos, entendiendo y
aprendiendo reglas algebraica al hacerlo.
78
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
2) Preguntas para determinar qué resultados obtuvieron, tras la manipulación,
observación, y uso de los mismos, como por ejemplo les agrada que para
enseñar esta temática en clase de matemáticas se utilicen estos recursos.
3) Aquellas para citar, confrontar elementos, datos e información que influya positiva
o negativamente tanto cuando se utilizan estos materiales como en el desarrollo
de las guías.
4) Las que sirven para establecer con sus apreciaciones, si los modelos elaborados
cumplen con las condiciones y requerimientos necesarios para mejorar,
comprender y aprehender los conceptos del álgebra22.
Las respuestas a estas preguntas se encuentran registradas en informes elaborados por
la docente investigadora, en los resultados obtenidos en este trabajo capítulo 5 y en los
hallazgos que como docente he encontrado (véase pág.107) y expresado en la ejecución
de toda la propuesta (ver también anexo B).
4.2.2. Recolección de Información Mediante el Uso de Protocolos
de Comprobación al Utilizar los OFA en el Aula
En cada una de las pruebas se contaba con un protocolo de comprobación el cual
permitió coordinar y controlar todas las variables presentes al usar los objetos de
aprendizaje (tiempo, espacio, entendimiento y comprensión por parte de los estudiantes
tanto del objeto como de la guía que lo apoya en su implementación) y de esta forma
poder establecer y definir el impacto que tiene ellos desde las perspectivas dadas de su
diseño y de referentes didáctico pedagógicos.
La información de la implementación de los OFA al interior del aula se recogió mediante
las pruebas: Análisis de Interacción con el Objeto Didáctico (protocolo de validación
No.1, ver tabla 11); Objetos para la Enseñanza de Productos Notables (protocolo 2, ver
tabla 13) y Pascalmetry (protocolo No. 3, ver tabla 15). En este proyecto, cada uno de
los objetos construidos contaba con su propio protocolo de prueba acorde a su diseño,
necesidades y requerimientos. Pero en general, en todos ellos se propuso como
indicadores a cumplir en las validaciones los siguientes aspectos:
22
Algunas de las respuestas dadas por estudiantes aparecen en la figura 34 como evidencia.
Capítulo 4
79
‐
Identificar falencias de comunicación y de uso presentes en los modelos físicos.
‐
Evaluar los diferentes pasos realizados en la secuencia de uso.
‐
Dar posibles soluciones a las dificultades presentadas, haciendo modificaciones
necesarias y apropiadas a los modelos físicos.
A continuación, se muestran los componentes más relevantes de cada uno de los tres
protocolos diseñados para el uso de cada OFA.
 Protocolo 1
Este protocolo denominado ANÁLISIS
DE INTERACCIÓN CON EL OBJETO
DIDÁCTICO, se diseñó para el uso del objeto Colorgebra y se estructuró bajo la
formulación de objetivos de prueba y el manejo de dos hipótesis con sus respectivos
indicadores como se describe seguidamente:
Tabla 11 Protocolo de Validación No. 1
NOMBRE DE LA PRUEBA
RECURSOS DE LA PRUEBA
ANÁLISIS DE INTERACCIÓN CON EL .- HUMANOS:
Harold Rodríguez: organizador de la
OBJETO DIDÁCTICO.
actividad.
FECHA
Mayo de 2012
Guillermo
Gómez:
camarógrafo
y
recolector de datos.
HORA
Hora de iniciación: 11:30 a.m.
Olga Lucia Masso: manejo de los usuarios.
LUGAR
.- FÍSICOS:
I.E.T.I Rafael Navia Varón, salón de EQUIPOS:
MATERIALES:
matemáticas #8, Grado Octavo.
Cámara digital.
Libreta de apuntes.
Cronometro.
Elementos
de
escritura.
Pupitres
Fichas de registro.
OFA COLORGEBRA
‐
Dar a conocer los resultados
obtenidos tras la manipulación,
observación, y uso del objeto
realizada por parte del usuario.
80
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
‐
Citar y enfrentar los elementos,
datos e información que influye
tanto positiva como negativamente
en el desarrollo del objeto.
‐
Probar si el modelo desarrollado
cumple con las características para
lograr
una
mejora
en
la
comprensión y aprensión del
algebra.
OBJETIVOS DE LA PRUEBA
Indicadores Hipótesis 1: (teniendo en
Hipótesis 1:
Qué los estudiantes
reconozcan y cuenta el cumplimiento de los indicadores
entiendan el objeto didáctico al ver su generales formulados en la pág. 80).
configuración, aplicando los preconceptos
‐ Pasos
acertados
según
la
secuencia de uso descrita.
del álgebra, y desarrollando la actividad en
el tiempo establecido.
‐ Tiempo para realizar la actividad
(Sesión de dos horas clase,
aproximadamente 120 minutos).
Hipótesis 2: Qué los estudiantes al usar
el objeto cumplan con los siguientes Indicadores Hipótesis 2: (teniendo en
objetivos:
cuenta el cumplimiento de los indicadores
‐ Reconocer las partes del objeto generales formulados en la pág. 81).
(fichas, tapones, tablero, elementos
de escritura).
‐ Cantidad de estudiantes que
aprueban los objetivos vs. la
‐ Establecer la relación concepto de
cantidad de estudiantes que no
variable con las fichas cubiertas
aprueban.
con los tapones.
‐ Tiempo que tarda cada estudiante
en cumplir con los objetivos.
Fuente: Elaboración propia con datos tenidos en cuenta para las pruebas de validación.
Capítulo 4
81
Figura 22 Condiciones espaciales para la prueba de validación No.1
Fuente: Elaboración propia con datos tomados del lugar donde se realizó la prueba I.E. Navia V.
Con la medición de los indicadores (ver tabla 11) respectivamente para cada hipótesis se
buscó identificar los resultados de la aplicación de la prueba. A continuación se expresan
las conclusiones inmediatas dadas al terminar las comprobaciones de validación del
objeto Colorgebra.
Tabla 12 Conclusiones inmediatas a la aplicación de la prueba No. 1
‐
Al concluir esta prueba y analizar los datos podemos decir que la hipótesis 1 se cumplió al
haber alcanzado en el 95,6% de los estudiantes el objetivo propuesto en esta prueba de
validación, con las modificaciones hechas a la base-tablero del objeto Colorgebra dándole
cierta inclinación; y respecto al documento o secuencia didáctica AAA No.1 al haberle
cambiado cuestiones sobre el lenguaje utilizado presentarlo menos técnico para indicar a los
educandos lo que deben hacer de tareas y que aparecen en ella, facilitó el acceso de éstos al
objeto didáctico y les mejoró la interacción con él.
‐
La actividad tomó alrededor de una hora de clase, es importante tener en cuenta cualquier
contratiempo y la necesidad de un recuento de preconceptos a la hora de hacer la actividad y
utilizar el objeto, por lo cual se plantea una hora y treinta minutos (01:30) para desarrollarla
y cumplir a cabalidad con los objetivos previstos.
‐
Dada la observación y la interacción con el estudiante después de realizar la prueba se tiene
en cuenta que algunas de las opiniones, ellas apuntan a nuevos materiales para la elaboración
del objeto didáctico, hemos pensado desarrollarlo en polímero como primera respuesta sin
dejar de lado los elementos de la señalética y las configuraciones formales obtenidas por los
elementos de los referentes y el concepto de diseño a la hora de producir el objeto.
‐
El objeto didáctico cumple satisfactoriamente con las expectativas del grupo y se espera
producirlo e implementarlo lo más pronto posible en la institución donde se realizaron las
pruebas y en otras.
Fuente: Elaboración propia con datos de los resultados obtenidos.
82
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
 Protocolo 2
Este protocolo denominado OBJETOS PARA LA ENSEÑANZA DE PRODUCTOS
NOTABLES, se creó para el uso del objeto Gebratorre y se estructuró bajo la
formulación de objetivos de prueba y el manejo de una hipótesis con sus respectivos
indicadores como se indica a continuación (véase tabla 13).
Tabla 13 Protocolo de Validación No. 2
RECURSOS DE LA PRUEBA
NOMBRE DE LA PRUEBA
OBJETOS PARA LA ENSEÑANZA DE .- HUMANOS:
Andrés Montes: organizador de la
PRODUCTOS NOTABLES.
actividad.
FECHA
Felipe Vergaño: camarógrafo y recolector
Octubre de 2012
de datos.
HORA
Olga Lucia Masso: manejo de los usuarios.
Hora de iniciación: 8:30 a.m.
LUGAR
I.E.T.I Rafael Navia Varón, salón de .- FÍSICOS:
matemáticas #8, Grado Octavo.
EQUIPOS:
MATERIALES:
Cámara digital.
Libreta de apuntes.
Cronometro.
Elementos
de
escritura.
Pupitres.
Fichas de registro.
OFA GEBRATORRE
OBJETIVOS DE LA PRUEBA
ESPECÍFICOS
GENERAL
Facilitar el aprendizaje de los productos
‐ Hacer más atractiva la actividad de
enseñanza y aprendizaje del tema.
notables mediante la implementación de
un desarrollo objetual que se presente
‐ Reducir el tiempo que se requiere
como una ayuda didáctica al momento de
para explicar y trabajar la temática.
abordar la temática.
‐
Facilitar la interacción entre el
docente y los estudiantes al
trabajar el tema.
Capítulo 4
83
Indicadores de Hipótesis: (teniendo en
cuenta el cumplimiento de los indicadores
generales formulados en la pág. 80).
Hipótesis:
‐ Distingue y usa adecuadamente las
fichas del objeto.
‐
Asimila y entiende el concepto de
Con el uso de la plataforma objetual se
variable
que
representa
la
facilita el entendimiento de la temática
presencia de las fichas.
Productos Notables y a su vez se hace
‐ Responde correctamente a la
esta actividad más agradable e interactiva
indicación de formar columnas.
para los usuarios del mismo.
‐ Forma
las
combinaciones
apropiadamente.
‐ Agrupa
términos
semejantes
correctamente.
‐ Expresa
matemáticamente
los
resultados.
‐ Reducir el tiempo de trabajar esta
temática.
Fuente: Elaboración propia con datos tenidos en cuenta para las pruebas de validación.
Medir los indicadores (ver tabla 13) formulados para la hipótesis permitió identificar los
resultados de la aplicación de la prueba. En seguida en la tabla 14, se expresan las
conclusiones inmediatas dadas al terminar las comprobaciones de validación del objeto
Gebratorre.
Tabla 14 Conclusiones inmediatas a la aplicación de la prueba No. 2
‐
La hipótesis resultó cierta, el 87,5% de los participantes logró derivar con el uso del objeto
las fórmulas de los productos notables. El diseñar esta herramienta para la enseñanza de esta
temática es bueno y ayuda a los estudiantes a comprenderlos mejor, a asociar más rápido los
elementos de la expresión algebraica logrando hacerlo en menos tiempo.
‐
Aunque el objeto es muy intuitivo y fácil de manejar, todos los estudiantes que interactuaron
con él deben tener conocimientos previos como: el manejo de operaciones básicas sobre los
conjuntos numéricos de los enteros y los reales; conocimiento y tratamiento adecuado de
reglas para trabajar y resolver ecuaciones e igualdades para derivar las fórmulas de los
productos notables binomios suma.
‐
Con el uso del objeto se pudo ver que éste acelera, facilita y permite a los educandos
recordar de forma eficaz lo visto en clase. Este recurso didáctico es muy intuitivo, con
colores planos, contrastes y formas geométricas les ayudó a comprender mejor esta temática
y les resultó una manera agradable en general a todos los estudiantes que participaron de la
prueba.
Fuente: Elaboración propia con datos de los resultados obtenidos.
84
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
 Protocolo 3
El protocolo denominado PASCALMETRY, se elaboró para ser implementado para la
validación del objeto Pascalgebra y se estructuró bajo la formulación de objetivos de
prueba y el manejo de una hipótesis con sus respectivos indicadores como se muestra
seguidamente.
Tabla 15 Protocolo de Validación No. 3
NOMBRE DE LA PRUEBA
PASCALMETRY
FECHA
Noviembre de 2012
HORA
Hora de iniciación: 9:00 a.m.
RECURSOS DE LA PRUEBA
.- HUMANOS:
Camilo Martínez: organizador
actividad.
de
la
Jaime Moreno: camarógrafo y recolector
de datos.
Olga Lucia Masso: manejo de los usuarios.
LUGAR
I.E.T.I Rafael Navia Varón, salón de
matemáticas #8, Grado Octavo.
.- FÍSICOS:
EQUIPOS:
MATERIALES:
Cámara digital.
Libreta de apuntes.
Cronometro.
Elementos
de
escritura.
Mesas.
Fichas
de
registro.
OFA PASCALGEBRA
ESPECÍFICOS
OBJETIVOS DE LA PRUEBA
GENERAL
Facilitar el aprendizaje de los productos
notables mediante la implementación de
un desarrollo objetual que se presente
como una ayuda didáctica al momento de
abordar la temática.
‐
Facilitar el manejo de binomios
para derivar las fórmulas de los
productos
notables
que
los
representan sin importar que tan
grande sea el valor de su potencia.
‐
Hacer más atractiva la actividad de
enseñanza y aprendizaje del tema
y reducir el tiempo que se requiere
para trabajarla.
Capítulo 4
85
‐
Facilitar la interacción entre el
docente y los estudiantes al
trabajar el tema.
Indicadores de Hipótesis: (teniendo en
cuenta el cumplimiento de los indicadores
generales formulados en la pág. 80).
Hipótesis:
Con el uso de la plataforma objetual se
facilita el entendimiento de la temática
Productos Notables y a su vez se hace
esta actividad más agradable e interactiva
para los usuarios del mismo.
‐
Responde correctamente a las
indicaciones dadas para formar el
Triángulo de Pascal.
‐
Entiende que la presencia de las
fichas de acuerdo a su ubicación
representan los coeficientes de los
términos de los binomios que se
forman en cada fila del triángulo.
‐
Coloca correctamente las fichas
para
derivar
los
números
coeficientes
respectivos para
configurar las expresiones que se
forman en cada fila del Triángulo de
Pascal.
‐
Expresa
matemáticamente
resultados.
‐
Reducir el tiempo de trabajar esta
temática.
los
Fuente: Elaboración propia con datos tenidos en cuenta para las pruebas de validación.
De la medición de los indicadores (ver tabla 15) de la hipótesis dejó ver los resultados de
la aplicación de la prueba, a continuación se expresan las conclusiones inmediatas dadas
al terminar las comprobaciones de validación del objeto Pascalmetry (véase tabla 16).
86
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Tabla 16 Conclusiones inmediatas a la aplicación de la prueba No. 3
‐
La hipótesis formulada para la validación resultó acertada, el 100% de los participantes de la
prueba logró formar el Triángulo de Pascal. Al analizar las situaciones de la realización de
la prueba podemos decir que el haber configurado el objeto Pascalgebra como una extensión
del anterior (Gebratorre) solucionó en gran medida el problema de formar los productos
notables binomios cuando su potencia es muy grande. Con el objeto Gebratorre se trabajan
sin dificultad las potencias en (x+y)n para n = 2, 3 y 4 mientras que con Pascalgebra
cualquier valor para la potencia n, mayor o igual a dos 2 principalmente las mayores que 5 se
pueden construir rápida y fácilmente sus expresiones.
‐ Con Elaboración
la actividad usar
Pascalgebra
le de
toma
tiempoobtenidos.
a los estudiantes para derivar los
Fuente:
propia
con datos
losmenos
resultados
coeficientes y formar los binomios productos notables, en una sesión de clase ellos logran
configurar el triángulo con un número considerable de filas (aproximadamente de 8 a 10 de
ellas) las cuales representan cada una de las expresiones algebraicas que corresponden a los
productos notables.
‐
Dada la observación de la interacción objeto estudiante, después de realizar la prueba se
concluye teniendo en cuenta algunas de las opiniones dadas, que con este objeto en
particular fácilmente trabajan esta temática y sobre todo disfrutan el hacerlo.
Fuente: Elaboración propia con datos de los resultados obtenidos.
Durante las sesiones experimentales, las siguientes formas sirvieron de fuente o medio
para recolectar información para ser analizada y presentar los resultados en el capítulo 5
para medir el impacto causado al implementar OFA para el trabajo escolar (ver figura 23):

Los formatos diseñados para el seguimiento y control durante la aplicación de la
prueba para determinar el cumplimiento o no de las hipótesis formuladas en el
protocolo de comprobación (Anexo C).

Los registros escritos de los estudiantes al seguir las indicaciones dadas en las
AAA, como respuestas a las predicciones formuladas en la misma (Anexo D).

Encuestas a estudiantes que participaron de la actividad experimental para
conocer su opinión sobre aspectos como su parecer frente a realizar la
experiencia, su participación, la aceptación del OF como herramienta didáctica
de aprendizaje y sobre la metodología de trabajo empleada (Anexo B).

Los resultados del proceso de socialización para evaluar las actividades (Anexo
B).
Capítulo 4
87
Figura 23 Evidencias otras fuentes de recolección de información
a) Guías de Actividades AAA
b) Formatos Fichas de Registro Protocolos
FICHA DE REGISTRO HIPÓTESIS 1
1. FECHA DIA
.MES
.AÑO
.HORA
.
2. NOMBRE DE LA PRUEBA: Análisis de interacción con el objeto didáctico.
3. HIPOTESIS: Los estudiantes reconocerán y entenderán el objeto didáctico al ver
su configuración, aplicaran los preconceptos del algebra y desarrollaran la
actividad en el tiempo determinado.
4. INDICADORES:
‐ Pasos acertados según la secuencia de uso descrita.
‐ Tiempo para culminar la actividad
5. TABLA DE REGISTRO:
Secuencia de uso:
1. Reconocer el objeto.
2. Explorar el documento de la actividad de aprendizaje.
3. Leer el documento de la actividad de aprendizaje.
4. Explorar las fichas del objeto didáctico.
5. Desarrolla la actividad.
6. Hace las preguntas respectivas.
7. Culmina la actividad.
Tiempo total:
Observaciones:
c) Hojas de Trabajo – Encuestas a Estudiantes
1. HOJA DE TRABAJO
Observaciones iniciales:
88
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Cual(es) números enteros identificaste?
¿Por qué?
Que letras le colocaste a cada tapa color?
¿Por qué?
Que operaciones identificaste? ¿Por qué?
‐
Relaciones que formaste con los elementos anteriores:
‐
Orden o síntesis que le das a las expresiones anteriores:
‐
Tu fusión de columna con fila es:
Señala con una línea las 2 que escogiste
Ahora el resultado final de las 5 columnas
es:
Fuente: Elaboración propia con datos de formatos de registro creados para recoger información.
Capítulo 4
89
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Para llevar a cabo el análisis de los resultados obtenidos, se dió relevancia entre otros, a
los siguientes aspectos para hacer las interpretaciones correspondientes:
 Los tres objetos físicos de aprendizaje que fueron creados para este proyecto,
(desde las perspectivas dadas desde su diseño, como por su uso pedagógico y
didáctico) teniendo en cuenta sus ventajas, aciertos y desaciertos.
 Las secuencias didácticas AAA, elaboradas para apoyar el uso de los OFA.
 Las Comparaciones hechas entre resultados obtenidos sin la utilización de los OF
y los resultados logrados con la implementación de los mismos en el aula para la
enseñanza del álgebra en grado octavo y así establecer qué avances, logros y
cambios significativos se han alcanzado con el uso dichos recursos.
 Los resultados de los trabajos realizados por los estudiantes del desarrollo de las
guías AAA propuestas.
 La evaluación permanente de los procesos y actividades involucrados en el
desarrollo de este proyecto.
 La apreciación y respuesta de los participantes en la realización de este trabajo.
Los resultados descritos a continuación son en su mayoría, producto del análisis tanto de
las pruebas de validación realizadas mediante la aplicación de protocolos de
comprobación que fueron diseñados especialmente para medir las implicaciones y el
impacto causado por los OFA, de las guías de actividades que orientan la
implementación en el aula de ellos objetos como de los hallazgos que como docente
permite derivarlos.
En esta fase, se consideraron las respuestas dadas por los estudiantes participantes (del
total de estudiantes de grado 8º de la jornada de la mañana matriculados en la institución
para el año lectivo 2012) como las situaciones generadas durante la realización de las
pruebas de validación de los objetos y los registros de control y seguimiento de las
actividades los cuales sirvieron de base para presentar los siguientes resultados.
90
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
5.1 Resultados Obtenidos de la Implementación en el Aula del
OFA Colorgebra
Los primeros resultados corresponden al análisis de situaciones particulares generadas
del cumplimiento de las hipótesis formuladas en el protocolo 1 y posteriormente aparecen
resultados generales de la comprobación del mismo.
 Sobre la hipótesis 123 y sus respectivos indicadores24 que resultaron acertados, se
tienen las siguientes observaciones las cuales motivaron para hacer cambios en
algunos de los indicadores formulados:
‐
El 100% de los participantes (45), tomaron más tiempo del que estaba previsto
para trabajar la guía de AAA No. 1, lo que llevó a modificar el tiempo dado para
realizar dicha actividad, en un principio se había considerado asignar 1 sesión: 2
horas clase y la actividad tomó 2 sesiones: 4 horas clase para terminarla.
Figura 24 Porcentaje de estudiantes que emplean 4 horas clase para AAA No. 1
TIEMPO EMPLEADO PARA REALIZAR ACTIVIDADES PROPUESTAS EN LA SECUENCIA DIDACTICA Nro 1
100%
50
40
30
NRO ESTUDIANTES
20
0%
10
0
1
2
3
4
Nro. Horas de Clase
(55 mín. cada una)
Fuente: Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 1.
23
Qué los estudiantes reconozcan y entiendan el objeto didáctico al ver su configuración, aplicando los
preconceptos del algebra, y desarrollando la actividad en el tiempo establecido.
24 -. Pasos acertados según la secuencia de uso descrita. -. Tiempo para realizar la actividad (Sesión de
dos horas clase, aproximadamente 120 minutos).
Capítulo 4
‐
91
El 95.6% de los estudiantes, pasados 30 minutos estaban en el 3er o 4to punto
de la secuencia didáctica AAA “Aprender Álgebra si es posible”, 2 de los
estudiantes participantes no estaban desarrollando estos puntos en este
momento debido a la dificultad que tuvieron al no identificar rápidamente sobre él
la noción de variable representada en el color de las fichas del objeto. Con
relación a este aspecto se pone de manifiesto el poco desarrollo de las
habilidades cognitivas de esos 2 estudiantes por no tener afianzados los
preconceptos necesarios relacionados con esta temática y poco dominio
conceptual.
Figura 25 Porcentaje de estudiantes que tardan en reconocer la noción de
variables sobre el objeto
PORCENTAJE DE ESTUDIANTES QUE TARDAN EN RECONOCER EN
UN TIEMPO DADO LA NOCIÓN DE VARIABLE SOBRE EL OBJETO
4,4%
95,6%
Tiempo empleado
1˃ a 30 mín.
2˂ a 30 min.
Fuente: Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 1.
‐
El 93.3% relacionaron en el objeto, los preconceptos iniciales del álgebra de manera
rápida e intuitiva, solo 3 estudiantes no lograron relacionar sus observaciones sobre
él. Esto es, cuando utilizaron el objeto como ayuda didáctica para realizar el trabajo
de aula, no pudieron derivar y reconocer la noción de variable con la manipulación
de las fichas de colores (elementos del OF); en la figura 26 se observa en
porcentajes este resultado. Este porcentaje evidencia en la mayoría de los
educandos un dominio conceptual alto así como también, un desarrollo favorable de
su capacidad de razonamiento lógico matemático para el abordaje de estas nociones.
92
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 26 Porcentaje de Estudiantes que Logran Derivar de los Elementos del OF
el Concepto de Variable
PORCENTAJE DE ESTUDIANTES QUE LOGRAN DERIVAR EL CONCEPTO DE VARIABLE CON EL USO DEL OFA
6,7 %
93,3 %
No Logra
Si Logra
Fuente:
Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 1.
En conclusión, de la observación del cumplimiento de la hipótesis 1, se estableció que
sólo 2 estudiantes de los que participaron en la actividad tomaron mucho más tiempo
para interpretar el contenido de la guía de actividades y realizar las predicciones que se
proponían en ellas.
 Resultados obtenidos y observaciones hechas de la hipótesis 225 y de sus
respectivos indicadores26:
‐
La hipótesis resultó acertada, el 95.6% de los estudiantes realizó y aprobó todos
los puntos establecidos como predicciones, que aparecen en la guía de trabajo
AAA #1, sólo un estudiante no aprobó el tercer punto de la misma27 al no lograr
25
Qué los estudiantes al usar el objeto cumplan con los siguientes objetivos: 1) Reconocer las partes del
objeto (fichas, tapones, tablero, elementos de escritura). 2) Identificar el concepto de variable sobre las
fichas cubiertas con los tapones y establecer la relación entre ellos.
-. Cantidad de estudiantes que aprueban los objetivos propuestos vs. la cantidad de estudiantes que no
aprueban. -. Tiempo que tarda cada estudiante en cumplir con los objetivos.
26
27
¿Reconoces características comunes que compartan los elementos del objeto de aprendizaje?
Escríbelas.
Capítulo 4
93
escribir con elementos del álgebra las características observadas en el objeto por
no poder reconocer la función de sus partes y elementos.
Figura 27 Porcentaje de estudiantes que desarrollaron completamente AAA No. 1
PORCENTAJE DE ESTUDIANTES QUE APROBARON Y
TERMINARON LAS PREDICCIONES PROPUESTAS EN LA AAA # 1
2,2%
97,8%
1No Logra
2Logra
Fuente: Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 1.
El hecho de que casi en su totalidad los participantes de la prueba hayan
terminado las tareas propuestas demuestra un avance sustancial en el proceso
de aprendizaje del álgebra, sobre todo porque se evidencia el rigor que se
requiere para el trabajo académico propio de esta disciplina.
‐
El 100% de los estudiantes cumplieron con el punto 1 de la hipótesis 2 entre el
minuto 5 y el 7 una vez iniciado el trabajo de desarrollar las predicciones
propuestas en la guía. Y el punto 2 de la hipótesis lo hicieron y aprobaron
alrededor del minuto 30 después de haber iniciado el desarrollo de la actividad.
‐
El 6.7% de los estudiantes no logró relacionar el concepto de variable con las
fichas cubiertas con los tapones; 3 de ellos, no encontraron en dichas fichas, la
relación establecida desde su función como elemento de una de las partes del
objeto: su base representa un valor numérico o cantidad y la tapa de un color
determinado, una variable (Ver figura 26).
94
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 28 Cantidad de estudiantes que reconocen la función de las partes del OFA
ESTUDIANTES QUE RECONOCEN LA FUNCIÓN DE LOS ELEMENTOS PARTE DEL OFA
50
42
40
30
# ESTUDIANTES
20
10
3
0
NO LOGRA
LOGRA
Fuente: Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 1.
En definitiva, los estudiantes relacionaron más fácil el concepto de variable con las fichas
de un solo tipo en este primer nivel de trabajo con el OFA, y en su totalidad los
estudiantes participantes de las comprobaciones aprobaron y terminaron las actividades
propuestas.
Como resultados generales de la prueba de validación protocolo 1 se tienen los
siguientes:
 Las modificaciones hechas a la secuencia didáctica No.1 se debieron a aspectos
de redacción y a la necesidad de utilizar un lenguaje más descriptivo, coloquial y
menos técnico para los estudiantes y de ese modo hacerles más fácil la
interpretación de la misma y garantizar su realización; en cuanto al objeto, éste
requirió de cambios en su configuración como darle cierta inclinación (dejar de ser
tan planar), demarcar sobre el tablero líneas divisorias verticales y signos de
suma(+) y de multiplicación(*) para establecer las operaciones apropiadas a
realizar según se maneje horizontal o verticalmente el objeto.
Capítulo 4
95
 Aprovechar más el OFA Colorgebra cuando se utiliza en el aula, se propone
entonces, asignarle 2 niveles de juego, uno donde el estudiante reconoce y entra
en contacto con él, y el otro, una vez hayan comprendido su funcionamiento, se
proceda a usar las fichas que representan valores numéricos y que requieren de
estructuras y operaciones algebraicas de mayor complejidad; para ello, se creó la
secuencia didáctica o guía AAA No. 2 denominada: “Problemas con Figuras de
Colores” para apoyar el trabajo que se sugiere como segundo nivel y hacer las
operaciones básicas álgebra empleando este objeto.
5.2 Resultados Obtenidos de la Implementación en el Aula del
OFA Gebratorre
Los primeros resultados corresponden al análisis de situaciones particulares generadas
del cumplimiento de la hipótesis formulada en el protocolo 2, teniendo en cuenta que
ellos se procesaron con una muestra de 16 de un total de 45 estudiantes que participaron
de esta prueba de validación (por encontrarse resultados similares en todos ellos),
posteriormente aparecen resultados generales de la comprobación del mismo.
 Sobre la hipótesis28 y sus respectivos indicadores29 que resultaron acertados, se
tienen las siguientes observaciones:
‐
El 100% de los estudiantes logró derivar y relacionar de la forma de las fichas (en
este caso sólidos geométricos) la idea de variable; distinguiendo claramente que
por haber dos tipos diferentes de ellas se hacia el manejo de binomios,
cumpliendo las mismas su función como elementos de una de las partes del
objeto.
28
Facilitar el aprendizaje de los productos notables mediante la implementación de un desarrollo objetual que se presente como una ayuda didáctica al momento de abordar la temática. -.Distingue y usa adecuadamente las fichas del objeto. -.Asimila y entiende el concepto de variable que representa la
presencia de las fichas. -. Responde correctamente a la indicación de formar columnas. -.Forma las combinaciones
apropiadamente. -. Agrupa términos semejantes correctamente. -.Expresa matemáticamente los resultados. -. Reducir el
tiempo de trabajar esta temática.
29
96
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 29 Porcentaje de estudiantes que logran relacionar forma de las fichas del
objeto con el uso de 2 variables, combinaciones ( + )2
100%
Fuente: Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 2.
‐
El 87.5% de los estudiantes, lograron realizar el punto 1 de las actividades de la
secuencia didáctica AAA No. 3 “Matemática y Lúdica” que indica armar columnas
teniendo en cuenta todas las posibilidades que existen de construirlas quedando
cada una de ellas con dos fichas sabiendo que se cuenta con fichas de 2 figuras
diferentes, sólo 2 de los estudiantes participantes no comprendían lo que debían
hacer; requiriendo más aclaración de ello. Una vez el orientador de la prueba les
presentó más indicaciones, desarrollaron la actividad considerando todas las
posibles combinaciones al formarlas.
Figura 30 Porcentaje de estudiantes que logran formar la combinación (
+
)2
87,5%
100%
12,5%
Fuente:
‐
Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 2.
Durante la realización de las actividades de uso del objeto y desarrollo de la guía,
cuando deben trasladar al lenguaje algebraico las representaciones hechas en el
OFA sólo 2 estudiantes (12,5%) no lograron hacerlo, por tener dificultad para
manejar los símbolos y operaciones propios de este lenguaje.
Capítulo 4
97
Figura 31 Porcentaje de estudiantes que escriben la combinación (
elementos y símbolos propios del álgebra
+
)2 con
87,5%
12,5%
Fuente: Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 2.
Los siguientes son los resultados generales de la aplicación de la prueba de validación
protocolo 2:
 En cuanto al objeto aunque no se modificó, éste posibilitó el diseño del tercer
objeto de aprendizaje ya que con Gebratorre se limita o no es tan funcional
trabajar las combinaciones (
+ )n, cuando n es mayor a 4.
 Éste OFA Colorgebra causó un impacto positivo y aceptación en su uso por parte
de los educandos, manifestando que les resulta más fácil construir las fórmulas
de los binomios y que la manera de trabajar con él las actividades es más lúdica y
agradable y que eso los motiva.
 Las modificaciones hechas a la secuencia didáctica No.3 se debieron a aspectos
de redacción, haciéndose necesario de utilizar de forma correcta los términos:
combinaciones, arreglos, torres, columnas para que los estudiantes de ese modo
más fácilmente comprendieran e interpretaran lo que debían hacer en la guía y
garantizar su realización.
98
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
5.3 Resultados Obtenidos de la Implementación en el Aula del
OFA Pascalgebra
Al analizar las situaciones generadas de la aplicación de la prueba de validación
protocolo 3, y tomando como muestra los productos resultantes de 8 de un total de 30
estudiantes que participaron de esta prueba (por encontrarse resultados similares en
todos ellos), aparecen los siguientes resultados:
 Sobre la hipótesis30 y sus respectivos indicadores31 que resultaron acertados, se
tienen las siguientes observaciones:
‐
El 100% de los estudiantes logró formar el arquetipo del Triángulo de Pascal con
las fichas o módulos de objeto; entendiendo las indicaciones dadas para su
configuración
Figura 32 Porcentaje de estudiantes que logran configurar el Triángulo de Pascal
usando el OFA Pascalgebra
100%
Fuente:
Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 3.
30 Con el uso de la plataforma objetual se facilita el entendimiento de la temática Productos Notables y a su vez se hace
esta actividad más agradable e interactiva para los usuarios del mismo.
31-. Responde correctamente a las indicaciones dadas para formar el Triángulo de Pascal. -. Entiende que la presencia
de las fichas de acuerdo a su ubicación representan los coeficientes de los términos de los binomios que se forman en
cada fila del triángulo. -. Coloca correctamente las fichas para derivar los números coeficientes respectivos para
configurar las expresiones que se forman en cada fila del Triángulo de Pascal. -. Expresa matemáticamente los
resultados. -. Reducir el tiempo de trabajar esta temática.
Capítulo 4
‐
99
El 100% de los estudiantes logró relacionar de las fichas el concepto de variable;
y distinguir claramente los dos tipos diferentes de ellas para hacer el manejo de
binomios, cumpliendo las mismas su función como elementos de una de las
partes del objeto al comportarse unas de módulo base y las otras que sirven para
representar los coeficientes de las expresiones que se forman.
Figura 33 Porcentaje de estudiantes que maneja correctamente las fichas
del OFA Pascalgebra
100%
Fuente: Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 3.
‐
El 87,5% de los estudiantes logró formar la configuración de Pascal para trabajar
binomios con potencias altas; sólo 1 estudiante evidenció dificultad para hacerlo
debido a que a medida que se construye el triángulo, aumenta la cantidad de filas
de su base, aumentando también de forma exponencial la cantidad de términos
de cada una de ellas pudiendo construir solo hasta la mitad de las combinaciones.
Figura 34 Porcentaje de estudiantes que logran configurar el Triángulo de Pascal
para combinaciones (x + y)n, con potencias altas (n≥ 5)
87,5%
12,5%
Fuente:
Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 3.
100
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Los siguientes son los resultados generales de la aplicación de la prueba de validación
protocolo 3:
 El diseño de este objeto posibilitó trabajar sin limitaciones cualquier binomio suma
sin importar el valor de la potencia, combinaciones (x + y)n, con n número natural.
 Pascalgebra causó un mayor impacto y aceptación en su uso para los
estudiantes, manifestando que les resulta más fácil construir las fórmulas de los
binomios y que la manera de trabajar con él las actividades es más lúdica y
agradable y que eso los motiva.
 Con relación a la secuencia didáctica No.4 aunque no sufrió modificaciones si se
hizo necesario detallar más los pasos a realizar para que los estudiantes de ese
modo fácilmente los comprendan e interpreten y configuren el Triángulo de
Pascal usando el objeto de aprendizaje.
En general, las modificaciones hechas tanto a los OFA como a las secuencias didácticas
que los apoyan para obtener los productos finales son el resultado de haber realizado
con asertividad el seguimiento, control y evaluación permanente a todo el proceso que se
llevó a cabo para lograr el cumplimiento de los objetivos propuestos en este trabajo de
investigar sobre uno de los problemas que se presentan en la enseñanza aprendizaje de
los conocimientos matemáticos (Ver figura 35).
Figura 35 Evidencias de modificaciones hechas a formatos de registro y control de
actividades usados en las pruebas de validaciones
Fuente: Elaboración propia tomada de registro fotográfico de pruebas de validación.
Capítulo 4
101
Las opiniones, observaciones, sugerencias o situaciones que mencionaron los
estudiantes resultaron importantes y sirvieron como base para hacer modificaciones tanto
a los objetos mismos como a las guías de trabajo que los apoyan, al final de cada sesión
de prueba ellos tenían la oportunidad de manifestar su parecer respecto a la actividad,
expresar qué tanto habían aprendido, qué era lo que más les gustaba, contestar si con la
utilización de los objetos como estrategia didáctica se hacía mejor la clase, todo esto
derivado del proceso de socialización (Ver figura 40).
El uso de estas herramientas didácticas tuvo gran aceptación en mayor medida entre
todos los estudiantes participantes de la actividad, manifestando abiertamente los
beneficios y bondades que se obtienen al adoptarlas como estrategia o recurso didáctico
para el aprendizaje de los conceptos matemáticos asociados con el aprendizaje del
álgebra y por crear ambientes favorables para el tratamiento de esta temática (Ver figura
36).
Figura 36
Evidencias de Uso de los OFA Dentro del espacio Escolar
Fuente. Elaboración propia tomada de registro fotográfico de las pruebas de validaciones.
102
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
5.4 Situación Actual del Proceso de Enseñanza debido a la
Implementación en el Aula de los OFA
En la figura 37, se hace y se muestra en cifras porcentuales un comparativo de los
resultados obtenidos con la implementación del objeto didáctico y sin la misma para el
trabajo escolar. En ella, se observa que la cantidad (un número alto) de estudiantes
(esto es más o menos 30 estudiantes , por cada uno de los tres cursos de octavo con un
promedio de 45 de ellos en cada uno) que presentaban dificultad para aprender las
nociones algebraicas, cuando no se utilizaba en años lectivos anteriores la estrategia de
usar objetos físicos para realizar la actividad escolar y que una vez implementados estos
recursos para abordar estas nociones, se evidencia que dicha cantidad disminuyó
sustancial y representativamente (en promedio entre 3 y 5 estudiantes en cada grupo
continúan con dificultades al aprender el álgebra).
Figura 37 Porcentaje de estudiantes que mejoran significativamente la aprehensión
de los conceptos del álgebra con la implementación de los OFA
Fuente: Elaboración propia con datos recogidos antes y en el año lectivo 2012 al enseñar álgebra
a estudiantes de 8º de la I.E. Navia Varón.
En cuanto a la situación actual de la enseñanza del álgebra en grado octavo, el
argumento principal lo constituye el hecho de poder afirmar
de que con la
implementación de los OFA creados en este proyecto y con el desarrollo de las
Capítulo 4
103
secuencias didácticas que los soportan en su uso (y que incluyen el manejo de
estructuras cognitivas generales y especificas) cuando esta disciplina se enseña en
contextos determinados resultó ser una estrategia educativa muy poderosa que provocó
cambios en el razonamiento de los estudiantes. El cambio didáctico que significó
moverse de una enseñanza centrada en la transmisión del conocimiento a una centrada
en la indagación y en el desarrollo de habilidades propias del pensamiento de orden
superior, aunque es un cambio relativamente pequeño sus beneficios educativos son
enormes (véanse figuras 38 y 39).
Particularmente, la aplicación y el desarrollo de las tareas propuestas en las secuencias
didácticas (especialmente elaboradas para apoyar el uso de los objetos de aprendizaje)
causa un impacto favorable en este proceso el cual está determinado en los hallazgos
que como docente he encontrado al implementarlas simultáneamente con dicho material
para realizar el trabajo escolar, así como también, en el deseo de apoyar a los
educandos para que logren desarrollar competencias, habilidades cognitivas
matemáticas, tal impacto se evidencia cuando los estudiantes:
 Son capaces de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen
relaciones de cantidad, análisis de cambios o variación, empleando números,
letras (variables) y signos, es decir, logran alto dominio conceptual.
 Hacen descripciones verbales, utilizando diferentes lenguajes y diversas formas
de representación (verbal, gráfica, algebraica) pasando de una a otra aplicando la
terminología y símbolos del álgebra, quiere decir que logran acrecentar el
desarrollo de sus competencias y habilidades matemáticas.
 Describen el significado de las expresiones simbólicas en palabras, e interpretar
los cambios en sus parámetros, haciéndose notoria su capacidad cognitiva al
razonar, interpretar, argumentar y proponer.
 Distinguen apropiadamente entre los diferentes usos de las variables, los
parámetros, las constantes y las ecuaciones, (como símbolos para cantidades
que varían o para un valor fijo y posiblemente desconocido en una ecuación o
para todos los números en propiedades o en fórmulas) dejándose ver procesos
de comunicación y de conexión dentro de las competencias matemáticas.
 Construyen, resuelven e interpretan las soluciones de ecuaciones de diversos
tipos en contextos matemáticos y del mundo real, es decir, acrecentan favorable y
sustancialmente sus competencias y habilidades matemáticas (atendiendo a
procesos de comunicación, conexión, razonamiento lógico y resolución de
problemas) para el cumplimiento de estándares definidos para el desarrollo de los
pensamientos matemáticos (numérico, geométrico, variacional, métrico y
aleatorio).
104
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Lo anteriormente expuesto, se evidencia por medio de los resultados alcanzados, ellos,
muestran el avance en varios de los procesos que anteriormente sin llevar a cabo esta
propuesta no se tenían y que se reflejan en los registros elaborados por los estudiantes
(ya sean los escritos en sus cuadernos, evaluaciones, talleres u otros materiales. Anexo
B) y en los registros que como docente diligencio: planillas de calificaciones Anexo A,
informes valorativos de periodo de los estudiantes, notas numéricas asignadas a estos
por el desarrollo de las actividades propuestas en clase; así como también en sus
apreciaciones hechas en forma verbal o escrita (evaluación formativa de periodo) donde
manifiestan lo que les significa ahora la clase de matemáticas.
Capítulo 4
105
Figura 38 Evidencias por medio evaluaciones escritas del Rendimiento Académico
de los estudiantes de grado 8º, antes de implementar la propuesta
Fuente:
8º.
Elaboración propia tomada de la hoja de evaluación escrita de un estudiante de grado
106
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
Figura 39 Evidencias por medio evaluaciones escritas del Rendimiento Académico
de los estudiantes de grado 8º, después de implementar la propuesta
Fuente:
8º.
Elaboración propia tomada de la hoja de evaluación escrita de un estudiante de grado
Capítulo 4
107
Figura 40 Evidencias de respuestas dadas por estudiantes participantes en el
proyecto a encuesta realizada para conocer su opinión acerca de la
implementación de OFA como estrategia didáctica en el aula
OPINIONES
DE
ALGUNOS
ESTUDIANTES
QUE
PARTICIPARON EN EL PROYECTO
Registro escrito
Manuel Leitón:
Me pareció una forma muy práctica de aprender…
dinámica y sencilla.
Andrés Ortegón:
Muy entretenida, se aprende muy fácilmente.
Melisa Ruíz:
Me pareció muy divertido, y muy buena forma de
aprender.
Fuente. Elaboración propia tomada de registro fotográfico de las pruebas de validaciones.
La comparación de los avances del grupo de estudiantes participantes de este proyecto
respecto a los grupos anteriores a su implementación es notablemente significativa.
Estos resultados indican que mejoraron sus habilidades de pensamiento crítico hasta
cierto punto y los procesos de escritura usando la simbología propia del álgebra, quizás
porque esta estrategia les permite construir su propio conocimiento al seguir la línea de la
experimentación práctica. También con la evaluación de las habilidades de razonamiento
de los estudiantes antes y después de la experiencia de enseñanza aprendizaje
mediante la observación directa realizada por la docente y analizar su capacidad de
argumentar, formular, contra argumentar, refutar, y justificar en el área ahora deja ver
una mejora notoriamente significativa; en todas las dimensiones exploradas se tuvo un
efecto positivo en su capacidad para tratar las nociones algebraicas.
Los resultados presentados en las secciones anteriores de este capítulo, muestran que,
en general, los estudiantes de grado octavo de la institución Rafael Navia, se
108
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
beneficiaron con la implementación de esta propuesta didáctica para la enseñanza del
álgebra en términos de su capacidad de argumentación y de análisis, sin embargo, estos
resultados no indican de forma individual que estudiantes tuvieron mayores progresos
durante el proceso de ejecución pero teóricamente, podría decirse que en gran parte de
la población de ellos, a saber (muchos con bajo o menor rendimiento académico en el
área o aquellos que han desarrollado actitudes negativas frente a la misma) se
contribuyó para mejorar significativamente su proceso de aprendizaje, resultado
importante obtenido en este estudio dado al examinar los efectos de la enseñanza
adoptando estas estrategias didácticas.
Para los estudiantes, la idea de moverse constantemente entre dos niveles de
actividades produce beneficios en ellos: uno procedimental (adquieren mayor práctica,
al usar el material didáctico, es decir, los objetos físicos de aprendizaje mejoran con
ellos sus habilidades y destrezas) y otro teórico (al hacer tratamiento conceptual los
educandos amplían el manejo y el dominio tanto de contenidos curriculares específicos
de la temática del álgebra como el uso de la terminología y simbología propias de esta
ciencia cuando desarrollan las guías de actividades AAA) les implica involucrarse activa,
positiva y directamente en el proceso de aprendizaje de estos conocimientos.
Como ambos niveles se trabajan y están construidos de la planificación sistemática y
organizada de los contenidos curriculares acordes con los propósitos de enseñanza
propios de los conocimientos algebraicos, ambos casos, permiten el tratamiento
adecuado de estos elementos de pensamiento que son tan abstractos pero que los
entrelazan a través de múltiples experiencias que requieren que los estudiantes usen
estrategias de pensamiento particulares para cada nivel. En este sentido, ocuparse de
reglas, generalizaciones y principios siempre en conexión con la experiencia concreta de
los estudiantes resulta esencial para lograr un aprendizaje significativo en ellos. La
capacidad de transferir el conocimiento a problemas nuevos y la conservación de esta
capacidad por períodos de tiempo más extensos requieren un grado sustancial de
comprensión.
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Con los resultados obtenidos en el proceso investigativo se reconoce que los objetivos
tanto general como específicos propuestos fueron cumplidos. Como se evidencia
durante el desarrollo de toda la propuesta, la implementación en el aula de Objetos
Físicos de Aprendizaje como estrategia didáctica para trabajar las nociones algebraicas
permitió con asertividad mejorar la enseñanza del álgebra en grado 8º al pasarse, con la
manipulación de estos materiales, de un porcentaje de 91.7% a un 20.8% de estudiantes
que presentaban dificultades para aprender estos conceptos, concretamente, se
fortaleció en los estudiantes de la I. E. Navia Varon de manera efectiva y significativa la
comprensión y la aprehensión de estas ideas principalmente, la factorización.
Con respecto a los objetivos específicos 2.2.1 y 2.2.2, su cumplimiento se logró tanto
porque con esta propuesta de crear y usar OFA para el trabajo escolar, resultó ser una
estrategia innovadora (en cuanto a la renovación y cambio que se le dió a las formas de
enseñar los conocimientos matemáticos saliéndose de las formas tradicionales
existentes) que generó toda una experiencia novedosa para enseñar y aprender las
nociones algebraicas como por atender, con la implementación y manejo de estos
recursos, a las necesidades que tienen hoy los estudiantes al aprender; mejorando
además, sus desempeños, habilidades y competencias al alcanzar un mayor nivel de
comprensión de esta ciencia.
De igual forma, el objetivo específico 2.2.3 se alcanzó al haber tomado como base las
nuevas tecnologías, la lúdica y el juego para apoyar, fundamentar y llevar acabo esta
propuesta didáctica. Integrar estos componentes, permitió prestar atención tanto a los
procesos de pensamiento que desarrollan los estudiantes cuando razonan, argumentan,
resuelven problemas y proponen soluciones, como a los contenidos propios y específicos
de esta disciplina.
Por otro lado, respecto a la implementación de estos recursos para el trabajo en el aula
se demostró que fue posible promover en los estudiantes el aprendizaje de estas
nociones particularmente, del proceso de factorización (mediante del tratamiento de la
110
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
terminología y la simbología propias de esta ciencia, usando diferentes lenguajes,
diversas formas de representación y procesos inversos de multiplicación para manejar
las fórmulas de los productos notables). De esta forma, se mejoraron los desempeños
de ellos desde que se inicia la etapa de transición del pensamiento aritmético al
algebraico.
En términos generales los educandos actualmente, evidencian mejor rendimiento en el
área con relación a esta temática, esto se debe al hecho de aplicar simultáneamente las
secuencias didácticas y los objetos de aprendizaje. La cuestión de que para diseñar las
secuencias didácticas se hiciera bajo el enfoque de la metodología para el Aprendizaje
Activo resultó una ventaja para ellos, además, al permitírseles con dichas guías hacer
predicciones y explicar paso a paso procedimientos favoreciendo su razonamiento lógico
matemático los llevó a alcanzar un mayor dominio conceptual, factor determinante en
este proceso. Las tareas planteadas en las guías de trabajo, el diseño de las mismas y
de los objetos de aprendizaje significó un aspecto innovador, diferente, atractivo y
motivante para los estudiantes. Los colores, las formas geométricas, la metodología
propiciaron un aprendizaje más consciente e intencionado en ellos e incentivaron el
desarrollo de sus competencias y habilidades.
Los resultados obtenidos en el desarrollo de este proyecto reflejan avances y situaciones
educativas importantes. Con esta propuesta, al pasar de una forma de enseñanza
tradicional a implementar una no convencional presentándole a los educandos una
estrategia didáctica diferente les posibilitó el aprender por experimentación (en ella, se le
asigna un rol preponderante a los estudiantes y se les permite participar activamente en
su proceso de formación); con la utilización de estos OFA, el aprendizaje se hizo más
intencionado y consciente lo cual favoreció este proceso, además, se propició un cambio
sustancial tanto en el currículo de las matemáticas, como en el desarrollo de las
relaciones docente, educandos y objeto de conocimiento.
Al salirse esta propuesta de las formas rutinarias de enseñar y crearle con ella a los
educandos un ambiente de aprendizaje más adecuado se observó una mayor
disponibilidad y disposición de su parte; la comunicación, la orientación, la reflexión y la
evaluación permanente durante todo el proceso investigativo favoreció su participación
activa (individual y grupal) para construir sus propios conocimientos. Lo anterior ratifica
lo propuesto de que con la implementación de esta estrategia se atiende a expectativas y
necesidades de los estudiantes cuando ellos aprenden.
Cabe destacar que del análisis del uso de los OFA, se determinó en la experimentación
que de los aspectos que más sobresalen en este estudio, son la gran aceptación y el
111
CONCLUSIONES
impacto positivo que tienen este tipo de recursos, éstos resultan ser más adecuados,
pertinentes y posibilitan la adquisición y aprehensión de saberes, asimismo según sus
manifestaciones, están más acordes con las múltiples formas que para aprender tienen
hoy ellos.
Igualmente, el trabajo con estos recursos fue de gran utilidad como no revisten de mayor
grado de dificultad para su uso y son fácilmente accesibles, con el apoyo de ellos los
jóvenes lograron desarrollar las secuencias didácticas, el 100% de los estudiantes pudo
reconocer la configuración de los objetos, así mismo, el 87.5% de los participantes logró
comprobar y derivar las fórmulas de los productos notables y de ellos, el 95.6% trabajó y
construyó productos notables binomios suma para n muy grande (n>4). Si bien es cierto
que uno de los propósitos de implementar esta estrategia era reducir el tiempo asignado
para el desarrollo de esta temática, no se logró de manera significativa avanzar en este
aspecto, un 95% de los estudiantes tomó más tiempo del previsto lo que llevó a modificar
el tiempo de desarrollo de las actividades.
Un aspecto que se puede considerar como una desventaja al trabajar con esta forma
alternativa de enseñar el álgebra, es que implementar esta clase de estrategias para
realizar el trabajo del aula implica una mayor actitud de cambio y un mayor esfuerzo en
cuanto al tiempo y dedicación por parte del docente para promover real y
verdaderamente un aprendizaje significativo en sus estudiantes, esto es concentrarse y
hacer uso de sus conocimientos y habilidades para encauzar el aprendizaje de ellos. El
profesor debe poseer la habilidad de elegir lo más conveniente para las necesidades,
exigencias y expectativas de los educandos, conocerlos bien; sus estilos de aprender,
sus habilidades cognitivas matemáticas, las competencias que más dominan y poseen,
las técnicas didácticas más propicias para ellos, de este modo les puede brindar nuevas
experiencias que les sean más significativas y así ellos, construyen nuevos
conocimientos.
En conclusión, el uso e implementación de estos objetos físicos de aprendizaje como
herramienta didáctica para desarrollar el trabajo al interior del aula si facilita la
enseñanza, adquisición y el aprendizaje de los conocimientos algebraicos. Lo anterior es
corroborado con los desempeños y resultados académicos de los estudiantes posteriores
a la puesta en marcha de esta propuesta, pues tiempo después de haber iniciado el
proyecto como docente aún de los educandos con los que se llevó a cabo la experiencia,
se evidencia en ellos situaciones de avance relevantes y significativas manifestadas en el
112
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del
álgebra en grado 8º
reconocimiento, tratamiento y comprensión del significado de la noción de variable, la
operatividad del álgebra, y en el manejo apropiado del proceso de factorización al
trabajar con mayor propiedad y asertividad sus casos; constituyéndose este proyecto
como un aporte significativo para el desarrollo del currículo de matemáticas en grado 8º.
Por último, se recomienda en términos de futuras investigaciones, considerar a esta
propuesta como base (por las bondades y resultados positivos que se dieron en el
cumplimiento de los objetivos propuestos en este proyecto) para estructurar otras cuyo
propósito sea transformar desde el cambio, la renovación y la innovación las prácticas
educativas llevadas a cabo dentro del espacio escolar y de esta manera movilizar con
sentido y pertinencia los conocimientos matemáticos favoreciendo las competencias y
habilidades de los estudiantes así como también, los resultados que se obtengan del
desempeño de ellos cuando se enfrentan a mediciones hechas a través de pruebas
externas como las Saber Icfes. Este problema investigativo es propicio para ser
desarrollado a través del uso de recursos y material didáctico tangible, esta propuesta se
puede considerar como un aporte para trabajar el álgebra no sólo en la I. E. Navia Varón
sino también en otras instituciones de educación básica por los resultados positivos que
se dieron con ella. 7. REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS
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115
ANEXOS
ANEXO A:
Desempeño de los estudiantes en el área de matemáticas de la
temática Factorización evidenciado en evaluaciones escritas antes y después de
implementar la propuesta.
ANTES
116
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza
del álgebra en grado 8º
DESPUÉS
117
ANEXO B: Respuestas a Encuestas hechas a los estudiantes durante el proceso
de Socialización.
118
ANEXO C:
validación.
Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza
del álgebra en grado 8º
Formato de registro de observaciones y resultados de pruebas de
119
Anexo D:
Registro escrito que evidencia el desarrollo de las actividades
propuestas en las secuencias didácticas – Respuestas a predicciones