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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
Grado 11
Taller # 2
Nivel II
TALLER # 2. ELEMENTOS DE LÓGICA
INTRODUCCIÓN
Aristóteles fue el primero que sistematizó la lógica que usamos en la vida diaria. Muchas personas
piensan que la lógica de Aristóteles y el análisis del cómo funcionan las cosas, están ligados
inseparablemente a las formas en que a los occidentales se les enseña a pensar.
Gottfried Leibniz, uno de los primeros inventores de la lógica simbólica, Leibniz deseó construir un
modelo totalmente objetivo para el razonamiento humano y así reducir todos los errores de
razonamiento a errores más pequeños de cálculo. Hasta ahora su sueño ha resultado imposible.
Dentro de este proceso destacaremos muy especialmente la vida de George Boole.
Sin el álgebra Booleana y la lógica formal, no hubiese sido posible la existencia de las modernas
computadoras.
Reseña histórica (George Boole)
George Boole (1815-1864) creció en medio de la pobreza. Su padre, un mercader
londinense, le dio sus primeras lecciones de matemáticas y le enseñó a hacer
instrumentos ópticos.
En gran medida Boole fue autodidacta. A los 16 años trabajó en una escuela
elemental y a los 20 había abierto su propia escuela. Boole estudió matemáticas en
sus ratos libres y murió por una enfermedad pulmonar a la edad de 49 años. Las
ideas de Boole han sido usadas en el diseño de computadoras y sistemas telefónicos.
OBJETIVO GENERAL
Fijar esquemas de razonamiento a través del ejercicio de actividades lógico- formales.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
•
•
•
•
•
Trabajar estrategias generales que puedan emplearse para abordar problemas que están en
contraste con las reglas o algoritmos de muchos libros de texto.
Desarrollar operaciones lógicas a la par con la teoría de conjuntos
Usar los símbolos básicos empleados en lógica.
Interpretar expresiones lógicas sencillas.
Comprobar algunas equivalencias básicas del Álgebra de Boole.
GLOSARIO
Argumento, argumento lógico, argumento válido, conectivos lógicos, cuantificador, estrategia,
falacia, instinto, proposición.
ELEMENTOS TEÓRICOS Y EJEMPLOS
Los elementos teóricos los organizaremos en tres bloques. El primer bloque estará referido a
estrategias de pensamiento y ejercicios de agilidad mental. El segundo bloque estará referido al
desarrollo del pensamiento lógico a través del cálculo proposicional y el tercer bloque se refiere a
cómo “las operaciones lógicas se plasman en la formación de los conjuntos que verifican las
1
propiedades, expresadas por dichas operaciones. La lógica se va desarrollando a la par con la teoría
de conjuntos”1
1. EJERCICIOS DE AGILIDAD MENTAL
Los procedimientos básicos que utilizan los seres vivos a fin de conocer las cosas lo bastante como
para reaccionar ante ellas de manera apropiada, son cuatro.
1. 1 EL INSTINTO: Es una reacción fija, integrada de tal modo que el organismo ante un estimulo
determinado produce automáticamente una respuesta. Como ventajas podríamos considerar, la
respuesta instintiva es inmediata, no requiere aprendizaje alguno y su sentido nunca cambia.
1.2 APRENDIZAJE DE PRIMERA MANO: Este es el aprendizaje en el cual un organismo
responde mediante ensayo y error. Este aprendizaje permite desarrollar respuestas para algunas
situaciones nuevas, es lento y como es directo puede ser peligroso (por ejemplo: descubrir un
enchufe eléctrico introduciendo los dedos en él)
1.3 APRENDIZAJE DE SUGUNDA MANO: Es un aprendizaje transmitido o derivado. Proviene
de la televisión, de la escuela, de los amigos, de los padres. Este tipo de aprendizaje se puede
almacenar, transmitir en libros, grabaciones etc.
Este aprendizaje es una especie de respuesta promedio que se acomoda a cualquier persona.
Como las fuentes de aprendizaje son indirectas, se puede transmitir respuestas antagónicas.
1.4 APRENDIZAJE POR COMPRENSIÓN: Este es el proceso por el cual transformamos una
situación desconocida en una situación conocida, para saber así como reaccionar ante ella.
Esta transformación se efectúa en la mente a medida que vamos pasando de una idea a la otra,
hasta percibir que la situación desconocida se parece o se deriva de otras situaciones
familiares. Este pasar de una idea a la otra es el pensamiento. Comprender es pensar.2 “la
comprensión es el proceso”
2. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO A TRAVÉS DEL CALCULO
PROPOSICIONAL
En este bloque abordaremos el estudio de la lógica simbólica, que utiliza letras para presentar
proposiciones (enunciados) y símbolos para palabras tales como y, o, no una de las aplicaciones
principales de la lógica está en el estudio del valor de verdad (veracidad o falsedad) de
proposiciones con varias partes. El valor de verdad de estas proposiciones depende de los
componentes que la conforman. La lógica simbólica estudia los enunciados basados en hechos en
los cuales se define una: proposición: oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas
de manera simultánea.
Proposición compuesta: se forma por la combinación de dos o más proposiciones simples. Para
la formación de proposiciones compuestas pueden usarse varios conectivos lógicos tales como y,
o, no, si, entonces.
En este bloque consideraremos entonces los conectivos, expresados antes, sus símbolos y tipo de
proposición.
CONECTIVO
Y
O
NO
SÍMBOLO
^
v
~
TIPO DE PROPOSICIÓN
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
NEGACIÓN
SI.... ENTONCES
→
CONDICIONAL
1
Mejía La Verde Clara. Introducción a la lógica matemática por medio de los bloques lógicos. Editorial Zuluaga. Universidad de
Antioquia primera edición. 2001
2
De Bono Edward. El pensamiento practico. Editorial Paidos. Barcelona, segunda edición. 1989
2
P SI Y SOLO SI Q
↔
BICONDICIONAL
2.1 APLICACIONES QUE SE DERIVAN DE ESTE BLOQUE DE LÓGICA FORMAL: Cómo
utilizar diagramas de Euler para analizar argumentos válidos, cómo utilizar tablas de verdad para
comprobar la validez de un argumento.
2.2 PROBLEMAS REFERIDOS A MOSTRAR LA FUNCION VITAL QUE CUMPLE LA
IMPLICACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE ARGUMENTACIONES LÓGICAS
3. LA LÓGICA SE VA DESARROLLANDO A LA PAR CON LA TEORÍA DE
CONJUNTOS
En este bloque se trata de desarrollar el razonamiento lógico utilizando cuantificadores y de
aprovechar además la tendencia que tenemos las personas de encontrar orden y patrones en las
cosas. En matemáticas, esta tendencia a agrupar se representa con la idea de conjunto.
3.1 CUANTIFICADORES (universales, existenciales y negación de cuantificadores)
3.2 PROPOSICIONES CATEGÓRICAS (universal afirmativa, universal negativa, particular
afirmativa y particular negativa)
3.3 EL METODO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN APLICADOS A RAZONAMIENTOS
QUE INVOLUCRAN CUANTIFICADORES EN MÁS DE DOS CLASES
Ejemplos
1. EL RAZONAMIENTO DE LA EDAD: Jaime y Leoncio son de la misma edad. Jaime es mayor
que Roberto, quien su vez es mayor que Carmen. Hugo, aunque es mayor que Carmen, es más
joven que Jaime y Roberto. Leoncio es más joven que el amigo de Hugo, Esteban. Enumera a
estas seis personas siguiendo el orden de sus respectivas edades.
Solución:
* La edad de Jaime y Leoncio son iguales
L edad de Leoncio, J edad de Jaime
L=J
* Jaime es mayor que Roberto, quien su vez es mayor que Carmen
Redad de Roberto, Cedad de Carmen
J>R>C entonces tenemos que L=J>R>C (1)
* Hugo, aunque es mayor que Carmen, es más joven que Jaime y Roberto
Hedad de Hugo
R>H>C, J>H>C, entonces por (1) tenemos que L=J>R>H>C (2)
* Leoncio es más joven que el amigo de Hugo, Esteban
E edad de Esteban
E>L, entonces por (3) tenemos que E>L=J>R>H>C
De mayor a menor quedan organizados de la siguiente manera
Esteban, Leoncio, Jaime, Roberto, Hugo y Carmen
2. Si voy en un auto a mi trabajo, entonces llegaré cansado
No estoy cansado cuando llego a mi trabajo
.. Yo no voy en auto a mi trabajo
Solución:
P Voy en un auto a mi trabajo
Q llegaré cansado
3
En forma de proposiciones tenemos
P→Q
~Q
--------~P
P → Q Tengo que esto es verdadero, luego también es verdadera ~Q → ~P, además me dicen
que ~Q es verdadera y por tanto ~P es verdadera y este ejemplo seria una Tautología
TALLER
1. Alberto, Ricardo, Jaime y Tomas han estado contando los resultados de un día de pesca: 1Tomas ha pescado más que Jaime; 2- Alberto y Ricardo han pescado entre los dos, lo mismo que
Jaime y Tomas; 3- Alberto y Tomas no han cogido tantos como Ricardo y Jaime. ¿Quién ha
pescado más, quién ha sido el segundo, quién el tercero y quién el último?
A -TOMAS, ALBERTO, RICARDO, JAIME
B- RICARDO, TOMAS, JAIME, ALBERTO
C -ALBERTO, JAIME, RICARDO, TOMAS
D- JAIME, RICARDO, TOMAS, ALBERTO
2. Tres misioneros y tres caníbales llegan a la orilla de un río, en medio de una espesa jungla.
Encuentran un bote en el que solamente caben dos personas. Los misioneros se dan cuenta de que
deben tener cuidado de no dejar nunca que los caníbales les superen en número, o de lo contrario
correrán el riesgo de ser devorados. ¿Cómo pueden atravesar todos el río, sin que los caníbales
puedan comerse a ningún misionero?
3. Un prisionero debe hacer una elección entre dos puertas: detrás de una de ellas está una hermosa
dama y detrás de la otra se haya un tigre hambriento ¿Qué sucedería si cada una de las puertas
tuviera un letrero y el hombre sabe que solamente un letrero es verdadero?
El letrero de la primera puerta dice: EN ESTE CUARTO HAY UNA DAMA Y EN EL OTRO
CUARTO HAY UN TIGRE
El letrero de la segunda puerta dice: EN UNO DE ESTOS CUARTOS HAY UNA DAMA Y EN
UNO DE ESTOS CUARTOS HAY UN TIGRE.
4. El gerente, el contable, el cajero y el auditor de nuestro banco son la señora verde, la señora
blanca, el señor negro y el señor marrón, pero no consigo nunca decir quién es quién. 1) El señor
marrón es mas alto que el auditor o el cajero 2) el gerente almuerza solo 3) la señora blanca juega
a las cartas con el señor negro 4) el más alto de los cuatro juega al baloncesto 5) la señora verde
almuerza con el auditor y el cajero 6) el señor negro es mayor que el auditor 7) el señor marrón no
practica ningún deporte ¿Puedes ayudarme a determinar con seguridad quién es quién
exactamente?
5. (EL JUGADOR DE TENIS). Dos mujeres, Alicia y Carolina y dos hombres, Bruno y David, son
atletas. Uno nada, otro patina, el tercero hace gimnasia y el cuarto juega al tenis. Un día se
sentaron alrededor de una mesa cuadrada, en las posiciones siguientes:
El nadador estaba sentado a la izquierda de Alicia
El gimnasta estaba sentado enfrente de Bruno
Carolina y David se hallaban sentados uno al lado del otro
4
A la izquierda del que patinaba estaba sentada una mujer
¿Quién es el que juega tenis?
6. (LA VACA, LA CABRA Y EL GANSO). Un granjero posee unos pastos que debe aprovechar al
máximo para alimentar a su ganado, que consiste en una vaca, una cabra y un ganso. Sabe que la
cabra y el ganso, comen tanta hierba como la vaca y que el pasto en todo caso, no durará más de
90 días. Además sabe que el campo alimentará a la vaca y al ganso durante 60 días; o sea, que
alimentará a la vaca y a la cabra durante 45 días. Lo que le gustaría saber ahora es cuanto tiempo
alimentaría ese campo a los tres animales sin necesidad de esperar a ver qué pasa, porque, si no va
a durar lo suficiente, quizá no pueda conseguir el pasto adicional cuando lo necesite.
7. (¿CAFÉ CON LECHE?). Una pareja entra en una cafetería a desayunar. A ella le gusta el café
con un poco de leche, y a él le gusta la leche con un poco de café. Ella pide una taza de café solo,
y él pide una taza de leche. Con el fin de satisfacer sus respectivos gustos, ella toma una cucharada
de leche de la taza de leche y la mezcla con la taza de café. A continuación, él añade una
cucharada de esa mezcla de café con leche a su taza de leche. La pregunta es: ¿Hay más leche en
el café, más café en la leche, o hay la misma cantidad de café en la leche que de leche en el café?
8. (EL RAZONAMIENTO DE LA EDAD). Jaime y Leoncio son de la misma edad. Jaime es mayor
que Roberto, quien su vez es mayor que Carmen. Hugo, aunque es mayor que Carmen, es más
joven que Jaime y Roberto. Leoncio es más joven que el amigo de Hugo, Esteban. Enumera a
estas seis personas siguiendo el orden de sus respectivas edades.
ESTABLEZCA SI EL ARGUMENTO ES VÁLIDO O NO. SI ES VÁLIDO IDENTIFIQUE
LA TAUTOLOGÍA O TAUTOLOGÍAS EN QUE SE BASA.
1. Si voy en auto a mi trabajo, entonces llegaré cansado
Yo no voy en auto a mi trabajo
.. No llegaré cansado
2. Me volveré famoso o no me convertiré en escritor
Me convertiré en escritor
.. Me volveré famoso
3. Si lo intento con ahínco y tengo talento, me convertiré en músico
Si me convierto en músico, entonces seré feliz
.. Si no voy a ser feliz, entonces no intentaré con ahínco o no tengo talento
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