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Tema 9 Cuerpos geométricos
9.1 Prismas
PÁGINA 196 ACTIVIDADES
1.
Dí de que tipo es cada uno de los siguientes prismas:
a) Prisma recto triangular. Es regular pues la base es un triángulo equilátero.
b) Prisma recto cuadrangular. No es regular.
c) Prisma recto pentagonal. No regular.
d) Prisma recto hexagonal. Es regular pues su base es un hexágono regular.
PÁGINA 197 ACTIVIDADES
2
La altura de un prisma recto es de 20 cm. Sus bases son trapecios
rectángulos con las siguientes características: las bases mdien 11 cm y 16
cm, y la altura 12 cm. Halla el área total del prisma.
El área total será la suma de las áreas de las tapas (superior e inferior) junto
con la suma de las áreas de las caras laterales.
Área de las tapas:
1
3
4
(base mayor base menor)x altura
Área trapecio
2
11 16 12
2
162 cm
2
Área lateral: hemos de distinguir las que son de los lados que forma
ángulo recto los lados del trapecio frente a la que se corresponde con
el otro lado.
Área lateral de lados en ángulo recto del trapecio:
Como se trata de rectángulos será:
11 20 16 20 12 20 780 cm 2
Área lateral del lado no en ángulo recto del trapecio.
En primer lugar, tenemos que calcular la medida de ese lado,
por lo que aplicaremos el Teorema de Pitágoras en el triángulo
rectángulo NOM :
NM 2 ON 2 OM 2
NM 2 12 2 5 2 144 25 169
NM
169
13 cm
Área lateral 13 20 260 cm 2
Finalmente, el área total será 162 780 260 162 1364 cm 2
Halla el área total de un cubo de arista 10 cm.
Área total del cubo 6 área de un cuadrado 6 10 2 600 cm 2
Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 12 cm. Halla el área total y
la longitud de la diagonal.
Área total
2 12 3 12 4 3 4
2 36 48 12
2 96 192 cm 2
Longitud de la diagonal.
Para poderla calcular, vamos a trabajar sobre dos triángulos
rectángulos:
Triángulo rectángulo ACD
Aquí aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la
hipotenusa.
AC 2 AD 2 DC 2
AC 2 12 2 3 2 144 9 153
AC
153
12. 369 12. 4 cm
2
Triángulo rectángulo ACG
Aquí aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la
hipotenusa.
AG 2 GC 2 CA 2
AG 2 4 2 12. 4 2 16 153. 76 169. 76
AG
169. 76
13. 029 13 cm que es la longitud de la
diagonal.
5
La base de un ortoedro es un rectángulo de lados 9 cm y 12 cm. La diagonal
del ortoedro mide 17 cm. Calcula la medida de la altura del ortoedro y su área.
Vamos a calcular en primer lugar la altura.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo
BDC.
BD 2 BC 2 CD 2
BD 2 12 2 9 2 144 81 225
BD
225
15 cm
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo
BDG
BG 2 BD 2 GD 2
17 2 15 2 GD 2
GD 2 17 2 15 2 289 225 64
GD
64
8 cm
Área total 2 12 9 12 8 8 9
552 cm 2
3
9.2 Pirámides
PÁGINA 199 ACTIVIDADES
1.
2.
Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de lado
10 cm de lado y cuya altura es de 12 cm.
Área total área de la base 4xárea de los triángulos laterales.
Por ahora, área de la base 10 2 100 cm 2 .
base x altura
área de un triángulo lateral
2
En esta última fórmula, no conocemos la altura; hemos de calcularla. Para ello
trabajamos en el triángulo rectángulo EFG, donde aplicamos el Teorema de
Pitágoras:
EG 2 EF 2 FG 2
EG 2 12 2 5 2 144 25 169
EG
169
13 cm
base x altura
10 13
Ahora, área de un triángulo lateral
65 cm 2
2
2
Área total 100 4 65 360 cm 2
La base de una pirámide regular es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dm
de apotema. La altura de la pirámide es de 26.4 dm. Halla su área total.
4
Área total área de la base 5xárea de los triángulos laterales.
área de la base 5 área de un triángulo 5 16 11
440 dm 2
2
Por ahora no conocemos la altura de una cara triangular lateral. Aplicamos el
Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo FGH :
FH 2 GH 2 FG 2 11 2 26. 4 2 817. 96
FH
817. 96
28. 6 dm
base x altura
16 28. 6
área de un triángulo lateral
228. 8 dm 2
2
2
Finalmente área total 440 5 228. 8 1584. 0 dm 2
9.3 Troncos de pirámide
ACTIVIDADES PÁGINA 200
1.
Halla el área lateral de un tronco de pirámide hexagonal regular cuyas
dimensiones son las del dibujo.
Trabajando en el triángulo rectángulo MNQ, vamos a calcular la apotema del
tronco de pirámide. Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que:
MN 2 NQ 2 MQ 2
41 2 9 2 MQ 2
MQ 2 1681 81 1600
MQ
1600
40 cm
5
20 40
6960 cm 2
2
Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado y arista lateral de 13
cm es cortada por un plano a mitad de su altura. Halla el área total del tronco
de pirámide resultante.
Área lateral 6 área trapecio 6
2.
38
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo QRS :
QS 2 QR 2 RS 2
13 2 QR 2 5 2
QR 2 169 25 144
QR
144
12 cm
Por otro lado, los triángulos QRS y QUV están en posición de Tales (tienen un
ángulo común y sus lados son paralelos), por lo tanto son semejantes, siendo
la razón de semejanza
QS
QR
RS
UV
QV
QU
12
13
5
UV
6
6. 5
5
2 2
UV
5
En particular será UV
2. 5 cm
2
10 5
Finalmente, el área total será 5 2 10 2 4
6 305 cm 2
2
9.4 Poliedros regulares
PÁGINA 201 ACTIVIDADES
1.
Considerando la suma de los ángulos que coinciden en cada vértice, justifica
por qué no se puede construir un poliedro en los siguientes casos.
a) Con seis triángulos equiláteros en cada vértice.
Si tuviesemos seis triángulos equiláteros en cada vértice, tendríamos un
ángulo de 6 60 360 ° y esto no se puede "doblar" para hacer un vértice de
un figura tridimensional.
En un triángulo equilátero, todos sus ángulos son iguales de ahí que midan
180 3 60 °
b) Con cuatro cuadrados en cada vértice.
Si tuviesemos cuatro cuadrados en cada vértice, tendríamos un ángulo de
6
4 90 360 ° y esto no se puede "doblar" para hacer un vértice de un figura
tridimensional.
Recordamos que en cada vértice de un cuadrado tenemos un ángulo recto.
c) Con cuatro pentágonos regulares en cada vértice.
Tenemos el pentágono regular dividido en tres triángulos, por lo que las suma
de los ángulo interiores del pentágono regular coincidirán con la suma de
todos los ángulos interiores de los tres triángulos. De ahí que un ángulo
108 °
interior del pentágono regular mida 3 180
5
Si tuviesemos cuatro pentágonos regulares en un vértice la suma de los
ángulos sería 4 108 432 ° que es más que 360 ° siendo imposible por tanto
crear un "vértice" de un figura tridimensional.
d) Con hexágonos regulares o polígonos regulares de más lados.
hexágonos regulares
Tenemos el hexágono regular dividido en cuatro triángulos, por lo que
la suma de los ángulos interiores del hexágono regular coincidirá con la
suma de todos los ángulos interiores de los cuatro triángulos. De ahí
que un ángulo interior del hexágono regular mida 4 180
120 °
6
Si tuviesemos tres hexágonos regulares en un vértice la suma de los
7
ángulos sería 3 120 360 ° siendo imposible por tanto crear un
"vértice" de un figura tridimensional.
Vemos por otro lado, que si el polígono regular tiene n lados, entonces
lo podemos dividir en n 2 triángulos. Así, el ángulo interior de un
n 2 180
polígono regular de n lados mide
n
Por ejemplo, en el caso del polígono regular de 7 lados tendríamos que
7 2 180
5 180
cada uno de sus ángulos mide
128. 57.
7
7
Por lo tanto, si juntasemos en un mismo vértice tres heptágonos, nos
quedaría un ángulo de 128. 57 3 385. 71 °
360 °. De ahí que no se
pueda construir un poliedro regular a partir del heptágono.
DESARROLLO POLIEDROS REGULARES
Tetraedro
Cubo o hexaedro
Octoedro
8
Dodecaedro
Icosaedro
9