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Matemática I
Geometría-11/C
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ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA
Conceptos fundamentales
Punto ·
Recta
Plano
Semirrecta: porción de recta limitada en un extremo por un punto
Semiplano: es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas.
semiplano A
semiplano B
Segmento: porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, llamados
extremos.
Rectas paralelas: son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen
ningún punto en común.
Rectas secantes: son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro
regiones. Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que
dividen al plano en cuatro regiones iguales.
Mediatriz de un segmento: es la recta
perpendicular trazada en su punto medio.
Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
Ángulo: es una región del plano limitada por dos semirrectas, que se llaman
lados, y que tienen un punto común que se llama vértice.
A
B
a
b
lado
Clasificación de los ángulos:
- recto: cuando los dos lados son perpendiculares
- agudo: la abertura de los lados es menor que un ángulo recto
- obtuso: la abertura de los lados es mayor que un ángulo recto
vértice
lado
Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos.
Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la línea poligonal se llama
B
D
C
A
A
cerrada, y en caso de que no coincidan, abierta.
Polígono: es la región del plano limitada por una línea poligonal
cerrada.
Los elementos de los polígonos son:
Anónimo
D
B
C
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a) Lados: segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA.
b) Perímetro: suma de las longitudes de los lados.
c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo polígono el nº de lados y
vértices coincide.
d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos.
e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos.
f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo.
Ángulo interior = ABC
A
B
Ángulo exterior = CBF
D
F
C
Clasificación de los polígonos:
a) Por el número de lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
b) Por su forma:
Equilátero: lados iguales
Equiángulo: ángulos iguales
Regular: lados y ángulos iguales
Irregular: lados y ángulos desiguales
Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el ella. Se
dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono.
Cuadrilátero inscrito en la circunferencia
o circunferencia circunscrita al cuadrilátero
Pentágono circunscrito a una circunferencia
o circunferencia inscrita en el pentágono
Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes (tocan en un
solo punto) a la misma. Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono.
Medida de ángulos
Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos, se definen otro tipo
de unidades:
a) División sexagesimal
La unidad que habitualmente se utiliza es el grado centesimal, que es la noventava parte de un ángulo
recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos * 90º cada uno = 4·90 = 360º
Minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal. 1º = 60'
Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal. 1' = 60''
b) División centesimal (no se suele utilizar)
La unidad es el grado centesimal, que es la centésima parte de un ángulo recto. Por lo tanto una
circunferencia tiene 4 ángulos rectos *100g = 4·100g = 400g
Minuto centesimal es la centésima parte de un grado centesimal. 1g = 100m
Segundo centesimal es la centésima parte de un minuto centesimal. 1m = 100s
c) Radián
Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice.
Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2··R = 2·3'14·R=6'28·R es decir el perímetro de
una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros dibujemos. Por lo
tanto en un giro completo hay 6'28 radianes, es decir:
1 revolución = 360º = 2· radianes
Si hacemos una regla de tres:
Anónimo
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360º  2· radianes
xº  1 radián
x = 360/2· = 57'29º
En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una regla de
tres, siempre dejando el valor de  sin operar, por ejemplo:
¿Cuántos radianes son 30º?
360º  2· radianes
30º  x radianes
x = 30·2·/360 = /6 radianes
¿Cuántos grados son /4 radianes?
360º  2· radianes
x /4 radianes
x = (360·/4)/2 = 45º
Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal
La medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en una sola unidad:
8º 30' 36''  8'51º
Forma compleja  Forma decimal
Veamos como se pasa de una a otra:
8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º
8'51º = 8º 0'51·60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6·60'' = 8º 30' 36''
Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales
a) Suma
Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos.
32º 15' 6''
+2º 8' 29'
34º 23' 35''
Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad inmediatamente
superior.
15º 20' 16''
+20º 30' 54''
35º 50' 70''
Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaríamos como:
35º 51' 10''
Importante: si la suma de dos ángulos es 90º, es decir, juntos forman un ángulo recto, se dice que son
complementarios. Si la suma de dos ángulos es 180º, es decir, forman un ángulo llano, se dice que son
suplementarios.
b) Resta
La operación se dispone igual que la suma
30º 31' 12''
-22' 48''
Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos:
30º 31' 12'' = 30º 30' 72''
Con lo cual ya podemos realizar la resta:
30º 30' 72''
-22' 48''
30º 8' 24''
c)Multiplicación
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los grados minutos y segundos por
ese número:
4º 20' 10''
x5
20º 100' 50''
Ahora bien como 100' = 1º 40' se tiene que: 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''
d) División
Par dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado grados, minutos y segundos entre
este número natural:
206º
37'
46'' 5
06º
41º 19' 33''
1ºx60 =
60'
97'
Anónimo
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47'
2'x60 =
120''
166''
16
1''
Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente y operar
con ellos, y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos.
32º 15' 6'' =
32º + 15/60º + 6/3600º =
32º + 0'25º + 0'00166 =
32'25166º
2º 8' 29'' =
2º + 8/60º + 29/3600º =
2º + 0'133º + 0'00805º =
2'14105º
34'39271º
34º
0'39271·60 = 23'5626'
0'5626·60 = 35''
Por lo que obtendríamos el mismo resultado: 34º 23' 35''
TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Triángulos. Clasificación.
Como ya vimos los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos. Se pueden clasificar:
a) Por sus lados:
Equilátero, si tiene los tres lados iguales
Isósceles, si tiene dos lados iguales
Escaleno, si tiene los tres lados diferentes
b) Por sus ángulos:
Rectángulo, si tiene un ángulo recto
Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos
Obtusángulo, si tiene un ángulo obtuso
En los triángulos rectángulos el lado
opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa y los otros dos lados, catetos.
Propiedades del triángulo
1.En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia.
En la figura se observa que si a fuese mayor que b+c entonces no podríamos juntar sus lados. Pero por otro
lado a-b tampoco puede ser mayor que c para que se puedan unir.
c
b
a
2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
Los lados alternos internos a las paralelas son iguales.
a
c
a
Como por otro lado un ángulo llano mide 180º
tenemos que a + b + c = 180º
b
b
3.Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
Rectas y puntos notables de un triángulo
Mediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.
b
180° - a = b + c
Anónimo
a
a
c
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Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama
circuncentro que equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto es el
centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices: son las semirrectas que dividen en dos partes
iguales los ángulos interiores al triángulo.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto
llamado incentro que equidista de los lados del triángulo y por
lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
Alturas: son los segmentos perpendiculares a un lado o a su
prolongación, trazados desde el vértice opuesto
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado
ortocentro.
Medianas: son los segmentos que unen un
vértice con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en
un punto llamado baricentro o centro de
gravedad.
Teorema de Pitágoras
'' En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ''
Cuadriláteros. Clasificación.
b
a
a2 = b2 + c2
c
Los cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de cuatro lados y por lo tanto cuatro
ángulos. Se clasifican según el paralelismo de sus lados en:
1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro.
2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos.
Los trapecios se pueden clasificar en:
- Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos
- Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales
- Trapecio escaleno, sin ninguna propiedad específica
3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos
y por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los
opuestos son iguales.
Los paralelogramos se pueden clasificar en:
- Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales
(rectos), pero los lados adyacentes no son iguales.
- Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.
- Rombo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales.
- Romboide, cuando no es ninguno de los anteriores.
Anónimo
lados
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ÁREAS Y VOLÚMENES
Áreas de figuras planas
Rectángulo
Cuadrado
l
h
l
h
b
A = l.l
b
P = 2·b + 2·h
b•a
A=
2
P =  lados
Rombo
Romboide
A =b.h
P = 4·l
Trapecio
D
b
h
Triángulo
d
h
B
l
B b
•h
A=
2
P =  lados
Polígono regular
A=
D•d
2
a
b
A=b·h
P = 2·b + 2·a
P = 4·l
Círculo
Sector circular
l
a
6l • a P • a
A=
=
2
2
P = 6·l
n°
r
A =  · r2
P = 2··r
 • r2 • no
360
   • r • no
P=
360
A=
Nota: en el caso del hexágono regular, se puede calcular el área como la suma de 6 triángulos equiláteros,
en los demás polígonos regulares se podrá calcular como la suma de triángulos isósceles.
Poliedros. Clasificación
Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos que
limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, y los lados y vértices de las caras son las aristas y vértices
del poliedro respectivamente.
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo
número de ellas en cada vértice.
Anónimo
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Solo existen 5 poliedros regulares que son:
Tetraedro
(4 triángulos equiláteros)
Octaedro
(8 triángulos equiláteros)
Dodecaedro
(12 pentágonos regulares)
Cubo
(6 cuadrados)
Icosaedro
(20 triángulos equiláteros)
Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales:
1º) Prismas: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus otras caras
laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como lados tenga la base.
Los prismas se clasifican en:
a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases es recto,
en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo.
b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares, en
caso contrario se dice que el prisma es irregular.
c) Por el número de lados de sus bases:
-Triangulares, si sus bases son triángulos
- Cuadrangulares, si sus bases son cuadriláteros
- Pentagonales,....etc.
Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene por bases dos
paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemos
encontrar algunos casos importantes como son el cubo (todas sus caras son cuadrados), ortoedro (todas
sus caras son rectángulos), romboedro (todas sus caras son rombos) y rombodiedro (todas sus caras son
romboides).
Veamos algunos ejemplos de prismas:
Prisma recto pentagonal irregular
Prisma recto triangular irregular
Prisma oblicuo cuadrangular(base cuadrada)
o también paralelepípedo oblicuo
Prisma cuadrangular(base rectangular)
regular(recto) o paralelepípedo recto
Nota: no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es irregular y por tanto no es
necesario decirlo.
Nota: La mejor forma de nombrarlos es: prisma recto de base pentagonal irregular, prisma oblicuo de base
cuadrada, prisma recto de base triangular irregular y prisma recto de base rectangular.
A prisma = 2·Abase + Alaterales
Vprisma = área de la base · altura = B · h
Anónimo
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2º) Pirámides: son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono y las otras caras
laterales son triángulos que tienen un vértice común.
Las pirámides se clasifican en:
a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su base, o
lo que es lo mismo, cuando las caras laterales no son triángulos escalenos. En caso contrario tendremos un
pirámide oblicua.
b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono regular. En
caso contrario será irregular.
c) Por el número de lados de su base:
- Triangular
- Cuadrangular
- Pentagonal,....etc.
Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base obtendremos lo que se llama tronco de
pirámide.
Veamos algunos ejemplos de pirámides:
Pirámide hexagonal regular
Tronco de pirámide
Pirámide cuadrangular
(base cuadrada) oblicua
Nota: la mejor forma de nombrarlos es: pirámide recta de base hexagonal regular, pirámide oblicua de base
cuadrada
A pirámide = Abase + Alaterales
A tronco de pirámide = Amayor + Amenor + Alaterales
Vpirámide = 1/3.área de la base.altura =
B• h
3
Si la figura geométrica no es recta, si no que es oblicua, las fórmulas siguen siendo válidas siempre y
cuando se tenga claro cual es la altura de la figura que se está estudiando y no se confunde con alguna de
las medidas de las áreas laterales.
Lógicamente también es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas más importantes,
para poder calcular la base de la figura geométrica.
Para poder calcular el volumen de un tronco de pirámide o cono deberíamos calcular el volumen de la
pirámide o cono mayor, menos el menor.
Cuerpos redondos o de revolución
Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, de
modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa.
Si un rectángulo gira sobre un lado describe un cilindro.
Si un triángulo rectángulo gira sobre un cateto describe un cono.
Si un semicírculo gira sobre su diámetro describe una circunferencia.
r
A cilindro = 2··r2 + 2··r·h (en este caso h = g)
Vcilindro = área de la base · altura = B · h = ·r2 · h
2··r
r
r
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·r2
A cono =
+ ·r·g ya que
2g  360
2r  n = 360·2r/2g = 360r/g
Área sector circular = R2n/360 = g2360r/360g = rg
B • h  • r2 •h
Vcono = 1/3.área de la base.altura =
=
3
3
r
g
r
2r
n
A esfera = 4··r2
Vesfera =
 •  • r3
3
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