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VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
Son variables aleatorias en dos dimensiones (x, y)
𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛ú𝑎𝑠
Sólo estudiaremos las variables aleatorias Continúas, y allí encontraremos las siguientes
propiedades:
1. Función de Densidad Conjunta: Es cuando nos referimos a las dos variables en conjunto.
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0
b)
∞
∞
−∞ −∞
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1
c) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 =
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
2. Función de Densidad Marginal: Es cuando nos piden una sola variables en particular.
𝑑
𝑔 𝑥 =
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦
𝑕 𝑦 =
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝑎
3. Función de Densidad Condicionadas: Es cuando nos piden una sola variable, pero
conociendo la otra; es decir las dos participan.
𝑓(𝑥,𝑦 )
a) 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑕 (𝑦 ) ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑
𝑓(𝑥,𝑦 )
𝑦
b) 𝑓 𝑥 =
; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑
𝑔(𝑥 )
Ejercicios propuestos:
1) La longitud en metros y el diámetro en decímetros de cierto tubo, es una variable
aleatoria bidimensionales “X” e “Y”, con la siguiente función de densidad conjunta:
1
6 − 𝑥 − 𝑦 ; 2 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
8
𝑓 𝑥, 𝑦 = 0; 𝑂. 𝐶
𝑓 𝑥, 𝑦 =
Determinar:
a) La probabilidad de que la longitud del tubo este entre dos y tres metros y el diámetro
sea mayor de 1 dm
b) La probabilidad de que la longitud del tubo sea superior a tres metros
c) La probabilidad de que el diámetro del tubo no exceda un diámetro
d) Determinar la función de densidad condicionada del diámetro conociendo la longitud
del tubo.
2) La diferencia de ancho en centímetro y la diferencia de longitud de ciertas laminas de
acero es una variable aleatoria (x,y) con la siguiente función de densidad conjunta:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐾. 𝑥 𝑦 − 𝑥 ; 0 < 𝑥 < 2 , 1 < 𝑦 < 6
𝑓 𝑥, 𝑦 = 0; 𝑂. 𝐶
Determine:
a)
b)
c)
d)
La constante K
La probabilidad de que la diferencia de ancho sea mayor de 1 cm
La diferencia de ancho promedio de las láminas
La función de densidad condicionada de la diferencia de ancho conociendo la
diferencia de longitud.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD


Para las variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad es Binomial y Poisson
Para las variables aleatorias Continúas la distribución de probabilidad es Normal y
Exponencial
Variables Aleatorias Discretas:

Binomial: B~(𝑛, 𝑝)
𝑝+𝑞=1
𝑛
𝑃 𝑥 =
∙ 𝑝 𝑥 ∙ 𝑞𝑛−𝑥
𝑥
𝐸 𝑥 = 𝑛. 𝑝
𝜎 2 𝑥 = 𝑛. 𝑝. 𝑞
p= Es cuando el E conduce a un
éxito
q= Es cuando el E conduce al
fracaso
n= El número de experimento
realizados

Poisson:
p x =
e=2,71828…
e-λ . λx
x!
𝐸 𝑥 =𝜎 𝑥 =𝜆
𝜆 = es el promedio, y es una
constante que se llama distribución
de Poisson, él la descubrió a
principio del siglo XIX
𝜆 = 𝑛. 𝑝
Variables Aleatorias Continúas:

Normal:
Es el modelo matemático que rige a la variable aleatoria continuas y es un modelo perfecto que
no existe en la realidad. A esta curva también se le conoce como campana de gauss. Entre sus
características tenemos:
a) Es simétrica
b) El punto central corresponde con las medidas de tendencia central, por lo que la
media, la mediana y la moda son perfectamente iguales.
c) Los parámetros que definen a la curva son su media y varianza o desviación
d) La curva normal tipificada tiene como media (µ=o) y (𝜎 2 = 1)
Formulas a utilizar:
Para tipificar: 𝑍 =
𝑥𝑖 −𝜇
𝜎
; sirve para transformar en Z los valores de Xi.
Si:
 𝑝 𝑧≤𝑎 =𝑓 𝑎
 𝑝 𝑧 ≥ 𝑎 = 1−𝑓 𝑎
 𝑝 𝑎 ≤ 𝑧 ≤ 𝑏 = 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎

Exponencial:
𝑓 𝑥 =∝. 𝑒 −∝.𝑥 ; 𝑥 > 0
𝑓 𝑥 = 0; 𝑜. 𝑐
1
𝐸 𝑥 =
∝
1
𝜎 𝑥 = 2
∝
Ejercicios propuestos:
1) Un equipo A tiene 1/3 de probabilidad de ganar cuando juega. Si A juega cuatro partidos,
determinar:
a)
b)
c)
d)
Probabilidad de que gane dos partidos
Probabilidad de que gane por lo menos un partido
Esperanza matemática
Varianza
2) Una moneda es lanzada 6 veces, hallar la probabilidad de obtener:
a) Cuatro caras
b) Tres caras o menos
c) Más de cuatro caras
3) Si la probabilidad de un cerrojo defectuoso es 0.1, hallar:
a) La media
b) La varianza
c) La desviación
Para la distribución de cerrojos defectuosos de un total de 400.
4) Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado
suero es 0.001, determinar la probabilidad de que de un total de 2000 individuos, se obtenga:
a) Exactamente 3 individuos
b) Más de dos individuos que tengan reacción
5) Un 10% de utensilios producidos en un cierto proceso de fabricación resulta ser defectuoso. Hallar
la probabilidad de que una muestra de 10 utensilios elegidos al azar sean exactamente dos de los
defectuosos, mediante:
a) Distribución Binomial
b) Poisson
6) Supóngase que la V. a “X”, tiene una distribución normal de (15,10). Hallar la probabilidad:
a) De que X tome valores entre 5 y 25
b) Que los valores sean mayor que 15 pero que no llegue a 20
c) De que X tome valores entre -5 y 35
d) De que X no sea inferior a seis
e) De que X no exceda a 12
7) La duración en horas de un instrumento electrónico está normalmente distribuido con media
de 40 horas y desviación estándar de 6 horas, determinar:
a) Probabilidad de que el instrumento electrónico dure entre 45 y 48 horas
b) Probabilidad de que el instrumento electrónico dure como mínimo 45 horas
c) Si se sabe que duran al menos 45 horas ¿Qué porcentaje duran a lo máximo 48 horas?
d) Cual es la duración esperada del instrumento electrónico
8) Supóngase que la temperatura (℃) de cierta región esta normalmente distribuida con
𝜇 = 50℃ y 𝜎 2 = 4℃, determine:
a) Si la temperatura supera a los 55℃, se raciona el agua, porque el embalse baja su nivel del
mar, ¿Cuál es la probabilidad de que se racione el agua en la región?
b) Probabilidad de que la temperatura este entre 45℃ y 53℃
c) Probabilidad de que la temperatura sea a lo sumo 47℃
9) El promedio de duración de un fusible es de 100 horas, si la duración del fusil es una variable
aleatoria de tipo exponencial. Calcule:
a) α, para poder expresar la función de densidad con distribución exponencial
b) La desviación
c) La probabilidad de que la duración del fusil sea más de 200 horas.