Download ALGEBRA - Inacap

PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS
(para uso de alumnos)
MÓDULO III
“ALGEBRA”
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
1
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
I.- INTRODUCCIÓN
Como primer paso para el aprendizaje de las matemáticas, es importante darse
cuenta de que las matemáticas es más fácil estudiarlas en pequeñas dosis. Si bien
esta afirmación es válida en casi cualquier tema, lo es aún más para el caso de las
matemáticas. Dos horas de estudio al día es mucho más productivo que 10 horas
en un solo día de la semana. Aunque es posible leer dos novelas en un fin de
semana para un curso de literatura, es casi imposible ponerse al día en los
estudios de dos semanas de matemáticas en un solo fin de semana. El estudio de
las matemáticas es acumulativo y la construcción de conceptos se apoya en
aquellos previamente adquiridos. También se necesita "tiempo de decantación",
es decir, la oportunidad de reflexionar sobre los conceptos y las ideas antes de
que otros se presenten.
En segundo lugar, se debe tener presente que las matemáticas no son una
disciplina para observar, sino una del tipo “hágalo usted mismo” en la cual el
estudiante debe asumir un rol activo. Por esta razón usted debe resolver
personalmente los problemas que se le presenten y reconocer que no existe un
camino corto hacia el éxito. No obstante lo anterior, las siguientes orientaciones,
las que se refieren a la preparación de clases, toma de apuntes, lectura de textos,
resolución de problemas, y análisis de problemas, debieran serle útiles en el
estudio de las matemáticas.
1. Preparación de clases
La mirada preliminar es una parte importante del estudio, la cual no requiere de
una gran cantidad de tiempo. Antes de cada clase, dé una mirada al material de
apoyo y los temas que se estudiarán en la clase. Fórmese una visión general
leyendo introducciones y resúmenes acerca de las materias que se estudiarán.
Vea los problemas asociados a la sección para tener una idea general del enfoque
de la clase. Esta vista previa debe servir de base general para el anclaje de la
nueva información que se presentará en la clase.
Por otra parte, revise permanentemente los aprendizajes esperados y los criterios
de evaluación del programa de la asignatura, y especialmente los que serán
abordados en la próxima clase. Esto le orientará respecto de los aprendizajes que
debieran ser desarrollados y los indicadores o criterios que den cuenta que lo va
logrando.
2. Tomar apuntes
En clases, escuche activamente mientras toma apuntes. Intente aprender de la
presentación del profesor. Ponga atención a los aprendizajes que se espera lograr
en la clase. Anote observaciones explicativas sobre cada problema. Tenga en
cuenta las condiciones particulares del problema, cómo avanzar de un paso a otro,
y el por qué del enfoque adoptado para resolver el problema. Observe como cada
problema se relaciona con el programa de la asignatura. Si pierde atención o no
entiende algo en la clase, tome apuntes de lo que alcance y complete lo faltante
más tarde. Tan pronto como sea posible después de las clases, revise y edite sus
apuntes. Utilice el margen o la parte de atrás de la página contraria para resumir
las materias y hacer una lista de los principales términos o fórmulas. También
puede utilizar este espacio para tomar notas de algún texto, con lo que
complementará sus apuntes de clase y creará una fuente de estudio integrada.
Revise sus apuntes a intervalos regulares, sobre todo tan pronto como sea
posible, justo antes y justo después de cada clase. Revise además que se han
resuelto problemas correspondientes a todos los criterios de evaluación de los
aprendizajes que se había considerado lograr en la clase.
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
2
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
3. La lectura de libros de texto
Al leer algún libro de texto de matemáticas, en primer lugar dé una hojeada al
material para obtener una visión general. Luego lea cuidadosamente,
asegurándose de que entiende cada parte que esté avanzando. A medida que lee,
tome notas de las nuevas definiciones y símbolos. Es muy importante que
traduzca las fórmulas y conceptos abstractos en sus propias explicaciones
verbales. Ponga especial atención a los problemas que se muestren como
ejemplos. Usted debiera analizar los problemas de ejemplo del texto, explicando
cada paso con sus propias palabras y dibujando diagramas para acompañar estas
explicaciones. Como práctica, cierre el libro y rehaga los ejemplos por sus propios
medios. Por último, fíjese en cómo las materias se relacionan con las materias
previas, y deténgase periódicamente a explicarse a si mismo las materias
estudiadas.
4. Solución de problemas
La mayor parte de su tiempo de estudio debería ser dedicado al desarrollo o el
estudio de preguntas que representan problemas resueltos o por resolver. Cuando
desarrolle un problema, lea primero toda la pregunta para obtener una visión
general. En segundo lugar, establezca la variable desconocida en sus propios
términos y anote cada información que se le entrega. A continuación, elabore un
plan tentativo para resolver el problema mediante la utilización de uno o más de
las siguientes tácticas:
a. Establezca relaciones entre todos los hechos dados.
b. Considere las fórmulas o definiciones que pudieran ser pertinentes.
c. Trabaje hacia atrás, preguntándose: "¿Qué información necesito conocer
para encontrar la respuesta?"
d. Relacione el problema con algún ejemplo o ejercicio similar visto en clases
o en un texto.
e. Relacione el problema con un criterio de evaluación y aprendizaje esperado
del programa de la asignatura.
f. Resuelva una versión más simple del problema utilizando números
pequeños.
g. Divida el problema en varios problemas más simples. Desarrolle parte del
problema y vea si está relacionado con el todo.
h. Verifique que cada paso de la solución es correcta y clara. Luego, reescriba
la solución correcta desde el principio hasta el fin.
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
3
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
5. Análisis de problemas
Después de haber trabajado un problema, analícelo. Enfóquese en los procesos
utilizados (no en la respuesta) y hágase las siguientes preguntas: ¿Qué
conceptos, fórmulas, y reglas apliqué? ¿Qué métodos usé? ¿Es comparable la
solución con las de mis apuntes? ¿Qué aprendizajes esperados estoy logrando?
¿Puedo simplificar lo que hice?. Explique cada uno de los pasos usando sus
propias palabras. De esta manera usted reforzará su comprensión del problema y
le ayudará en el estudio posterior.
Las sugerencias de estudio en este documento le ayudarán a mejorar su
desempeño en su clase de matemáticas. Pero recuerde que los cursos de
matemáticas son acumulativos, si tiene problemas con las materias al comienzo
del curso, es probable que posteriormente estos problemas se multipliquen. Por lo
tanto, usted debería buscar ayuda a tiempo si se encuentra con dificultades.
II.- PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS
Este documento contiene preguntas elaboradas por la Dirección de Evaluación de
INACAP, con el objetivo de orientar a los alumnos en su estudio de las
matemáticas, y a los docentes en la elaboración de las evaluaciones.
Todas las preguntas están ajustadas a los criterios de evaluación y a través de
ellos a los aprendizajes esperados del módulo III “Algebra” de los programas de
matemáticas con código MATBxx de INACAP.
En la primera parte del documento aparecen planteadas las preguntas con 4
alternativas de solución, y en la segunda parte, se muestra su resolución y la
alternativa correcta. Si bien las preguntas están planteadas en formato de
selección múltiple, la mayoría de ellas son preguntas de aplicación que pueden ser
también planteadas como preguntas de desarrollo.
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
4
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.
1. El valor de la expresión
A) −
16
17
B) −
17
16
C)
a+b a−b
1
5
−
+ 2a − b, si a = y b = − , es :
4
2
4
2
17
16
D) 1,5
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.
2. Sea el ΔABC rectángulo en C. El valor de c = a2 + b2 , donde
a = 3 y b = 1, es :
Dibujo
A) 1
B)
2
C)
3
D) 2
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
5
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.
2
3. Sean: x = −1, y = 2 y z = . Luego, el valor de la expresión:
3
A)
9
180
B)
1
8
C)
1
4
D)
5
3
1 3
xy
2
es :
9yz 2
3xz −
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.
4
y z =−3.
5
(5xy − 2xz) − (10yz + z 2 ) es :
4.
Sean:
x = 2, y =
Luego,
el
valor
de
la
expresión:
A) −19
B) −37
C) 35
D) 29
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
6
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.
5. Al eliminar paréntesis y reducir la expresión a − [ −a − ( −b − c) − (a − c) − b] ,
resulta:
A) 2c − 3a
B) 3a − 2c
C) 2a + 3c
A) −2a − 3c
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.
6.
Al
eliminar
paréntesis
y
reducir
⎧
⎫
2
2
a
⎡
⎤
⎡
⎤
− ⎢a + b ⎥ − ⎨− b − ⎢ − b − 1⎥ − [ −(2 − b)]⎬ , se obtiene:
5 ⎦ ⎩ 5
⎣
⎣2
⎦
⎭
A) 3 +
expresión:
a
2
B) 3a +
C) 3 −
la
1
2
a
2
D) −3 −
a
2
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.
7. Al reducir la expresión [ −(2a − b) + (3a − 4ab + 5b)] , se obtiene:
A) −5a − 6b + 4ab
B) a + 4b − 4ab
C) 5a + 4b − 4ab
D) a + 6b − 4ab
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
7
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.
8.
Al
eliminar
paréntesis
y
reducir
la
2
2
2
2
2
2
⎡
⎤
− ⎣ −(2a b + 4a − 2b ) + ( −a + a b + b ⎦ , tenemos como resultado:
expresión:
A) 5a 2 +a 2 b − 3b 2
B) −5a2 − a2b + b2
C) 3a2 + a2b + 3b2
D) 5a2 − a2b − 3b2
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.
9. El cuociente de la división (c 2 + 2c + 28) ÷ (c 2 + 2c − 8) es :
A) 1
B) 8
C) 28
D) 36
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.
10. Al dividir (2x 2 + 7x + 12) ÷ (x 2 + 8x + 15) resulta como cuociente:
A) – 9x
B) 2
C) 15
D) 30
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
8
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.
11. El cuociente que se obtiene al dividir x 2 + x − 2 por x − 1 es :
A) 2x – 2
B) x 2 − 2
C) x + 2
D) 2x + 2
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones
algebraicas.
Criterio de Evaluación
3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.
12. Al dividir el polinomio P(x) = 2x 3 + x 2 − 3x + 1 por el polinomio Q(x) = 2x − 1,
se obtiene como cuociente:
A) x 2 + x + 1
B) x 2 + x − 1
C) 2x 3 − x
D) 2x 3 + x
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.
13. Sea la expresión 25ab − 5b2 , entonces su factorización corresponde a:
A) 5b(a − 5b)
B) 5b(5a − b)
C) 5b(5a + b)
D) 5b(a + 5b)
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
9
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.
14. Los factores de la expresión 9a2 − 12ab + 4b2 resulta:
A) (3a − 2b)(3a − 2b)
B) (3a + 2b)(3a + 2b)
C) (3a − 2b)(3a + 2b)
D) (3b − 2a)(3b − 2a)
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.
15. Al factorizar la expresión 3a2 − 15a + 18 se obtiene:
A) 3a(a2 + 5a + 6)
B) 3(a2 + 5a + 6)
C) 3a(a − 5) − 18
D) 3(a − 3)(a − 2)
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.
16. Aplicando reglas de factorización a la expresión 9a2 − 12ab + 4b2 el
producto que se obtiene es:
A) 3a + 2b2
B) (3a + 2b)2
C) (3a − 2b)2
D) 3a − 2b2
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
10
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas
fraccionarias.
17. Al factorizar y simplificar la expresión:
a −1 + a−2
; resulta:
a−2
A) a + 1
B) – a – 1
C) – a + 1
D) a – 1
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas
fraccionarias.
18. Al factorizar y simplificar la expresión:
y 2 − 1 y 2 − 5y + 6 2
; se obtiene:
⋅
⋅
y−3
y−2
y −1
A) 2(– y – 1)
B) 2(y + 1)
C) 2(y – 1)
D) 2(1– y)
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
11
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas
fraccionarias.
19. Al factorizar y simplificar la expresión
A)
2x − 2
x−3
B)
x −1
x−3
C)
x −1
2x + 4
D)
x −1
2x − 6
Módulo 3. Álgebra.
2x 2 + 2x − 4
, se obtiene:
4x 2 − 4x − 24
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas
fraccionarias.
20. El resultado de factorizar y simplificar la siguiente expresión algebraica
y2 − 1
y 2 − 2y − 1
÷ 2
; es:
fraccionaria: 2
y + 5y + 6 y + y − 2
A)
y+3
y +1
B)
y +1
y+3
C)
y −1
y+3
D)
y+3
y −1
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
12
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que
contengas una o dos raíces en el denominador.
21. Al racionalizar la expresión
A)
(x 5 − 2) 5
5
B)
( − x 5 − 2) 5
5
C)
(2 − x 5) 5
5
D)
(2 + x 5) 5
5
2−x 5
5
se obtiene:
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que
contengas una o dos raíces en el denominador.
22. Al racionalizar la expresión
a2 − 2ab + b2
a− b
resulta
A) (a + b)( a + b)
B) (a + b)( a − b)
C) (a − b)( a − b)
D) (a − b)( a + b)
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
13
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que
contengas una o dos raíces en el denominador.
23. El resultado de racionalizar
A)
x y +2 y
x2y
B)
x y +2 y
xy
C)
x y +2
x2 y
D)
x y +2
xy
Módulo 3. Álgebra.
x+2
x y
es:
Aprendizaje Esperado
3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar
expresiones algebraicas fraccionarias.
Criterio de Evaluación
3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que
contengas una o dos raíces en el denominador.
24. Al racionalizar la expresión
A)
x x − xy
x2 + y
B)
x x − xy
x2 − y
C)
x x + xy
x2 − y
D)
x x − xy
x2 + y
x
x− y
se obtiene:
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
14
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.
25. La solución de la ecuación 7x + (3x 2 − 4) = x(5 − x) + (2x + 3)2 , es:
A) −
10
3
B) −
13
10
C)
10
13
D)
13
10
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.
26. Al despejar m en la igualdad
A)
1− b
a
B)
b −1
a
C)
1+ b
a
D)
−1 − b
a
1
= m2 se obtiene:
a
b
−
m m2
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
15
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.
27. Al resolver la ecuación 3x − 2(x + 1) = (5x − 1) − (x − 1) se obtiene:
A) −
4
3
B) −
2
3
C)
2
3
D)
4
3
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.
28. La solución de la ecuación
3x − 2 x − 1 2x + 5
es:
−
=
3
2
6
A) – 12
B) – 6
C) 6
D) 12
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.
29. Al resolver el sistema de ecuaciones:
3(x + y) + 2y = 2x − (x − 2y)
; se obtiene:
2(x + y) + 3 = x − y
A) x = −3 ; y = −2
B) x = −2; y = −3
C) x = 3 ; y = 2
D) x = 3 ; y = −2
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
16
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.
30. Los valores de x, y, z al resolver el sistema de ecuaciones
A) x =
a
b
c
;y=
;z=
a+b+c
a+b+c
a+b+c
B) x =
b
a
c
;y=
;z=
a+b+c
a+b+c
a+b+c
C) x =
c
b
a
;y=
;z=
a+b+c
a+b+c
a+b+c
D) x =
a
c
b
;y=
;z=
a+b+c
a+b+c
a+b+c
x+ y+z =1
x y z
= =
a b c
son:
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.
31. El resultado del sistema de ecuaciones:
2(x − 1) = 3(y + 2)
−(x − y) = 1
es:
A) x = 11 ; y = 10
B) x = −10 ; y = −11
C) x = −11 ; y = −10
D) x = 10 ; y = 11
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
17
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.
3x − y + z = 6
32. Al resolver el sistema de ecuaciones:
x − z = 4 ; se obtiene:
x − 2y = −1
A) x = 3 ; y = 2 ; z = −1
B) x = −3 ; y = −2 ; z = 1
C) x = −1 ; y = 2 ; z = 3
D) x = 1 ; y = −2 ; z = −3
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
33. De los CD que tenía un vendedor, le regaló a su hermano la mitad menos uno,
a su amigo Roberto la tercera parte menos dos, quedándose con la cuarta parte de
los que tenía menos tres. ¿Cuántos CD tenía el vendedor?
A) 12
B) 24
C) 36
D) 72
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
18
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
34. El perímetro de una terraza rectangular es 28 m y el triple del largo es igual a
cuatro veces el ancho, entonces el largo y el ancho de la terraza son,
respectivamente:
A) 6 m y 6 m
Dibujo
y
B) 8 m y 8 m
C) 8 m y 6 m
x
D) 6 m y 8 m
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
35. Si la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número es 1 y la
adición entre el triple del primero y el doble del segundo es 8. Entonces los
números son:
A)
1
y0
2
B) 2 y 1
C) 0 y −
1
3
D) – 4 y – 3
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren
ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Criterio de Evaluación
3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
36. Los lados de un triángulo son tres números impares consecutivos. Si el
perímetro de dicho triángulo es de 75 cms., entonces la dimensión del lado mayor
en cms. es:
A) 23
B) 25
C) 27
D) 30
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
19
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.
37. La solución de la inecuación (4x + 1)2 − 8 > (4x + 1)(4x − 1) ; es:
⎡3
⎡
A) ⎢ , + ∞ ⎢
⎣4
⎣
⎤3
⎡
B) ⎥ , + ∞ ⎢
⎦4
⎣
3⎤
⎤
C) ⎥ −∞ , ⎥
4⎦
⎦
3⎡
⎤
D) ⎥ −∞ , ⎢
4⎣
⎦
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.
38. Al resolver la inecuación:
2(x − 7)
4 − (x − 5)
+2≤
; resulta:
3
5
⎡ 67
⎡
A) ⎢ , + ∞ ⎢
⎣ 13
⎣
⎤ 67
⎡
B) ⎥ , + ∞ ⎢
⎦ 13
⎣
67 ⎡
⎤
C) ⎥ −∞ ,
13 ⎢⎣
⎦
67 ⎤
⎤
D) ⎥ −∞ ,
13 ⎥⎦
⎦
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
20
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.
39. El intervalo solución de la inecuación: (3x − 1) − (x 2 − 1) ≥ x(4 − x) + 3 ; es:
A) [−3, + ∞ [
B) ] − ∞ , − 3]
C) [−3, + ∞ [
D) ] − ∞ , − 3[
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.
40. El intervalo solución de la inecuación:
5x − 4 x + 7 4x − 1
−
>
; es:
2
3
8
⎤ 101
⎡
A) ⎥
,+ ∞ ⎢
⎦ 40
⎣
⎡101
⎡
,+ ∞⎢
B) ⎢
⎣ 40
⎣
101⎤
⎤
C) ⎥ −∞ ,
40 ⎥⎦
⎦
101⎡
⎤
D) ⎥ −∞ ,
40 ⎢⎣
⎦
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
21
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.2 Aplica procedimientos para resolver sistemas de inecuaciones lineales.
41. La solución del sistema de inecuaciones:
A)
C)
B)
D)
x > −2
; es:
0 ≤ y <1
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
22
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.2 Aplica procedimientos para resolver sistemas de inecuaciones lineales.
42. El sistema de inecuaciones que representa la región es:
y−x≥0
A) y ≥ − x
y≥2
y≤x
B) y ≤ − x
y≥2
y ≤ −x
C) y ≤ x
y≥2
y≥x
D) y + x ≥ 0
y≤2
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
23
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.2 Aplica procedimientos para resolver sistemas de inecuaciones lineales.
43. El gráfico solución del sistema de inecuaciones:
A)
C)
B)
D)
y−x ≥1
; es:
x≤2
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
24
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.2 Aplica procedimientos para resolver sistemas de inecuaciones lineales.
44. El sistema de inecuaciones que representa el siguiente gráfico es:
x−y >1
A)
x ≤ −1
y ≥1
B)
x−y ≥1
x ≥1
y ≤1
x −y ≥1
C)
x ≤1
y ≥ −1
x − y ≥ −1
D)
x ≤1
y ≥ −1
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.
45. El intervalo que expresa la condición “los números menores que 17” es:
A) ] − ∞ , 17]
B) ] − ∞ , 17[
C) [17 , ∞ + [
D) ]17 , ∞ + [
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
25
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.
46. Se sabe que el perímetro de un rectángulo es a lo menos 16 cms y a lo más 20
cms y que el largo y el ancho no pueden medir menos de 4 cms y de 3 cms
respectivamente. Entonces el sistema de inecuaciones que representa el problema
es:
Dibujo
16 ≤ x + y ≤ 20
A) x ≥ 4
y≥3
y
8 ≤ x + y ≤ 10
B) x ≥ 4
y≥3
x
16 ≤ x + y ≤ 20
C) x ≤ 4
y≤3
8 ≤ x + y ≤ 10
D) x ≤ 4
y≤3
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Módulo 3. Álgebra.
Criterio de Evaluación
3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.
47. La solución expresada en notación de intervalo, de la expresión “los números
que son mayores o iguales a 2 o menores que – 3 “ ; es:
A) ] − ∞ , − 3] ∪ ]2 , ∞ + [
B) ] − ∞ , − 3[ ∩ [2 , ∞ + [
C) ] − ∞ , − 3[ ∩ ]2 , ∞ + [
D) ] − ∞ , − 3[ ∪ [2 , ∞ + [
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
26
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.
48. La adición entre el doble de un número y el triple de otro número es mayor que
15 y la diferencia entre el mayor y el menor es menor o igual que 2. El sistema de
inecuaciones que representa dicha situación es:
A)
2x + 3y > 15
x−y≤2
B)
2x + 3y ≥ 15
x−y<2
C)
3x + 2y > 15
x−y≤2
D)
3x + 2y ≥ 15
x−y<2
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.4 Utiliza método gráfico para resolver problemas de programación lineal.
49. Sea el polígono de vértices A = (0,0) ; B = (25,0) ; C = (25,12) ; D = (10,21) ;
E = (0,18) . Si la función objetivo es: F(x,y) = 30x + 25y ; entonces el valor máximo
es:
A) 450
B) 750
C) 825
D) 1050
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
27
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.4 Utiliza método gráfico para resolver problemas de programación lineal.
50. La siguiente tabla muestra la producción de dos artículos que pasan por tres
procesos.
A
P1 3
P2 2
P3 1
B Tiempo Máximo
5
35
3
22
1
10
Entonces las restricciones lineales son:
3x + 5y ≥ 35
A)
2x + 3y ≥ 22
x + y ≥ 10
x,y ≥ 0
3x + 5y ≤ 35
B)
2x + 3y ≤ 22
x + y ≤ 10
x,y ≥ 0
3x + 5y ≥ 35
C)
2x + 3y ≤ 22
x + y ≥ 10
x,y ≥ 0
3x + 5y ≤ 35
D)
2x + 3y ≥ 22
x + y ≤ 10
x,y ≥ 0
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
28
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.4 Utiliza método gráfico para resolver problemas de programación lineal.
51. Una empresa pesquera puede extraer como máximo 3500 toneladas de
merluza y 2500 toneladas de salmón, pudiendo pescar en total no más de 4000
toneladas. Si el valor de venta de la merluza es de $1200 el Kg. y el del salmón es
de $1800 el Kg., ¿cuál es el valor máximo de venta de ambos productos?
A) $6.300.000
B) $5.100.000
C) $4.500.000
D) $4.200.000
Módulo 3. Álgebra.
Aprendizaje Esperado
3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en
problemas de aplicación.
Criterio de Evaluación
3.4.4 Utiliza método gráfico para resolver problemas de programación lineal.
52. Una empresa constructora debe realizar un conjunto habitacional de dos tipos
de departamentos. Para ello dispone de $2.100.000.000, siendo el costo de cada
departamento $30.000.000 y $35.000.000 respectivamente, pero por un permiso
municipal sólo pueden construir un máximo de 500 departamentos. La utilidad por
cada departamento es de $4.500.000 y $3.500.000 respectivamente. Así, la
función objetivo que representa dicha situación es:
A) f(x, y) = 30.000.000x + 35.000.000y
B) f(x, y) = 35.000.000x + 30.000.000y
C) f(x, y) = 4.500.000x + 3.500.000y
D) f(x, y) = 3.500.000x + 4.500.000y
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
29
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
Resolución
1. El valor de la expresión
Resolución
a+b a−b
1
5
−
+ 2a − b, si a = y b = − , es :
4
2
4
2
a+b a−b
−
+ 2a − b
4
2
1 ⎡ 5⎤
+ −
4 ⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎡ 1⎤ ⎡ 5⎤
=
+ 2 ⎢ ⎥ − ⎢− ⎥
2
⎣4⎦ ⎣ 2⎦
⎡1 5⎤ 1 ⎡1 5⎤ 1 1 5
= ⎢ − ⎥⋅ −⎢ + ⎥⋅ + +
⎣4 2⎦ 4 ⎣4 2⎦ 2 2 2
9 11 6
=−
− +
16 8 2
17
=
16
ALTERNATIVA C
2. Sea el ΔABC rectángulo en C. El valor de c = a2 + b2 , donde
a = 3 y b = 1, es :
Resolución
c = a2 + b2 = ( 3 )2 + 12 = 3 + 1 = 4 = 2
ALTERNATIVA D
2
3. Sean: x = −1, y = 2 y z = . Luego, el valor de la expresión:
3
1 3
xy
2
es :
9yz 2
3xz −
Resolución
2 1
− ⋅ ( −1) ⋅ 23
3 2
2
⎡2⎤
9⋅2⋅⎢ ⎥
⎣3 ⎦
−2 + 4
=
8
2 1
= =
8 4
3 ⋅ ( −1) ⋅
ALTERNATIVA C
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
30
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
4
y z =−3.
5
(5xy − 2xz) − (10yz + z 2 ) es :
4.
Sean:
x = 2, y =
Luego,
el
valor
de
la
expresión:
Resolución
4
4
⎞ ⎛
⎛
2⎞
⎜ 5 ⋅ 2 ⋅ − 2 ⋅ 2 ⋅ −3 ⎟ − ⎜10 ⋅ ⋅ −3 + (− 3) ⎟
5
5
⎠
⎠ ⎝
⎝
= (8 + 12 ) − (− 24 + 9 ) = 20 − (− 15)
= 35
ALTERNATIVA C
5. Al eliminar paréntesis y reducir la expresión a − [ −a − ( −b − c) − (a − c) − b ] ,
resulta:
Resolución
a − [ −a − ( −b − c) − (a − c) − b]
= a − [ −a + b + c − a + c − b ]
= a − [ −2a + 2c ]
= 3a − 2c
ALTERNATIVA B
6.
Al
eliminar
paréntesis
y
reducir
⎫
2 ⎤ ⎧ 2
⎡
⎡a
⎤
− ⎢a + b ⎥ − ⎨− b − ⎢ − b − 1⎥ − [ −(2 − b)]⎬ , se obtiene:
5 ⎦ ⎩ 5
⎣
⎣2
⎦
⎭
la
expresión:
Resolución
⎫
2 ⎤ ⎧ 2
⎡
⎡a
⎤
− ⎢a + b ⎥ − ⎨− b − ⎢ − b − 1⎥ − [ −(2 − b)]⎬
5 ⎦ ⎩ 5
⎣
⎣2
⎦
⎭
2
a
⎧ 2
⎫
= −a − b − ⎨ − b − + b + 1 + 2 − b ⎬
5
2
⎩ 5
⎭
2
2
a
a
= − a − b + b + − 3 = −3 −
5
5
2
2
ALTERNATIVA D
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
31
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
7. Al reducir la expresión [ −(2a − b) + (3a − 4ab + 5b)] , se obtiene:
Resolución
[ −2a + b) + 3a − 4ab + 5b]
= a + 6b − 4ab
ALTERNATIVA D
8.
Al
eliminar
paréntesis
y
reducir
la
2
2
2
2
2
2
− ⎡⎣ −(2a b + 4a − 2b ) + ( −a + a b + b ⎤⎦ , tenemos como resultado:
Resolución
[(
) (
= −[− 2a b − 4a + 2b − a
= −[− 5a − a b + 3b ]
− − 2a 2 b + 4a 2 − 2b 2 + − a 2 + a 2 b + b 2
2
2
2
2
2
2
)]
+ a + a b + b2
2
2
expresión:
]
2
= 5a 2 + a 2 b − 3b 2
ALTERNATIVA A
9. El cuociente de la división (c 2 + 2c + 28) ÷ (c 2 + 2c − 8) es :
Resolución
(c 2 + 2c + 28) ÷ (c 2 + 2c − 8) = 1
−c 2 − 2c + 8
36
ALTERNATIVA A
10. Al dividir (2x 2 + 7x + 12) ÷ (x 2 + 8x + 15) resulta como cuociente:
Resolución
(2x 2 + 7x + 12) ÷ (x 2 + 8x + 15) = 2
−2x 2 − 16x − 30
− 9x − 18
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
32
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
11. El cuociente que se obtiene al dividir x 2 + x − 2 por x − 1 es :
Resolución
(x 2 + x − 2) ÷ (x − 1) = x + 2
−(x 2 − x)
2x − 2
−(2x − 2)
0
ALTERNATIVA C
12. Al dividir el polinomio P(x) = 2x 3 + x 2 − 3x + 1 por el polinomio Q(x) = 2x − 1,
se obtiene como cuociente:
Resolución
(2x 3 + x 2 − 3x + 1) ÷ (2x − 1) = x 2 + x − 1
− (2x 3 − x 2 )
2x 2 − 3x
−(2x 2 − x)
− 2x + 1
− ( −2x + 1)
0
ALTERNATIVA B
13. Sea la expresión 25ab − 5b2 , entonces su factorización corresponde a:
Resolución
25ab − 5b2 = 5b(5a − b)
ALTERNATIVA B
14. Los factores de la expresión 9a2 − 12ab + 4b2 resulta:
Resolución
9a2 − 12ab + 4b2 = (3a − 2b)(3a − 2b)
ALTERNATIVA A
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
33
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
15. Al factorizar la expresión 3a2 − 15a + 18 se obtiene:
Resolución
3a2 − 15a + 18 = 3(a2 + 5a − 6) = 3(a − 3)(a − 2)
ALTERNATIVA D
16. Aplicando reglas de factorización a la expresión 9a2 − 12ab + 4b2 el
producto que se obtiene es:
Resolución
9a2 − 12ab + 4b2 = (3a)2 − 2 ⋅ (3a)(2b) + (2b)2 → (3a − 2b)2
ALTERNATIVA C
17. Al factorizar y simplificar la expresión:
a −1 + a−2
; resulta:
a−2
Resolución
a −1 + a−2 a−2 (a + 1)
=
= a +1
a −2
a −2
ALTERNATIVA A
18. Al factorizar y simplificar la expresión:
y 2 − 1 y 2 − 5y + 6 2
; se obtiene:
⋅
⋅
y−3
y−2
y −1
Resolución
(y + 1) (y − 1) (y − 3) (y − 2)
y 2 − 1 y 2 − 5y + 6 2
2
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= 2(y + 1)
y−3
y−2
y −1
y −3
y−2
y −1
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
34
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
2x 2 + 2x − 4
, se obtiene:
4x 2 − 4x − 24
19. Al factorizar y simplificar la expresión
Resolución
(x + 2) (x − 1)
x −1
2x 2 + 2x − 4
2(x 2 + x − 2)
=
=
=
2
2
4x − 4x − 24 4(x − x − 6) 2(x − 3) (x − 2) 2x − 6
ALTERNATIVA D
20. El resultado de factorizar y simplificar la siguiente expresión algebraica
y2 − 1
y 2 − 2y − 1
; es:
÷ 2
fraccionaria: 2
y + 5y + 6 y + y − 2
Resolución
y2 − 1
y 2 − 2y − 1 (y − 1) (y + 1) (y + 2) (y − 1) (y + 1)
÷
=
⋅
=
y 2 + 5y + 6 y 2 + y − 2 (y + 3) (y + 2) (y − 1) (y − 1) (y + 3)
ALTERNATIVA B
21. Al racionalizar la expresión
2−x 5
5
se obtiene:
Resolución
2−x 5
5
⋅
5
=
5
(2 − x 5 ) 5
2
( 5)
=
(2 − x 5 ) 5
5
ALTERNATIVA C
22. Al racionalizar la expresión
a2 − 2ab + b2
a− b
resulta
Resolución
a2 − 2ab + b2
a− b
⋅
a+ b
a+ b
=
(a − b)2 ( a + b )
2
a − b
2
=
(a − b)2 ( a + b )
(a − b)
= (a − b)( a + b )
ALTERNATIVA D
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
35
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
23. El resultado de racionalizar
x+2
x y
es:
Resolución
x+2
x y
y
⋅
y
=
x y +2 y
xy
ALTERNATIVA B
24. Al racionalizar la expresión
x
x− y
se obtiene:
Resolución
x
⋅
x+ y
x− y x+ y
=
x x + xy
x − y
2
2
=
x x + xy
x2 − y
ALTERNATIVA B
25. La solución de la ecuación 7x + (3x 2 − 4) = x(5 − x) + (2x + 3)2 , es:
Resolución
7x + (3x 2 − 4) = x(5 − x) + (2x + 3)2
7x + 3x 2 − 4 = 5x − x 2 + 4x 2 + 12x + 9
−13 = 10x
x=−
13
10
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
36
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
26. Al despejar m en la igualdad
1
= m2 se obtiene:
a
b
−
m m2
Resolución
1
= m2
a
b
−
m m2
1
= m2
am − b
m2
m2
= m2
am − b
1 = am − b
m=
1+ b
a
ALTERNATIVA C
27. Al resolver la ecuación 3x − 2(x + 1) = (5x − 1) − (x − 1) se obtiene:
Resolución
3x − 2(x + 1) = (5x − 1) − (x − 1)
3x − 2x − 2 = 5x − 1 − x + 1
x − 2 = 4x
−2 = 3x
x=−
2
3
ALTERNATIVA B
28. La solución de la ecuación
Resolución
3x − 2 x − 1 2x + 5
−
=
es:
3
2
6
3x − 2 x − 1 2x + 5
−
=
3
2
6
2(3x − 2) − 3(x − 1) = 2x + 5
6x − 4 − 3x + 3 = 2x + 5
3x − 1 = 2x + 5
x=6
ALTERNATIVA C
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
37
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
29. Al resolver el sistema de ecuaciones:
3(x + y) + 2y = 2x − (x − 2y)
; se
2(x + y) + 3 = x − y
obtiene:
Resolución
3(x + y) + 2y = 2x − (x − 2y)
2(x + y) + 3 = x − y
2x + 3y = 0
x + 3y = −3
→
2x + 3y = 0
− x − 3y = 3
→ x=3
Con lo cual :
2 ⋅ 3 + 3y = 0
3y = −6
→ y = −2
ALTERNATIVA D
x+ y+z =1
30. Los valores de x, y, z al resolver el sistema de ecuaciones
x y z
= =
a b c
son:
Resolución
a
y
b
→
x y z
c
= =
z= y
a b c
b
x + y +z =1
→
x=
a
c
y+ y+ y =1
b
b
ay + by + cy = b
y=
b
a+b+c
Con esto :
a
b
x= ⋅
b a+b+c
x=
a
a+b+c
Con lo cual :
z=
c
b
⋅
b a+b+c
z=
c
a+b+c
ALTERNATIVA A
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
38
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
31. El resultado del sistema de ecuaciones:
2(x − 1) = 3(y + 2)
−(x − y) = 1
es:
Resolución
2(x − 1) = 3(y + 2)
2x − 3y = 8
2x − 3y = 8
→ y = −10
→
→
−(x − y) = 1
−x + y = 1
−2x + 2y = 2
Con lo cual :
− x + ( −10) = 1
x = −11
ALTERNATIVA C
3x − y + z = 6
x − z = 4 ; se obtiene:
x − 2y = −1
32. Al resolver el sistema de ecuaciones:
Resolución
3x − y + z = 6
(1)
x−z= 4
(2)
x − 2y = −1
(3)
3x − y + z = 6
→
x−4=z
x +1
=y
2
Re emplazando en (1) :
x +1
)+ x−4 = 6
2
6x − x − 1 + 2x − 8 = 12
7x − 9 = 12
3x − (
7x = 21
x=3
y=2
z = −1
ALTERNATIVA A
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
39
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
33. De los CD que tenía un vendedor, le regaló a su hermano la mitad menos
uno, a su amigo Roberto la tercera parte menos dos, quedándose con la cuarta
parte de los que tenía menos tres. ¿Cuántos CD tenía el vendedor?
Resolución
x : número de CD
X
X
X
− 1+ − 2 + − 3 = X
2
3
4
6X − 12 + −24 + 3X − 36 = 12X
X = 72
ALTERNATIVA D
34. El perímetro de una terraza rectangular es 28 m y el triple del largo es igual
a cuatro veces el ancho, entonces el largo y el ancho de la terraza son,
respectivamente:
Resolución
P : 2(x + y) = 28
3x = 4y
x + y = 14
4x + 4y = 56
→
→ 7x = 56 → x = 8 m
3x − 4y = 0
3x − 4y = 0
Por tan to :
3 ⋅ 8 = 4y
24 = 4y
y=6m
ALTERNATIVA C
35. Si la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número es 1 y
la adición entre el triple del primero y el doble del segundo es 8. Entonces los
números son:
Resolución
2x − 3y = 1
4x − 6y = 2
→
→ 13x = 26 → x = 2
3x + 2y = 8
9x + 6y = 24
Entonces :
2x − 3y = 1
4 − 3y = 1
3 = 3y
y =1
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
40
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
36. Los lados de un triángulo son tres números impares consecutivos. Si el
perímetro de dicho triángulo es de 75 cms., entonces la dimensión del lado
mayor en cms. es:
Resolución
Como : (2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 75
6x + 9 = 75
6x = 66
x = 11
∴ lado mayor : 2x + 5 = 27 cms
ALTERNATIVA C
37. La solución de la inecuación (4x + 1)2 − 8 > (4x + 1)(4x − 1) ; es:
Resolución
(4x + 1)2 − 8 > (4x + 1)(4x − 1)
16x 2 + 8x + 1 − 8 > 16x 2 − 1
8x > 6
x>
]
3
4
3
,+ ∞[
4
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
41
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
38. Al resolver la inecuación:
2(x − 7)
4 − (x − 5)
+2≤
; resulta:
3
5
Resolución
2(x − 7)
4 − (x − 5)
+2≤
3
5
10(x − 7) + 30 ≤ 3(4 − x + 5)
10x − 70 + 30 ≤ 27 − 3x
13x ≤ 67
x≤
]−∞ ,
67
13
67
]
13
ALTERNATIVA D
39. El intervalo solución de la inecuación: (3x − 1) − (x 2 − 1) ≥ x(4 − x) + 3 ; es:
Resolución
(3x − 1) − (x 2 − 1) ≥ x(4 − x) + 3
3x − 1 − x 2 + 1 ≥ 4x − x 2 + 3
−3 ≥ x
] − ∞ , − 3]
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
42
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
40. El intervalo solución de la inecuación:
5x − 4 x + 7 4x − 1
−
>
; es:
2
3
8
Resolución
5x − 4 x + 7 4x − 1
−
>
2
3
8
12(5x − 4) − 8(x + 7) > 3(4x − 1)
60x − 48 − 8x − 56 > 12x − 3
52x − 104 > 12x − 3
40x > 101
x>
]
101
40
101
,+ ∞[
40
ALTERNATIVA A
41. La solución del sistema de inecuaciones:
x > −2
0 ≤ y <1
; es:
Resolución
La solución corresponde a la región acotada por los valores de x mayores que
-2 y los valores de y entre 0 y 1. Las rectas y=1, x= -2 aparecen segmentadas
pues estas no están incluidas en la región.
ALTERNATIVA C
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
43
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
42. El sistema de inecuaciones que representa la región es:
Resolución
La gráfica corresponde a la región comprendida entre las rectas y=2, y=x, y= -x
ALTERNATIVA D
43. El gráfico solución del sistema de inecuaciones:
y−x ≥1
; es:
x≤2
Resolución
Para resolver un sistema de inecuaciones de manera gráfica, es necesario
analizar cada inecuación como una ecuación lineal. Así;
a) Sea y − x = 1, para graficar se determinan el punto de intersección con el eje
x (cuando y = 0) y el punto de intersección con el eje y (cuando x = 0)
Si y = 0, entonces x = -1 luego el punto de intersección con eje x es (-1,0)
Si x = 0, entonces y = 1 luego el punto de intersección con eje y es (0,1)
Entonces al graficar la recta, es posible deducir que el área solución es la que
está desde la misma recta y el lado izquierdo de ella, ya que y − x ≥ 1.
b) Sea x = 2 , entonces la recta es perpendicular al eje x (cortando en el punto
(2,0)) y paralela al eje y. Esto se debe a que para cualquier valor que toma y, x
siempre será 2. Luego, al graficar la recta es posible deducir que el área
solución es la que está desde la misma recta y el lado izquierdo de ella, ya que
x ≤ 2.
Finalmente, la solución del sistema de inecuaciones se obtiene de la
intersección de las áreas antes determinadas.
ALTERNATIVA D
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
44
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
44. El sistema de inecuaciones que representa el siguiente gráfico es:
Resolución
Como el área solución se encuentra entre las rectas (incluyéndolas):
a) x = 1 (para cualquier valor de y, x siempre será 1). Entonces la inecuación es
x ≤ 1 , ya que el área solución se encuentra desde la misma recta y el lado
izquierdo de ella.
b) y = −1 (para cualquier valor de x, y siempre será -1). Entonces la inecuación
es y ≥ −1, ya que el área solución se encuentra desde la misma recta y arriba
de ella.
c) x − y = 1 (los puntos señalados en el grafico se producen en (1,0) (esto es si
x = 1, y = 0) y en (0,-1) (esto es si x = 0, y = -1). Entonces la inecuación es
x − y ≥ 1 ya que el área solución está en la misma recta y el lado derecho de
ella.
Finalmente como la solución se produce por la intersección de ambas rectas, el
x−y ≥1
sistema de inecuaciones es
x ≤1
y ≥ −1
ALTERNATIVA C
45. El intervalo que expresa la condición “los números menores que 17” es:
Resolución
x > 17
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
45
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
46. Se sabe que el perímetro de un rectángulo es a lo menos 16 cms y a lo más
20 cms y que el largo y el ancho no pueden medir menos de 4 cms y de 3 cms
respectivamente. Entonces el sistema de inecuaciones que representa el
problema es:
Resolución
16 ≤ 2(x + y) ≤ 20
x≥4
y≥3
→
8 ≤ x + y ≤ 10
x≥4
y≥3
ALTERNATIVA B
47. La solución expresada en notación de intervalo, de la expresión “los
números que son mayores o iguales a 2 o menores que – 3 “ ; es:
Resolución
] − ∞ , − 3[ ∪ [2 , ∞ + [
ALTERNATIVA D
48. La adición entre el doble de un número y el triple de otro número es mayor
que 15 y la diferencia entre el mayor y el menor es menor o igual que 2. El
sistema de inecuaciones que representa dicha situación es:
Resolución
Sean: x = nº mayor ; y = nº menor
Entonces:
2x + 3y > 15
x−y≤2
ALTERNATIVA A
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
46
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
49. Sea el polígono de vértices A = (0,0) ; B = (25,0) ;
C = (25,12) ;
D = (10,21) ; E = (0,18) . Si la función objetivo es: F(x,y) = 30x + 25y ; entonces
el valor máximo es:
Resolución
F(0,0) = 30 ⋅ 0 + 25 ⋅ 0 = 0
F(25,0) = 30 ⋅ 25 + 25 ⋅ 0 = 750
F(25,12) = 30 ⋅ 25 + 25 ⋅ 12 = 1050
F(10,21) = 30 ⋅ 10 + 25 ⋅ 21 = 825
F(0,18) = 30 ⋅ 0 + 25 ⋅ 18 = 450
ALTERNATIVA D
50. La siguiente tabla muestra la producción de dos artículos que pasan por
tres procesos.
A
P1 3
P2 2
P3 1
B Tiempo Máximo
5
35
3
22
1
10
Entonces las restricciones lineales son:
Resolución
3x + 5y ≤ 35
2x + 3y ≤ 22
x + y ≤ 10
x,y ≥ 0
ALTERNATIVA B
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
47
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
51. Una empresa pesquera puede extraer como máximo 3500 toneladas de
merluza y 2500 toneladas de salmón, pudiendo pescar en total no más de 4000
toneladas. Si el valor de venta de la merluza es de $1200 el Kg. y el del salmón
es de $1800 el Kg., ¿cuál es el valor máximo de venta de ambos productos?
Resolución
Sean
x : ton. merluza
y : ton. salmón
Función Objetivo :
f(x,y) = 1200x + 1800y
x ≤ 3500
y ≤ 2500
x + y ≤ 4000
x,y ≥ 0
Vértices
O = (0,0)
A = (3500,0)
B = (3500,500)
C = (1500,2500)
D = (0,2500)
Como
el
óptimo
se
encuentra
en
f(C) = 1200 ⋅ 1500 + 1800 ⋅ 2500 = $6.300.000 .-
el
punto
C,
Æ
ALTERNATIVA A
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
48
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP
52. Una empresa constructora debe realizar un conjunto habitacional de dos
tipos de departamentos. Para ello dispone de $2.100.000.000, siendo el costo
de cada departamento $30.000.000 y $35.000.000 respectivamente, pero por
un permiso municipal sólo pueden construir un máximo de 500 departamentos.
La utilidad por cada departamento es de $4.500.000 y $3.500.000
respectivamente. Así, la función objetivo que representa dicha situación es:
Resolución
Sea x: depto. de $30.000.000 ; y: depto. de $35.000.000 la hora
Función objetivo:
f(x, y) = 4.500.000x + 3.500.000y
ALTERNATIVA C
Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica
49
Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP