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EL USO DE LAS NUEVAS TECNOLOGIAS EN LA TRANSICION DE
LA ARITMERICA AL ALGEBRA
PONENCIA
COGNICION, APRENDIZAJE Y CURRICULO
EXPERIENCIA DOCENTE
AUTOR: JOSE PUERTO MONTERROZA
Esp. En Educación Matemática
Esp. En Informática Educativa
Lic. En Matemática
INSTITUCION EDUCATIVA SIMON ARAUJO
[email protected] Fax 2820642
Sincelejo – Sucre
2006
INTRODUCCIÓN
A través de los años se ha visto, y así lo demuestran los planes de estudio, que el currículo durante los primeros grados
está basado solamente en el estudio de la Aritmética, y que tópicos como el algebra, que podrían ayudar a los
estudiantes a desarrollar destrezas de pensamiento como: observar, analizar conjeturar, generalizar, etc., son
reservados para ser estudiados en los grados octavo y noveno.
Los escolares al comenzar el estudio del álgebra, traen nociones y enfoques de usos del trabajo aritmético, pero no son
suficientes para abordar el trabajo algebraico ya que este no es una simple generalización de la aritmética.
A este paso obligado que realiza el estudiante en su aprendizaje de la matemática escolar, usualmente se denomina
periodo de transición aritmética álgebra. Este periodo ha sido analizado y estudiado por muchos investigadores cuyos
resultados ha determinado algunas causas y posibles soluciones pedagógicas que permitan que el estudiante realice su
aprendizaje en esta etapa sin mayores traumatismos y con mejor provecho de su educación, evitando de esta manera la
deserción estudiantil, apatía por la matemática, etc.
En este trabajo se pretende, con el uso de las nuevas tecnologías, presentar una alternativa de solución que contribuya
a ser menos brusco el paso del pensamiento numérico al pensamiento algebraico a través de una propuesta de aula que
permita a los alumnos, mediante situaciones problémicas pre-algebraicas, poner en práctica el conocimiento aritmético
que poseen y empiecen a familiarizarse con el leguaje algebraico.
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1. PROBLEMA
El álgebra, es una materia que crea gran expectativa en los alumnos que vienen de séptimo grado, y es donde la
mayoría de éstos presentan dificultades en el manejo de algunos conceptos y símbolos.
Investigaciones en Educación Matemática, como las hechas por Kucheman, Collis,
problemas relacionados con el paso de los números a las letras, como son:
entre otros, informan de
Manejo inadecuado de las cuatro operaciones fundamentales y leyes de los signos.
Dificultad para identificar o entender lo qué es una variable y una constante.
Fallas en la utilización de signos de agrupación (paréntesis, llaves, corchetes).
La asimilación y comunicación de un lenguaje extraño como lo es el lenguaje algebraico para los alumnos que
la ven por primera vez, el cual es diferente al lenguaje que ellos manejaban, ya que es puramente simbólico.
El nivel sintáctico2 que es elemento esencial en el álgebra, asociada al uso de la notación formal, sobre todo
para los estudiantes que después de una larga trayectoria aritmética por la enseñanza infantil y primaria
se encuentran en secundaria con nuevas reglas sintácticas algebraicas contradictorias muchas veces con las aritméticas.
Ejemplo:
axb=bxa
lo que no es lo mismo en aritmética
Ya que:
37 ≠ 73
Así como este ejemplo existe gran diversidad de casos, en que se evidencian diferencias en las reglas que rigen al
lenguaje aritmético y al algebraico.
La interpretación que se le da a la letra por parte de los estudiantes en álgebra puede variar, como lo manifiesta
Kucheman3 en sus estudios realizados, quien encontró que entre tales interpretaciones están: letra evaluada, no usada,
como objeto, como incógnita, como número generalizado y como variable
Los términos procedentes del vocabulario común, puesto que algunas palabras tienen en castellano un significado
muy diferente a como se utilizan en matemáticas, como por ejemplo: raíz, solución, producto, etc.; la utilización
de tales palabras implica una confusión semántica para los estudiantes y no es fácil evitarlo.
2. FERNANDEZ GARCÍA, Francisco. El paso de la Aritmética al Álgebra. Una propuesta didáctica. Pág. 17
El hecho4 de que el álgebra pueda ser vista como la formulación y manipulación de proposiciones generales sobre
los números, hace que la experiencia previa que el estudiante ha tenido con la estructura de expresiones numéricas
en la escuela, tenga efecto sobre la habilidad para asignarle sentido al álgebra, por ejemplo la concatenación de
símbolos cambia sustancialmente: mientras en aritmética concatenar símbolos (números) lleva implícitamente la
suma de los valores posiciónales (25 = 20 + 5 ó 25 = 2 decenas más 5 unidades; 3 ½ = 3 + ½ ), en álgebra
concatenar lleva implícito el producto (2a significa 2xa). Así, es posible que el estudiante relacione 2a y 2+a
como expresiones equivalentes o también que sintácticamente asuma a + a como aa ó como: a2 (a + a = aa = a2).
En este sentido, resulta importante destacar un hecho encontrado en la investigación desarrollada sobre la
variable en matemáticas por el grupo pretexto (1996): h2 no se relaciona directamente con el producto h.h sino
como conteo de haches (hh ó h + h), que aparecen dos veces independientemente de la operación.
Relacionado con lo anterior, puede mencionarse la dificultad que tienen los estudiantes para aceptar la falta de
cierre, por ejemplo, aceptar como respuesta la expresión a + b, prefiriendo cerrarla, lo cual induce a escribir a + b = ab
e incluso 2 + 3a = 5a. En este mismo sentido, cuando se les pide sumar 3 con b, pueden llegar a formular la suma, 3 +
b, pero no la aceptan como respuesta, escribiendo en consecuencia 3 + b = 3b. Puede generalizarse esta situación,
diciendo que el estudiante no acepta que proceso y resultado pueden ser lo mismo, dificultad que ha dado en llamarse
dilema proceso – producto, es decir, la dificultad generada por interpretar el signo “=” con una orden de operar
(Kieran, 1981) y para aceptar la relación de igualdad como una relación de equivalencia.
En vista de las dificultades expuestas y atendiendo a que el estudio del álgebra se deja casi exclusivamente para los
grados 8° y 9°, se cree conveniente involucrar a los estudiantes del grado séptimo, a nivel de aula, en trabajos que
incluyan conceptos fundamentales y elementales del álgebra para que éstos se sientan mejor preparados en los grados
octavo y noveno, que es donde se hace mayor énfasis en el trabajo algebraico.
Por ello se plantea:
¿En qué medida el trabajo pre – algebraico con los estudiantes de séptimo grado, facilitaría el paso de la aritmética
al álgebra con el apoyo de las nuevas tecnologías?
1.2 JUSTIFICACIÓN
Muchos de los fracasos que se presentan en el área de las matemáticas radican en el paso que existe de la aritmética al
álgebra, ya que los diferentes estudios que se han hecho acerca de esto, así lo demuestran.
Este proyecto de aula es de gran importancia dentro de esta línea de investigación matemática, puesto que trata de
solucionar en parte una de las tantas dificultades por la que atraviesan la mayoría de los estudiantes cuando se
promueven del grado séptimo al grado octavo, como lo es la transición del trabajo con números (naturales y enteros)
al trabajo con letras.
Esta investigación está enfocada a buscar alternativas de solución a algunos de los problemas que presentan los
estudiantes de básica secundaria en el área de las matemáticas, específicamente en la transición que hay de los
números a las letras; además, se espera que estas alternativas de solución se conviertan en estrategias metodológicas de
los docentes de matemáticas y a la vez sentar las bases para impulsar al estudiante a un buen desempeño en esta área.
Los docentes desde el grado séptimo podrían abrir espacios para desarrollar algunos conceptos del álgebra para que
así el alumno se sienta familiarizado con ésta, cuando entre de lleno a verla y no sea un obstáculo en la resolución de
problemas.
Consideramos que el trabajo puede realizarse, ya que se cuenta con los recursos humanos y materiales como son la
institución, alumnos, docentes, etc., además de contar con las suficientes bases teóricas y el tiempo necesario para
realizar dicha investigación.
3 KUCHEMAN (1978). La Transición Aritmética – Álgebra. P. 30 – 31.
4 Ibit. Pág. 20, 21, 22.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo general
Introducir a los estudiantes de séptimo grado de la institución educativa Simón Araujo al estudio del álgebra
escolar, mediante el trabajo con actividades que involucren expresiones algebraicas sencillas que le signifiquen,
a fin de prepararlos para el trabajo en álgebra , con el apoyo de las nuevas tecnologías.
1.3.2 Objetivos Específicos
Afianzar la comprensión de las operaciones matemáticas básicas en los alumnos de séptimo grado.
Familiarizar al estudiante de grado 7° con el lenguaje algebraico y expresiones simbólicas.
Diseñar actividades que involucren expresiones algebraicas sencillas relacionadas con: Perímetro, longitud,
área, volumen y expresiones con variables y paréntesis.
Solucionar situaciones problemáticas pre – algebraicas donde el estudiante ponga en práctica el conocimiento
aritmético que tiene.
Posibilitar el uso de la letra evaluada, como incógnita y como variable; utilizando el concepto de perímetro, área
y volumen de figuras geométricas.
2. MARCO TEORICO
Interpretaciones de la letra.
1.- Letra evaluada: A la letra se le da un valor numérico en lugar de tratarla como un valor desconocido. Por ejemplo,
al preguntársele: si e+f= 8, ¿cuánto es e+f+g?, el muchacho responde 12, en lugar de 8+g.
2.- Letra no usada: Aquí la letra se ignora, o a lo más es reconocida (pero sin dársele un significado). Por ejemplo, al
solicitársele “súmele 2 a 3n”, el muchacho escribe 5 ó 5n en vez de 3n+2.
3.- Letra como objeto: La letra es vista como un nombre para un objeto, o como el objeto propiamente dicho. Por
ejemplo, ante expresiones como “2n + 3n” se piensa en “2 naranjas y 3 naranjas”, simplemente como “2 enes y 3
enes, lo cual significa 5 enes juntas”. Si bien esta manera de operar puede servir para resolver fácilmente algunos
ejercicios (por ejemplo en la suma de términos semejantes), puede ser errónea o carecer de significado en otros, como
cuando se planeta que una libra es igual a cuatro marcas, en un cierto instrumento para pesar, y se traduce como:
l = 4m (lo cual no se tiene, en este caso, si l y m son números).
4.- Letra como incógnita: Aquí la letra se piensa como un número particular pero desconocido y el muchacho se lanza
a operar con la letra vista de esta manera, a pesar de la falta de cerradura del resultado (Como en las respuestas 8+g y
3n+2).
5.- Letra como número generalizado: La letra se ve como representante de valores o capaz de tomar varios valores
más que como un valor específico, como en “qué puede usted decir de C si C + D = 10 y C es menor que D”.
6.- Letra como variable: La letra representa un rango de valores y el muchacho es capaz de describir el grado con el
cual los cambios en un conjunto se determinan por los cambios en otro (lo cual significa establecer al menos una
relación de segundo orden).
Un ejemplo es “a = b + 3; ¿qué le pasa a a sí b es incrementado en 3?” donde los muchachos necesitan encontrar una
relación como “a es siempre tres más que b”, mejor que “este a es tres más que este b”, lo cual no dice nada acerca de
su relación con los cambios de b.
De las seis interpretaciones que el estudiante le da a la letra en álgebra para el diseño de nuestras actividades,
tendremos en la letra como incógnita, como variable y evaluada, las cuales están dentro de las que el estudiante en este
período más usa, según investigaciones realizadas y mencionadas anteriormente.
Para el presente trabajo se considera fundamental los aportes hechos por el grupo PRETEXTO12 en su investigación
Transición Aritmética – Álgebra, basados en los estudios de Kucheman, aportes que deben tenerse en cuenta para el
trabajo de aula a realizar. El trabajo del Grupo Pretexto se ha caracterizado bajo el nombre de Problemas puntuales en
la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas entre las cuales está: la proporcionalidad en aritmética, la variable en
álgebra, límite en cálculo y enunciados condicionales en lógica.
Si bien no aparecen explícitamente en los momentos de transición, grados sexto a octavo determinan en una alta
medida la posibilidad de comprensión tanto de la relación entre aritmética y álgebra, como del álgebra misma.
Es de resaltar las sugerencias de actividades hechas por el Grupo Pretexto13, que se consideran pueden ser abordadas
desde el trabajo aritmético y permite un transito más natural hacia el trabajo algebraico, como:
•
Tomando como base la capacidad desarrollada por los estudiantes en el trabajo aritmético, plantear exigencias en
cuanto a explicitar y dar cuenta de los procesos realizados y en tal sentido, descentrar el interés en la búsqueda de
respuestas, así como tematizar las convenciones de notación.
•
Posibilitar trabajos con la igualdad como relación de equivalencia. Un tema propicio para un trabajo en este
sentido, lo constituye las fracciones, pues, además de tematizar la igualdad como relación de equivalencia, permite
“romper” con la idea de unidad fija de medida, en tanto aquí, como ya se mencionó la unidad varia. Otro tema
que permite el trabajo con clases de equivalencia, y que hace uso del algoritmo de Euclídes, en los Naturales,
ligando bases y sistemas de numeración, es el de clases residuales.
•
Propiciar experiencias con procesos de generalización y búsqueda de patrones, en particular, como posibilidad de
acercamiento a la noción de variable, además de la necesidad de que “el número generalizado” varíe en diferentes
universos numéricos.
•
Propiciar actividades a partir del trabajo con los conjuntos numéricos, inicialmente ligadas a la variación –tanto en
conjuntos discretos como densos-, que posibiliten interpretaciones de la letra como representación indistinta y
simultánea de individuos en estos conjuntos. En particular se propone un trabajo de tipo constructivo para “dar
existencia” a los números racionales, basado en el “saber previo” del estudiante. Sobre estructura multiplicativa en
el conjunto de los números naturales.
•
Proponer actividades que favorezcan discusiones en torno a la idea de continuidad de la variable, ligada a la
noción de infinito.
•
Posibilitar percepciones de la variación a partir del análisis de tablas o del análisis de gráficas, que representan
relaciones entre parámetros.
•
Proponer actividades que requieran de diversas interpretaciones de la letra.
13 Ibid. Pag. 26
3. ACTIVIDADES
Actividad N°1
Transición lenguaje ordinario – lenguaje aritmético – lenguaje algebraico
Objetivo:
Familiarizar al estudiante con algunos de los lenguajes utilizados en matemáticas como son: El ordinario, aritmético,
y algebraico, con el fin de posibilitar el tránsito entre ellos.
1. Escribe simbólicamente:
Lenguaje
Lenguaje Aritmético
Lenguaje Algebraico
Ordinario
a. Cinco veces tres
b. La tercera parte de nueve.
c. El doble de cuatro.
d. Cinco veces, tres más cuatro.
e. La suma de dos números es 23
f. La quinta parte de diez.
g. El triple de un número.
h. La razón entre dos números.
i. El producto de dos números.
j. La diferencia de dos números.
2. Escribe Algebraicamente: (Uso de Excel)
Desde la celda A1 hasta la Celda A10 escribe números cualesquiera (ver ejemplo en la fig ), y en la celda B1
escribe una formula que calcule el Doble de A1. En la celda C1 una que calcule el triple de A1. En la celda D1
una que calcule la mitad de A1. Verifique su resultado y copie la formula para las demás celdas.
Actividad N° 2
Transición lenguaje ordinario – Lenguaje algebraico
Objetivo:
• Expresar en lenguaje algebraico algunas propiedades de los números naturales.
• Posibilitar el uso de la letra como una variable.
1. Escribir en forma algebraica las siguientes propiedades de los números naturales.
a. La suma de dos números naturales es otro número natural.
En la columna A escribe números naturales desde A1 hasta A10.
En la columna B escribe números naturales desde B1 hasta B10.
En la columna C escribe una formula que sume los números de la columna A con los número de la
columna B.
¿Son números naturales los resultados obtenidos en C?
¿Puedes escribir en forma algebraica esta propiedad?
b. Si cambiamos el orden de los sumandos, la suma no se altera.
c. El producto de dos números naturales es otro número natural.
d. El orden de los factores no altera el producto.
e. Si a cualquier número natural lo sumamos con el cero, el resultado es el mismo número natural.
f. Si a un número natural lo multiplicamos por uno, el resultado es el mismo número natural.
g. Si a un número natural lo multiplicamos por cero, el resultado es cero.
h. Para multiplicar un número natural por una suma se multiplica por cada uno de los sumandos y se suman los
resultados.
i.
Para multiplicar un número natural por una diferencia se multiplican el minuendo y el sustraendo por el
número y se restan los resultados.
Actividad N° 3
Transición lenguaje ordinario - Lenguaje algebraico
Objetivo:
• Expresar en lenguaje algebraico algunos conceptos geométricos.
• Posibilitar el uso de la letra evaluada, como incógnita y como variable; utilizando el concepto de perímetro de
figuras geométricas.
1.Expresa simbólicamente la definición:
El perímetro de un cuadrado se halla sumando las longitudes de cada uno de sus lados.
_____________________________.
b
a
c
d
2. Expresa algebraicamente la anterior definición:
En las celdas A2, B2, C2 y D2 escribe el valor de la longitud de los lados de un cuadrado cualquiera.
En la celda E2 escribe una formula que calcule el valor del perímetro de ese cuadrado. ¿Esta formula
es única?
¿Puedes escribir en forma algebraica esta definición de perímetro?
¿Qué le sucede al valor del perímetro si el valor del lado varía?
¿Qué le sucede al valor del perímetro si el valor del lado es el doble del lado inicial?
¿Qué le sucede al valor del perímetro si el valor del lado es cinco veces el valor del lado inicial?
¿Qué le sucede al valor del perímetro si el valor del lado es la mitad del valor del lado inicial?
¿Cómo debe ser el valor del lado de un cuadrado que tenga 12 como perímetro?
¿Cómo debe ser el valor del lado de un cuadrado que tenga 15 como perímetro?
Actividad N° 4
Transición lenguaje ordinario – Lenguaje Algebraico.
Objetivos:
• Expresar en lenguaje algebraico algunos conceptos geométricos
• Posibilitar el uso de la letra evaluada, como incógnita y como variable; utilizando el concepto de área de figuras
geométricas.
1. Sabiendo que:
a. El área de un rectángulo se obtiene hallando el producto de las longitudes de la base y la altura. Expresa
simbólicamente esta definición __________________.
Altura
Base
2. Expresa algebraicamente la anterior definición:
En la celda A2 escribe el valor de la longitud de la base de un rectángulo cualquiera.
En la celda B2 escribe el valor de la longitud de la altura de un rectángulo cualquiera.
En la celda C2 escribe una formula que calcule el valor del área de ese rectángulo. ¿Esta formula es
única?
¿Puedes escribir en forma algebraica esta definición de perímetro?
¿Qué le sucede al valor del área si el valor de la base varia y el valor de la altura se mantiene constante?
¿Qué le sucede al valor del área si el valor de la base se mantiene constante y el valor de la altura varia?
¿Qué le sucede al valor del área si el valor de la base y el valor de la altura varían?
¿Qué le sucede al valor del área si el valor de la base es el doble del valor de la altura inicial?
¿Qué le sucede al valor del área si el valor de la altura es cinco veces el valor de la base inicial?
¿Qué le sucede al valor del área si el valor de la base es la mitad del valor de la altura inicial?
¿Cómo deben ser el valor de la base y la altura de un rectángulo para que tenga 12 cm de área?
¿Cómo deben ser el valor de la base y la altura de un rectángulo para que tenga 13 cm de área?
Si la base de un rectángulo mide 8 cm y su área 72cm. ¿Cuánto mide su altura?
Si la altura de un rectángulo mide 12 cm y su área 80 cm. ¿Cuánto mide su base?
Actividad N° 5
Generalización
Objetivo:
Generalizar expresiones a partir de la visualización y análisis de la posición de las figuras.
Observa la siguiente gráfica:
1ra posición
2da posición
1. Responde las siguientes preguntas:
a.
b.
c.
d.
e.
3ra posición
Dibuja la figura correspondiente a la cuarta posición?
Calcule el número de cuadrados correspondientes a la novena posición.
Calcule el número de cuadrados correspondientes a la posición 100.
Explica la forma cómo procedió para encontrar la respuesta del inciso anterior.
Escriba una expresión (fórmula en Excel) que sirva para encontrar la cantidad de cuadros que tiene la figura en
cualquier posición (en general).
Actividad N° 6
Generalización
1. Una baldosa blanca cuadrada necesita cuatro baldosa azules triangulares para rodearla completamente
Dos baldosas blancas cuadradas necesitan seis baldosas triangulares para rodearla completamente:
a. ¿Cuántas baldosas azules triangulares serán necesarias para rodear completamente cuatro baldosas blancas
cuadradas alineadas?
b. ¿Cuántas baldosas azules triangulares serán necesarias para rodear completamente 10 baldosas blancas
cuadradas alineadas?
c. ¿Cuántas baldosas azules triangulares serán necesarias para rodear completamente 20 baldosas blancas
cuadradas alineadas?
d. Explica la forma cómo procedió para encontrar la respuesta del inciso anterior.
e. Con la descripción que hiciste con el literal anterior ¿Cuántas baldosas serán necesarias para rodear
completamente K baldosas blancas cuadradas alineadas?
f. Escriba una expresión (fórmula en Excel) que sirva para encontrar la cantidad de baldosas que tiene la figura
en cualquier posición (en general).
Actividad N° 7
Generalización
3. Analiza la secuencia, encuentra el patrón y responde:
•
¿Cuántos triángulos rojos hay en:
a. La séptima figura de esta secuencia?
b. La décimo quinta figura?
c. La vigésima figura?
g. Explica la forma cómo procedió para encontrar la respuesta del inciso anterior.
h. Con la descripción que hiciste con el literal anterior ¿Cuántos triángulos rojos hay en la posición n?
i. Escriba una expresión (fórmula en Excel) que sirva para encontrar el número de triángulos rojo en
cualquier posición (en general).
Actividad N° 8
Generalización
1. Todo polígono de cuatro o más lado tiene diagonales.
Observa las figuras y analiza:
Lados del polígono 4
Diagonales desde 1
un vértice
5
2
6
3
a. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de ocho lados?
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
7
8
¿
n
¿
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVAREZ, Ricardo y ORTEGA, Roiber (2004). “Interpretación de la letra en 8º. Una propuesta didáctica”. Sincelejo,
Sucre. Universidad de Sucre. Departamento de Matemáticas.
ANAYA, Alexander y MENDOZA, Albeiro (2001). “Algunas estrategias didácticas para superar algunas dificultades
presentadas por los estudiantes de 8º y 9º en la interpretación de la letra en el álgebra escolar en el Instituto Sabanas de
Sincelejo”. Sincelejo, Sucre. Universidad de Sucre. Departamento de Matemáticas.
GRUPO PRETEXTO (1996). “La variable en matemáticas como problema puntual: búsqueda de causas en octavo
grado”. Informe final de investigación. Santafé de Bogotá. D.C: Universidad Distrital Francisco José de CaldasColciencias.
KIERAN (1981). Concepts Associated with the equality symbol. En: Educational Studies in Mathematics, No. 12; pp
317-326.
KÜCHEMANN, D. (1978). Children´s understanding of numerical variables. En: Mathematics in school. Vol. 7, No.
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PALAREA MEDINA, María de las Mercedes (1998). “La adquisición del lenguaje algebraico y la detención de
errores comunes cometidos en álgebra por los alumnos de 12 a 14 años”. Universidad de la Laguna. España.
REYES, Herminda; OLARTE, Rafael (1998). “Usos e interpretaciones del signo igual. Un estudio de los grados
cuarto y sexto de educación básica”. Santa Fé de Bogotá. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Especialización en Educación Matemáticas.