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GUÍA No. 3
Período: I
INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA
SEÑORA DEL PILAR
BUCARAMANGA – SANTANDER
Pág. 1 de 5
GUÍAS DE APOYO AL ESTUDIANTE
Estudiante:
8º
EVALUACIÓN
ÁLGEBRA
Docente: Nancy Patricia Plazas C.
Fecha:
PRESABERES:
 Identificación, relación de orden y operaciones entre conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales e
irracionales)
SABERES:
NÚMEROS REALES
Definición: Los números reales son todos los números que se pueden expresar como un decimal, en
algunos casos serán decimales finitos, decimales infinitos periódicos o decimales infinitos no periódicos.
Si observas la definición y la comparas con las definiciones estudiadas hasta el momento sobre números racionales y
números irracionales podrás concluir que:
“Los números reales son el conjunto numérico formado por la unión entre los números racionales y los
números irracionales”
Para representar a los números reales lo hacemos por medio de la letra R , siguiendo su definición establecemos que:
R QI
El Diagrama de Venn que utilizamos para representar los números reales es el siguiente:
R
N Z QR
Z
Q
I
N
IR
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA
Dado que el conjunto de los números reales es la unión de los conjuntos racional e irracional, representar un
real en la recta numérica será entonces hacer divisiones de la unidad (en caso de ser racional) o utilizar
construcciones geométricas (en caso de ser irracional).
De ese modo a cada número real le corresponde un solo punto sobre la recta numérica (recta real) y a cada
punto sobre la recta le corresponde un solo número real.
ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES
Cuando se comparan dos números reales a y b, se puede presentar una y solo una de las siguientes
situaciones:
a  b (a es menor que b)
a  b (a es mayor que b)
a  b (a es igual a b)
Ejemplos: Identifique la relación de orden entre las parejas de números dados
1.
2.
3.
– 10 y 4,5
5
y 2
3
10
y 3, 3
3
Rta:
Rta:
Rta
 10  4,5
5
 2
3
10
= 3, 3
3
En ninguno de los casos anteriores se podrá decir que se cumple alguna de las otras dos relaciones de orden
(represente los ejemplos en la recta numérica y compruebe lo que se indica en las respuestas).
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ÁLGEBRA
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EVALUACIÓN
8º
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Período: I
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SEÑORA DEL PILAR
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS REALES
La adición en el conjunto de los números reales cumple las mismas propiedades que cumple la adición en el
conjunto de los números racionales. Por tanto se tiene que para a, b y c números reales, las siguientes
propiedades son válidas:
Clausurativa
:
(a + b) es un número real
Asociativa
:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa
:
a+b=b+a
Modulativa
:
si a es un número real, existe 0, tal que a + 0 = 0 + a = a; cero es el módulo de la adición
Invertiva
:
si a es un número real, existe ( - a) también real, tal que: a + (- a) = 0; - a es el opuesto de a
En los números reales, como en los racionales, la sustracción de dos números a
y b significa realizar la adición de a + (- b), es decir, para sustraer dos números
reales se adiciona al primero el opuesto del segundo.
Ejemplos:
1. Efectuar las operaciones indicadas
a.
2
2

3 3
Solución:
2
2 2 2


3 3
3
b.
2
2

3 2
Solución:
2
2 2  2 43  2 43 2

 


3 2
3
2
6
6
3 2 3 4 3
c.


 3   3   3 
3   2  3
3  2  3  4  3  2   4 
Solución:

 2  0 
Nota: Las expresiones obtenidas como respuestas no pueden simplificarse más (dado que una parte es racional y la
otra irracional), es decir representan números reales los cuales se acostumbra a dejar indicados de esta forma, no se
escriben en su forma decimal.
ACTIVIDAD EN CLASE
1. Determina a qué conjunto numérico (N, Z, Q, I, R) pertenecen los siguientes números.
a.
8
2
b.
c. 
7
4
7
d.
2
e.  0, 3
2. Establece el orden (ascendentemente), en cada uno de los siguientes grupos de números
a.
1
;
2
c. 0,66;
e.
1
;
2
40
;
80
4
;
6
2
;
5
74
37
0,25 ;
 320
;
480
1
 ;
2
3
;
10
3
;
4
 0,75;

75
;
100
50
;
 90
 0, 5

25
;
45
b. 
20
30
d.


150
200
5
9
1
5
3. Escribe dos números que cumplan con la condición dada
a. Reales no enteros
b. Reales irracionales
c. Reales no irracionales negativos
d. Reales racionales, periódicos
e. Reales racionales, no periódicos
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4. Realiza las siguientes operaciones
3
3 2 5
4
d. 6  8 3  3 3  4
a.  8,635  6
b.

c. 4 5  0,75  8 5  0,375
 

ACTIVIDAD EN CASA
1. Encuentra el número real que representa la suma, aplicando las propiedades de la adición.


a.
2  5 2
c.
5.3   5   5.3


b. 2.5   3 

d.
2

3.14  1.3    
2. Sobre la diagonal de un cuadrado de lado 1 cm se construye otro cuadrado. ¿Cuál es el perímetro del nuevo
cuadrado?. Dibuja para que interpretes lo que se pide.
3. Si a cada miembro de una igualdad se adiciona o sustrae el mismo número real, la igualdad se conserva. Aplica
esta propiedad de los números reales a cada igualdad y calcula el término desconocido.
a.
1
 5

2
 7
d.   m  1    
b. z   
2  x  7.3
c. y  3  1
4. Encuentra el perímetro de un triángulo equilátero de lado
7
5. Halla el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 3 cm
6. Si es posible, hallen un número racional y un irracional cuya suma sea:
a.
11
b.
23
c.
 17
8
d.
19
5
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
La multiplicación en el conjunto de los números reales cumple las mismas propiedades que la multiplicación
en el conjunto de los números racionales. Por tanto para a, b y c números reales, las siguientes propiedades
son válidas:
Clausurativa
:
(a * b) es un número real
Asociativa
:
(a * b) * c = a * (b * c)
Conmutativa
:
a*b=b*a
Modulativa
:
si a es un número real, existe 1, tal que a * 1 = 1 * a = a; uno es el módulo de la multiplicación
Invertiva
:
si a es un número real y a ≠ 0, existe 
1
 también real, tal que: a *
a
1
  = 1;
a
1
  es el
a
recíproco o inverso multiplicativo de a.
Distributiva de la multiplicación respecto a la suma: Esta propiedad relaciona a la multiplicación y a la adición.
a * (b + c) = ( a * b ) + ( a * c ) y
(b + c) * a = ( b * a ) + ( c * a )
En los números reales, como en los racionales, la división de dos números a y b, en
donde b ≠ 0, significa realizar el producto a 
1
, es decir, para dividir un número real a
b
por b basta multiplicar el primero de los reales por el inverso multiplicativo del segundo.
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SEÑORA DEL PILAR
Ejemplos:
I. Resuelve las siguientes operaciones de multiplicación y división de números reales
1.
Solución:
4 5 3


2   3 5 
2. 10 2   15 2
3.  4
4  5 3  20 3


Solución: 10 2   15 2  150 2  2  150 4  150  2  300
3
Solución: Recuerda que primero debemos hacer que los índices de los radicales sean iguales, entonces:
 4 2  423 23  46 8
 33 5  332 52  36 25


Ahora sí multiplicamos los dos resultados obtenidos, esto es:  46 8   36 25  126 100
4.
 4  10  4 
Solución: Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, así:
 4  10  4    4 10   4  4   40 16

 
5.  4 5  6e  6 7  5



 
 
 

Solución:  4 5  6e  6 7  5   4 5  6 7   4 5   5   6e  6 7  6e   5  =
 24 35  20 5  36e 7  30e
6. Dividir 10 3 entre  5 6 Solución: Recuerda que la división se puede expresar como una fracción, donde el
dividendo y divisor son el numerador y denominador respectivamente. Esto es:


10 3   5 6 
10 3
3
1
 2
 2
6
2
5 6
ACTIVIDAD EN CLASE Y/O EN CASA:
1. Encuentra el producto de los números reales (aplica las propiedades de la multiplicación).

b. 2.5   3 
a. 5 5  3,3
c.

2
3 3

 
3 2 2
d. 2 
2


3    1
2. Encuentra el recíproco o inverso multiplicativo de cada número real.

a.
1
7
b. - 2.34
c. 1  
d.
0.5  3
e. – 0.001
f.
2


3. Resuelva los siguientes polinomios donde encuentras combinadas las operaciones de suma, resta, multiplicación,
división, potenciación y radicación de números reales.
6
1
3
2
3 5
4 5 1
 
5 6 4
a.
d.

 
2
3
8
 1 3
2
b. 1    3     
9
 2 2

3  4  1 4 3 2
e.
10  6 
10  6
1 3
3  2
  27     
16
4  3
c.

f. 3 
2

2


6 3 2 7
3
BUCARAMANGA – SANTANDER
g.



2

7  3  6 7  3  19 h. 3 8  2 18  4 50


j. 8 2  5 3 4 2  3 3


k. 5  2 3

2
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
i.

 10 5  2 3  13
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SEÑORA DEL PILAR
l.
43 5  23 135  36 1600  15
2
18


1
25

2 1
2
4. Un parque rectangular cuyos lados miden 20 m y 30 m tiene una fuente en el centro. Se construyen caminos que
van de las esquinas a la fuente. ¿Cuál es el área de cada una de las cuatro secciones en que los caminos dividen
al parque?
5. Encuentra el área y la longitud de la diagonal del rectángulo de la figura.
2 2
5 3
6. Si los dos miembros de una igualdad se multiplican por un mismo número real, la igualdad se conserva. De
acuerdo con esta afirmación y utilizando las propiedades de la multiplicación de los números reales, calcula el
término desconocido de cada igualdad.
a.
 3 x  7.2
c.
y  3 





d. m  


b. z   
3
2
5
  15
2
5
5


3  5
7. Escribe F o V según sean falsas o verdaderas las afirmaciones. Justifica tus respuestas.
a.
b.
c.
d.
El producto de dos números reales es un número real no negativo.
El recíproco o inverso multiplicativo de un número real es siempre un número real negativo.
El producto de un número real y su recíproco es 1.
El cociente de dos números reales no negativos es un número real no negativo.