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u1 UNIDAD 01 11/12/07 12:09 Página 6 unidad 1 contenidos 1. Números naturales y enteros 2. Números racionales. Potencias 3. Relaciones entre los números racionales y decimales 4. Números irracionales 5. Números reales. Representación 6. Conjuntos en la recta real 7. Aproximaciones decimales 8. Redondeos y truncamientos 9. Errores 10. Notación científica y orden de magnitud 11. Radicales 12. Operaciones con radicales 13. Racionalización de denominadores Números reales UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 7 7 Las Matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Fueron los primeros en descubrir los números irracionales, es decir, números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado. Uno de estos números irracionales es la razón que existe entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. Este número dio nombre al rectángulo áureo, llamado así porque la razón entre sus lados es el número de oro. Para los antiguos griegos este rectángulo representaba la armonía, por eso, lo utilizaron en sus obras escultóricas y arquitectónicas. La fachada del Partenón es un rectángulo áureo perfecto a la vez que otros muchos elementos del edificio. Este conocimiento de los números por parte de los griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor (1845-1918), R. Dedekind (1831-1916), K. Weierstrass (1815-1897) y B. Bolzano (1781-1848) fueron los que culminaron la obra, que duró medio siglo de investigaciones, sobre los números reales. Los conceptos de intervalo y entorno asociados a los números reales, así como una operación muy peculiar que crearon —denominada paso al límite—, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos infinitesimales que conforman la parte de las Matemáticas conocida como cálculo diferencial e integral. cuestiones iniciales 1. Encuentra varios números que estén comprendidos entre los que se indican: 2 3 a) y ; 5 5 b) 2,1 y 2,2; c) 2,01 y 2,1. 2. Utilizando solamente las teclas de las operaciones elementales de tu 3 calculadora, describe un procedimiento que te permita calcular 10 . 3. Ordena de menor a mayor los siguientes números: 5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201. 4. Elevando ambos miembros al cuadrado comprueba la igualdad: – 3 22 = 6 – 2 n 5. ¿Para qué valores de n y a se cumple a X ? Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 8 Unidad 1 8 1. Números naturales y enteros Leopold Kronecker (1823-1891) Los números naturales surgen, de forma espontánea, ante la necesidad que tiene el hombre de contar todo cuanto le rodea. • El conjunto de los números naturales se representa por y sus elementos son: = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Existen numerosas situaciones en las que los números naturales son insuficientes para resolverlas, como: • la cronología antes y después de Jesucristo. • las temperaturas sobre y bajo cero. • las soluciones de ecuaciones como: x + 3 = 1 debido a esto surgen los números enteros. Fue un gran matemático alemán que estudió la Teoría de Números. Pronunció la siguiente frase: «El buen Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre». • El conjunto de los números enteros se representa por y está formado por los números naturales (enteros positivos y cero) y por los números enteros negativos. = – {0} + = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...} Los números enteros se representan sobre una recta horizontal en la cual fijamos el origen, que designamos 0, y a partir de este colocamos sucesivamente un segmento, que tomamos como unidad, a la derecha del cero dando lugar a los enteros positivos y a la izquierda del cero dando lugar a los enteros negativos: ... –3 –2 –1 0 1 2 3 ... Utilizamos la representación gráfica para comparar números enteros. • Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. Se escribe: Valor absoluto de un número entero La definición de valor absoluto, simbólicamente, se puede escribir: |a| = a si a≥0 –a si a<0 a < b a b • Un número entero b es mayor que otro número entero a cuando en la representación gráfica b está situado a la derecha de a. Se escribe: b > a a b Un concepto asociado a los números enteros es el de valor absoluto, que es el número natural que resulta de suprimir el signo + ó – que precede al número entero. Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 9 Números reales 9 2. Números racionales. Potencias Los números enteros también son insuficientes para resolver muchas situaciones como por ejemplo: 5x = 3 Debido a esto surgen los números racionales. • El conjunto de los números racionales se representa por y está formado por: a = a, b y b ≠ 0 b Representación de números racionales 2 • Representamos 5 Los números racionales se representan sobre una recta horizontal de forma análoga a los números enteros, dividiendo cada unidad en tantas partes como indica el denominador, como se muestra en el margen. Al igual que en los números enteros utilizamos la representación gráfica para comparar números racionales siguiendo el mismo criterio que en aquellos. 0 El concepto de potencia de base un número racional y exponente natural es el mismo que el de base un número entero y exponente natural ya conocido: 4 ( ) = 2 2 5 Potencias de números racionales 2 5 1 • Representamos 7 3 4 2 2 2 2 2·2·2·2 · · · = = 24 5 5 5 5 5·5·5·5 5 • La potencia de base un número racional, a , y exponente entero se deb fine por: a b n a b 0 ( ) ( ) ( ) ( ) • Si el exponente es entero positivo: • Si el exponente es cero: a b • Si el exponente es entero negativo: n a bn = 0 1 2 3 4 7 3 =1 –n n b a = n = bn a Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un número entero. 1 1) ( ) 3) ( ) ( ) ( ) 5) [( ) ( )] ( ) ( ) a b a b = n : a b a b a c · b d m = n a b a = b c · d m n+m ( ) ( ) ( ) 4) [( ) ] ( ) 6) [( ) ( )] ( ) ( ) n–m n n 2) n a b a b · a b n m = c a : d b a b = a b n n·m a = b n c : d n Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 10 Unidad 1 10 3. Relaciones entre los números racionales y decimales Conversión de racional a decimal Cualquier número racional se puede escribir como un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto sin más que dividir numerador entre denominador. • 131 20 = 22 · 5 = 6,55 20 d. exacto • 514 257 9 = 32 = 28,5 = 18 9 d. p. puro • 68 55 = 5 · 11 272 = 1,236 = 220 55 d. p. mixto [ ] ] ] ( [ ( [ Como recordarás del curso pasado, entre los números racionales y decimales existe una estrecha relación. • Un número racional m (m y n primos entre sí) se convierte en: n • decimal exacto si los únicos factores primos que tiene el denominador son 2 ó 5. • decimal periódico puro si entre los factores primos del denominador no se encuentra ni el 2 ni el 5. • decimal periódico mixto si entre los factores primos del denominador se encuentra el 2 ó el 5. Conversión de decimal a racional • 6,55 = ( • 28,5 = 655 131 = 100 20 De todo lo anterior deducimos la siguiente propiedad: 285 – 28 257 = 9 9 ( • 1,236 = Análogamente, cualquier número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto se puede expresar como un número racional, como puedes ver en el margen. • El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos. 68 1 236 – 12 = 990 55 decimales decimales = decimales periódicos periódicos exactos puros mixtos ACTIVIDADES RESUELTAS 1. En una determinada ciudad se han contabilizado al final del año 4 250 vehículos, de los cuales una parte han sido adquiridos durante ese año. De los no adquiridos durante ese año el 54,545454...% son coches y el 10,2777...% motocicletas. ¿Cuántos vehículos se adquirieron ese año? Convertimos los decimales dados en fracciones: ( • 54,545454... 100 = 54,54 100 = 5 454 – 54 9 900 = 6 11 • 10,27 100 = 1 027 – 102 9 000 = 37 360 Por tanto, el número de vehículos no adquiridos ese año ha de ser múltiplo de 11 y de 360 y menor de 4 250. El número más pequeño que lo verifica es mcm (11,360) = 3 960, con lo que ese año se adquieron 4 250 – 3 960 = 290 vehículos. Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 11 Números reales 11 4. Números irracionales Las relaciones que hemos descubierto entre los números racionales y decimales nos aseguran que los números racionales coinciden con los decimales exactos y decimales periódicos. Sin embargo, existen números decimales con infinitas cifras decimales y que no son periódicos, como, por ejemplo: • 2,010010001… Godefroy Harold Hardy (1877-1947) • 427,232233222333… A estos números los llamamos irracionales. • El conjunto de los números irracionales, , está formado por aquellos números que, cuando los expresamos en forma decimal, aparecen infinitas cifras decimales pero no son periódicos. Los números irracionales, por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción. Algunos de los números irracionales más conocidos o más importantes son: • El número p. Es el primer número irracional que manejamos. π = 3,14159265... • El número 2 que aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1. Matemático inglés, recoge en su libro Autojustificación de un matemático dos famosos teoremas de la matemática griega clásica. El primero de ellos afirma que existen infinitos números primos y el segundo afirma que 2 es irracional. A 2 = 1,41421356... 3 También son irracionales 3, 5, 7, 2, etc. • El número de oro F (número áureo) que aparece como razón entre la diagonal de un pentágono regular y su lado. 1 + 5 F = = 1,61803398… 2 B C Φ= AC AB Y Este número aparece como razón entre los lados del «rectángulo áureo». Para los antiguos griegos este rectángulo representaba «la armonía». ( ) 1 y= 1+— x • El número e aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físicos, etc. Es el número al que tiende la función que figura en el margen cuando x tiende a + ∞ ó – ∞. x e +1 e = 2,71828182845904... –1 0 X Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 12 Unidad 1 12 5. Números reales. Representación El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales, y se denotan por la letra mayúscula . números números = racionales q irracionales =q A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos. Enteros Enteros positivos Cero 0 + Enteros negativos Racionales Reales Decimales Naturales – Decimales exactos Decimales periódicos Irracionales En los epígrafes anteriores hemos representado sobre la recta los números naturales, enteros y racionales. Los puntos de la recta que no están ocupados por números racionales son ocupados por los números irracionales hasta llenar todos los huecos. • Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemos recta real. • Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta. Representación Ya sabemos representar en la recta números naturales, enteros y racionales. Nos quedarían por representar los números irracionales. Vamos a representar, solamente, los números irracionales de la forma √n con n natural. Estos números se pueden representar en la recta real mediante procedimientos geométricos que se basan en el teorema de Pitágoras, como puedes ver a continuación. 2 3 5 0 1 1 2 Φ = 1+ 5 2 3 4 –1 0 1 2 3 2 5 6 1+ 5 Los restantes números irracionales se representan en la recta real, de forma aproximada, mediante sus aproximaciones decimales. Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 13 Números reales 13 6. Conjuntos en la recta real Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en la relación de orden de los números reales. Unión de dos conjuntos A q B es el conjunto formado por todos los elementos de A y de B. Intersección de dos conjuntos A Q B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y de B. • Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la recta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica y gráficamente: a ≤ b ⇔ ———— ó ———— a b a = b A B A El símbolo ⇔ se lee «sí y sólo si» e indica equivalencia. B A q B A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos. A Q B CONJUNTOS EN LA RECTA REAL SUBCONJUNTOS SÍMBOLO Intervalo abierto (a, b) DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA (a, b) = {x Z | a < x < b} El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b a b a b [a, b] = {x Z | a ≤ x ≤ b} Intervalo cerrado Intervalo semiabierto o semicerrado [a, b] El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b e incluidos estos [a, b) [a, b) = {x Z | a ≤ x < b} (a, b] (a, b] = {x Z | a < x ≤ b} Entorno simétrico E(a, r) Entorno reducido E *(a, r) Entorno lateral a la izquierda E (a, r) Entorno lateral a la derecha E (a, r) a E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z | |x – a| < r} b r r El entorno simétrico de centro a y radio r positivo es el intervalo abierto de extremos a – r y a + r a–r a a+r E*(a, r) = E(a – r) – {a} a–r a a+r – E –(a, r) = (a – r, a) a–r a + E +(a, r) = (a, a + r) a a+r Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 14 Unidad 1 14 El número π Existe un poema de Manuel Golmayo que permite recordar las 20 primeras cifras de π, contando el número de letras de cada palabra: «Soy y seré a todos definible 3 1 4 1 5 9 mi nombre tengo que daros, 2 6 5 3 5 7. Aproximaciones decimales Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas cifras decimales por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos. El número irracional π es: π = 3,14159265358979323846... por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades: cociente diametral siempre inmedible 8 9 7 3<π<4 9 3,1 < π < 3,2 soy de los redondos aros». 3 2 3 8 4 3,14 < π < 3,15 3,141 < π < 3,142 3,1415 < π < 3,1416 … Los números que aparecen a la izquierda de estas desigualdades son aproximaciones de π por defecto, pues son menores que π. Los números que aparecen a la derecha de estas desigualdades son aproximaciones de π por exceso, pues todas ellas son mayores que π. • Una aproximación decimal de orden n por defecto es una estimación en la cual todas las cifras, incluida la que indica el orden, son las mismas que en el número original, y las demás son cero. • Una aproximación decimal de orden n por exceso es una estimación en la cual todas las cifras, excluida la que indica el orden, son las mismas que en el número original; la que indica el orden es una unidad más y el resto de ellas son cero. ACTIVIDADES RESUELTAS 2. Dado el número de oro Φ = 1,61803398…, calcula las siguientes aproximaciones decimales: a) Aproximación decimal a unidades por exceso. La aproximación es 2. b) Aproximación decimal a centésimas por defecto. La aproximación es 1,61. c) Aproximación decimal a millonésimas por exceso. La aproximación es 1,618034. 3. Halla dos números que puedan ser valores exactos en cada una de las siguientes aproximaciones decimales: a) 432 es la aproximación a unidades por exceso. Los números pueden ser 431,74…; 431,2… b) 432,25 es la aproximación a centenas por exceso. Los números pueden ser 432,247…; 432,244… c) 432,266 es la aproximación a milésimas por defecto. Los números pueden ser 432,2667…; 432,2662… Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 15 Números reales 15 8. Redondeos y truncamientos 8.1. Redondeos • Los números 3,14 y 3,15 son aproximaciones decimales por defecto y por exceso, respectivamente, del número π = 3,14159... Observa que el número π se encuentra comprendido entre ellas. π ( ) 3,14 3,15 En este caso, la aproximación por defecto está más próxima a π que la aproximación por exceso. Decimos, por tanto, que 3,14 es un redondeo de π a centésimas. • Los números 3,1415 y 3,1416 son aproximaciones decimales por defecto y por exceso de π respectivamente. Observa que el número π se encuentra comprendido entre ellas. π ( ) 3,1415 3,1416 En este caso, el número π está más próximo a la aproximación por exceso, por tanto 3,1416 es un redondeo de π a diezmilésimas. • El redondeo de orden n de un número es la mejor aproximación decimal de orden n que se puede dar de ese número. • En la práctica se escribe el número exacto en forma decimal. Observamos la cifra que ocupa el lugar de orden n, objeto del redondeo; si la cifra siguiente es inferior a 5, el redondeo es la aproximación decimal por defecto y, si es mayor o igual que 5, el redondeo coincide con la aproximación decimal por exceso. Las aproximaciones decimales por defecto del número π: 3,14; 3,141; 3,1415; ción MODE 7 que nos permite hacer redondeos con el orden deseado. π ( ( 3,1415 Truncamiento Ejemplo: π = 3,141592653589... Muchas calculadoras tienen la op- ... son truncamientos del número π. 3,14 Redondeo = Trucamiento Redondeos y calculadora Las calculadoras redondean los resultados presentados en la pantalla a la última cifra. Si pedimos este resultado a la calculadora nos da 3,141592654, que es el redondeo a milmillonésimas. 8.2. Truncamientos 3,1; ) 3,15 Así, con el número π en pantalla, tecleamos: π ) 3,1416 Redondeo • El truncamiento de orden n de un número es su aproximación decimal por defecto de orden n. • En la práctica, para hacer truncamiento de orden n se eliminan todas las cifras a partir de ese orden. Cuando el redondeo es la aproximación por defecto del número, coincide con el truncamiento en forma decimal. • MODE 7 1 y aparece en pantalla 3,1 que es el redondeo a décimas. • MODE 7 3 y aparece en pantalla 3,142 que es el redondeo a milésimas. Para volver la calculadora al modo normal, se pulsa: MODE 9 Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 16 Unidad 1 16 9. Errores • Cuando tomamos 3,14 como aproximación decimal por defecto de π = 3,141592… estamos cometiendo un error. | 3,141592… – 3,14 | = 0,001592… < 0,01 π ( ) 3,14 3,15 Error Cota de error Dicho error es 0,001592…, y la cota de error es 1 centésima. Tanto por ciento o porcentaje de error • A la vista del dibujo anterior podemos observar que, si tomamos 3,15 como aproximación decimal por exceso de π, estamos cometiendo un error. • El error relativo, o error por cada unidad, es un tanto por uno. A veces este error relativo se expresa en tantos por ciento. • Por lo anterior, el tanto por ciento o porcentaje de error se obtiene multiplicando el error relativo por 100. | 3,141592… – 3,15 | = 0,008407… < 0,01 Este error es 0,008407… y la cota de error es también de 1 centésima. • El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el aproximado. |valor real – valor aproximado| = error absoluto • La cota del error absoluto es un número que verifica: |valor real – valor aproximado| < cota de error • La cota de error de una aproximación decimal de orden n, por defecto o por exceso, es una unidad de ese orden. La cota de error de un redondeo de orden n es media unidad de ese orden. El error cometido por cada unidad se llama error relativo, y viene dado por: error absoluto error relativo = valor real ACTIVIDADES RESUELTAS 4. Completa la siguiente tabla: Valor exacto Aproximación decimal a centésimas por defecto y cota de error Aproximación decimal a décimas por exceso y cota de error Redondeo a milésimas y cota de error Truncamiento a milésimas y cota de error F = 1,61803… aproximación: 1,61 cota de error: 0,01 aproximación: 1,7 cota de error: 0,1 redondeo: 1,618 truncamiento: 1,618 cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001 p = 3,14159… aproximación: 3,14 cota de error: 0,01 aproximación: 3,2 cota de error: 0,1 redondeo: 3,142 truncamiento: 3,141 cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001 ´ = 2,71828… aproximación: 2,71 cota de error: 0,01 aproximación: 2,8 cota de error: 0,1 redondeo: 2,718 truncamiento: 2,718 cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001 2 = 1,41421… aproximación: 1,41 cota de error: 0,01 aproximación: 1,5 cota de error: 0,1 redondeo: 1,414 truncamiento: 1,414 cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001 Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 17 Números reales 17 10. Notación científica y orden de magnitud Calculadora y notación científica 10.1. Notación científica En la práctica es muy útil escribir los números muy grandes o muy pequeños en notación científica. Así: Expresión decimal Notación científica Para introducir en la calculadora números en notación científica se utiliza la tecla EXP . 11 523 000 000 000 5,23 · 10 –1,345 · 1014 –134 500 000 000 000 0,00 000 000 009 235 9,235 · 10 Así el número –9,423 · 10–20 se introduce en la calculadora de la siguiente forma: –11 –7,91 · 10–7 –0,000 000 791 . 9 • Expresar un número en notación científica es ponerlo como un producto cuya cifra de unidades es un dígito del 1 al 9 seguido de una parte decimal, por una potencia de base 10 y exponente entero. Simbólicamente: a,bcd … · 10n EXP 4 2 2 3 +/– 0 +/– y aparecerá en pantalla: Cuando la calculadora ha de presentar en la pantalla un número muy grande o muy pequeño, con más cifras de las que puede mostrar en su visor lo presenta automáticamente en notación científica. La calculadora presentará los números que aparecen en el ejemplo anterior en notación científica de la siguiente forma: Cálculo del orden de magnitud Para hallar el orden de magnitud de un número hay que situarlo entre dos potencias consecutivas de 10 y, después, observar a cuál de ellas se aproxima más. 10.2. Orden de magnitud • El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana a dicho número. Para calcular el orden de magnitud de un número se pueden utilizar los siguientes procedimientos: • La definición, como podemos ver en el margen. • La notación científica. El orden de magnitud de un número, escrito en notación científica, es el producto del orden de magnitud de la parte entera por la potencia de 10 correspondiente. Así por ejemplo: 3 a) El orden de magnitud de 6 572 = 6,572 · 10 es: 3 4 10 · 10 = 10 b) El orden de magnitud de 0,000042 = 4,2 · 10–5 es: 1 · 10–5 = 10–5 2 2 2 c) El orden de magnitud de –364 = –3,64 · 10 es: 1 · 10 = 10 d) El orden de magnitud de 62 milésimas es: 10 · 10–2 = 10–1 Observa los ejemplos: a) Orden de magnitud de 6 572: 1 000 5 000 10 000 ↑ 6 572 1 000 < 6 572 < 10 000 Como está más próximo a 10 000 (104) que a 1 000 (103), el orden de magnitud es 104. b) Orden de magnitud de 0,000042: 0,00001 0,00005 0,0001 ↑ 0,000042 0,00001 < 0,000042 < 0,0001 Como está más próximo a 0,00001 (10–5) que a 0,0001 (10–4), el orden de magnitud es 10–5. Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 18 Unidad 1 18 11. Radicales Como recordarás de cursos pasados, decimos que 9 = 3 y 125 = 5 porque: 3 9 = 3 ⇔ 9 = 32 125 = 5 ⇔ 125 = 53 3 n • Raíz enésima de un número a, que se escribe a, es otro número b que cumple a = bn. n a = b ⇔ a = bn n El símbolo a se llama radical, donde a es el radicando y n el índice. Raíces cuadrada y cúbica en la calculadora n índice a b = raíz enésima Las calculadoras nos ofrecen las siguientes funciones para el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas: Permite calcular las raíces cua• dradas de radicando positivo. radicando radical Observa que un mismo radical puede ser escrito de diferentes formas: 3 Así, para calcular 576 debes ejecutar: 5 7 6 y obtienes: 3 • Permite calcular las raíces cúbicas de cualquier radicando. 4 5 2 = 4 = 8 = 16 = 32 A todos estos radicales que dan lugar a la misma raíz se les llama radicales equivalentes. • Radicales equivalentes son los que tienen las mismas raíces. Para obtener un radical equivalente a otro se multiplican, o se dividen, el índice y el exponente por el mismo número. n pn pm am = a 3 Para calcular 60 debes ejecutar: 6 0 3 y obtienes: El concepto de radicales equivalentes es muy útil en la simplificación de radicales. Como ejemplo, vamos a simplificar los radicales siguientes: 3 También puedes calcular –60 ejecutando: 3 6 0 +/– y obtienes: 3 3 3 4 096 = 212 = 24 · 3 = 24 • 8 4 2· 4 • x6 = x2 · 3 = x3 5 5 • –243 (–3)5 = –3 = Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 19 Números reales 19 Los radicales como potencias de exponente fraccionario Para trabajar con radicales, en ocasiones resulta muy útil escribir estos como potencias de exponente fraccionario. Otras raíces de la calculadora Con tu calculadora científica puedes encontrar el valor de la raíz de cualquier índice de un número dado. • Todo radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario de la siguiente forma: n Para calcular raíces de cualquier índice, y, utilizamos m –– n a = a m la tecla x 1/y puesto que: 1 Escribimos los radicales en forma de potencia cuando queremos simplificar radicales y cuando operamos con ellos: Ejemplos: 3 3 7 –– 3 • 2 187 = 3 =3 =3 7 1 2+ –– 3 1 –– 4 2 =3 ·3 2 –– 1 –– 3 3 = 9 3 1 –– • 4 · a2 = (22 · a2) 4 = (2a) 4 = (2a) 2 = 2a 3 2 –– 3 • 5 : 5 = 5 : 5 2 1 –– 2 =5 y x y = x 2 1 –– – –– 3 2 =5 1 –– 6 5 Para calcular 12 debes efectuar: 1 2 6 = 5 x 1/y 5 y obtienes Las propiedades de las potencias con exponente entero son también válidas con exponente fraccionario. m –– p –– m p –– + –– q m –– p –– m p –– – –– q m p –– –– q 4) a n 1) a n · a q = a n 2) a n : a q = a n m – –– n 3) a m p –– · –– q =an m –– m –– m –– m –– m –– m –– 5) (a · b) n = a n · b n 1 = m –– an 6) (a : b) n = a n : b n ACTIVIDADES RESUELTAS 5. Expresa en forma de potencia: 4 a) x Las potencias, con exponente fraccionario, son: 6. Expresa de forma radical: 11 a) x5 Los radicales son: a) x5/11 5 b) ( x3) a) x1/4 b) (x3 · y3)1/5 5 b) x3 · y3 3 c) x y c) x 3 b) x15/2 d) x n m c) x1/6 c) x1/2 · y1/3 k d) x k/mn d) [(x3)1/2]1/5 10 d) x3 4 6 7. Halla radicales equivalentes con índice común para los radicales 5 35 , 73 y Consideramos el menor índice común, es decir, el mínimo común múltiplo de los índices que, en este caso, es el mcm (2, 4, 6) = 12. Los radicales buscados son: 12 56 5 = 51/2 = 56/12 = 12 12 4 12 79 73 = 73/4 = 79/12 = 6 12 310 35 = 35/6 = 310/12 = 12 Es decir, 5 310 son radicales con igual índice, y respectivamente equivalentes a los dados. 6, 79 y Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 20 Unidad 1 20 12. Operaciones con radicales Recuerda que, para operar con radicales, podemos poner estos en forma de potencia y utilizar las propiedades de las potencias, o bien mantener los radicales y utilizar las siguientes propiedades. 12.1. Radicales de igual índice • El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común y por radicando, el producto de los radicandos. Potencias y raíces n n n • a · b a·b = • a 1 n ·b n 1 n = (a · b) n n • El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común y por radicando, el cociente de los radicandos. n • a : b a:b = 1 1 1 n n • (a)m = am 1 m • a n • • • La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo, y por radicando, la potencia del radicando. m =an n m n nm 1 1 n m m (a) a = a a n n :b a : b = a • a n : b n = (a : b) n n n n a·b a · b = 1 n n = am • La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por radicando, el mismo. 1 m·n =a a = a m n m·n 12.2. Radicales de distinto índice Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice podemos operar de dos formas: • Transformando los radicales en potencias de exponente fraccionario. • Hallando los radicales equivalentes a los dados con igual índice y aplicando las propiedades anteriores. ACTIVIDADES RESUELTAS 8. Efectúa y da el resultado en forma de radical. 3 3 3 3 3 5 · 25 = 5 · 5 2 = 53 = 5 a) 5 · 25 = 4 reducimos a índice común 4 utilizamos potencias de exponente fraccionario b) 2 · 8 2 · 8 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 3 1 –– 1 –– 1 –– 3 –– reducimos a índice común 3 12 1 3 –– + –– 4 = 22 · 8 4 = 22 · 24 = 22 c) 81 81: 3 = 27 : 3 = = 33 = 3 d) 27 : 9 4 2 = 2 · 8 = 22 · 23 = 2 2 · 8 = 2 5 = 22 12 12 12 9 = 27 : 38 = 3 3 : 94 = 3 5 –– = 24 = 2 1 1 + –– 4 4 = 22 Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 21 Números reales 21 13. Racionalización de denominadores Al procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción se llama racionalización de denominadores. En la siguiente tabla mostramos los casos más usuales de racionalización con sus respectivos procedimientos. EXPRESIONES MÁS FRECUENTES PROCEDIMIENTOS a b Expresiones conjugadas Las expresiones Multiplicamos numerador y denominador por b a + b y a – b, así como a + b y a – b, n n–m Multiplicamos numerador y denominador por b a con m < n n m b se llaman conjugadas. a b ± c Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador a b ± c Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador Las segundas son conjugadas de las primeras, y estas son conjugadas de aquellas. ACTIVIDADES RESUELTAS 5 c) 2 5–3 12 b) 6 + 2 3 a) 5 73 9. Racionaliza: 2 d) x–2 5 5 3 72 72 3 3 a) = · = 5 5 5 7 72 73 73 6 – 2) 12( 12 6 – 2 12 b) = · = = 3 (6 – 2) 6 – 2 6 – 2 6 + 2 6 + 2 5 c) = 2 5–3 5 (25 + 3) 10 + 3 5 10 + 3 5 = = 11 20 – 9 (25 – 3)(25 + 3) 2 x–2 x–2 2 2 d) = = x – 2 x – 2 · x–2 x–2 10. Opera y simplifica las expresiones siguientes: 3 3 a) 316 – 250 +2 3 32 3 · b) 4 3 3 3 3 3 54 2 · 53 + 2 4 – = 32 8 reducimos a índice común 12 12 36 · 38 = = 12 9 3 5 5 5 = 5 · 5 · 5 3 c) 4 5 2 3 12 60 2 3 33 · 2 3 3 3 6 3 = 62 – 52 + 2 = 42 3 2 2 12 36 · 38 = 39 12 transformamos en potencias de exponente fraccionario 314 12 = 3 5 39 1 –– 1 –– 2 –– 1 1 2 –– + –– + –– 12 60 = 5 3 · 512 · 560 = 5 3 27 –– 9 –– 20 = 560 = 520 = 59 Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 22 Unidad 1 22 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Un triángulo en un cuadrado A D En el cuadrado ABCD dibujamos un punto P como indica la figura. ¿Cómo te parece que es el triángulo APD? FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Se trata de conseguir tener una idea clara sobre el problema en cuanto a datos, incógnitas, relaciones, etc. La idea clave de esta fase es: antes de hacer, tratar de entender. Esta fase es clara en el problema que nos ocupa y se percibe sin dificultad lo que el problema enuncia y pide. BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS P 15° B 15° C Una vez que nos hemos familiarizado con el problema, buscamos las estrategias que nos permiten resolverlo. En nuestro problema las estrategias que se nos ocurren son: resolución por trigonometría, resolución por métodos analíticos y resolución por medio de simetrías del cuadrado y de la figura propuesta. LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA A D Comenzamos por dibujar en cada lado del cuadrado un triángulo isósceles, como el que figura verde en el dibujo adjunto. De forma sencilla, obtenemos los valores de los ángulos que se señalan en el dibujo y que corresponden a los ángulos de los 4 triángulos isósceles, de los 4 triángulos equiláteros y del cuadrado figuras estas que componen el cuadrado inicial dado. 90° T 60° P B 15° A la vista de las estrategias que hemos encontrado, llevamos adelante la que nos parece más oportuna y directa, sin descartar las otras, pues ellas pueden resultar útiles en caso de fallar la elegida. En nuestro problema vamos a seguir la tercera estrategia puesto que, por la experiencia acumulada, sabemos que los procedimientos geométricos suelen ser más sencillos y más elegantes que los analíticos. 150° C A partir del dibujo, podemos razonar como sigue: el triángulo ATP es igual que el triángulo BPC, pues tienen dos lados iguales (AT = BP y TP = PC) e igual el ángulo comprendido, cuyo valor común es de 150°; de la igualdad de estos dos triángulos obtenemos que AP = BC. Por la simetría de la figura podemos establecer que: AP = PD = AD, de lo que se sigue que el triángulo APD es equilátero. REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL Tanto si hemos resuelto el problema como si no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes que nos han surgido en el camino seguido. Si es posible, resulta conveniente trasladar las ideas que hemos tenido a otras situaciones, modificar el problema, generalizarlo, etc. Ante el problema que hemos resuelto, se nos ocurren las ideas siguientes: ¿qué sucede si trazamos triángulos con ángulos mayores o menores de 15°?, y ¿qué pasa si dividimos otro polígono regular en vez de un cuadrado? Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 23 Números reales 23 ¿Qué es un problema? Un problema matemático es una situación que plantea una meta a conseguir. Para llegar a esta hay que superar numerosos obstáculos. El resolver un problema, o intentarlo, requiere una toma de decisiones por parte de quien lo afronta, ya que no conoce ninguna receta o procedimiento para resolverlo. recetas que te facilitarán su resolución en poco tiempo. Estas recetas son las que diferencian un problema de un ejercicio. Podemos, pues, concluir que un ejercicio es una tarea en la que de antemano se percibe en qué consiste y cuál es el medio para resolverla. Las principales características que debe reunir un problema son: • Suponer un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo. • Atraer por sí mismo, aunque no tenga utilidad. • No ha de plantear un bloqueo inicial a quien lo intenta resolver. • Proporcionar, al intentar resolverlo, una satisfacción agradable. • Hacer nacer el deseo, en quien intenta resolverlo, de proponerlo a los demás. Puedes observar que la tarea planteada en la página anterior es realmente un problema, pues cumple con las características que los definen. Esta misma tarea, que en estos momentos es para ti un problema, se convertirá en ejercicio en cuanto amplíes tus conocimientos sobre Trigonometría. En ese estadio poseerás BIBLIOGRAFÍA Las ideas, textos y enunciados de los problemas que aparecen en los apartados que llevan por título Resolución de Problemas, están tomados de los siguientes libros o revistas: — CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid. — GRUPO CERO (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia. — FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma nº 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao. — GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza. — GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona. — MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona. — WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona. A C T I V I D A D E S Clasifica las siguientes tareas en problemas o ejercicios e intenta resolverlas: 1. Sumas. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros? 2. El camello sediento. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pueblos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar descargado indefinidamente, o, de cargar con un solo bidón, siempre y cuando beba una cantidad de agua igual a la que contiene el bidón cada vez que completa 100 km cargado. El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones podrán llegar a Wadi? Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 24 Unidad 1 24 NUEVAS TECNOLOGÍAS Aritmética con Derive Derive es un programa fácil de utilizar; como todo programa que funciona bajo el entorno Windows, utiliza ventanas con barras de título, barra de menús, barras de herramientas y área de trabajo. En la parte inferior del área de trabajo aparecen una barra con el editor de expresiones y una serie de herramientas para utilizar con él. Derive es un programa informático que permite realizar todo tipo de cálculos con números y con expresiones algebraicas, por lo que es una potente herramienta para trabajar en Aritmética y Álgebra. A continuación, vamos a ver cómo efectuar operaciones con radicales utilizando Derive. Antes de comenzar la sesión de trabajo con Derive conviene restablecer sus opciones iniciales –puesto que a veces cambian– y para ello se selecciona lo siguiente en el Menú: Definir + Restablecer todas las preferencias OPERACIONES CON RADICALES 3 2 Para racionalizar la expresión hemos de seguir estos pasos: 2 3–3 3 2 1. En el Editor de expresiones introducimos la expresión y, pulsando la tecla 2 3–3 INTRO aparece la expresión en el área de trabajo. 2. Si la expresión no es la correcta la corregimos en el Editor de expresiones, y si es correcta, tenemos dos opciones: a) Pulsar la tecla con lo que se muestra el resultado en forma decimal. b) Pulsar la tecla con lo que se muestra el resultado en forma de raíz. Estas teclas están situadas a la izquierda del Editor de expresiones, como puedes comprobar en la imagen. 1 3 3 – sin más que Del mismo modo podemos calcular el valor de la potencia 2 3 introducir en el Editor de expresiones (23 – 1/3)^3 como vemos en la parte inferior de la figura. PRACTICA con Derive la resolución de las actividades número 3, 28, 30 y 32. Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 25 Números reales 25 EN RESUMEN se utilizan para REALES Medir magnitudes Cantidades se obtienen se hacen todos son Números Errores vienen afectadas de Aproximaciones clases se representan en Aproximaciones decimales Recta real Redondeos Truncamientos operaciones subconjuntos importantes Intervalos Entornos Operaciones elementales Radicales equivalentes Radicación Operaciones Racionalización de los denominadores AMPLÍA CON… Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Ediciones Siruela) el mundo mágico que rodea a los números. Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque no las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y le conduce por el mágico mundo de los números. Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van contando anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja en el mundo de las Matemáticas. Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver. Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 26 Unidad 1 26 ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Ordena, de mayor a menor, los siguientes números: 0,4; 0; –0,3; 42; –2,3; –20; 428 2. Efectúa los siguientes cálculos haciendo uso de la jerarquía de las operaciones: b) 4 · 22 – (–1)3 + [3 – (5 – 32)] a) 7 – 2 · (– 4) + 3 – 5 · (–2 + 7) c) (–3)2 – 32 + 2 · (–1)3 3. Efectúa las siguientes operaciones, dando el resultado lo más simplificado posible: 1 1 2 3 5 d) 2 – · 1 – : + 4 7 2 4 f) 1 – 1 : 1 – 2 3 1 3 a) – + – 2 2 4 5 b) 3 2 2 c) : · 2 5 5 1 – 2 · 3 – 2 + 3 1 1 1 2 e) 2 + 3 · 1 – · 5 3 4. Efectúa, dejando el resultado en forma de potencia de exponente natural: 2 –3 a) b) 1 3 3 5 3 3 : 5 1 c) 2 – 3 5 3 · 5 2 –2 5 · 3 3 2 d) –4 2 · 3 3 2 : 3 4 3 f) 6 0 2 5 e) 1 2 5 6 8 1 : – 2 5 · 6 –5 1 · 2 6 : 5 3 5. ¿Qué tipo de decimal genera cada uno de los racionales siguientes? 28 a) 126 36 b) – 225 73 c) 63 42 d) 528 2 145 e) 2 100 a) 3,1 + 5,21 + 2,8 b) (5,4 – 3,42) · 2,7 ) ) ) ) ) ) ) 6. Expresa cada decimal en forma de fracción, opera y el resultado final conviértelo en número decimal: c) 6,14 : 3,4 · 2,44 d) 12,5 + 3,78 : 1,4 7. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales: a) 232,25 b) 0,273454545... c) 0,0103333... d) 37,34 334 3334 33334... 8. Un agricultor recoge 120 000 kg de manzanas. Vende a un mayorista los pequeños comerciantes los e) –3,141542653589... 7 de la cosecha. De lo que le sobra vende a 8 2 3 . Del resto están estropeados los que se lleva un ganadero para alimento del ganado. De lo 5 7 que le queda vende 20 000 kg a una fábrica de zumo y los kilogramos restantes los utiliza para el consumo familiar. ¿Cuántos kg consume la familia? 9. Un alumno tarda en pasar un trabajo a ordenador 12 horas, un segundo alumno tarda en pasar el mismo trabajo 8 h. El primer alumno trabaja durante 4 h y deja el resto del trabajo al segundo. ¿Cuánto tiempo tardará este en finalizarlo? 3 4,23 13 0 3 – 7 – 64 ) 10. Halla el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números: 1,03 12 – 3 3 –8 1 π – 32 23 8 5 – 8 4 – 3 ) 11. Representa en la recta real los siguientes números: 1,6 0,7 3 125 18 – 9 1 –– 42 – 1,3 0,5 Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 27 Números reales 27 12. Dibuja sobre la recta real los siguientes conjuntos: a) Los números reales mayores o iguales que 3. b) B = {b ∈ | b < 0 y b > –7} c) D = {d ∈ | d > 1 ó d > –5} d) (–1, 4] (0, 3) 13. Expresa de forma simbólica los siguientes conjuntos: a) d) 1 –1 b) 0 1 e) E(5, 2) f) (–∞, –5] 2 3 e) –2 2 c) –3 f) –4 –1 1 3 5 –5 4 5 7 14. Dado el número 1 724,157203... indica cuáles de las siguientes aproximaciones decimales del número anterior son redondeos. En los casos en que lo sean, anota la cota de error. 1 725 1 724,16 1 724,2 1 724,1 1 720 1 724,158 1 724,1572 221 15. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al tomar como valor aproximado de π. 71 16. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al redondear el número de oro Φ a centésimas. 17. Expresa en notación científica las siguientes cantidades, y determina el orden de magnitud: a) Distancia Tierra-Luna: 384 000 km c) Virus de la gripe: 0,0000000022 m b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km d) Radio del protón: 0,00000000005 m e) 623 cienmilésimas f) 0,035 millones 18. La capacidad de memoria de un ordenador se mide en: byte = 23 bits; k-byte = 210 bytes; Megabyte = 210 k-bytes; Gigabyte = 210 Megabytes Expresa como potencia y en notación científica la capacidad de los siguientes ordenadores y disquetes en bytes y bits: a) Disco duro de 127 gigas b) Disquete de 1,44 megas c) Un CD-ROM de 650 megas 19. Calcula las siguientes raíces: 3 25a2 b4 a) 4 b) 64a6 b3 c) 81a8 20. Expresa en forma de potencia las raíces, o en forma de raíz las potencias: 3 4 1 1 a) a b) a5 c) d) e) 22/3 f) 51/2 3 2 3 a a g) 3–3/2 h) a–2/3 21. Pon bajo un único radical las siguientes expresiones: a) 8 3 b) 3 3 3 a 3 c) 3 d) a2b 5 e) b a 3 4 a a 4 f) 3 8 22. Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes: 3 000 a) 1 b) 8a 5 5 7 c) 16a b 2 d) 4a +4 23. Introduce los factores en el radical: 4 a) 42 3 b) 33 2 3 c) 3 a d) 2aba2 e) a2b4 2ab3 3 f) 4a a2b 24. Efectúa, presentando el resultado en forma de raíz y en forma de potencia: 3 3 a) 2 · 22 5 5 b) 2a 4 : 2a 3 6 6 c) 3 33 5 : d) a · a2 3 e) a–1 · a f) a : a Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 28 Unidad 1 28 ACTIVIDADES FINALES 25. Efectúa las siguientes operaciones: 2 4 a) 32 – 2 + 52 – 2 3 5 3 4 1 4 1 4 b) 3 + 3 – 3 3 4 2 3 4 7 e) 8 – 50 + 18 – 98 5 2 4 3 3 1 3 c) 216 – 554 + 250 5 3 3 3 d) 6 x7 + x2x – 3x2 27x f) 54x – 336x + 25x – 6x 26. Reduce a índice común, y ordena de menor a mayor, las raíces de cada apartado: 5 3 a) 2 , 5 5 4 b) 10 , 100 6 4 c) 4 , 6 3 3 d) 2 , 2, 2 9 4 e) 2 , 3, 5 –1 –3 f) 3 , 5 27. Opera: 3 4 6 a) 5 · 2 · 6 5 10 8 b) a 5 · a 3 : a 6 4 c) ab3 · 2a2 b2 d) 2ab 8a3b : f) 3 3 3 2 28. Realiza las siguientes operaciones simplificando lo más posible los resultados: a) 2 2 – 2 b) (27 + 3) 2 2 – 47 (7 + 3) c) (2 + 2 ) (2 – 2 ) – (2 + 2 ) e) (3 + 22 ) (2 – 3 ) 3 d) (418 – 212 + 32 ) · 22 f) 29. Racionaliza las siguientes fracciones: 3 2 2 a) b) c) 3 2 3 5 2 2 3 d) 4 2 3 7 e) 3 7 · 3 (72 – 20 – 2 ) (2 + 28 + 25 ) 3 f) 2 + 2 3 g) 2 – 3 7 + 1 h) 2 7+5 30. Realiza las operaciones, racionalizando previamente: 5 3 a) 96 – 189 2 7 b) 3 35 – 5 3 + 2 2 1 c) – 3 – 2 2 2 2 6 e) + 6 – 2 6 2 2 d) – 1 + 3 1 – 3 f) 2 18 – 5 8 2 31. Efectúa y simplifica: a) 49 72 9 3 b) + 7 – 8 1 14 c) (250 – 16 ) · 4 3 4 3 3 d) 5 5 5 5 5 e) 3–1 3+1 32. Calcula, simplificando al máximo el valor de: a) 4 · 245 + 580 – 5 125 5 3 4 75 2 b) – + 8 27 8 c) (7 – 2)2 – (7 – 2) (7 + 2) 33. Racionaliza, efectúa y simplifica la expresión: 2 2 3 a) – (6 + 2) 3 – 2 2 3–3 1 b) – 2 3+3 2 3 5 + 2 c) 5 – 2 2 1 de su peso; la naranja pelada pierde al exprimirla para hacer zumo un 30% de su peso. 5 ¿Cuántos kg de naranjas hemos de comprar para obtener 2 400 kg de zumo? 34. La naranja al pelarla pierde 12 35. La cantidad de azúcar morena que se obtiene de la caña es de su peso. La cantidad de azúcar blanca que se ob19 4 tiene de refinar el azúcar morena es de su peso. ¿Cuánta caña de azúcar se necesita para obtener 10 toneladas de 3 azúcar blanca? Y UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 29 Números reales 29 AUTOEVALUACIÓN 1. El resultado de la operación 6 – [5 – 4 + 2 · 6 + 5] + [(3 – 6)2 · (7 – 8)3]2 es: a) –69 b) 69 c) 6,9 5 5 4 4 2. El resultado de operar + : 1 – · expresado como fracción irreducible es: 8 8 11 11 68 87 8 a) – b) c) 87 68 11 ) ) 3–2 · 93 · 16 · 45 3. Si operamos y simplificamos obtenemos como fracción irreducible: 3–4 · 95 · 46 9 4 3 a) b) c) 4 9 16 ) ) 4. Expresamos cada decimal en forma de fracción y operamos 2,4 – 3,42 + 1,7; el resultado en forma decimal es: a) 0,72 b) 0,72 c) 0,72 5. El intervalo resultante de la intersección (– ∞, 5] [2, 6) es: a) [2, 5] b) [5, 6) c) (2, 6] 6. El resultado en notación científica con tres cifras significativas de la siguiente expresión es: [(2,45 · 10–8) · (3,01 · 109)] + [(4,5 · 10–3) · (2,8 · 105 )] a) 1,33 · 10–3 b) 1,33 · 103 c) 3,31 · 106 5–1/2 · 53/4 7. Si expresamos el resultado de como una única potencia obtenemos: 3 52 5 · a) 511/12 b) 5–12/11 c) 5–11/12 8. El resultado de operar 158 – 527 – 572 + 375 es: b) 23 a) 0 c) 32 2 9. Al operar (5 – 3 ) + 215 , obtenemos: a) 15 b) –215 c) 8 3 10. Si racionalizamos el denominador de la fracción obtenemos: 12 – 3 a) 3 + 23 b) 2 + 33 3 3 + c) 12 Y