Download 1. Números reales 2. Raíces y potencias 3. Operaciones con radicales

Matemáticas 4º ESO
1. Números reales
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



Clasificación de los números reales
Fracción generatriz de un número decimal
Representación de números racionales en la recta real
Aproximaciones
Intervalos
2. Raíces y potencias





Propiedades de las potencias de exponente racional
Radicales equivalentes
Simplificar radicales
Extracción de factores de un radical
Introducción de factores en un radical
3. Operaciones con radicales






Suma y resta de radicales
Multiplicación de radicales
División de radicales
Potencia de radicales
Raíz de un radical
Racionalización
Matemáticas 4º ESO
1. Números reales
 Clasificación de los números reales
 Fracción generatriz de un número decimal
Decimal exacto: se escribe el número sin coma, dividido por la unidad
seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.
135 27
1,35 

100 20
Decimal periódico puro: se escribe el número decimal sin la coma y se
le resta la parte entera, y se divide por tantos 9 como cifras periódicas
haya.
281  2 279 31
2, 81 


99
99 11
Decimal periódico mixto: se escribe el número decimal sin la coma y
se le resta la parte entera y la parte decimal no periódica y se divide por
tantos 9 como cifras periódicas seguidos de tantos ceros como cifras
decimales haya.
752  7 745 149
0,752 


990
990 198
Matemáticas 4º ESO
 Representación de números racionales en la recta real
La recta real es el conjunto ordenado de todos los números reales.
Cada punto de la recta corresponde a un número real, y cada número
está representado por un punto.
Para representar radicales de forma exacta se utiliza el teorema de
Pitágoras
5  2 2  12
 Aproximaciones
La aproximación de los números reales se puede obtener mediante dos
procedimientos: truncamiento y redondeo.
Truncamiento: el número se obtiene al suprimir las cifras a partir del
orden de aproximación.
Por ejemplo si se aproxima por truncamiento el número 3,123432 a la
milésima es 3,123 no se tiene en cuenta la cifra siguiente en el orden
de aproximación
Redondeo: el número se obtiene al suprimir las cifras a partir del orden
de aproximación pero teniendo en cuenta que si el siguiente número es
inferior a 5, se queda igual; y que si es igual o superior a 5, se suma 1.
Por ejemplo, si se aproxima por redondea 3, 123432 a la milésima es
3,123. Pero si aproximamos a la milésima por redondeo el número
3, 1236 será 3,124
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 Intervalos
2. Raíces y potencias
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
b  n a  bn  a
Raíz
Potencia
b : raíz
b : base
a : radicando
a : potencia
n : índice de la raíz n : exponente
Raíz de índice par:
 Tiene la solución positiva y negativa, por ejemplo:

No existe si el radicando es negativo.
25  5   5  25
 25  no existe.
Raíz de índice impar:
 Existe tanto si el radicando es positivo como negativo.
 La solución es positiva si el radicando es positivo. 3 8  2  2 3  8
 La solución es negativa si el radicando es negativo.
3
3
 8  2   2   8
2
Matemáticas 4º ESO
Un radical también se puede expresar como una potencia de exponente
m
n
fraccionario: a  a Por lo tanto podemos aplicar las propiedades de las
potencias a los radicales si expresamos los radicales como potencias de
exponente fraccionario, tal como se expresa en la siguiente tabla:
n

m
Propiedades de las potencias de exponente racional
Multiplicación de potencias de la misma base
p
q
m
n
a a  a
División de potencias de la misma base
a
a
Potencia de potencia

m
n
p
q

a


a
m
n
p
q
m p

n q
m p

n q


n q
 a


m p
Radicales equivalentes
Los radicales equivalentes son diferentes expresiones de un mismo número..
Se obtienen multiplicando índice y exponente por un mismo número.
2  4 2 2  8 2 4  16 2 8

Simplificar radicales
Vamos a simplificar
10
243
Se descompone el radicando como producto de factores primos. Si
descomponemos el número 243 como producto de factores primos obtenemos:
243=35 .

10
Podemos simplificar el radical expresándolo como potencia de
5 1
exponente fraccionario y simplificando la fracción
 , volviendo a
10 2
escribir la potencia como radical.
243  3  3

10
10
5
5
10
1
2
3  3
Pero también lo podemos hacer dividiendo índice y exponente entre el
mismo número, en el ejemplo dividimos entre 5:
3 
5
10
5
35 5  3
Matemáticas 4º ESO

Extracción de factores de un radical
Solamente se pueden extraer factores de un radical cuando el exponente es
mayor que el índice, es decir:
n
am  m  n
Dividimos el exponente entre el índice (sin calculadora), fuera del radical se
escribe la base elevada al cociente y dentro del radical la base elevada al
resto:
3

48  4 2  3 4 2
Introducción de factores en un radical
Para introducir un factor dentro de un radical, basta con elevarlo al índice de la
raíz:
b  3 a 2  3 b3  a 2
Ejemplo:
4  5 33  5 4 5  33
3. Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales
Esta operación sólo se puede realizar entre radicales semejantes (los que
tienen el mismo índice y el mismo radicando). Se pone el radical (como factor
común) y se suman los coeficientes.
Ejemplo: 5 2  3 2  6 2  (5  3  6) 2  8 2
En algunos casos los radicales semejantes no se ven tan fácilmente, lo que
tenemos que hacer es descomponer el radicando como producto de factores
primos y extraer factores del radical, obteniendo así radicales semejantes,
veamos un ejemplo:
3

r 
625  6 25  2  3 5  3 135 descompone
3

5 4  6 5 2  2  3 5  3 33  5 extraer
5  1  2  3  3 5  9  3 5
5  3 5  3 5  2  3 5  3  3 5 sumar
Matemáticas 4º ESO
 Multiplicación de radicales

Con el mismo índice: es un radical con el mismo índice y como
radicando el producto de radicandos.
Ejemplo:

3
n
a  n b  n a b
5  3 4  3 5  4  3 20
Con distinto índice:
n
a mb
1) El m.c.m de los índices: m.c.m(n,m)= p, es el índice del nuevo
radical.
2) Elevar cada radicando al cociente de p entre cada índice
3) Multiplicar los radicandos
p
Ejemplo:
p
n
a b
3
2 3 5 
4
12
12
3
12
4
2 3 5
12
2
Con el mismo índice: es un radical con el mismo índice y como
radicando el cociente de radicandos.
Ejemplo:

 12 2 4  33  5 6
División de radicales


p
m
3
n
a :n b  n
a
b
5  3 4  3 5  4  3 20
Con distinto índice:
n
a mb
4) El m.c.m de los índices: m.c.m(n,m)= p, es el índice del nuevo
radical.
5) Elevar cada radicando al cociente de p entre cada índice
6) Dividir los radicandos
p
n
p
a :b
p
m
12
Ejemplo:
3
2
4
5
 12
23
5
12
4
 12
24
53
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 Potencia de radicales
Se eleva el radicando al exponente
 a
m
n
 n am
Ejemplo:
 5
2
3
 3 52
 Raíz de un radical
Se multiplican los índices
n m
a  n m a
3
Ejemplo:
5  23 5  6 5
Racionalización

Está operación consiste en transformar una fracción que tenga uno o más
radicales en el denominador en otra fracción sin radicales en el denominador.
Podemos tener tres casos diferentes:
a) En el denominador tenemos un radical de índice 2: multiplicamos
numerador y denominador por el radical de índice 2 del denominador
a
a

b

b
4

b
Ejemplo:
3
b
a b

 b
2
4
3
3

3


a b
b
4 3

 3
2
4 3
3
b) En el denominador tenemos un radical de índice n > 2: multiplicamos
numerador y denominador por el radical de índice n del denominador,
cuya base del radicando este elevada al índice menos el exponente.
a
n
Ejemplo:

bm
3
5
43
a
n

bm

3
5
43
n
b n m
n
b n m

5
453
5
453


a  n b mn
n
b m  b n m
3  5 42
5
4 3 2


a  n b m n
n
b m  n m

a  n b mn
n
bn
a  n b m n

b
3  5 42
4
c) En el denominador tenemos una suma o diferencia de dos o más
radicales de índice 2: multiplicamos numerador y denominador por el
conjugado del denominador, y realizamos el producto de fracciones.
a
b c
Ejemplo:

a
b c
3
6 2


b c
b c
3


6
6 2 6
 b  c  a b  c
bc
 b   c
2
3  6  2 
3  6  2 



36  2
2
6   2
a
2
2
2
2

3 6 2
34

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1. Encuentra qué radicales son equivalentes entre sí:
5; 6 125; 3 2 ; 4 9 ; 10 243; 9 8 ; 8 625; 4 25
2. Simplifica los siguientes radicales:

320
3
4
686 
12960 
1350 
3. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas
b) 600a 3b 4
a) 192 x 2 y 5
c) 5 1024a 6 b 5 c 10
d) 4 3888 x 4 y 2 z 5
4. Extrae de las raíces todos los factores y simplifica:
27 a 6 b 3 c 2
a)
392 x 9 y 2
3 4a 2
c)
2 27 y 3
50a 3
b) 6
24 x 2
2 3 243 x 4
d)
3 16a 2 b 4
5. Calcula:
a) 2 5  2 45  3 80  128
b)
63  28  2 49  175
c) 2  54  300  3  27  75
d)
450  4 12  5 48  2 98
3
e)
3
3
3
3
54  24  16  2  150
3
3
3
g) 3 686  3 81  3  3 375  2  3 648
3
1
1
1
12 
72 
i)  48 
18
4
2
6
3
1
1
1
1
k)
147 
28 
2187 
700
7
10
3
5
f) 3  80  2  800  4  320  6  450
3
1
h) 2  45   125   180
4
2
3
1
98 
j) 5 50 
162
14
3
6. Efectúa las operaciones siguientes y simplifica si es conveniente
1
2
a) 2 12 6
b) 3 2  5 20   2  3
c) 14 
21
2
7
10 32
1
2
3
1
2
21 
42 
e) 3 2ab 4  3 4a 7 b 6  3 a 4 b 3
f)
22
d)
2
3
7
4
3
2 24
g)
3
3
j)
3
2x 4
4x5
3

5y
25 y 5
10  300
3
72  3 24
h)
18 180
 12 48
i)
24 6
20
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7. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica si es conveniente:
 3  2  3
c) 2 7  3 3  4


b) 7 3  5 5  2 3
a)



1
1
x  5
y
xy 
2
 25

8. Efectúa las operaciones siguientes reduciendo los radicales a índice común
y simplifica si conviene
3 5 7
x3 y  3 8y
a)
6
3
b)
50 x 3 y 5
d)
12  4 18
24
9. Expresa en forma de un solo radical
33 25 3
a)
d)
3
53
b)
1
25
e)
3
8
24 4
c)
3
33 2
2 3
f)
3
23
24 2 2
ab 2 4
1
ab
10. Racionaliza y simplifica:
11. Racionaliza:
a)
3
3
6
b)
1
3
5x
12. Racionaliza y simplifica:
13. Racionaliza y efectúa:
c)
6ab
3
4a 2 b
d)
3x 2
3
9x