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6 SEMEJANZA
PA R A
1
E M P E Z A R
Señala si la siguiente tabla se corresponde con magnitudes directamente proporcionales.
A
2
3
4
6
B
2,5
3,75
5
7,5
2
3
4
6
Las magnitudes A y B son directamente proporcionales ya que 0,8.
2,5
3,75
5
7,5
2
p, Ep y Fp de la figura.
Indica razonadamente la medida de los ángulos D
B
60°
^
E
^
^
F
A
50°
D
70°
C
p
D p
B 60 porque son ángulos que tienen un lado común y otro paralelo.
Ep Cp 70 porque son ángulos que tienen un lado común y otro paralelo.
Fp p
A 50 ya que son ángulos opuestos por el vértice.
3
El Flatiron, con 87 metros de altura, y el Edificio Chrysler, con 319 metros, son, respectivamente, el más
bajo y el más alto de los rascacielos que aparecen en la maqueta de la página anterior.
Calcula cuánto miden las réplicas de LEGO de dichos edificios, si están construidas a escala 1 : 50.
Sean x la medida en metros de la réplica de LEGO del edificio Flatiron e y la del Edificio Chrysler.
Tenemos de escala 1 : 50, por tanto, se cumple:
y
x
1m
50 m
87 m
319 m
Despejando se obtiene:
87
x 1,74 m;
50
319
y 6,38 m
50
Por tanto, la réplica del Flatiron mide 1,74 metros y la del Edificio Chrysler, 6,38 metros.
4
Teorema de Tales
PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
6.1 Divide un segmento de 6,4 centímetros de longitud en tres partes iguales.
C3
C2
C1
A
D1
B
D2
6,4 cm
Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se
llevan tres segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 y C3. Se une C3 con B y se trazan paralelas al segmento BC3 por C2 y C1, que cortan al segmento AB en D2 y D1. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2 y D2B
son iguales.
6.2 Divide un segmento de 10 centímetros de longitud en siete partes iguales.
C7
C6
C5
C4
C3
C2
C1
A
D1
D2
D3
D4
D5
B
D6
10 cm
Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se
llevan siete segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2, C3, C4, C5, C6 y C7. Se une C7 con B y se trazan paralelas al segmento BC7 por C6 , C5 , C4 , C3 , C2 y C1, que cortan al segmento AB en D6 , D5 , D4 , D3 , D2 , y D1 , respectivamente. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1 , D1D2 , D2D3 , D3D4 , D4D5 , D5 D6 y D6 B son iguales.
6.3 Divide un segmento de 6 centímetros de longitud en nueve partes iguales.
Si se procede de un modo similar a las dos actividades anteriores obtenemos:
C1
A
D1
C3
C2
D2
D3
C4
D4 D5
6 cm
C5
D6
C7
C6
D7
C8
D8
C9
B
5
6.4 a) Dibuja un triángulo ABC cuyos lados midan 9, 12 y 15 centímetros, respectivamente.
1
b) Con ayuda del teorema de Tales, construye dos triángulos semejantes a ABC de razón 2 y —— .
4
a) Con ayuda de la regla graduada y el compás trazamos el triángulo ABC pedido.
2)
1)
A
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
B
C
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12
A
0 1 2 3 4
3)
B
C
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4)
A
B
0 1 2 3 4
5)
C
A
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
6)
B
B
12 cm
9 cm
B
0 1 2 3 4
A
C
C
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12
A
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C
15 cm
b) Para construir el triángulo AMN semejante a ABC de razón 2, prolongamos dos de los lados del triángulo ABC y con un compás llevamos sobre ellos la medida de los lados.
M
M
2)
24
18
cm
1)
B
A
C
A
N
cm
B
C
30 cm
N
1
Para construir el triángulo APQ semejante a ABC de razón , nos ayudamos de una recta auxiliar sobre la que llevamos cua4
tro segmentos iguales. Procediendo de un modo similar al de la actividad 6.1 dividimos el lado AB en cuatro partes iguales,
de este modo obtenemos el vértice P. Para obtener el tercer vértice trazamos por P una paralela al lado BC, el punto de corte con AC nos proporciona el vértice Q.
B
P
A
C1
6
Q
C2
C
C3
C4
Ejercicio resuelto
6.5 Divide un segmento de 5 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 1, 2 y 3.
A'''
3 cm
A''
2 cm
A'
1 cm
A
M
B
N
5 cm
Sea AB un segmento de 5 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan
los segmentos AA, AA y AA, de longitudes 1, 2 y 3 centímetros, respectivamente. Se une A con B y se trazan paralelas a
este segmento por los puntos A y A, que cortan al segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales asegura que
AM, MN y NB son proporcionales a 1, 2 y 3.
6.6 Divide un segmento de 13 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 2, 3 y 5.
A'''
5 cm
A''
3 cm
2 cm
A'
A
M
B
N
13 cm
Sea AB un segmento de 13 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan
los segmentos AA, AA y AA, de longitudes 2, 3 y 5 centímetros, respectivamente. Se une A con B y se trazan paralelas a
este segmento por los puntos A y A, que cortan al segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales asegura que
AM, MN y NB son proporcionales a 2, 3 y 5.
1
6.7 Divide un segmento de 7 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a —— , 2 y 3.
2
A'''
6 cm
A''
4 cm
1 cm A'
A
M
N
7 cm
B
Esta actividad es equivalente a dividir un segmento en tres partes proporcionales a 1, 4 y 6. Por tanto, trazamos AB un segmento
de 7 centímetros de longitud y procedemos de un modo análogo a las dos actividades anteriores.
7
PA R A
A P L I C A R
6.8 a) Dos cuadriláteros son semejantes con razón de semejanza 3. ¿Qué razón de proporcionalidad hay entre sus perímetros?
Sean a, b, c, d y a, b, c , d los lados de los dos cuadriláteros.
Por ser semejantes con razón de semejanza 3, se cumple que:
a
b
c
d
3 ⇒ a 3a
a
b
c
d
b 3b
c 3c d 3d
De este modo, comprobamos que la razón entre sus perímetros también es 3:
3(a b c d)
3a 3b 3c 3d
a
b
c
d
3
a b c d
a b c d
a b c d
b) Generaliza el resultado anterior para dos polígonos semejantes con razón de semejanza k.
Del mismo modo que en el apartado anterior se comprueba que si dos polígonos son semejantes con razón de semejanza k, la
razón de proporcionalidad entre sus perímetros es también k.
6.9 Las medidas de los lados de un rectángulo son 3 y 5 centímetros. Calcula los lados de otro rectángulo
semejante al anterior que tenga 40 centímetros de perímetro.
40
El perímetro del rectángulo dado es 16 cm. La razón de semejanza entre las figuras será 2,5.
16
De este modo, los lados de rectángulo serán 3 2,5 7,5 cm y 5 2,5 12,5 cm, respectivamente.
6.10 La figura muestra las escaleras mecánicas de un centro comercial.
2.ª PLANTA
1.ª PLANTA
Aplicando el teorema de Tales tenemos que:
x
SÓTANO
x
20 8
10 12
⇒ x 6 cm
10
20
20
10 m
6.11 Calcula el valor de las letras en las siguientes figuras.
m
b)
2
a)
5
m
x
2m
5m
Aplicando en ambos casos el teorema de Tales tenemos que:
2
x
24
a) ⇒ x 1,6 m
4
5
5
2
x
x
b) ⇒
6x
5
y
12
Así: x m
7
8
12y 6 2x x 5x
12
42 12
30
y 6 m
7
7
7
x
6m
4m
y
20 m 8 m
Calcula la distancia x que se indica.
5 cm
6.12 En la figura se muestran dos cuadrados de 2 y 5 centímetros
de lado, respectivamente.
Calcula el área de la región sombreada.
5 cm
2 cm
Aplicando el teorema de Tales tenemos que la altura x del triángulo sombreado viene dada por:
x
x
2
10
⇒ x 1,43 cm
5
7
7
10
2
7
10
El área pedida es cm2.
7
2
Razón de semejanza de áreas y volúmenes
PA R A
P R A C T I C A R
6.13 El trapecio ABCD tiene un área de 5 metros cuadrados. Calcula el área de un trapecio semejante cuyos
lados sean el triple que los de ABCD.
C
B
5 m2
A
D
Como la razón de semejanza es 3, entonces la razón de sus áreas será 32. Por tanto, el área del trapecio grande será
5 32 45 m2.
Ejercicio resuelto
6.14 Calcula las dimensiones de un triángulo de 24 centímetros cuadrados de área que es semejante al triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 centímetros, respectivamente.
34
El triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 cm tiene por área 6 cm2. Como los dos triángulos son semejantes y la razón
2
24
de sus áreas es 4, la razón de proporcionalidad entre sus lados es 4 2. Por tanto, las dimensiones del triángulo son
6, 8 y 10 cm. 6
6.15 Calcula las dimensiones de un rectángulo de 135 centímetros cuadrados de área que es semejante al rectángulo cuyos lados miden 3 y 5 centímetros, respectivamente.
135
El área del rectángulo semejante es 3 5 15 cm2, por tanto, la razón de las áreas de los dos rectángulos es 9; por
15
tanto, la razón de semejanza será 9 3.
Así, las medidas de los lados son 3 3 9 cm, y 3 5 15 cm.
6.16 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 24 centímetros, respectivamente. Calcula las dimensiones de un triángulo semejante al anterior y tal que su área mida 76,8 centímetros cuadrados.
76,8
10 24
El área del rectángulo dado es 120 cm2, por tanto, la razón de las áreas de los triángulos será 0,64; por
2
120
tanto, la razón de semejanza será 0,64 0,8.
Por tanto, las medidas de los catetos serán 10 0,8 8 cm y 24 0,8 19,2 cm.
9
6.17 La razón de semejanza entre el cubo naranja y el azul es 2. Si el cubo rojo tiene un volumen de 40 centímetros cúbicos, ¿cuál es el volumen del cubo azul?
La razón entre los volúmenes es 23 8, por lo que el volumen del segundo cubo es 40 8 320 cm3.
6.18 Dos cubos semejantes son tales que las diagonales que se forman entre dos vértices opuestos son una
el triple que la otra. Si el cubo pequeño tiene un volumen de 15 centímetros cúbicos, ¿cuál es el volumen del cubo mayor?
La razón de semejanza entre los cubos es 3, por tanto, la razón de sus volúmenes será 33 27. Así, el volumen del cubo grande será 27 15 405 cm2.
PA R A
A P L I C A R
6.19 Las medidas de un terreno con forma de triángulo rectángulo son 60, 80 y 100 metros. Calcula las de
otro triángulo semejante a este de área 1200 metros cuadrados.
60 80
Los catetos de este triángulo serán los lados de 60 y 80 metros, por tanto el área el terreno (triángulo) dado es 2400 m2.
2
1
2
Como el área del triángulo semejante es 1200 m , la razón de las áreas de ambos triángulos será . Por tanto, la razón
2
1
1
60
80
de semejanza será , con lo que las dimensiones del terreno pequeño serán 302 m, 402 m
2
2
2
2
100
y 502 m.
2
6.20 Una empresa manda a sus empleados unas felicitaciones de Navidad en forma de trapecio isósceles,
como muestra la figura. Calcula las dimensiones de un trapecio semejante que triplique el área del de
la tarjeta navideña.
Si triplica su área es porque la razón entre las áreas es 3, por lo que su razón de semejanza es
ne base mayor 153 cm, base menor 83 cm y altura 103 cm.
3. Así, el trapecio buscado tie-
6.21 ¿Qué superficie ocupa en un mapa construido a escala 1 : 5 000 000 un país de 3524 km2?
1
La razón de semejanza entre la medida real del país y la del mapa es , por tanto la razón entre sus áreas será
5 000 000
2
1
.
5 000 000
2
1
Así, la superficie que ocupa dicho país en el mapa es 3524 1,41 1010 km2 1,41 cm2.
5 000 000
10
6.22 Para alicatar una pared, Roberto ha empleado exactamente 500 azulejos con forma de hexágono regular.
¿Cuántos azulejos hexagonales habría necesitado si el lado de cada uno hubiese sido la mitad de los
que ha puesto?
14 , con lo que necesitaremos
1
1
La razón de semejanza entre las baldosas es , por lo que la razón entre sus áreas será 2
2
el cuádruple de baldosas, es decir, 2000.
2
6.23 El problema de la duplicación del cubo consiste en encontrar un cubo que duplique el volumen de uno
dado. En el siglo XVIII se probó que este problema no es resoluble utilizando únicamente regla y compás,
pero ¿cuánto medirá la arista de un cubo que duplique el volumen del cubo de 2 metros de arista?
Si duplica su volumen la razón de sus volúmenes será 2, por lo que la razón de semejanza entre los cubos será
3
pedido tendrá arista 22.
3
2 . Así, el cubo
Criterios de semejanza de triángulos
PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
6.24 Calcula la medida de los lados AC y EF para que los triángulos ABC y DEF sean semejantes.
E
B
7 cm
5 cm
A
3,4 cm
C
D
4,2 cm
F
Por el tercer criterio de semejanza, los dos triángulos serán semejantes si tienen los tres lados proporcionales. Como AB y DE
DE
7
son lados homólogos, calculamos la razón de semejanza de los triángulos 1,4.
AB
5
4,2
EF
Por tanto, 1,4 y 1,4
AC
3,4
4,2
Así, AC 3 cm y EF 1,4 3,4 4,76 cm
1,4
6.25 Calcula el valor de los lados desconocidos para que las siguientes parejas de triángulos sean semejantes.
a) 3, 4, 6
5, x, y
b) x, 5, 3
10, 10, y
c) 4, x, 12
y, 3x, z
5
a) La razón de semejanza es 1,6v, por lo que x 4 1,6v 6,6v
3
e y 6 1,6v 10.
10
b) La razón de semejanza es 2, por lo que 2x 10 ⇒ x 5 e y 3 2 6.
5
3x
c) La razón de semejanza es 3, por lo que y 4 3 12 y z 3 12 36.
x
El valor de x puede ser cualquiera siempre que se pueda formar un triángulo con dichas longitudes, es decir, 8 x 16.
11
6.26 En los siguientes casos se conocen las medidas de dos ángulos de cada uno de los dos triángulos.
Indica cuáles son semejantes y cuáles no.
a) 50, 40
40, 90
c) 50, 50
50, 80
b) 25, 30
30, 135
d) 50, 60
60, 70
a) Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180 los ángulos del primer triángulo son 50, 40 y 90, mientras que los
del segundo serán 40, 90 y 50. Como los triángulos tienen los mismos ángulos, aplicando el primer criterio de semejanza
tenemos que son semejantes.
b) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 125. Como no coinciden dos ángulos con el otro triángulo no son semejantes.
c) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 80. Como coinciden dos ángulos con el otro triángulo, el primer criterio de
semejanza nos permite asegurar que los triángulos son semejantes.
d) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 70. Como coinciden dos ángulos con el otro triángulo son semejantes.
6.27 Utiliza los criterios de semejanza de triángulos para explicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes.
c) Si dos triángulos isósceles tienen el mismo ángulo desigual, entonces son semejantes.
a) Verdadera. Los triángulos equiláteros tienen los tres lados correspondientes proporcionales, por tanto, el tercer criterio nos
permite asegurar que son semejantes.
b) Falsa.
c) Verdadera. Los triángulos isósceles tienen dos lados correspondientes proporcionales, si además tienen el mismo ángulo desigual, entonces el segundo criterio de semejanza nos permite asegurar que son semejantes.
PA R A
A P L I C A R
Problema resuelto
6.28 Si un edificio de 100 metros de altura proyecta una sombra de 24 metros, ¿qué altura tendrá otro edificio que en ese mismo instante deje una sombra de 15 metros?
Como en un mismo instante la inclinación de los rayos solares es la misma, los triángulos de la figura tienen dos ángulos iguales. Así, por el primer criterio de semejanza, los dos triángulos son semejantes. Por tanto, los lados han de ser proporcionales:
100
24
1500
⇒ h 62,5
15
24
h
El edificio mide 62,5 metros de altura.
6.29 En un instante determinado, una persona de 1,72 metros de altura proyecta una sombra de 0,23 metros. En ese mismo momento, la sombra de un árbol es de 1,34 metros. ¿Qué altura tiene este?
Los triángulos que se forman son semejantes ya que ambos son rectángulos y la inclinación de los rayos solares es la misma si la medición se realiza en el mismo instante. En consecuencia, los lados han de ser proporcionales y tendremos que:
1,72
0,23
1,72 1,34
⇒ h 10,02 m
1,34
0,23
h
h
1,72 m
0,23 m
12
1,34 m
6.30 Utiliza los criterios de semejanza de triángulos para calcular la anchura del río de la figura.
h
30 m
6m
1,5 m
Los triángulos de la figura son rectángulos y además tienen dos ángulos opuestos por el vértice, por tanto, tienen dos ángulos
correspondientes iguales. El primer criterio de semejanza nos permite asegurar que los triángulos son semejantes.
h
30
Aplicando el teorema de Tales tenemos que: ⇒ h 7,75 m.
2
1,5
6 1
,52
6.31 Dibuja un triángulo rectángulo ABC. Traza el triángulo MNP que se obtiene al unir los puntos medios
de los lados del triángulo ABC. ¿Qué criterio de semejanza aplicarías para probar que los dos triángulos son semejantes?
Las siguientes parejas de lados son paralelos:
B
AC y NP, AB y MP, CB y MN.
Por ser ángulos de lados paralelos tenemos las siguientes igualdades de ángulos:
pp
p.
N
C, p
M p
B y Pp A
El primer criterio de semejanza de triángulos nos asegura que los dos triángulos son
semejantes.
6.32 Las carreteras que unen tres pueblos A, B y C forman un triángulo
rectángulo en B tal y como indica la figura. Los tres pueblos comparten un gran centro cultural situado en el punto P, que es la base
de la altura sobre la hipotenusa. Para mejorar las comunicaciones se
construye una carretera circular que pasa por B, C y P. Calcula el radio de esa carretera.
N
A
P
M
C
B
O
53 km
A
P
C
28 km
Como el triángulo PBC es rectángulo en P, la hipotenusa BC es el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
1
El radio de dicha circunferencia será r BC.
2
Los triángulos PBC y PBA tienen ambos un ángulo recto y dos ángulos de lados perpendiculares, por tanto tienen, dos ángulos correspondientes iguales. El primer criterio de semejanza nos asegura que son triángulos semejantes; así. tenemos que:
BC
PB
.
AB
PA
532 282 53
1
1 PB AB
45 53
Por tanto, r BC 42,59 km.
2
2
PA
2 28
56
Teoremas basados en la semejanza
PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
6.33 En un triángulo rectángulo, las proyecciones m y n de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 y 9 centímetros, respectivamente. Calcula la altura sobre la hipotenusa y los lados del triángulo.
Por el teorema de la altura: h 2 m n 16 9 144 ⇒ h 12 cm
144
A
La medida de la hipotenusa coincide con la suma de las dos proyecciones:
a m n 16 9 25 cm.
20 cm
400
Por el teorema del cateto: b 2 a n 25 9 225 ⇒ b 225
15 cm
Por el teorema del cateto: c 2 a m 25 16 400 ⇒ c c
h
b
H
B
16 cm
C
9 cm
13
6.34 Halla la medida de los tres lados del siguiente triángulo rectángulo y el valor de la altura sobre la hipotenusa.
Por el teorema de la altura:
h
A
m n 9,8 115,2
1128,9
6 33,6 cm
La hipotenusa del triángulo es la suma de las proyecciones de los catetos:
BC 9,8 115,2 125 cm
Los catetos del triángulo los calcularemos aplicando el teorema del cateto:
AC 115,2
120 cm y AB 125
C
B
H
9,8 cm
115,2 cm
9,8
35 cm
125
6.35 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 35 centímetros, y su proyección sobre la hipotenusa, 21. Calcula la hipotenusa.
352
Aplicamos el teorema del cateto: 352 21 h ⇒ h 58,3v cm.
21
Ejercicio resuelto
6.36 Calcula el área del triángulo ABH de la figura.
El área del triángulo ABC puede hallarse de dos modos:
AB AC
34
BC h
5h
S 6 cm2 y S 4 cm
3 cm
2
2
2
2
h
Igualando ambas expresiones tenemos que:
H
B
C
5h
12
6 ⇒ h 2,4 cm
5 cm
2
5
AB 2
9
Aplicando el teorema del cateto, la proyección de AB sobre la hipotenusa es: BH 1,8 cm
BC
5
1,8
2,4
BH h
Así, el área del triángulo ABH será: 2,16 cm2
2
2
A
6.37 Calcula el área del triángulo ABH de la figura
El área del triángulo ABH puede hallarse de dos modos:
AB AC
27 36
BC h
45h
S 486 cm2 y S 36 cm
27 cm
2
2
2
2
h
Igualando ambas expresiones tenemos:
H
B
C
45h
972
45 cm
486 ⇒ h 21,6 cm
2
45
AB 2
272
Aplicando el teorema del cateto, la proyección de AB sobre la hipotenusa es: BH 16,2 cm
BC
45
16,2
21,6
BH h
Así, el área del triángulo ABH será: 174,96 cm2
2
2
A
PA R A
A P L I C A R
6.38 Un árbol está sujeto con dos cuerdas a dos estacas alineadas con él de modo que, como muestra la figura, el triángulo ABC que se forma es rectángulo. Calcula la medida
de las dos cuerdas.
B
A 3m
7m
C
La hipotenusa del triángulo formado por las dos cuerdas y el suelo mide la suma de las proyecciones: AC 3 7 10 m
Aplicando el teorema del cateto para el cateto AB y BC tenemos:
AB 2 10 3 ⇒ AB BC 2 10 7 ⇒ BC 14
5,48 m
30
70
8,37 m
6.39 En un parque infantil hay un tablero de juegos con forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden
1,5 y 2,1 metros, respectivamente. La altura sobre la hipotenusa divide al tablero en dos triángulos, uno
rojo y otro azul. Halla el área de los dos triángulos de colores.
Con la notación empleada hasta ahora, consideramos el triángulo grande formado por los dos triángulos pequeños (rojo y azul),
y calculamos su hipotenusa, proyecciones y su altura.
La hipotenusa la calcularemos aplicando el teorema de Pitágoras: a 2
2
c2 (1,5)
(2,1)2 2,58 m.
b
Para calcular las proyecciones sobre la hipotenusa aplicamos el teorema del cateto:
(1,5)2
(2,1)2
b2
c2
m 0,87 m y n 1,71 m.
a
2,58
a
2,58
Para calcular la altura sobre la hipotenusa utilizamos el teorema de la altura: h mn
0,87 1,71
1,22 m.
El triángulo rojo tendrá de catetos la altura h y la proyección sobre la hipotenusa m, por tanto, su área será:
0,87 1,22
mh
0,53 m2.
2
2
El triángulo azul tendrá de catetos la altura h y la proyección sobre la hipotenusa n, por tanto, su área será:
1,71 1,22
mh
1,03 m2.
2
2
6.40 Para atender a los afectados por un desastre natural, la
Cruz Roja ha instalado varias carpas. La entrada de una
de ellas es una semicircunferencia de 6 metros de radio.
Observa la figura y halla la altura del poste que han situado a 3 metros de uno de los extremos y que es perpendicular al diámetro.
B
h
H
A
6
C
3
Fijémonos en que el poste que nos indican es la altura sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC de hipotenusa AC 6 2 12 m y donde las proyecciones de los catetos sobre esta
valen 3 y 9 m. Por tanto, aplicando el teorema de la altura, tenemos que la altura del poste es
BH 3 9 27 5,2 m.
Matemáticas aplicadas
PA R A
A P L I C A R
6.41 Calcula el porcentaje que hay que indicar en una fotocopiadora para conseguir los siguientes tamaños
respecto del original.
a) Dos veces y media más grande.
b) Reducido a una cuarta parte.
a) La razón de semejanza es 2,5, por tanto el porcentaje que hay que indicar en la fotocopiadora será 250%.
1
b) La razón de semejanza es , por tanto el porcentaje que hay que indicar en la fotocopiadora será 25%.
4
6.42 Roberto ha fotocopiado un recorte de prensa de 5 centímetros de ancho por 12 de alto. Calcula el tamaño de la fotocopia si ha introducido los siguientes porcentajes.
a) 35%
b) 140%
c) 225%
d) 75%
a) La razón de semejanza es 0,35, por tanto, el ancho del recorte será 5 0,35 1,75 cm y el largo, 12 0,35 4,2 cm.
b) La razón de semejanza es 1,4, por tanto, el ancho del recorte será 5 1,4 7 cm y el largo, 12 1,4 16,8 cm.
c) La razón de semejanza es 2,25, por tanto, el ancho del recorte será 5 2,25 11,25 cm y el largo, 12 2,25 27.
d) La razón de semejanza es 0,75, por tanto, el ancho del recorte será 5 0,75 3,75 cm y el largo, 12 0,75 9.
15
A C T I V I D A D E S
F I N A L E S
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
6.43 Utiliza el teorema de Tales para dividir un segmento de 7 centímetros de longitud en 9 partes iguales.
C1
A
D1
C2
D2
C5
C4
C3
D3
D4 D5
7 cm
C6
D6
C7
D7
C9
C8
D8
B
Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se
llevan nueve segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C7 , C8 y C9. Se une C9 con B y se
trazan paralelas al segmento BC9 por los extremos restantes. Estas paralelas cortan al segmento AB en D8 , D7 …, D3 , D2 , y D1 ,
respectivamente.
El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1 , D1D2 , D2D3 , D3D4 , D4D5 , D5D6 , D6 D7 , D7D8 y D8B son iguales.
6.44 Explica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Todos los triángulos isósceles son semejantes.
b) Todos los cuadrados son semejantes.
c) Todos los paralelogramos son semejantes.
d) Todos los hexágonos regulares son semejantes.
e) Todos los polígonos regulares son semejantes.
f) Todas las circunferencias son semejantes.
a) Falsa. Los triángulos isósceles tienen dos pares de lados proporcionales, para ser semejantes tienen que tener además el mismo ángulo desigual.
b) Verdadera, ya que todos los cuadrados tienen los lados proporcionales y todos sus ángulos son iguales ya que son todos
rectos.
c) Falsa.
d) Verdadera, ya que todos los hexágonos regulares tienen los lados proporcionales y todos sus ángulos son iguales ya que miden todos 120.
e) Falsa. Un cuadrado y un triángulo equilátero son polígonos regulares y no son semejantes entre sí. Los polígonos regulares
son semejantes entre sí si tienen el mismo número de lados.
f)
Verdadera.
6.45 Utiliza alguno de los criterios de semejanza para demostrar que las siguientes parejas de triángulos son
semejantes.
B
80º
40º
5,8 cm
A
C
C
A
a) Los triángulos tienen dos ángulos iguales y, por tanto, por el primer criterio de semejanza de triángulos son semejantes.
B
3,45 cm
b) Hallamos la razón entre los lados correspondientes:
6,21
10,44
b) 1,8
3,45
5,8
B'
B'
6,21 cm
80º
10,44 cm
40º
A'
16
C'
A'
C'
Los dos triángulos tienen dos lados proporcionales (los catetos) y el
ángulo comprendido igual (los dos triángulos son rectángulos), por
tanto, el segundo criterio de semejanza de triángulos asegura que
son semejantes.
6.46 En un póster realizado a escala 1 : 6, Pau Gasol mide 35,9 centímetros. ¿Cuántos metros mide en la realidad?
La altura en centímetros será 35,9 6 215,4 cm, por lo que la altura real de Pau Gasol es 2,154 m.
6.47 Los lados de un hexágono miden 2, 5, 6, 3, 4 y 3 centímetros, respectivamente.
a) Calcula la medida de los lados de otro hexágono semejante al anterior cuyo lado menor mide 6 centímetros.
b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los dos hexágonos?
c) ¿Cuál es la razón entre los perímetros?
d) ¿Y entre las áreas?
6
a) Si su lado menor mide 6 cm, la razón de semejanza será 3, por lo que las medidas de los lados serán 6, 15, 18, 9, 12
2
y 9 cm.
b) La razón de semejanza es 3.
c) La razón entre los perímetros coincide con la razón de semejanza, es decir, es 3.
d) La razón de sus áreas es 32 9.
6.48 Las dimensiones de dos ortoedros son 6 8 18 y 21 28 63 centímetros, respectivamente.
a) Explica razonadamente si los dos ortoedros son semejantes.
b) En caso de que tu respuesta haya sido afirmativa, calcula la razón de semejanza entre sus aristas y
sus volúmenes.
21
28
63
a) Son semejantes ya que 3,5.
6
8
18
7
b) La razón de semejanza entre sus aristas coincidirá con la razón de semejanza que es y la razón entre sus volúmenes será
2
7 3
343
.
2
8
6.49 Observa las medidas señaladas en la foto de las Torres KIO de Madrid.
80 m
130 m
150 m
¿Cuánto debería prolongarse cada una de las torres para que entre las dos formaran un triángulo?
Si llamamos x a la medida pedida, aplicando el teorema de Tales tenemos que:
x
150
⇒ 80x 150x 19 500 ⇒ x 278,57 m
x 130
80
17
49
6.50 ¿Cuál es la relación entre los radios de dos circunferencias si la razón de sus áreas es —— ?
9
49
Si su razón de áreas es , su razón de semejanza será
9
7
relación entre ellos es r1 r2 .
3
499 73 . Es decir, siendo r y r los radios de dos circunferencias, la
1
2
6.51 Un polígono tiene un lado de 5 centímetros. Halla la longitud de su lado homólogo en un polígono semejante, sabiendo que sus áreas están en razón de 4 a 25.
Si sus áreas están a razón 4 a 25, su razón de semejanza será
2
5 2 cm.
5
245 25 . Por tanto, el lado homólogo del polígono medirá
6.52 Los volúmenes de dos esferas están en razón de 8 a 27. Si el radio de una de ellas mide 6 centímetros,
¿cuánto puede medir el radio de la otra?
8
Si su razón de volúmenes es , su razón de semejanza será
27
287 23 ; así, el radio pedido será 6 23 4 cm.
3
6.53 Los triángulos ABC y DEF verifican las siguientes condiciones: AB 5 DE
AC 5 DF
pD
p.
A
a) Utiliza alguno de los criterios de semejanza para demostrar que los dos triángulos son semejantes.
b) Calcula la longitud del lado EF si el lado BC mide 15 centímetros.
pp
D ),
a) Los triángulos tienen dos lados proporcionales (ya que AB 5 DE AC 5 DF ) y el ángulo comprendido igual (A
por tanto, usando el segundo criterio concluimos que los dos triángulos son semejantes.
15
b) La razón de semejanza entre los triángulos es 5 por lo que el lado EF mide 3 cm.
5
6.54 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 11 y 13 centímetros, respectivamente. Calcula razonadamente las medidas de:
a) La hipotenusa.
b) Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
c) La altura sobre la hipotenusa.
Con la notación empleada anteriormente b 11 cm y c 13 cm
2
2
c2 11
13
a) Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa mide a b
2 17,03 cm.
112
132
b2
c2
b) Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa valdrán n 7,11 cm y m 9,92 cm.
17,03
17,03
a
a
c) Aplicando el teorema de la altura se tiene que h PA R A
m n 7,11
9,92
8,40 cm.
R E F O R Z A R
6.55 Los lados de un triángulo ABC miden 5, 8 y 9 centímetros, respectivamente. El lado menor de otro triángulo semejante a ABC mide 12 centímetros. Halla la razón de semejanza y la medida de los otros dos
lados.
12
La razón de semejanza es 2,4.
5
Por tanto, los lados del triángulo medirán 5 2,4 12 cm, 8 2,4 19,2 cm y 9 2,4 21,6 cm.
6.56 En un mapa construido a escala 1 : 25 000, la distancia entre dos ciudades es de 13,5 centímetros.
a) ¿Cuál es la distancia real que separa a las dos ciudades?
b) Si hacemos una fotocopia reducida del mapa al 50%, ¿cuál será la escala del mapa fotocopiado?
a) La razón de semejanza es de 25 000, por tanto, la distancia real entre las dos ciudades será:
13,5 25 000 337 500 cm 3,337 km.
b) La escala será del doble: 1 : 50 000.
18
6.57 En el mismo momento en que la sombra de Jaime mide 45 centímetros, la estatua que hay en la plaza
proyecta una sombra de 2,13 metros. Si Jaime mide 1,80 metros, ¿qué altura tiene la estatua?
1,8
x
Aplicando el teorema de Tales tenemos que ⇒ x 8,52 m.
2,13
0,45
6.58 Las siguientes parejas de triángulos son semejantes. Calcula la razón de semejanza y los valores desconocidos.
a) 5, 8, 10
15, x, y
b) x, 6, 16
2, 3, y
c) 4, x, 7
y, 5x, z
a) La razón de semejanza es 3 y, por tanto, x 24 e y 30.
1
b) La razón de semejanza es y, por tanto, x 4 e y 8.
2
c) La razón de semejanza es 5 y, por tanto, y 20 y z 35.
El valor de x puede ser cualquiera siempre que se pueda formar un triángulo con dicho valor, es decir, 3 x 11.
6.59 Calcula la anchura de la carretera teniendo en cuenta las medidas que se indican en la figura.
h
5m
15 m
2m
h
15
Aplicando el teorema de Tales tenemos que ⇒ h 6 m.
5
2
6.60 Calcula la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo ABC.
Usando el teorema del cateto tenemos:
B
3,5 cm
AB 2 AH AC ⇒
⇒ (3,5)2 2 AC ⇒
(3,5)2
⇒ AC 6,125
2
Por tanto, la hipotenusa mide 6,125 cm.
h
A 2 cm H
PA R A
C
A M P L I A R
6.61 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 10 centímetros, sabiendo que es semejante
a otro rectángulo que tiene 4 centímetros de base y 3 centímetros de altura.
2
La diagonal del segundo rectángulo mide 4
32 mensiones pedidas son 8 cm la base y 6 cm la altura.
1
5 cm, con lo que la razón de semejanza será k 2 . Las di25
19
6.62 Ana tiene un sándwich con forma de triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 7 centímetros, y el lado
desigual, 8. Quiere cortarlo paralelamente al lado desigual de manera que queden dos partes de igual área.
¿Por dónde debe realizar el corte?
Si realizamos un corte paralelo al lado desigual, obtenemos un triángulo semejante ya que están en posición de Tales. Para que
72
1
7
tenga la mitad de área tendrá que ser con razón de semejanza . Por tanto, habrá que cortarlo a 4,95 cm
2
2
2
del vértice.
6.63 En un rectángulo ABCD trazamos un segmento EF paralelo al lado menor BC de modo que AEFD sea un
cuadrado, y FEBC, otro rectángulo. ¿En qué condiciones los rectángulos ABCD y FEBC son semejantes?
CB
AB
Para que los dos rectángulos sean semejantes debe verificarse que .
BE
CB
B
Si llamamos x AE, h EB, tendremos que CB AE por la construcción del rectángulo y el
x
x
h
cuadrado. Así tenemos: ⇒ x 2 hx h 2 0.
h
x
E
h
A
x
C
D
F
Resolvemos esta ecuación considerando como incógnita x (y rechazando la solución negativa por tratarse de una medida):
h h 2 4
h2
h h
1
4
1 5
x h .
2
2
2
1 5
x
Por tanto, , es decir, los rectángulos son semejantes si están proporción áurea.
h
2
6.64 Los radios de dos circunferencias concéntricas están en razón 1 a 3. En la circunferencia de mayor tamaño consideramos un diámetro AC y una cuerda BC tangente a la circunferencia menor. Si la cuerda
AB mide 12 centímetros, ¿cuánto miden los radios de las dos circunferencias?
Observemos que el triángulo ABC es rectángulo en B, pues su ángulo inscrito abarca
un diámetro. El triángulo ODC es rectángulo en D ya que el radio y la tangente forman un ángulo recto. Los triángulos ABC y ODC son semejantes al ser rectángulos
y tener un ángulo agudo común (primer criterio).
Si llamamos R al radio de la circunferencia grande tenemos que:
R
AO R, AC 2R, OD 3
AB
OD
12
1
6
1
Por el teorema de Tales ⇒ ⇒ ⇒ R 18
AC
OC
2R
3
R
3
6.65 Las dos piscinas de la figura tienen forma circular. Además, la
de los adultos es tangente exterior a la infantil. Calcula el volumen en litros de la piscina infantil si su profundidad es de
0,8 metros.
D
B
12 cm
C
O
A
8m
8m
R
r
O
P
O'
Tenemos dos triángulos rectángulos en posición de Tales, por tanto, son semejantes.
La razón de semejanza entre estos triángulo es 2, por tanto R 2r.
Por otra parte, llamamos x OP. Y, por tanto, 2x OP.
Ahora 2x x r R x r 2r x 3r ⇒ x 3r
Aplicamos ahora el teorema de Pitágoras al triángulo APO:
82 r 2 x 2 ⇒ 82 r 2 (3r)2 ⇒ 64 8 r 2 ⇒ r 8.
El área de la piscina pequeña es r 2 8 25,13 m2, y el volumen es
0,8 8 6,4 20,11 m3.
20
8m
P
x
A
r
O P
B
16 m
A
x
R
O
O’
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
6.66 Las monedas de euro
La tabla recoge información sobre las monedas de uno y dos euros.
1€
2€
7,50 g
8,50 g
Diámetro
23,25 mm
25,75 mm
Grosor
2,33 mm
2,20 mm
Masa
a) Suponiendo que las monedas de uno y dos euros se fabrican con la misma aleación de metales, averigua si son cilindros semejantes.
b) Conservando la masa de 8,5 gramos que tienen las monedas de dos euros, modifica las medidas del
diámetro y el grosor para que las monedas resultantes sean semejantes a las de un euro.
Grosor 2 €
2,20
Diam 2 €
25,75
a) No pueden ser cilindros semejantes ya que 0,944 1,108.
Grosor 1 €
2,33
Diam 1 €
23,25
b) El coeficiente de proporcionalidad de los volúmenes es el mismo que el coeficiente de proporcionalidad entre las masas.
8,5
Por tanto, 1,133.
7,5
El coeficiente de proporcionalidad entre las medidas lineales será:
3
3
1,043.
1,333
Por tanto, el diámetro de la moneda de dos euros debería ser: 23,25 1,043 24,25 mm, y el grosor de la moneda de dos
euros debería ser: 2,33 1,043 2,43 mm.
6.67 Teorema de la bisectriz interior
Considera la siguiente construcción geométrica a partir de un triángulo ABC cualquiera.
1. Sobre la prolongación del lado BC se lleva el punto D tal que CD CA.
2. Por el punto C se traza la recta paralela a AD que corta el lado AB del triángulo en el punto E.
A
D
E
C
B
EB
AE
a) Demuestra que —— ——.
BC
AC
b) Explica razonadamente las siguientes igualdades.
q CAD
q
ECA
q CDA
q
CAD
q BCE
q
CDA
p en el triángulo
c) A partir del apartado anterior, demuestra que la recta EC es la bisectriz del ángulo C
ABC.
EB
AE
a) Como AD es paralelo a EC, por el teorema de Tales tenemos que . Por otra parte el enunciado nos dice que
B
C
C
D
CD CA, por tanto, ya tenemos la igualdad pedida.
b) q
ECA q
CAD , porque son ángulos que comparten un lado y los otros dos son paralelos.
q
CAD q
CDA , porque ACD es un triángulo isósceles con lado desigual AD.
q
CDA q
BCE , porque comparten un lado y además AD es paralelo a EC.
c) Para demostrar que la recta EC es la bisectriz del ángulo Cp debo probar q
ECA q.
BCE Del apartado anterior tenemos que
q
q
q
q.
ECA CAD CDA BCE
21
A U T O E VA L U A C I Ó N
6.A1 Divide un segmento de 17 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 2, 3 y 4 centímetros.
A'''
4 cm
A''
3 cm
2 cm
A'
A
M
N
17 cm
B
Sea AB un segmento de 17 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan los segmentos AA, AA y AA, de longitudes 2, 3 y 4 centímetros, respectivamente. Se une A con B y se trazan paralelas a este segmento por los puntos A y A, que cortan al segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales asegura que AM, MN y NB son proporcionales a 2, 3 y 4.
Podemos comprobar que los segmentos miden respectivamente 3,7v; 5,6v y 7,5v cm.
Aplicando el teorema de Tales tenemos que la longitud MN es:
2m
B
N
M
A
1,5
3
⇒ MN 1 m
2
MN
3m
6.A2 La espaldera del gimnasio del instituto tiene forma triangular, tal y como indica la figura. Calcula la longitud del tramo MN.
1,5 m
C
6.A3 Los perímetros de dos triángulos isósceles semejantes miden 12 y 18 centímetros, respectivamente, y
el lado desigual del triángulo de mayor tamaño mide 9 centímetros.
a) Calcula la razón de semejanza.
b) Halla la medida de los lados desconocidos.
18
a) Hallamos la razón de semejanza entre los perímetros para obtener la razón entre los lados de los triángulos: k 1,5
12
b) En el triángulo mayor tenemos: x x 9 18 ⇒ 2x 9 ⇒ x 4,5 cm.
Así, como los triángulos son semejantes con razón dos tercios tenemos:
4,5
4,5
1,5 ⇒ y 3 cm
y
1,5
9
9
1,5 ⇒ z 6 cm
z
1,5
Por lo que los lados desconocidos miden 4,5 cm en el triángulo mayor y en el triángulo menor, 3, 3 y 6 cm, respectivamente.
6.A4 En un recinto con forma de triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 8 metros y la altura sobre dicho lado mide 12 han unido con cuerdas los puntos medios de los lados del recinto para formar un
triángulo interior. Halla la razón entre los perímetros y las áreas de ambos triángulos sin calcular la medida de los lados desconocidos.
La razón de semejanza entre ambos triángulos es 2, por tanto, la razón de semejanza entre los perímetros es 2 y entre las áreas es 22 4.
6.A5 La maqueta de un puente realizada a escala 1 : 1000 tiene unas dimensiones de 1,5 metros de largo y
de 0,15 de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones reales del puente?
La razón de semejanza entre las dimensiones reales y las de la maqueta es 1000, por tanto, el largo del puente será
1,5 1000 1500 metros; y el ancho será de 0,15 1000 150 metros.
22
6.A6 Explica razonadamente si las siguientes parejas de triángulos son semejantes.
¿Qué criterios de semejanza utilizas?
a)
b)
B'
B'
B
B
37º 69º
6
C'
A'
6,4 cm
5,2 cm
8 cm
A' 4 cm C'
74º
37º
A
C
A
6,5 cm
5 cm
C
a) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 180 (37 69) 74. Los triángulos tienen dos ángulos iguales y,
por tanto, por el primer criterio de semejanza de triángulos son semejantes.
6,5
8
5
b) Hallamos la razón entre los lados correspondientes: 1,25.
5,2
6,4
4
Los tres lados correspondientes son proporcionales (k 1,25); por tanto, el tercer criterio nos asegura que los triángulos
son semejantes.
6.A7 Dos amigos vuelan una cometa tal y como se muestra en la figura. Calcula, aproximadamente, la altura a la que se encuentra la cometa y la longitud de las cuerdas que los niños utilizan para sujetarla.
Usando el teorema de la altura se tiene h 2 7 5 ⇒ h 5,92 metros.
35
Aplicando el teorema del cateto con cada uno de los catetos del triángulo rectángulo se tiene:
9,17 metros
84
5 12 ⇒ c 2 60
7,75 metros
c 12 7 12 ⇒ c 1 c
2
2
E N T R E T E N I D O
Las cuatro tarjetas
Estas 4 tarjetas verdes son azules por el otro lado.
El objetivo del juego es que queden las 4 de color azul, teniendo en
cuenta que en cada movimiento debes obligatoriamente dar la vuelta a 3 tarjetas a la vez.
¿Cómo lo consigues?
Hay distintos modos de lograr el objetivo, el que lo consigue con el menor número de movimientos necesita efectuar 4 pasos.
POSICIÓN INICIAL
V
V
V
V
V
A
A
A
A
V
V
A
V
A
V
V
A
A
A
A
4 tarjetas verdes
PRIMER MOVIMIENTO
1 tarjeta verde y 3 azules
SEGUNDO MOVIMIENTO
2 tarjetas verdes y 2 azules
TERCER MOVIMIENTO
3 tarjetas verdes y 1 azul
CUARTO MOVIMIENTO
4 tarjetas azules
23