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Pre-universitario
“Manuel Guerrero
Ceballos”
Clase N° 12
MODULO COMPLEMENTARIO
Trapecios y trapezoides
Resumen de la clase anterior
suma de los ángulos interiores 360º
Cuadriláteros
suma de los ángulos exteriores 360º
trapecios
paralelógramos
ángulos opuestos
congruentes
lados opuestos
paralelos y congruentes
ángulos consecutivos
suplementarios
las diagonales
se dimidian
trapezoides
1. Trapecios
1.1 Características generales
D
C
M
N
A
B
• Un par de lados paralelos, llamados bases (AB//DC)
• Mediana (MN): Trazo que une los puntos medios de los lados NO
paralelos
MN =
AB + DC
2
AB // DC // MN
1. Trapecios
1.1 Características generales
D
M
A
C
h
N
E
Altura = DE = h
B
• La mediana MN, dimidia a la altura h.
• El área del trapecio corresponde a la semisuma de
sus bases, por la altura:
(AB + DC)
Área =
∙h
2
ó
Área = Mediana ∙ altura
1. Trapecios
1.1 Características generales
• Los ángulos consecutivos de los lados NO paralelos son suplementarios:
180°
180°
1. Trapecios
1.2 Clasificación
TIPOS DE TRAPECIOS
Trapecio
rectángulo
Trapecio
isósceles
Trapecio
escaleno
1. Trapecios
1.3 Trapecio isósceles
AB//DC
• Ángulos basales congruentes.
• Lados NO paralelos congruentes: AD BC
• Diagonales congruentes: AC BD
• Al trazar las alturas desde los vértices superiores, se forman en ambos
extremos del trapecio dos triángulos rectángulos congruentes:
∆ AFD ~= ∆ BEC
AF ~= EB
Ejercicios
En la figura, ABCD es un trapecio isósceles, entonces ¿cuál es su área?
Solución:
Al trazar las alturas desde los vértices superiores, se
forman los triángulos rectángulos AED y BFC de ángulos: 30°, 60° y 90°.
Además, como el trapecio es isósceles, AE ~= FB.
Ejercicios
Área =
(AB + DC)
∙h
2
Área =
(11 + 5) ∙ 3 3
2
Área = 8 ∙ 3 3
Área = 24 3
1. Trapecios
1.4 Trapecio rectángulo
h
E
• AB // DC
• Tiene 2 ángulos rectos
•
= 180°
• DA es altura del trapecio (DA = CE = h)
1. Trapecios
1.5 Trapecio escaleno
• AB // DC
• Sus lados NO paralelos y sus ángulos interiores son distintos.
Ejercicios
En el trapecio ABCD de la figura, MN es mediana. ¿Cuál es la razón
entre el área del trapecio MNCD y el área del trapecio ABNM?
11
Solución:
Si MN es mediana, entonces:
AB + DC
MN =
2
12 + 10
MN =
2
MN = 11
Ejercicios
Área MNCD =
(MN + CD)
(11 + 10)
21
∙ h1 =
∙ h1
∙
h
=
1
2
2
2
Área ABNM =
(12 + 11)
(AB + MN)
23
∙
h
∙ h2
h
=
∙
=
2
2
2
2
2
La mediana dimidia a la
altura, entonces h1 = h2
Luego, la razón (división) entre las áreas de los trapecios es:
ÁreaMNCD
ÁreaABNM
21
∙h
2 1
=
=
23
∙h
2 2
21
23
2. Trapezoides
2.1 Características generales
• NO tienen lados paralelos.
2. Trapezoides
2.2 Clasificación
Trapezoide simétrico (Deltoide)
• Está formado por 2 triángulos isósceles con base común:
∆ ADC y ∆ ABC, triángulos isósceles de base AC.
• Las diagonales son perpendiculares:
AC
DB
• El área se puede calcular como:
(AC ∙ DB)
Área =
2
• La diagonal DB es bisectriz del ángulo ADC y del ángulo CBA.
• La diagonal DB dimidia a la diagonal AC (AE ~
= EC)
Ejercicios
En el trapezoide simétrico ABCD de la figura, BD es base.
¿Cuál es la medida del ángulo x?
Solución:
Los triángulos BAD y BCD son isósceles de base BD.
Además, las diagonales son perpendiculares y AC es bisectriz del
ángulo DCB.
Luego, x = 35°.
2. Trapezoides
2.2 Clasificación
Trapezoide asimétrico
C
D
A
B
• Lados distintos y ángulos interiores distintos.
• Para calcular su área, se descompone en figuras conocidas
(triángulos, cuadrados, rectángulos, etc.).