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FUNCIONES ELEMENTALES 1. Función exponencial f : R → R : f (x) = e x , ∀ x ∈ R Propiedades de la función exponencial: a) f es continua en R. b) f es derivable en R y f 0 (x) = e x , ∀x ∈ R . c) f es biyectiva de R en R+ y estrictamente creciente. d) lı́m e x = 0 y lı́m e x = +∞. x→−∞ x→+∞ 0 e) f (0) = e = 1 . f) f (x + y) = f (x) f (y) (e x+y = e x ey ) f (x) = e x 30 25 20 15 10 5 PSfrag replacements -1 1 2. Función logarítmica La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. g = f −1 : R+ → R g verifica que eg(y) = y , ∀y ∈ R+ y g(e x ) = x , ∀x ∈ R. Se suele utilizar la notación g(y) = ln y, ∀y ∈ R+ (logaritmo neperiano de y). Tiene las siguientes propiedades: Funciones elementales. 2 a) g es continua en R+ . 1 , ∀x ∈ R+ . x c) g es biyectiva de R+ en R y estrictamente creciente. b) g es derivable en R+ y g 0 (x) = d) lı́m ln x = −∞ y lı́m ln x = +∞. x→0 x→+∞ e) ln(xy) = ln x + ln y ∀x, y ∈ R+ . f ) ln( yx ) = ln(x) − ln(y), ∀ x, y ∈ R+ . g) ln(xy ) = y ln(x), ∀ x ∈ R+ , y ∈ R. h) ln 1 = 0, ln(e) = 1. g(x) = ln(x) 0.5 1 1.5 2 2.5 e 3 -2 -4 -6 PSfrag replacements -8 -10 Haciendo uso de la siguiente fórmula se deducen las demás funciones elementales, excepto las trigonométricas b ab = eln(a ) = eb ln a , ∀a ∈ R+ , b ∈ R 3. Función exponencial de base a (a ∈ R+ ) f : R → R , f (x) = a x , ∀x ∈ R A continuación supongamos que a , 1. a) f es biyectiva de R en R+ , continua y verifica a x+y = a x ay . b) f es derivable en R y f 0 (x) = a x ln a , ∀x ∈ R . c) Si a > 1, f es estrictamente creciente y verifica lı́m a x = 0 y lı́m a x = +∞. x→−∞ x→+∞ Funciones elementales. 3 d) Si a < 1, f es estrictamente decreciente y verifica lı́m a x = +∞ y lı́m a x = 0. x→−∞ x→+∞ f (x) = a x , a > 1 f (x) = a x , a < 1 30 10 25 8 20 6 15 4 10 PSfrag replacements 5 PSfrag replacements 2 f (x) = a x , a > 1 -1 1 -1 1 4. Función potencial de exponente b (b , 0) f : R+ → R definida por f (x) = xb = eb ln x , ∀ x ∈ R+ a) f es biyectiva de R+ en R+ , continua y verifica (xy)b = xb yb . b) f es derivable y f 0 (x) = b xb−1 , ∀x ∈ R+ . c) Si b > 0, f es estrictamente creciente y verifica lı́m xb = 0 y lı́m xb = +∞. x→+∞ x→0 d) Si b < 0, f es estrictamente decreciente y verifica lı́m xb = +∞ y lı́m xb = 0. x→+∞ x→0 f (x) = xb , b < 0 f (x) = xb , b > 0 100 15 12.5 80 10 60 7.5 40 5 PSfrag replacements 20 2.5 PSfrag replacements f (x) = xb , b > 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 Funciones elementales. 4 5. Función logarítmica de base a (a ∈ R+ \ {1}) g : R+ → R , g(x) = loga x = ln x ∀x ∈ R+ . ln a Tiene las siguientes propiedades: g(x) = loga (x), a > 1 g(x) = loga (x), a < 1 15 0.5 1 1.5 2 2.5 a 3 12.5 -2 10 -4 7.5 5 PSfrag replacements -6 PSfrag replacements g(x) = loga (x), a > 1 2.5 -8 a 0.5 -10 1 1.5 2 2.5 3 a) g es biyectiva de R+ en R y continua. Además g es la inversa de la función exponencial de base a. Verifica también que loga (xy) = loga (x) + loga (y), ∀ x, y ∈ R+ . loga ( yx ) = loga (x) − loga (y), ∀ x, y ∈ R+ . loga (xy ) = y loga (x), ∀ x ∈ R+ , y ∈ R. 1 b) g es derivable en R+ con g 0 (x) = , ∀x ∈ R+ . x ln a c) Si a > 1, g es estrictamente creciente y lı́m loga x = −∞, y lı́m loga x = +∞. x→+∞ x→0 d) Si a < 1, g es estrictamente decreciente y lı́m loga x = +∞, y lı́m loga x = −∞. x→0 x→+∞ 6. Funciones seno y coseno sen : R → R, cos : R → R verifican: a) Ambas funciones son continuas en todo R. Funciones elementales. 5 PSfrag replacements π 2 f (x) = sen(x) f (x) = cos(x) π 3π 2 1 1 2π f (x) = sen(x) 0.5 0.5 PSfrag replacements π 2 3π 2 π π 2 2π -0.5 π 3π 2 2π -0.5 π -1 -1 b) sen(x + 2π) = sen x , cos(x + 2π) = cos x, ∀ x ∈ R (son periódicas de periodo 2π). c) sen2 x + cos2 x = 1 , ∀ x ∈ R (fórmula fundamental de trigonometría ) d) cos : [0, π] → [−1, 1] es una biyección estrictamente decreciente con cos 0 = 1, cos π2 = 0, cos π = −1. e) sen : [− π2 , π2 ] → [−1, 1] es una biyección estrictamente creciente con sen(− π2 ) = −1, sen0 = 0, sen( π2 ) = 1. f ) La imagen, tanto de la función seno como de la función coseno, es el intervalo [−1, 1]. g) cos(−x) = cos x, ∀ x ∈ R (coseno es una función par). sen(−x) = −sen x, ∀ x ∈ R (seno es una función impar). h) cos(x + π) = − cos x, ∀ x ∈ R sen(x + π) = −senx, ∀ x ∈ R. i) Las funciones seno y coseno no tienen límite en +∞ ni en −∞. j) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y, ∀ x, y ∈ R sen(x + y) = senx cos y + cos xseny, ∀ x, y ∈ R (Fórmulas de adición). k) Ambas funciones son derivables en todo R con derivadas: (sen)0 (x) = cos x , (cos)0 (x) = −sen(x) , ∀x ∈ R . 7. Función tangente Como se verifica que cos x = 0 ⇔ conjunto A = R \ { π2 x= π 2 + kπ, k ∈ Z , consideramos entonces el + kπ : k ∈ Z}. Se define así la función tangente senx tg : A → R, tgx = , ∀x∈A. cos x Funciones elementales. 6 a) tg(x + π) = tg x, ∀ x ∈ A. b) tg :] − π2 , π2 [→ R es una función continua, derivable y estrictamente creciente. Además verifica que (tg)0 (x) = 1 = sec2 (x) = 1 + tg2 (x) , ∀x ∈ A 2 cos (x) lı́m tg x = −∞, tg(0) = 0 , lı́mπ tg x = +∞ x→− π2 x→ 2 f (x) = tag(x) 40 20 PSfrag replacements −π −π 2 π 2 π -20 -40 8. Funciones secante, cosecante y cotangente Como se verifica que senx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z, se considera el conjunto B = R \ {kπ : k ∈ Z}. Se definen entonces las funciones 1 , ∀x∈A cos x 1 cosec : B → R, cosec x = , ∀x∈B sen x cos x , ∀x∈B cotg : B → R, cotg x = sen x sec : A → R, sec x = Todas las funciones definidas anteriormente son continuas y derivables en su dominio y sus derivadas son (sec) 0 (x) = tg x sec x , ∀x ∈ A (cosec) 0 (x) = −cotg x cosec x , ∀x ∈ B −1 (cotg) 0 (x) = = −cosec2 x = −(1 + cotg2 x) , ∀x ∈ B sen2 x Funciones elementales. 7 9. Función arcoseno Esta función es la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [− π2 , π2 ], y por tanto π π arcsen : [−1, 1] → [− , ] 2 2 verificando que sen ( arcsen (x)) = x , ∀x ∈ [−1, 1]. Es biyectiva, continua, y estrictamente creciente con π π arcsen (−1) = − , arcsen (0) = 0, arcsen (1) = 2 2 Es derivable en el intervalo abierto ] − 1, 1[ con derivada 1 , ∀x ∈] − 1, 1[ (arcsen) 0 (x) = √ 1 − x2 f (x) = arcsen(x) π 2 π 4 PSfrag replacements -1 -0.5 0.5 1 −π 4 −π 2 10. Función arcocoseno Es la función inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0, π], y por tanto arc cos : [−1, 1] → [0, π] verificando que cos(arc cos(x)) = x, ∀x ∈ [−1, 1]. Esta función es biyectiva, continua y estrictamente decreciente con arccos (−1) = π, arccos (0) = π , arccos (1) = 0 2 Es derivable en el intervalo abierto ] − 1, 1[ con derivada −1 (arc cos) 0 (x) = √ , ∀x ∈] − 1, 1[ 1 − x2 Funciones elementales. 8 f (x) = arccos(x) π 3π 2 PSfrag replacements π 2 π 4 -1 -0.5 0.5 1 11. Función arcotangente Es la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo ] − π2 , π2 [; y por tanto π π arctg : R →] − , [ 2 2 verificando que tg(arctg(x)) = x, ∀x ∈ R. Esta función es biyectiva, continua, derivable y estrictamente creciente con π π lı́m arctg x = − , arctg 0 = 0, lı́m arctg x = x→−∞ x→+∞ 2 2 (arctg) 0 (x) = π 2 1 , ∀x ∈ R 1 + x2 f (x) = arctg(x) π 4 PSfrag replacements -10 -5 5 −π 4 −π 2 10 Funciones elementales. 9 Identidades trigonométricas Identidades pitagóricas sen2 (x) + cos2 (x) = 1 tg2 (x) + 1 = sec2 (x) cotg2 (x) + 1 = cosec2 (x) Suma y diferencia de ángulos sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x sen y cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y tg x ± tg y tg(x ± y) = 1 ∓ tg x tg y Angulo doble sen 2x = 2 sen x cos x cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x Angulo mitad Producto 1 sen2 x = (1 − cos 2x) 2 1 cos2 x = (1 + cos 2x) 2 x 1 − cos x sen x tg = = 2 sen x 1 + cos x 1 sen x sen y = [cos(x − y) − cos(x + y)] 2 1 cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] 2 1 sen x cos y = [sen(x + y) + sen(x − y)] 2 Funciones elementales. 10 12. Funciones hiperbólicas Se definen senh, cosh : R → R senh(x) = e x − e−x , 2 cosh(x) = e x + e−x 2 Es claro de la definición que ambas funciones son continuas y derivables con senh0 (x) = cosh(x) y cosh0 (x) = senh(x) Por analogía con las funciones trigonométricas hablaremos de tangente hiperbólica, secante y cosecante hiperbólica. g(x) = cosh(x) f (x) = senh(x) g(x) = tgh(x) 10 10 1 8 0.5 5 6 -3 -2 -1 1 2 3 -7.5 4 -5 -2.5 2.5 5 7.5 PSfrag replacements PSfrag replacements -5 PSfrag replacements 2 f (x) = senh(x) f (x) = senh(x) -3 -10 -0.5 g(x) = cosh(x) -2 -1 1 2 3 -1 Identidades hiperbólicas cosh2 (x) − senh2 (x) = 1 2 senh(x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y) 2 tgh (x) + sech (x) = 1 2 2 cotgh (x) − cosech (x) = 1 senh2 (x) = senh(x − y) = senh(x) cosh(y) − cosh(x) senh(y) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y) cosh(x − y) = cosh(x) cosh(y) − senh(x) senh(y) −1+cosh(2x) 2 cosh2 (x) = 1+cosh(2x) 2 Funciones elementales. 11 Fórmulas de geometría Triángulo h = a sen θ Area = 12 bh PSfrag replacements 2 2 2 (Teorema del coseno) c = a + b − 2ab cos θ c a h θ b Círculo Area = πr2 Longitud de la circunferencia = 2πr r Sector circular (θ en radianes) Area = θr 2 2 PSfrag replacements s = rθ PSfrag replacements r s θ 2 2 2 2 2 Anillo circular {(x, y) ∈ R ; r ≤ x + y ≤ R } Area = π(R2 − r2 ) R r Elipse {(x, y) ∈ R2 ; x2 a2 + x2 b2 = 1} PSfrag replacements Area = πab b PSfrag replacements a Funciones elementales. Cono circular recto Volumen = 12 πr 2 h 3 √ Area de la superficie lateral = πr r2 + h2 h Tronco de cono circular recto Volumen = π(r 2 +rR+R2 )h 3 PSfrag replacements 0 r Area de la superficie lateral = πs(R + r) h PSfrag replacements 0 Cilindro circular recto {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 = r2 , 0 ≤ z ≤ h} r R Volumen = πr2 h Area de la superficie lateral = 2πrh h PSfrag replacements 0 Esfera {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 = r2 } r Volumen = 43 πr3 Area = 4πr2 PSfrag replacements −r 0 r Funciones elementales. 13 Superficies cuadráticas Elipsoide {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1} Secciones paralelas al plano xy: Elipses. Secciones paralelas al plano xz: Elipses. Secciones paralelas al plano yz: Elipses. b c 0 0 PSfrag replacements 0 Paraboloide elíptico {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 a2 a 2 y b2 + = cz } Secciones paralelas al plano xy: Elipses. Secciones paralelas al plano xz: Parábolas. Secciones paralelas al plano yz: Parábolas. Paraboloide hiperbólico {(x, y, z) ∈ R 3 ; x2 a2 − y2 b2 = cz } Secciones paralelas al plano xy: Hipérbolas. Secciones paralelas al plano xz: Parábolas. Secciones paralelas al plano yz: Parábolas. Hiperboloide de una hoja {(x, y, z) ∈ R 3 ; x2 a2 + y2 b2 Secciones paralelas al plano xy: Elipses. Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas. Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas. − z2 c2 = 1} Funciones elementales. Cono elíptico {(x, y, z) ∈ R3 ; 14 x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 0} Secciones paralelas al plano xy: Elipses. Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas. Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas. Hiperboloide de dos hojas {(x, y, z) ∈ R 3 ; x2 a2 + y2 b2 Secciones paralelas al plano xy: Elipses. Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas. Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas. − z2 c2 = −1}