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FUNCIONES ELEMENTALES
1. Función exponencial
f : R → R : f (x) = e x , ∀ x ∈ R
Propiedades de la función exponencial:
a)
f es continua en R.
b)
f es derivable en R y f 0 (x) = e x , ∀x ∈ R .
c)
f es biyectiva de R en R+ y estrictamente creciente.
d)
lı́m e x = 0 y lı́m e x = +∞.
x→−∞
x→+∞
0
e)
f (0) = e = 1 .
f)
f (x + y) = f (x) f (y) (e x+y = e x ey )
f (x) = e x
30
25
20
15
10
5
PSfrag replacements
-1
1
2. Función logarítmica
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
g = f −1 : R+ → R
g verifica que eg(y) = y , ∀y ∈ R+ y g(e x ) = x , ∀x ∈ R. Se suele utilizar la notación
g(y) = ln y, ∀y ∈ R+ (logaritmo neperiano de y).
Tiene las siguientes propiedades:
Funciones elementales.
2
a) g es continua en R+ .
1
, ∀x ∈ R+ .
x
c) g es biyectiva de R+ en R y estrictamente creciente.
b) g es derivable en R+ y g 0 (x) =
d) lı́m ln x = −∞ y lı́m ln x = +∞.
x→0
x→+∞
e) ln(xy) = ln x + ln y ∀x, y ∈ R+ .
f ) ln( yx ) = ln(x) − ln(y), ∀ x, y ∈ R+ .
g) ln(xy ) = y ln(x), ∀ x ∈ R+ , y ∈ R.
h) ln 1 = 0, ln(e) = 1.
g(x) = ln(x)
0.5
1
1.5
2
2.5
e
3
-2
-4
-6
PSfrag replacements
-8
-10
Haciendo uso de la siguiente fórmula se deducen las demás funciones elementales,
excepto las trigonométricas
b
ab = eln(a ) = eb ln a , ∀a ∈ R+ , b ∈ R
3. Función exponencial de base a (a ∈ R+ )
f : R → R , f (x) = a x , ∀x ∈ R
A continuación supongamos que a , 1.
a)
f es biyectiva de R en R+ , continua y verifica a x+y = a x ay .
b)
f es derivable en R y f 0 (x) = a x ln a , ∀x ∈ R .
c) Si a > 1, f es estrictamente creciente y verifica
lı́m a x = 0 y lı́m a x = +∞.
x→−∞
x→+∞
Funciones elementales.
3
d) Si a < 1, f es estrictamente decreciente y verifica
lı́m a x = +∞ y lı́m a x = 0.
x→−∞
x→+∞
f (x) = a x , a > 1
f (x) = a x , a < 1
30
10
25
8
20
6
15
4
10
PSfrag replacements
5
PSfrag replacements
2
f (x) = a x , a > 1
-1
1
-1
1
4. Función potencial de exponente b (b , 0)
f : R+ → R definida por f (x) = xb = eb ln x , ∀ x ∈ R+
a)
f es biyectiva de R+ en R+ , continua y verifica (xy)b = xb yb .
b)
f es derivable y f 0 (x) = b xb−1 , ∀x ∈ R+ .
c) Si b > 0, f es estrictamente creciente y verifica
lı́m xb = 0 y lı́m xb = +∞.
x→+∞
x→0
d) Si b < 0, f es estrictamente decreciente y verifica
lı́m xb = +∞ y lı́m xb = 0.
x→+∞
x→0
f (x) = xb , b < 0
f (x) = xb , b > 0
100
15
12.5
80
10
60
7.5
40
5
PSfrag replacements 20
2.5
PSfrag replacements
f (x) = xb , b > 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5
1
1.5
2
Funciones elementales.
4
5. Función logarítmica de base a (a ∈ R+ \ {1})
g : R+ → R , g(x) = loga x =
ln x
∀x ∈ R+ .
ln a
Tiene las siguientes propiedades:
g(x) = loga (x), a > 1
g(x) = loga (x), a < 1
15
0.5
1
1.5
2
2.5
a
3
12.5
-2
10
-4
7.5
5
PSfrag replacements
-6
PSfrag replacements
g(x) = loga (x), a > 1 2.5
-8
a
0.5
-10
1
1.5
2
2.5
3
a) g es biyectiva de R+ en R y continua. Además g es la inversa de la función exponencial de base a. Verifica también que
loga (xy) = loga (x) + loga (y), ∀ x, y ∈ R+ .
loga ( yx ) = loga (x) − loga (y), ∀ x, y ∈ R+ .
loga (xy ) = y loga (x), ∀ x ∈ R+ , y ∈ R.
1
b) g es derivable en R+ con g 0 (x) =
, ∀x ∈ R+ .
x ln a
c) Si a > 1, g es estrictamente creciente y
lı́m loga x = −∞, y lı́m loga x = +∞.
x→+∞
x→0
d) Si a < 1, g es estrictamente decreciente y
lı́m loga x = +∞, y lı́m loga x = −∞.
x→0
x→+∞
6. Funciones seno y coseno
sen : R → R,
cos : R → R
verifican:
a) Ambas funciones son continuas en todo R.
Funciones elementales.
5
PSfrag replacements
π
2
f (x) = sen(x)
f (x) = cos(x)
π
3π
2
1
1
2π
f (x) = sen(x) 0.5
0.5
PSfrag replacements
π
2
3π
2
π
π
2
2π
-0.5
π
3π
2
2π
-0.5
π
-1
-1
b) sen(x + 2π) = sen x , cos(x + 2π) = cos x, ∀ x ∈ R (son periódicas de periodo
2π).
c) sen2 x + cos2 x = 1 , ∀ x ∈ R (fórmula fundamental de trigonometría )
d) cos : [0, π] → [−1, 1] es una biyección estrictamente decreciente con cos 0 = 1,
cos π2 = 0, cos π = −1.
e) sen : [− π2 , π2 ] → [−1, 1] es una biyección estrictamente creciente con sen(− π2 ) =
−1, sen0 = 0, sen( π2 ) = 1.
f ) La imagen, tanto de la función seno como de la función coseno, es el intervalo
[−1, 1].
g) cos(−x) = cos x, ∀ x ∈ R (coseno es una función par).
sen(−x) = −sen x, ∀ x ∈ R (seno es una función impar).
h) cos(x + π) = − cos x, ∀ x ∈ R
sen(x + π) = −senx, ∀ x ∈ R.
i) Las funciones seno y coseno no tienen límite en +∞ ni en −∞.
j) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y, ∀ x, y ∈ R
sen(x + y) = senx cos y + cos xseny, ∀ x, y ∈ R
(Fórmulas de adición).
k) Ambas funciones son derivables en todo R con derivadas:
(sen)0 (x) = cos x ,
(cos)0 (x) = −sen(x) , ∀x ∈ R .
7. Función tangente
Como se verifica que cos x = 0 ⇔
conjunto A = R \
{ π2
x=
π
2
+ kπ, k ∈ Z , consideramos entonces el
+ kπ : k ∈ Z}. Se define así la función tangente
senx
tg : A → R, tgx =
, ∀x∈A.
cos x
Funciones elementales.
6
a) tg(x + π) = tg x, ∀ x ∈ A.
b) tg :] − π2 , π2 [→ R es una función continua, derivable y estrictamente creciente.
Además verifica que
(tg)0 (x) =
1
= sec2 (x) = 1 + tg2 (x) , ∀x ∈ A
2
cos (x)
lı́m tg x = −∞, tg(0) = 0 , lı́mπ tg x = +∞
x→− π2
x→ 2
f (x) = tag(x)
40
20
PSfrag replacements
−π
−π
2
π
2
π
-20
-40
8. Funciones secante, cosecante y cotangente
Como se verifica que senx = 0
⇔
x = kπ, k ∈ Z, se considera el conjunto
B = R \ {kπ : k ∈ Z}. Se definen entonces las funciones
1
, ∀x∈A
cos x
1
cosec : B → R, cosec x =
, ∀x∈B
sen x
cos x
, ∀x∈B
cotg : B → R, cotg x =
sen x
sec : A → R, sec x =
Todas las funciones definidas anteriormente son continuas y derivables en su dominio
y sus derivadas son
(sec) 0 (x) = tg x sec x , ∀x ∈ A
(cosec) 0 (x) = −cotg x cosec x , ∀x ∈ B
−1
(cotg) 0 (x) =
= −cosec2 x = −(1 + cotg2 x) , ∀x ∈ B
sen2 x
Funciones elementales.
7
9. Función arcoseno
Esta función es la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [− π2 , π2 ], y por
tanto
π π
arcsen : [−1, 1] → [− , ]
2 2
verificando que sen ( arcsen (x)) = x , ∀x ∈ [−1, 1]. Es biyectiva, continua, y estrictamente creciente con
π
π
arcsen (−1) = − , arcsen (0) = 0, arcsen (1) =
2
2
Es derivable en el intervalo abierto ] − 1, 1[ con derivada
1
, ∀x ∈] − 1, 1[
(arcsen) 0 (x) = √
1 − x2
f (x) = arcsen(x)
π
2
π
4
PSfrag replacements
-1
-0.5
0.5
1
−π
4
−π
2
10. Función arcocoseno
Es la función inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0, π], y por
tanto
arc cos : [−1, 1] → [0, π]
verificando que cos(arc cos(x)) = x, ∀x ∈ [−1, 1]. Esta función es biyectiva, continua
y estrictamente decreciente con
arccos (−1) = π, arccos (0) =
π
, arccos (1) = 0
2
Es derivable en el intervalo abierto ] − 1, 1[ con derivada
−1
(arc cos) 0 (x) = √
, ∀x ∈] − 1, 1[
1 − x2
Funciones elementales.
8
f (x) = arccos(x)
π
3π
2
PSfrag replacements
π
2
π
4
-1
-0.5
0.5
1
11. Función arcotangente
Es la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo ] − π2 , π2 [; y por tanto
π π
arctg : R →] − , [
2 2
verificando que tg(arctg(x)) = x, ∀x ∈ R. Esta función es biyectiva, continua, derivable
y estrictamente creciente con
π
π
lı́m arctg x = − , arctg 0 = 0, lı́m arctg x =
x→−∞
x→+∞
2
2
(arctg) 0 (x) =
π
2
1
, ∀x ∈ R
1 + x2
f (x) = arctg(x)
π
4
PSfrag replacements
-10
-5
5
−π
4
−π
2
10
Funciones elementales.
9
Identidades trigonométricas
Identidades pitagóricas
sen2 (x) + cos2 (x) = 1
tg2 (x) + 1 = sec2 (x)
cotg2 (x) + 1 = cosec2 (x)
Suma y diferencia de ángulos
sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x sen y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y
tg x ± tg y
tg(x ± y) =
1 ∓ tg x tg y
Angulo doble
sen 2x = 2 sen x cos x
cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x
Angulo mitad
Producto
1
sen2 x = (1 − cos 2x)
2
1
cos2 x = (1 + cos 2x)
2
x 1 − cos x
sen x
tg =
=
2
sen x
1 + cos x
1
sen x sen y = [cos(x − y) − cos(x + y)]
2
1
cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)]
2
1
sen x cos y = [sen(x + y) + sen(x − y)]
2
Funciones elementales.
10
12. Funciones hiperbólicas
Se definen senh, cosh : R → R
senh(x) =
e x − e−x
,
2
cosh(x) =
e x + e−x
2
Es claro de la definición que ambas funciones son continuas y derivables con
senh0 (x) = cosh(x) y cosh0 (x) = senh(x)
Por analogía con las funciones trigonométricas hablaremos de tangente hiperbólica,
secante y cosecante hiperbólica.
g(x) = cosh(x)
f (x) = senh(x)
g(x) = tgh(x)
10
10
1
8
0.5
5
6
-3
-2
-1
1
2
3
-7.5
4
-5
-2.5
2.5
5
7.5
PSfrag replacements
PSfrag replacements
-5
PSfrag replacements
2
f (x) = senh(x)
f (x) = senh(x)
-3
-10
-0.5
g(x) = cosh(x)
-2
-1
1
2
3
-1
Identidades hiperbólicas
cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
2
senh(x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y)
2
tgh (x) + sech (x) = 1
2
2
cotgh (x) − cosech (x) = 1
senh2 (x) =
senh(x − y) = senh(x) cosh(y) − cosh(x) senh(y)
cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)
cosh(x − y) = cosh(x) cosh(y) − senh(x) senh(y)
−1+cosh(2x)
2
cosh2 (x) =
1+cosh(2x)
2
Funciones elementales.
11
Fórmulas de geometría
Triángulo h = a sen θ
Area = 12 bh
PSfrag replacements
2
2
2
(Teorema del coseno) c = a + b − 2ab cos θ
c
a
h
θ
b
Círculo Area = πr2
Longitud de la circunferencia = 2πr
r
Sector circular (θ en radianes) Area =
θr 2
2
PSfrag replacements
s = rθ
PSfrag replacements
r
s
θ
2
2
2
2
2
Anillo circular {(x, y) ∈ R ; r ≤ x + y ≤ R }
Area = π(R2 − r2 )
R
r
Elipse {(x, y) ∈ R2 ;
x2
a2
+
x2
b2
= 1}
PSfrag replacements
Area = πab
b
PSfrag replacements
a
Funciones elementales.
Cono circular recto Volumen =
12
πr 2 h
3
√
Area de la superficie lateral = πr r2 + h2
h
Tronco de cono circular recto Volumen =
π(r 2 +rR+R2 )h
3
PSfrag replacements
0
r
Area de la superficie lateral = πs(R + r)
h
PSfrag replacements
0
Cilindro circular recto {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 = r2 , 0 ≤ z ≤ h}
r
R
Volumen = πr2 h
Area de la superficie lateral = 2πrh
h
PSfrag replacements
0
Esfera {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 = r2 }
r
Volumen = 43 πr3
Area = 4πr2
PSfrag replacements
−r
0
r
Funciones elementales.
13
Superficies cuadráticas
Elipsoide {(x, y, z) ∈ R3 ;
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1}
Secciones paralelas al plano xy: Elipses.
Secciones paralelas al plano xz: Elipses.
Secciones paralelas al plano yz: Elipses.
b
c
0
0
PSfrag replacements
0
Paraboloide elíptico {(x, y, z) ∈ R3 ;
x2
a2
a
2
y
b2
+
= cz }
Secciones paralelas al plano xy: Elipses.
Secciones paralelas al plano xz: Parábolas.
Secciones paralelas al plano yz: Parábolas.
Paraboloide hiperbólico {(x, y, z) ∈ R 3 ;
x2
a2
−
y2
b2
= cz }
Secciones paralelas al plano xy: Hipérbolas.
Secciones paralelas al plano xz: Parábolas.
Secciones paralelas al plano yz: Parábolas.
Hiperboloide de una hoja {(x, y, z) ∈ R 3 ;
x2
a2
+
y2
b2
Secciones paralelas al plano xy: Elipses.
Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas.
Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas.
−
z2
c2
= 1}
Funciones elementales.
Cono elíptico {(x, y, z) ∈ R3 ;
14
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 0}
Secciones paralelas al plano xy: Elipses.
Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas.
Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas.
Hiperboloide de dos hojas {(x, y, z) ∈ R 3 ;
x2
a2
+
y2
b2
Secciones paralelas al plano xy: Elipses.
Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas.
Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas.
−
z2
c2
= −1}