Download Índice 1. Conceptos primeros de Geometría

GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
ANTONIO SÁNGARI, CRISTINA EGÜEZ
[email protected] [email protected]
Resumen. Esta cartilla consiste en una serie de ejercicios, de problemas y de
breves notas teóricas que abordan situaciones de geometría elemental. En general,
la secuencia de los ejercicios es una concatenación de demostraciones geométricas
de propiedades conocidas. El énfasis en este traba jo, como así el motivo de este
curso es la Geometría, que hace uso de un recurso principalmente educativo,
como es el GeoGebra.
Índice
1. Conceptos primeros de Geometría
2. Preliminares
2.1. Ángulo exterior
2.2. Triángulos isósceles
2.3. Comparación de lados y ángulos
2.4. Mediatrices y bisectrices
3. Ángulos Determinados por Paralelas Cortadas por una Transversal
1.
1
2
2
3
5
6
8
Conceptos primeros de Geometría
Congruencia, rectas, semirrectas, lados de una recta o de una semirrecta, circunferencia, relación de mayor y de menor en ángulos y segmentos, ángulos exteriores
de un triángulo, etc. Y también los criterios de congruencia de triángulos
Criterio 1 LAL Si dos triángulos tienen de a pares dos lados y el ángulo comprendido
congruentes, entonces los triángulos son congruentes
Criterio 2 ALA Si dos triángulos tienen de a pares dos ángulos y el lado adyacente
congruentes, entonces los triángulos son congruentes
Criterio 3 LLL Si dos triángulos tienen de a pares tres lados congruentes, entonces los
triángulos son congruentes
Date
: Agosto de 2014.
1
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
2
Criterio 4 LLA Si dos triángulos tienen de a pares dos lados y el ángulo opuesto al mayor
de ellos, entonces los triángulos son congruentes
2.
Preliminares
2.1. Ángulo exterior.
Teorema 1. En cualquier triángulo, un ángulo exterior es mayor que cualquier interior no adyacente.
Ejercicio 1. Realice la prueba del Teorema 1.
1. Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela Prim_Teo_Ang_Ady.ggb
ABC .
2. Trace el triángulo
3. Dibuje el punto medio
→
4. Trace la circunferencia
d de centro D que pasa por C .
5. Trace la recta
D del segmento AB .
CD = e.
6. Marque la segunda intersección
→
E de d y e. Acerque el mouse a
la intersección de la recta e con la circunferencia d. ¾Cómo es CD con respecto
a DE ?
7. Oculte
→
d. También puede ir a la vista gráca y hacer click sobre
el icono de la izquierda de d.
8. Trace los triángulos ACD y BDE . Cámbieles el color (clic sobre objeto →
Propiedades → Color). Use un criterio de congruencia para mostrar que estos
son congruentes.
9. Trace la recta
CB y marque un punto F cualquiera de tal modo que B
esté entre C y F .
\ ≡ DBE
\ y que CAD
\ < DBF
\.
10. Muestre que CAD
11. Verique el resultado anterior con la herramienta
en sentido horario).
(marque los vértices
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3
[ <
12. Sea G el punto medio
→
del segmento CB . Muestre que ACG
\ mediante un procedimiento análogo a partir del paso 3.
DBF
13. ¾Qué puede concluir?
Corolario 1. En todo triángulo hay por lo menos dos ángulos agudos.
Ejercicio 2. Para demostrar el corolario 1, reduzca el problema al absurdo: suponga
que hay un triángulo con dos ángulos no agudos y use el teorema 1 para llegar a una
contradicción.
2.2. Triángulos isósceles.
Teorema 2. En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes.
Ejercicio 3. Para demostrar el teorema 2, siga los pasos siguientes:
1. Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela isosceles_angulos_base.ggb
2. Trace un segmento
valor de a.
AB . Note que en la Vista Algebraica aparece un
3. Cree un deslizador
de tipo número, de nombre b en el intervalo 0 a 5 con
incremento 0,1.
4. Dibuje una circunferencia c con centro A y radio b, con la herramienta Circunferencia (centro, radio)
.
5. Dibuje una circunferencia d con centro B y radio b, con la herramienta Circunferencia (centro, radio)
.
6. Arrastre el deslizador b con la herramienta Elije y Mueve
circunferencias se corten.
7. Llame C a una de las intersecciones
cursor a dicha intersección.
→
hasta que las
de c y d, acercando el
8. Marque el polígono ABC
. ¾Qué característica tiene la gura encontrada?
9. Use el criterio LLL para mostrar que el triángulo CAB es congruente con el
byB
b son congruentes.
CBA. Muestre que los ángulos A
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10. Verique el resultado anterior usando
horario).
4
(marque los vértices en sentido
Teorema 3. Si en un triángulo hay dos ángulos congruentes, es isósceles.
Ejercicio 4. Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela angulos_base_isosceles.ggb.
1. Trace un segmento
→
2. Cree un deslizador
con incremento 5°.
de tipo ángulo, de nombre α en el intervalo 0◦ a 90◦
AB .
3. Haga click sobre el icono de la herramienta Ángulo dada su amplitud
→
4. Haga click sobre A y luego sobre B y se desplegará un cuadro de diálogo.
5. En el cuadro de diálogo desplegado haga click sobre el extremo derecho, seleccione α y acepte. Se creará el ángulo β y el punto A0 de tal modo que
\0 = α. Si β queda en lados distintos de AB , haga Crtl+Z y repita este
ABA
paso seleccionando el sentido contrario.
6. Haga click sobre B y luego sobre A y se desplegará un cuadro de diálogo.
7. En el cuadro de diálogo desplegado haga click sobre el extremo derecho y
seleccione α, marque sentido horario y acepte. Se creará el ángulo γ y el punto
\0 = α.
B 0 de tal modo que BAB
8. Trace las rectas b = AB 0 y c = BA0 .
9. Marque la intersección
→
de c y b y llámele C .
10. Marque el polígono
ABC . ¾Qué característica tiene la gura encontrada?
11. Use el criterio ALA para mostrar que el triángulo CAB es congruente con el
CBA. Muestre que los lados AC y BC son congruentes.
Proposición 1.
Una recta y una circunferencia no pueden tener más de dos puntos
en común.
Ejercicio 5. Pruebe la proposición 1.
1. Dibuje una recta a = AB
2. Marque un punto C en a, de modo que B esté entre A y C ; y un punto D
fuera de a.
.
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3. Dibuje los segmentos DA, DB y DC .
4. Reduzca el problema al absurdo, es decir, suponga que D es el centro de una
circunferencia que pasa por A, B y C .
\ ≡ DCB
\ y DBC
\ ≡ DCB
\
a ) Muestre que DAB
b ) Use el Teorema 1 para llegar a una contradicción.
2.3. Comparación de lados y ángulos.
Teorema 4. En un triángulo, a lados mayores
se le oponen ángulos mayores y
recíprocamente.
Ejercicio 6. Para probar el teorema 4, siga los pasos siguientes
1. Dibuje un triángulo
lado AC .
ABC de tal modo que el lado BC sea mayor que el
2. Dibuje una circunferencia
3. Marque la intersección
4. Oculte d
d con centro en C que pase por A.
→
D de d con BC .
5. Trace el segmento
→
e = AD.
\ = CDA
\.
6. Use el teorema 2 para demostrar que CAD
\ < CAD
\ y por consiguiente DBA
\<
7. Use el teorema 1 para demostrar que DBA
[.
CAB
8. Oculte D y e
9. Para probar que ángulos mayores se le oponen lados mayores, reduzca el pro[ > ABC
[ , AC > BC
blema al absurdo: Suponga que, aunque BAC
a ) Dibuje un punto E en b suponiendo que CE ≡ CB .
b ) Trace el segmento f = BE .
[ < ABC
[ . Llec ) Use nuevamente los teoremas 2 y 1 para mostrar que BAC
gando a una contradicción.
Teorema 5.
En un triángulo, el mayor de los lados es menor que la suma de los
otros dos.
Ejercicio 7. Para probar el Teorema 5 siga los pasos siguientes
1. Dibuje un triángulo
lado AC .
ABC de tal modo que el lado BC sea mayor que el
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
2. Dibuje una circunferencia
3. Marque la intersección
4. Oculte d
6
d con centro en C que pase por A.
D de d con a.
→
5. Trace el segmento
→
e = AD.
\ y DAC
\ son agudos.
6. Use el teorema 2 y el corolario 1 para demostrar que CDA
7. Use el teorema4 para mostrar que BA es mayor que BD; y por lo tanto BC <
BA + AC .
2.4. Mediatrices y bisectrices.
Denición 1. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento
por su punto medio.
Teorema 6.
de
s.
Los puntos de la mediatriz de un segmento
s
equidistan de los extremos
Si un punto equidista de los extremos de un segmento
t
está en la mediatriz de
t
Ejercicio 8. Pruebe la primera parte del teorema 6. Sea X un punto cualquiera de
la mediatriz m de un segmento AB . Demostrar que AX ≡ BX
1. Trace el segmento
→
a = AB .
2. Trace la mediatriz
→
m de AB .
→
de a y m.
3. Sea M la intersección
4. Use el criterio LAL para mostrar que AM X ≡ BM X .
5. Concluya que AX ≡ BX .
Ejercicio 9. Pruebe la segunda parte del teorema 6. Sea un segmento AB y X un
punto que cumple AX ≡ BX . Demostrar que X está en la mediatriz del segmento
AB .
1. Trace el segmento
2. Trace el punto medio
AB .
→
→
M de AB .
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3. Dibuje un punto cualquiera X , a ojo que cumpla que AX ≡ BX .
→
XA, XB y XM .
4. Trace los segmentos
5. Use el criterio LLL para mostrar que AM X ≡ BM X .
\
\
6. Concluya que AM
X ≡ BM
X . (Y por lo tanto rectos).
Denición 2. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene origen en el vértice
y divide a éste en dos ángulos congruentes.
Teorema 7.
Los puntos de la bisectriz de un ángulo
Si un punto equidista de los lados de un ángulo
β
α
equidistan de los lados de
está en la bisectriz de
α.
β
Ejercicio 10. Pruebe la primera parte del teorema 7. Sea X un punto cualquiera
[ . Sean M y N los pies de las perpendiculares
de la bisectriz s de un ángulo AOB
bajadas desde X a OA y OB respectivamente. Demostrar que XM ≡ XN
1. Trace las semirrectas
2. Trace la bisectriz
3. Dibuje X en s.
→
[.
s de AOB
→
4. Trace la perpendicular
5. Sea M la intersección
6. Trace una circunferencia
no colineales a = OA y b = OB .
d desde X a a.
→
de a y d.
e de centro O que pase por M .
7. Marque el punto N de la intersección
→
de b y e.
8. Trace el segmento
→
N X.
9. Use el criterio LAL para mostrar que M OX ≡ N OX .
\
10. Concluya que M X ≡ N X , y que ON
X es recto.
[ y X un
Ejercicio 11. Pruebe la segunda parte del teorema 7. Sea un ángulo AOB
[ que cumple M X ≡ N X , donde M y N son los pies de
punto en el interior de AOB
las perpendiculares a OA y OB desde X respectivamente. Demostrar que X está en
la bisectriz del segmento AB .
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
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Figura 3.1.
1. Trace las semirrectas
2. Dibuje a ojo un punto
no colineales a = OA y b = OB .
→
cualquiera X , y puntos M y N tales que M X ≡
N X , donde M y N son los pies de las perpendiculares
respectivamente.
desde X a a y b
3. Trace los segmentos
→
XN , XM y XO.
4. Use el criterio LLA para mostrar que XM O ≡ XN O.
\
\
5. Concluya que M
OX ≡ N
OX .
3.
Ángulos Determinados por Paralelas Cortadas por una
Transversal
Denición 3. Sean dos rectas paralelas1 a y a0 cortadas por una transversal t en
los puntos A y A0 , respectivamente (Ver gura 3.1). Tomemos los puntos B y B 0
en a y en a0 respectivamente, a un lado de t; y los puntos C y C 0 en a y en a0
respectivamente, al otro lado de t. Tomemos el punto D tal que A está entre D y
A0 y el punto D0 tal que A0 está entre D0 y A. Obtenemos ochos ángulos, cuatro en
cada punto de intersección, nombrados de la manera siguiente:
0 A0 A, B
0 A0 A y CAA
\0 y C
\
\
\0 , son alternos internos entre paralelas cortadas
1. BAA
por una transversal. Pintados en rojo en gura 3.1
1paralela
y que no se cortan va a ser lo mismo
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0 A0 D 0 , B
0 A0 D 0 y CAD
\ y C\
\
\, son alternos externos entre paralelas cortadas
2. BAD
por una transversal. Pintados en azul en gura 3.1
0 A0 D 0 , D
0 A0 A y BAD
0 A0 D 0 y, C
0 A0 A y CAD
\0 y B\
\
\, CAA
\0 y C\
\
\, son corres3. BAA
pondientes entre paralelas cortadas por una transversal. Pintados en verde en
gura 3.1
0 A0 A, BAA
0 B 0 , son conjugados internos entre paralelas corta\0 y C
\
\0 y AA
\
4. CAA
das por una transversal.
0 A0 D 0 , DAB
0 A0 B 0 son conjugados externos entre paralelas cor\ y C\
\ y D\
5. CAD
tadas por una transversal.
Teorema 8.
Los ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por una trans-
versal, son congruentes. Además, si dos rectas al ser cortadas por una transversal
forman ángulos alternos internos iguales, son paralelas.
Ejercicio 12. Para la demostración del teorema 8 resolvemos el siguiente ejercicio.
1. Abra una hoja de GeoGebra ang_alt_int.ggb
2. Para mostrar que los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes,
reduzca el problema al absurdo
) Suponga que existen, a y a0 , paralelas
→
cortadas por una
0
transversal t, en los puntos A y A , tal que los ángulos alternos internos
no son iguales.
0
00
b ) Note que si por A se trazara una recta a , tal que forme con a y t ángulos
alternos internos iguales; tendríamos por A0 , exterior a a, dos rectas, a0 y
a00 , paralelas a a. Lo que contradice que por un punto exterior a una recta
hay una única paralela.
3. Para mostrar que si dos rectas al ser cortadas por una transversal forman
ángulos alternos internos iguales, son paralelas siga los pasos siguientes
a ) Trace la recta a = OA y la recta b = OB .
b ) Trace las circunferencias c de centro O que pasa por A, y d de centro O
que pasa por B .
0
c ) Marque la segunda intersección A de la recta a con c y la segunda intersección B 0 de b con d.
0 0
d ) Muestre que los triángulos OAB y OA B son congruentes.
0 0
e ) Muestre que las rectas A B y AB son paralelas.
a
Ejercicio 13. Para probar que la suma de los ángulos interiores de una triángulo
suman dos rectos siga los pasos siguientes
1. Dibuje un triángulo ABC que sea notablemente escaleno.
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2. Por C trace la paralela
→
a AB .
3. Use el teorema 8 para concluir este ejercicio.
Denición 4. Un paralelogramo es un cuadrilátero con los lados opuestos paralelos.
Ejercicio 14. Para mostrar que un paralelogramo tiene los lados opuestos congruentes y que las diagonales se bisecan siga los pasos siguientes:
1. Cree una hoja de GeoGebra paralelogramo.ggb
2. Dibuje un paralelogramo ABCD.
3. Trace las diagonales AC y BD.
4. Use los resultados de la sección 3, para mostrar que los triángulos ABD y
BCD son congruentes.
5. Muestre que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes
6. Dibuje el punto E intersección de las diagonales.
7. Muestre que los triángulos ABE y CDE son congruentes
8. Muestre que las diagonales se bisecan.
Ejercicio 15. Demuestre que si en un cuadrilátero sus diagonales se bisecan, es un
paralelogramo. (Use el teorema 8).