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GUÍA DE APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.
Cuadriláteros
Denición 1. Dados cuatro puntos A, B , C y D, no alineados de a tres, diremos
que estos cuatro puntos determinan un cuadrilátero. A los segmentos AB , BC ,
CD y AD les llamaremos lados del cuadrilátero y a A, B , C y D, vértices del
cuadrilátero. A los segmentos AC y BD les llamaremos diagonales. Las parejas de
lados AB y CD, y BC y DA se dicen opuestos. Dos lados con un extremo en común
se dicen adyacentes.
Un cuadrilátero se dice convexo si cada lado se encuentra en un mismo lado con
respecto a la prolongación del lado opuesto. En un cuadrilátero convexo ABCD, a
\, BCD
\ , CDA
\ y DAB
\ se les llama interiores.
los ángulos ABC
Un paralelogramo es un cuadrilátero con los lados opuestos paralelos.
Un rombo es un cuadrilátero con todos los lados congruentes.
Un rectángulo es un cuadrilátero con los ángulos internos rectos.
Un cuadrado es un rectángulo que es un rombo.
Proposición 2. En un cuadrilátero convexo
1. cada vértice está en el interior del ángulo interior determinado por los otros
tres,
2. sus diagonales se cortan,
3. las prolongaciones de sus diagonales dejan los otros dos vértices a lados
distintos,
4. sus ángulos interiores suman cuatro rectos.
Ejercicio 3. Pruebe la proposición 2 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
Dibuje la recta f = AB .
Marque un punto C fuera de f .
Trace la recta g = BC .
Marque un D del otro lado de A con respecto a g .
Muestre que el cuadrilátero ABCD no puede ser convexo.
Arrastre el punto D al otro lado de C con respecto f .
Muestre que el cuadrilátero ABCD no puede ser convexo.
Pruebe que si el cuadrilátero ABCD es convexo entonces necesariamente el
\.
punto D debe estar en el interior de ABC
Pruebe que en un cuadrilátero convexo cada vértice está en el interior del
ángulo interior determinado por los otros tres.
Arrastre el punto D hasta que el cuadrilátero ABCD sea convexo. Trace el
cuadrilátero ABCD.
Trace el segmento h = AC y la semirrecta i = BD.
Pruebe que i corta a h. (Recuerde que cualquier semirrecta interior de un
ángulo corta a cualquier segmento que se apoya en dicho ángulo).
Pruebe que diagonales de ABCD se cortan.
Pruebe que la prolongación de i deja A de un lado y a C del otro.
1
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2
15. Pruebe que las prolongaciones de sus diagonales dejan los otros dos vértices
a lados distintos.
16. Pruebe que cada diagonal de un cuadrilátero convexo lo descompone en dos
triángulos
17. Pruebe que los ángulos interiores de ABCD suman cuatro rectos.
18. Concluya la prueba.
Proposición 4. Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan, el cuadrilátero es
convexo.
Ejercicio 5. Pruebe la proposición 4 siguiendo los pasos a continuación.
1. Dibuje los segmentos f = AD y g = BC de tal modo que se corten en un
punto E .
2. Muestre que la semirrecta BE está en el semiplano de borde la recta AB
que contiene a E .
3. Muestre que la semirrecta AE está en el semiplano de borde la recta AB
que contiene a E .
4. Muestre que el segmento CD está de un mismo semiplano con respecto a la
recta AB .
5. Concluya la prueba.
Teorema 6. Todo paralelogramo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
es un cuadrilátero convexo,
tiene los lados opuestos congruentes y
sus diagonales se bisecan,
cada diagonal lo divide en dos triángulos congruentes,
sus ángulos adyacentes son suplementarios,
sus ángulos opuestos son congruentes.
Ejercicio 7. Para mostrar el teorema 6 siga los pasos siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Dibuje un paralelogramo ABCD.
Pruebe que ABCD es convexo.
Trace las diagonales AC y BD.
Muestre que los triángulos ABD y BCD son congruentes.
Muestre que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
Pruebe que el punto E de intersección de las diagonales existe. Dibújelo.
Muestre que los triángulos ABE y CDE son congruentes
Muestre que las diagonales se bisecan. (Recuerde que las diagonales se bisecan si se cortan entre si por sus respectivos puntos medios)
9. Concluya la prueba.
Teorema 8. Un cuadrilátero convexo es un paralelogramos si se cumple alguna de
las siguientes condiciones sucientes
1. Las diagonales se bisecan.
2. Los lados opuestos son congruentes.
3. Tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes.
4. Los ángulos interiores adyacentes a un lado son suplementarios.
Ejercicio 9. Pruebe el teorema 8 siguiendo los pasos a continuación.
1. Trace el segmento f = AC .
2. Marque el punto medio M de f .
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3. Dibuje un punto B fuera de la prolongación de f .
4. Use la herramienta simetría central para obtener el simétrico de B con respecto a M . Aparecerá un punto B 0 .
5. Renombre a B 0 como D.
6. Note que los segmentos AC y BD se bisecan.
7. Pruebe que los triángulos M CD y M AB son congruentes.
\ ≡ CDB
\.
8. Pruebe que los ABD
9. Muestre que las rectas AB y CD son paralelas. (Recuerde que si dos rectas
al ser cortadas por una transversal determinan ángulos alternos internos
congruentes, estas rectas son paralelas).
10. Pruebe que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. (O sea, si las diagonales se bisecan, es un paralelogramo).
11. Abra una nueva ventana de GeoGebra.
12. Dibuje a mano alzada un cuadrilátero convexo ABCD de tal modo que AB
sea congruente con CD y AD sea congruente con BC .
13. Trace el segmento AC .
14. Pruebe que ABC es congruente con ADC .
\ ≡ BAC
\.
15. Pruebe que ACD
16. Pruebe que el segmento CD es paralelo al AB .
17. Pruebe que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.(O sea, si los lados
opuestos son congruentes, es un paralelogramo).
18. Abra una nueva ventana de GeoGebra.
19. Dibuje a mano alzada un cuadrilátero ABCD de tal modo que AB sea
congruente y paralelo con CD. Pinte de rojo los segmentos AB y CD, y de
azul los segmentos BC y AD.
20. Trace la diagonal AC y píntela de verde.
\ ≡ ACD
\.
21. Pruebe que el BAC
22. Pruebe que los triángulos ABC y ADC son congruentes.
\ ≡ DAC
\.
23. Pruebe que los ángulos BCA
24. Justique que las rectas AD y DC son paralelas.
25. Pruebe que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. (O sea, si un par de
lados opuestos son congruentes y paralelos, es un paralelogramo).
26. Abra una nueva ventana de GeoGebra.
\ sea
27. Dibuje a mano alzada un cuadrilátero ABCD de tal modo que ABC
\ y de BAD
\ , y BCD
\ sea suplementario de CDA
\.
suplementario de BCD
28. Pruebe que las rectas BC y AD son paralelas cortadas por la transversal AB .
(Recuerde que si los conjugados internos son suplementarios de dos rectas
cortadas por una transversal, las rectas son paralelas).
29. Pruebe que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
30. Concluya la prueba.
Proposición 10. Un rombo es
1.
2.
3.
4.
un cuadrilátero convexo,
un paralelogramo,
sus diagonales se bisecan en ángulo recto,
sus diagonales son bisectrices de los ángulos del rombo.
Ejercicio 11. Pruebe la proposición 10, siguiendo los pasos a continuación.
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1. Muestre que si dos segmentos no se cortan, entonces uno de ellos debe encontrarse a un lado de la prolongación del otro. (Use el hecho que si dos
puntos se encuentran a lados distintos de una recta, entonces el segmento
determinado por estos dos puntos cortan a esta recta.
2. Suponga para reducir el problema al absurdo que un rombo ABCD no es
convexo o equivalentemente que sus las diagonales no se cortan. (Ver proposiciones 2 y 4)
a ) Dibuje dos segmentos a = AC y b = BD, tal que AC se encuentre a un
lado de la prolongación de b.
b ) Trace los segmentos c = AB , d = BC , e = CD, f = DA. Píntelos de
rojo.
c ) Muestre que los triángulos DAB y DCB son congruentes.
\ ≡ BDC
\.
d ) Pruebe que los BDA
e ) Muestre que esto lleva a un absurdo con los ángulos en D
3. Pruebe que un rombo es un cuadrilátero convexo.
4. Use el teorema 8 para demostrar que ABCD es un paralelogramo.
5. Muestre que en un rombo las diagonales se bisecan.
6. Arrastre el punto A y el punto C hasta que el cuadrilátero ABCD parezca
un rombo.
7. Marque el punto M de corte de las diagonales AC y BD.
8. Use el criterio LLL para demostrar que los triángulos AM B , BM C , CM D
y DM A son congruentes.
9. Pruebe que las diagonales dividen al rombo en cuatro triángulos rectángulos.
10. Pruebe que las diagonales se bisecan en ángulo recto.
11. Pruebe que las diagonales son bisectrices de los ángulos del rombo.
12. Concluya la prueba.
Proposición 12. Un cuadrilátero es un rombo si se cumple alguna de las siguientes
condiciones sucientes
1. Las diagonales se bisecan en ángulo recto.
2. Es un paralelogramo con una diagonal que ,es bisectriz de uno de sus ángulos
interiores.
Ejercicio 13. Pruebe la proposición 12 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
Dibuje el segmento a = AC .
Marque el punto medio M de a.
Trace la perpendicular b a a por M .
Marque un punto cualquiera B distinto de M en b.
Trace el simétrico de B con respecto a M . Aparecerá B 0 .
Renombre B 0 a D.
Use el criterio LAL para demostrar que los triángulos AM B , BM C , CM D
y DM A son congruentes.
Pruebe que si las diagonales se bisecan en ángulo recto el cuadrilátero es un
rombo.
Dibuje tres puntos no alineados A, B , C .
\.
Trace la bisectriz a de BAC
Trace las rectas b = AB y c = AC .
Trace las paralelas d a b por C y e a c por B .
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13. Arrastre el punto C hasta que concurran a, d y e, en un punto D. Dibujé a
D.
14. Note que ABDC es un paralelogramo con a conteniendo una diagonal que
es una bisectriz.
15. Pruebe que los triángulos ABD y DCA son congruentes.
16. Pruebe que
\ ≡ BAD
\ ≡ DAC
\ ≡ ADB
\
ADC
(Recuerde que la congruencia de ángulos es una relación de congruencia).
17. Pruebe que los triángulos ABD y DCA son isósceles. (Recuerde que si un
triángulo tiene dos ángulos interiores congruentes entonces es isósceles).
18. Pruebe que un paralelogramo con una diagonal que es bisectriz de uno de
sus ángulos interiores es un rombo.
19. Concluya la prueba.
Proposición 14. Un rectángulo es
1. es un paralelogramo (y por lo tanto un cuadrilátero convexo),
2. sus diagonales se bisecan y son congruentes,
3. el corte de las diagonales equidista de los vértices del rectángulo. (Equivalentemente, las diagonales de un rectángulo son diámetros de una circunferencia).
Ejercicio 15. Pruebe la proposición 14 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
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11.
12.
13.
14.
15.
Trace un segmento f = AB .
Trace las perpendiculares g y h a f por A y B respectivamente.
Marque un punto C sobre h, distinto de B .
Trace la perpendicular i a h por C .
Muestre que existe un punto D de corte de i y g . (Recuerde que por un
punto exterior a una recta pasa una sola recta que no la corta).
Note que el cuadrilátero es un rectángulo.
Pruebe que i y f son paralelos.
Pruebe que g y h son paralelas.
Pruebe que ABCD es un paralelogramo.
Use el teorema 6 para mostrar que los lados opuestos de ABCD son congruentes y sus diagonales se bisecan.
Trace las diagonales AC y BD, y su corte M .
Muestre que los triángulos ABC y BDA son congruentes.
Pruebe que las diagonales se bisecan y son congruentes.
Pruebe que el corte de las diagonales equidista de los vértices del rectángulo.
(Recuerde que si dos segmentos son congruentes, sus segmentos mitad son
congruentes)
Concluya la prueba.
Proposición 16. Un cuadrilátero es un rectángulo si se cumple alguna de las
siguientes condiciones sucientes
1. Las diagonales se bisecan y son congruentes.
2. Es un paralelogramo y uno de sus ángulos es recto.
Ejercicio 17. Pruebe la proposición 16 siguiendo los pasos a continuación.
1. Dibuje a mano alzada dos segmentos f = AC y g = BD que sean congruentes
y se bisequen en el punto M .
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2. Use el teorema 8 para mostrar que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
3. Use el teorema 6 para mostrar que los segmentos AB y CD son congruentes.
4. Pruebe que los triángulos ABC y DCB son congruentes.
\ y DCB
\ son congruentes
5. Use el teorema 6 para mostrar que los ángulos ABC
y suplementarios.
6. Pruebe que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo.
7. Abra una ventana nueva de GeoGebra.
8. Trace un segmento f = AB .
9. Trace la perpendicular g a f por A.
10. Trace la paralela h a g por B .
11. Tome un punto C en h distinto de B .
12. Trace una paralela i a f por C .
13. Pruebe que existe un punto D de corte de g e i. Dibuje a D.
14. Muestre que ABCD es un paralelogramo.
15. Muestre que todos los ángulos interiores de ABCD son rectos. (Ver teorema
6)
16. Concluya la prueba.
Proposición 18. Si un cuadrilátero convexo tiene dos lados congruentes y perpendiculares a un tercero, es un rectángulo. (Este tipo de cuadrilátero se llama de
Saccheri)
Ejercicio 19. *Pruebe la proposición 18. (Note que este cuadrilátero tiene dos
lados opuestos congruentes y paralelos. Use el teorema 8 y la proposición 16).
1.1. Triángulo medial.
Denición 20. Dado un triángulo
ABC , se llama triangulo medial del ABC al
triángulo A0 B 0 C 0 , donde A0 , B 0 y C 0 son los puntos medios de los lados a, b, c. Al
segmento B 0 C 0 se le llama base media del lado a = BC .
Teorema 21. Sea el triángulo ABC y A0 el punto medio de a. Sean d y e las rectas
paralelas a b y c respectivamente que pasan por A0 . Entonces d corta a c en un punto
C 0 y e corta a b en un punto B 0 , de tal forma que los triángulos AB 0 C 0 , A0 BC 0 ,
A0 B 0 C , A0 B 0 C 0 son congruentes. Además los puntos C 0 y B 0 son puntos medios de
los lados c y b y el segmento C 0 B 0 es un segmento medio del BC . Recíprocamente,
si B 0 y C 0 son los puntos medios de los segmentos b y c respectivamente entonces
el segmento B 0 C 0 es el paralelo y congruente con la mitad del segmento CB .
Ejercicio 22. Pruebe el Teorema 21 siguiendo los pasos a continuación
1.
2.
3.
4.
5.
Dibuje un triángulo ABC .
Marque el punto medio A0 de a.
Trace las paralelas d y e a b y c por A0 .
Marque los puntos B 0 de intersección de e y b; y C 0 de intersección de d y c.
Use el criterio ALA para probar que BC 0 A0 ≡ A0 B 0 C son congruentes.
(Recuerde que los ángulos correspondientes entre paralelas cortadas por una
transversal son congruentes)
6. Pruebe que los segmentos BC 0 y A0 B 0 son paralelos y congruentes. Píntelos
de rojo.
7. Pruebe que los segmentos A0 C 0 y CB 0 son paralelos y congruentes. Píntelos
de azul.
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28.
7
Trace el segmento f = B 0 C 0 . Píntelo de verde.
Pruebe que el cuadrilátero AC 0 A0 B 0 es un paralelogramo.
Pruebe que el cuadrilátero A0 C 0 B 0 C es un paralelogramo.
Pruebe que el cuadrilátero BC 0 B 0 A0 es un paralelogramo.
Pruebe que los segmentos AC 0 y A0 B 0 son paralelos y congruentes. Píntelos
de rojo.
Pruebe que los segmentos AB 0 y A0 C 0 son paralelos y congruentes. Píntelos
de azul.
Pruebe que los segmentos C 0 B 0 y A0 C son paralelos y congruentes. Píntelos
de verde.
Pruebe que los segmentos C 0 B 0 y A0 B son paralelos y congruentes. Píntelos
de verde.
Pruebe que B 0 C 0 es el paralelo y congruente con la mitad del segmento CB .
Use el criterio LLL para probar que los triángulos AB 0 C 0 , A0 BC 0 , A0 B 0 C ,
A0 B 0 C 0 son congruentes.
Pruebe que los puntos C 0 y B 0 son puntos medios de los lados c y b.
Pruebe que el segmento C 0 B 0 es un segmento medio del BC .
Abra otra hoja de GeoGebra.
Trace un triángulo ABC de lados a, b y c.
Trace el punto medio B 0 del lado b y el punto medio C 0 del lado c y el punto
medio A0 del lado a.
Suponga, por el absurdo, que la paralela por A0 al lado c no corta al lado b
en el punto B 0 y que la paralela por A0 al lado AC no corta al lado c en el
punto C 0 .
a ) Trace a mano alzada una recta e que sea supuestamente paralela a c por
A0 .
b ) Trace a mano alzada una recta d que sea supuestamente paralela a b por
A0 .
c ) Muestre que existe un punto B 00 de corte de b con e y un punto C 00 de
corte de d y c. (Aplique el axioma de Pasch).
d ) Muestre que los triángulos A0 C 00 B y CB 00 A0 son congruentes por criterio
ALA.
e ) Pruebe que C 00 A0 ≡ B 00 C .
f ) Pruebe que el cuadrilátero AC 00 A0 B 00 es un paralelogramo.
g ) Muestre que AB 00 ≡ B 00 C .
h ) Concluya con un absurdo con la unicidad del punto medio.
Concluya que la única paralela a c por A0 corta a b en B 0 y la única paralela
a b por A0 corta a c en C 0 .
Trace el segmento f = B 0 C 0 .
Pruebe que el cuadrilátero B 0 C 0 A0 C es un paralelogramo. (Ver teorema
Concluya que C 0 B y A0 C son paralelos y congruentes.
Concluya la prueba.
Corolario 23. El triángulo medial
A0 B 0 C 0 de un triángulo ABC , divide a ABC
en cuatro triángulos congruentes, que tienen lados con la mitad de la longitud de
los lados de ABC y paralelos a estos. Además las bases medias de los lados correspondientes son paralelas y congruentes con la mitad de estos.
Ejercicio 24. Pruebe el corolario 23.
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Corolario 25. Sea un triángulo
ABC , de lados a, b, y c, existe un triángulo
An Bn Cn cuyos lados correspondientes son a/2n , b/2n y c/2n , para cualquier entero
positivo n > 1. Además los ángulos de ABC y de An Bn Cn son congruentes.
Ejercicio 26. Para probar el corolario 25 use inducción sobre n. Note que el teorema 21 es el paso base, es decir con n = 1.
2.
Denición 27. Dos triángulos
Semejanza
ABC y A0 B 0 C 0 son semejantes si sus lados son
proporcionales dos a dos, es decir, si
AB
AC
BC
= 0 0 = 0 0
0
0
AB
AC
BC
A este cociente se le llama razón de la semejanza.
Denición 28. Diremos que los triángulos
ABC y A0 B 0 C 0 están en posición de
Thales si, nombrando los vértices adecuadamente A = A0 , B 0 está en AB y B 0 C 0
es paralelo a BC .
Proposición 29. Dado un triángulo ABC , existe un triángulo A0 B 0 C 0 en posición
de Thales con ABC tal que, para cualquier entero positivo n, A0 B 0 C 0 es semejante
a ABC , con razón de semejanza 1/2n .
Ejercicio 30. Pruebe la proposición 29. (Ver corolario 25)
Teorema 31. Si dos triángulos ABC y A0 B 0 C 0 están en posición de Thales en-
tonces  ≡ Â0 , B̂ ≡ B̂ 0 , Ĉ ≡ Ĉ 0 . Recíprocamente, si ABC y A0 B 0 C 0 cumplen estas
igualdades, existe un triángulo A00 B 00 C 00 semejante a A0 B 0 C 0 de modo que ABC y
A00 B 00 C 00 están en posición de Thales.
Ejercicio 32. Para probar el teorema 31 siga los pasos a continuación
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Dibuje un triángulo ABC de lados a, b, c.
Marque un punto B 0 sobre c.
Trace la paralela d a a por B 0 .
Pruebe la existencia de un punto C 0 de corte de b y d. Dibújelo.
Concluya con la primera parte de este teorema.
Borre el punto B 0
Dibuje un segmento d = A0 B 0 .
\.
Marque el ángulo α = BAC
Trace un ángulo β de lado A0 B 0 de amplitud α. Aparecerá un punto B 00 .
Trace la recta e que une este nuevo punto con A0 . Pinte a α y β de rojo.
\.
Marque el ángulo γ = ABC
Trace un ángulo δ de lado B 0 A0 de amplitud γ , que esté del mismo lado que
β con respecto a la prolongación de d. Aparecerá un punto A00 . Trace la recta
f que une este nuevo punto con B 0 . Pinte a γ y δ de verde.
Arrastre el punto B 0 hasta que los segmentos AB < A0 B 0 < 2AB .
Muestre que existe un corte C 0 de e y f . (Note que e y f no pueden ser
paralelas, pues los ángulos β y δ son congruentes a ángulos de un triángulo).
Marque a C 0 .
Oculte a B 00 y A00 .
Tome el punto medio B 00 de A0 B 0 . (Se renombrará el punto oculto B 00 )
Trace la recta g paralela a f por B 00 .
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17. Marque el punto C 00 de corte entre g y e.
18. Pruebe que C 00 está entre A0 y C 0 .
19. Marque el punto B 000 sobre la semirrecta AB de tal modo que B 00 A0 ≡ AB 000
.
20. Trace la recta h paralela a a por B 000 .
21. Pruebe que
000
b≡B
c0 ≡ B
c00 ≡ B
d
B
22. Marque el punto C de corte entre h y b.
23. Pruebe que C 000 está entre A y C .
24. Muestre que los triángulos AB 000 C 000 y A0 B 00 C 00 son congruentes.
000
25. Concluya la prueba
Lema 33. Dados dos triángulos A0 B 0 C 0 y ABC en posición de Thales y
A0 B 0
=2
AB
entonces A0 B 0 C 0 es semejante a ABC , con razón de semejanza 2.
Ejercicio 34. Pruebe la proposición 33, siguiendo los pasos a continuación.
1. Dibuje un triángulo ABC .
2. Trace el simétrico B 0 de A con respecto a B y el simétrico C 0 de A con
respecto a C .
3. Dibuje un triángulo AB 0 C 0 .
4. Trace la recta paralela f a la recta AC por B .
5. Muestre que existe un punto D de corte de f con el segmento B 0 C 0 .
6. Pruebe que los triángulos ABC y B 0 BD son congruentes.
7. Muestre que el cuadrilátero CBDC 0 es un paralelogramo.
8. Muestre que los segmentos BC , B 0 D y DC 0 son congruentes.
9. Muestre que los segmentos BD, CC y AC son congruentes.
10. Muestre que
11. Concluya la prueba.
B0C 0
AC 0
AB 0
=
=
=2
AB
BC
AC
Proposición 35. Dados dos triángulos ABC y A0 B 0 C 0 en posición de Thales y
A0 B 0
=m
AB
para cualquier entero positivo m mayor que 1, entonces A0 B 0 C 0 es semejante a
ABC , con razón de semejanza m.
Ejercicio 36. Pruebe la proposición 35, siguiendo los pasos a continuación.
1. Dibuje un triángulo ABC .
2. Trace las semirrectas f = AB y g = AC .
3. Dibuje sobre f un punto Bm de tal modo que ABm = mAB . (A mano
alzada).
4. Trace la recta h paralela a BC por Bm .
5. Pruebe que debe existir un punto Cm de corte de h y g . Marque a Cm
6. Dibuje sobre f un punto Bm0 de tal modo que ABm0 = (m + 1) AB . (A
mano alzada).
7. Dibuje la recta i paralela a h por Bm0 .
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8.
9.
10.
11.
10
Pruebe que debe existir un punto Cm0 de corte de i y g . Marque a Cm0
Dibuje la recta j paralela a g por Bm0 .
Pruebe que debe existir un punto C1 de corte de i y j . Marque a C1 .
Pruebe el teorema por inducción sobre m siguiendo los pasos a continuación.
a ) Muestre que para m = 2 es el lema 33.
b ) Suponga que se cumple la hipótesis inductiva para los triángulos ABC
y ABm Cm .
c ) Pruebe que los triángulos ABC y Bm Bm0 C1 son congruentes.
d ) Pruebe que el cuadrilátero Bm C1 Cm0 Cm es un paralelogramo.
e ) Muestre que
Bm 0 C m 0
ACm0
m+1
ABm0
=
=
=
ABm
Bm C m
ACm
m
12. Concluya la prueba.
Corolario 37. Dados dos triángulos
ABC y A0 B 0 C 0 en posición de Thales, o
A B C y ABC en posición de Thales, y
0
0
0
A0 B 0
m
= n
AB
2
para cualquier par de enteros positivos m y n, entonces A0 B 0 C 0 es semejante a
ABC , con razón de semejanza m/2n .
Ejercicio 38. Pruebe el corolario 37. (Use las proposiciones 29 y 35)
Teorema 39. (Teorema de Thales) Si dos triángulos están en posición de Thales,
entonces son semejantes.
Ejercicio 40. Pruebe el teorema 39 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Dibuje un triángulo ABC .
Marque sobre c un punto B 0 .
Trace la paralela d a a por B 0 .
Pruebe que existe C 0 el punto de corte de b con d. Dibuje el punto C 0 .
Verique que los triángulos ABC y AB 0 C 0 están en posición de Thales.
Suponga para reducir el problema al absurdo que
AC 0
AB 0
6=
AB
AC
a ) Muestre que debe existir un punto X en b tal que
AB 0
AX
=
AB
AC
Suponga que X está entre A y C 0 . Dibuje a X . (Recuerde que, por un
teorema de la geometría euclidiana, cualquiera que sea el número real
a > 0 existe algún segmento que es de longitud igual a a. )
b ) Pruebe que existe un punto M entre X y C 0 tal que para enteros positivos
myn
AM =
m
b
2n
Dibuje a M . (Recuerde que, por un teorema de la geometría euclidiana,
dados un segmento a = AB y una semirrecta b = OC , siempre es posible
encontrar enteros positivos m y n tales que si se jan dos puntos P y Q
GUÍA DE APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11
sobre b, existe un punto X entre P y Q tal que el segmento OX tiene
por longitud
c)
d)
e)
f)
m
a)
2n
Muestre que M debe estar en b. (Use algún resultado de orden)
Trace una paralela e a a por M .
Pruebe que existe un punto N de corte de e con el segmento AB 0 . Dibuje
a N.
Pruebe que los triángulos ABC y AN M están en posición de Thales y
son semejantes. (Use el corolario 37 ).
g ) Pruebe que
AM
AN
=
.
AB
AC
h ) Pruebe que AX < AM y AN < AB 0 .
i ) Pruebe que
AM
AN
AB 0
AX
<
=
<
AC
AC
AB
AB
j ) Concluya que esto lleva a un absurdo
7. Concluya que si dos triángulos están en posición de Thales, entonces los
lados colineales son proporcionales.
8. Trace la recta f k b por B 0 .
9. Pruebe que existe el punto C 00 de corte entre a y f . Dibuje a C 00 .
10. Pruebe que
BC 00
BB 0
=
BA
BC
11. Muestre que el cuadrilátero C 0 CC 00 B 0 es un paralelogramo.
12. Pruebe que C 0 B 0 ≡ CC 00
13. Muestre que
(Recuerde que si
14. Muestre que
a
b
BB 0
BA
AB 0
AB 0
=
=
=
BC 00
BC
C 00 C
B0C 0
c
a−c
= d entonces b−d )
15. Concluya la prueba.
AB 0
B0C 0
=
AB
BC
Corolario 41. Dos triángulos son semejantes si y sólo si los ángulos son iguales.
Ejercicio 42. Para demostrar el corolario 41 siga los pasos a continuación
1. Dibuje dos triángulos ABC y A0 B 0 C 0 semejantes. Trate de que los lados de
ABC sean mayores que los correspondientes de A0 B 0 C 0 .
2. Sobre la semirrecta AB dibuje un punto B 00 de tal modo que AB 00 ≡ A0 B 0 .
3. Trace la recta g paralela a a por B 00 .
4. Dibuje C 00 el corte de b con g .
5. Pruebe que los triángulos ABC y AB 00 C 00 están en posición de Tales y son
semejantes.
6. Pruebe que los triángulos ABC y AB 00 C 00 tienen de a pares los ángulos
congruentes.
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12
7. Muestre que se cumple que
y
8. Pruebe que
9. Muestre que
AB
AC
BC
= 0 0 = 0 0
A0 B 0
AC
BC
AC
BC
AB
=
= 00 00
AB 00
AC 00
B C
AB
AB
=
0
0
AB
AB 00
AC
AC
BC
BC
=
, y 0 0 = 00 00
A0 C 0
AC 00
BC
B C
10. Pruebe que A0 B 0 ≡ AB 00 , A0 C 0 ≡ AC 00 y B 0 C 0 ≡ B 00 C 00 .
11. Pruebe que los triángulos A0 B 0 C 0 y AB 00 C 00 son congruentes.
12. Concluya la condición necesaria.
13. Para mostrar la condición suciente use los teoremas 31 y 39.
14. Concluya con la prueba
Corolario 43. (Criterio LAL de Semejanza de triángulos) Sean
triángulos. Si
ABC y A0 B 0 C 0
AC
AB
0 A0 C 0
\ ≡ B\
= 0 0 , y BAC
A0 B 0
AC
entonces ABC y A0 B 0 C 0 son semejantes.
Ejercicio 44. Para demostrar el corolario 43 siga los pasos a continuación.
1. Dibuje dos triángulos ABC y A0 B 0 C 0 que cumplan que
2.
3.
4.
5.
AB
AC
0 A0 C 0
\ ≡ B\
= 0 0 , y BAC
A0 B 0
AC
Trate de que los lados de ABC sean mayores que los correspondientes de
A0 B 0 C 0 .
Sobre la semirrecta AB dibuje un punto B 00 de tal modo que AB 00 ≡ A0 B 0 ,
y sobre la semirrecta AC dibuje un punto C 00 de tal modo que AC 00 ≡ A0 C 0 .
Pruebe que los triángulos A0 B 0 C 0 y AB 00 C 00 son congruentes.
Para aplicar el método del absurdo suponga que el segmento B 00 C 00 no es
paralelo a BC .
a ) Trace la recta g paralela a a por B 00 .
b ) Dibuje C 000 el corte de b con g . (Demuestre que C 000 existe y que es
distinto de C 00 )
c ) Demuestre que ABC y AB 00 C 000 son semejantes.
d ) Pruebe que
AB
AC
AC
AC
= 0 0 =
=
A0 B 0
AC
AC 00
AC 000
e ) Pruebe que esto último es contradictorio.
6. Concluya con la prueba.
Teorema 45. (Teorema de Pitágoras) En un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Ejercicio 46. Para demostrar el teorema 45 siga los pasos a continuación.
1. Dibuje un triángulo ABC rectángulo en A.
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13
2. Trace la perpendicular desde A a a.
3. Use el primer teorema del ángulo exterior para demostrar que, en estas circunstancias, el pié de la perpendicular D debe caer sobre el lado a (no sobre
la prolongación) . Dibuje a D.
4. Pruebe que los triángulos ABC , DBA y DAC son semejantes.
5. Pruebe que se cumplen las igualdades
BA
BC
CA
BC
BA2
CA2
BD
BA
DC
=
CA
= BC × BD
=
= BC × DC
6. Concluya la prueba.
3.
Área de Polígonos
Denición 47. Se llama altura de un triángulo a cualquiera de los segmentos que
une perpendicularmente un vértice con la prolongación del lado opuesto. Dicho lado
se llama base del triángulo correspondiente a la altura considerada. El punto donde
la altura corta a la prolongación del lado se llama pie de la altura.
Teorema 48. El producto de una altura de un triángulo por su base correspondiente
no depende de la elección de la altura.
Ejercicio 49. Pruebe el teorema 48 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
Trace tres puntos A, B y C y las rectas a = BC , b = AC y c = AB .
Trace las perpendiculares f y g a a y b por A y B respectivamente.
Marque los pies de perpendicular D y E de f y g respectivamente.
Pruebe que los triángulos CBE y CDA son semejantes. (Arrastre el punto
A de tal modo que B esté entre D y C , D entre B y C , C entre D y B ,
B = D, y A = D. Considere todos estos casos).
5. Muestre que
6. Muestre que
CB
BE
=
CA
AD
CB × AD = CA × BE
7. Concluya la prueba
Denición 50. Llamaremos área de un triángulo ABC de altura h correspondiente
al lado b, al número real
(ABC) =
1
hb
2
Observación 51. De ahora en adelante trataremos con cuadriláteros convexos a
menos que se indique explícitamente lo contrario. Junto con el concepto de área
está el concepto de medida de guras planas poligonales convexas. Es usual hacer
una denición axiomática de este concepto:
1. La medida m de una gura es un real positivo.
2. La medida de un rectángulo es el producto de las longitudes de dos de sus
lados adyacentes.
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14
3. Si dos guras son congruentes, sus medidas coinciden.
4. Si una gura poligonal plana α se descompone mediante un segmento en dos
guras poligonales α1 y α2 entonces m (α) = m (α1 ) + m (α2 ).
Teorema 52. La medida de un triángulo coincide con el área denida anterior-
mente.
Ejercicio 53. Pruebe el teorema 52 siguiendo los pasos a continuación.
1. Dibuje un triángulo ABC , de tal modo que el ángulo interior en A sea el
mayor de los ángulos interiores.
2. Trace la perpendicular f de a por A.
3. Marque el pie D de f .
4. Pruebe que D está en el lado a = BC . (Recuerde el primer teorema del
ángulo inscrito).
5. Trace las perpendiculares g y h a a por B y C , respectivamente.
6. Dibuje la paralela i a a por A.
7. Marque los puntos E y F de corte de g y h con i respectivamente.
8. Muestre que los triángulos AEB y BDA son congruentes.
9. Muestre que los triángulos ADC y CF A son congruentes.
10. Pruebe que
BC × AD = BC × BE = m (AEB) + m (BDA) + m (ADC) + m (CF A)
11. Concluya la prueba.
Proposición 54. Las áreas de los triángulos con alturas congruentes son propor-
cionales a las bases correspondientes de los triángulos. También, las áreas de los
triángulos con bases congruentes son proporcionales a las alturas correspondientes
de los triángulos.
Ejercicio 55. Pruebe la proposición 54. (Use la fórmula (ABC) =
4.
1
2b
× h)
Teorema de Ceva
Denición 56. Una ceviana de un triángulo ABC es un segmento que va de un
vértice a el lado opuesto o su prolongación. Las medianas son cevianas que pasan
por el punto medio del lado correspondiente. Las alturas son cevianas que van de
un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Particularmente, los lados del ABC
son cevianas, como así también lo son las alturas, las medianas y la porción de las
bisectrices del ABC .
Teorema 57. (Teorema de Ceva) En un triángulo ABC tres cevianas AX , BY y
CZ (distintas de los lados) son concurrentes o paralelas (o lo son sus prolongaciones) si y sólo si
BX CY AZ
=1
XC Y A ZB
Ejercicio 58. Pruebe el teorema 57 siguiendo los pasos a continuación.
1. Dibuje los puntos no alineados A, B y C y las rectas a = BC , b = AC y
c = AB .
2. Marque un punto P en el interior de ABC .
3. Trace las rectas d = AP , e = BP y f = CP .
GUÍA DE APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
15
4. Muestre que existen puntos X , Y y Z de corte entre d y BC , e y AC , y f
y AB , respectivamente. Dibújelos. (Recuerde que toda semirrecta interior a
un ángulo corta a cualquier segmento que se apoya en el ángulo. )
5. Comience con la prueba de la condición necesaria para el caso de las cevianas
concurrentes. Pruebe que
BX
(BP X)
(BAX)
(BAP )
=
=
=
XC
(XP C)
(XAC)
(CAP )
(Use la proposición 54 y recuerde que si
6. Pruebe que
a
b
=
c
d
entonces
a−c
b−d ).
CY
(CBP ) AZ
(ACP )
=
=
YA
(ABP ) ZB
(BCP )
7. Concluya que si el corte de las cevianas está en el interior del triángulo,
entonces se cumple la condición necesaria.
8. Arrastre a P hasta que B esté entre X y C .
9. Pruebe que
.
10. Pruebe que
BX
(BP X)
(BAX)
(BAP )
=
=
=
XC
(XP C)
(XAC)
(CAP )
CY
(CBP ) AZ
(ACP )
=
=
YA
(ABP ) ZB
(BCP )
11. Muestre que
(BAP ) (CBP ) (ACP )
BX CY AZ
=
=1
XC Y A ZB
(CAP ) (ABP ) (BCP )
12. Concluya con la condición necesaria para el caso de las cevianas concurrentes.
13. Considere el caso de que las cevianas AX , BY y CZ son paralelas y que X
está entre B y C . Dibuje esta situación.
14. Probar que
BX
XC
CY
YA
AZ
ZB
=
=
=
BA
YA
=
AZ
AC
CB
BZ
=
BX
BA
AZ × BA
ZB × BA
15. Concluya con la condición necesaria.
16. Para probar la condición suciente para el caso de cevianas de las cuales al
menos un par se cortan proceda por el absurdo. Suponga que las cevianas
AX y BY se cortan en un punto P , y la ceviana CZ no pasa por P pero
satisface la relación
BX CY AZ
=1
XC Y A ZB
a ) Dibuje esta situación
b ) Considere la ceviana CZ 0 que pasa por P . Dibuje esto.
c ) Muestre que
BX CY AZ 0
=1
XC Y A Z 0 B
GUÍA DE APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
d ) Deduzca que
16
AZ
AZ 0
= 0
ZB
ZB
e ) Considere todos los casos posibles para los puntos A, B , Z y Z 0 en un
orden dado sobre la recta AB . Muestre que todos los casos llevan a un
absurdo.
17. Para probar la condición suciente para el caso de cevianas que no se cortan
es decir que son paralelas, note que ya probó que satisfacen
18. Concluya la prueba.
BX CY AZ
=1
XC Y A ZB
4.1. Puntos notables de un triángulo.
Denición 59. Llamaremos mediatrices de un triángulo a las mediatrices de los
lados del triángulo. Llamaremos bisectrices de un triángulo a los segmentos de la
bisectriz que están en el interior del triángulo.
Lema 60. Una bisectriz de un triángulo divide a su lado opuesto en segmentos
proporcionales a los lados adyacentes.
Ejercicio 61. *Para demostrar el lema 60 siga los pasos a continuación.
1. Dibuje un triángulo ABC .
2. Trace la bisectriz d de Ab.
3. Pruebe que existe el corte L de d con a. (Recuerde que toda semirrecta
interior a un ángulo corta a cualquier segmento que se apoya en el ángulo.
). Dibuje a L.
4. Trace las paralelas e y f , a b y c por L.
5. Marque el corte D de e y c.
6. Marque el corte E de f y b.
7. Pruebe que el cuadrilátero ADLE es un rombo. (Ver la proposición 12).
Etiquete con l los lados de este rombo.
8. Demuestre que
9. Pruebe que
10. Concluya la prueba.
b
l
c
l
=
=
a
BL a
CL
b
CL
=
c
BL
Teorema 62. Las medianas, las bisectrices y las alturas de un triángulo concurren.
Ejercicio 63. Pruebe el teorema 62 siguiendo los pasos a continuación.
1. Dibuje tres puntos no alineados A, B y C y las rectas a = BC , b = AC y
c = AB .
2. Trace las rectas ha , hb y hc perpendiculares a a, b y c por A, B y C respectivamente.
3. Marque los puntos D, E y F pies de ha , hb y hc .
4. Pruebe que los triángulos ADC y BEC son semejantes.
5. Muestre que
DC
AD
=
BE
EC
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17
6. Pruebe que los triángulos BF C y BDA son semejantes.
7. Muestre que
CF
FB
=
AD
DB
8. Pruebe que los triángulos AEB y AF C son semejantes.
9. Muestre que
BE
EA
=
CF
FA
10. Probar que
AF BD CE
F A DB EC
CF AD BE
=
=
=1
F B DC EA
EA F B DC
BE CF AD
11. Concluya que las alturas deben ser concurrentes.
12. Dibuje los puntos medios ,A0 , B 0 y C 0 de los lados a, b y c respectivamente.
13. Probar que
AB 0 CA0 BC 0
=1
B 0 C A0 B C 0 A
14. Concluya que las medianas deben concurrir.
15. Trace las bisectrices bA , bB y bC de los ángulos interiores en A, B y C
respectivamente.
16. Marque los puntos J , K y L de corte de bA , bB y bC con los lados a, b y c,
respectivamente.
17. Use el lema 60 para mostrar que
cba
AK CJ BL
=
=1
KC JB LA
acb
18. Concluya que las bisectrices deben concurrir.
19. Concluya la prueba.
Denición 64. El corte de las medianas se llama baricentro, el de las alturas (o
su prolongación) ortocentro y el de las bisectrices, incentro.
4.2. Propiedades de las mediatrices y bisectrices.
Teorema 65. Las mediatrices de un triángulo se cortan de a tres.
Ejercicio 66. Para demostrar el teorema 65 siga los pasos a continuación.
1. Dibuje un triángulo ABC .
2. Trace las mediatrices ma y mb de a y de b.
3. Pruebe que ma y mb se cortan en un punto O. (Recuerde que si las mediatrices fueran paralelas, la prolongación de los lados, que son perpendiculares
a las mediatrices, serían paralelas o coincidentes )
4. Pruebe que O equidista de A, de B y de C . (Recuerde que cada punto de la
mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento)
5. Concluya la prueba.
Denición 67. El punto de concurrencia de las mediatrices de un triángulo se
denomina circuncentro.
Teorema 68. *Las bisectrices de un triángulo se cortan de a tres en un punto
interior de dicho triángulo.
Ejercicio 69. Para demostrar el teorema 68 siga los pasos a continuación.
1. Dibuje un triángulo ABC .
GUÍA DE APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
18
2.
3.
4.
5.
Trace las bisectrices bA y bB de  y de B̂ .
Pruebe que bA corta a a en un punto L. Dibuje a L.
Pruebe que bB corta al segmento AL en un punto I .
Pruebe que I equidista de a, b y de c. (Recuerde que cada punto de la
bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo)
6. Concluya la prueba.
Corolario 70. Dado un triángulo ABC existe una única circunferencia que pasa
por A, B y C , y una única circunferencia que es tangente a los lados a, b y c.
Ejercicio 71. *Pruebe el corolario 70. (Recuerde la relación entre las tangentes y
los radios por el punto de tangencia)
Denición 72. *El punto de corte de las mediatrices de un triángulo se llama
circuncentro, la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo se llama
circunscrita. La circunferencia que es tangente a los lados de un triángulo se llama
inscrita.
Ejercicio 73. Realice otra demostración de la existencia del ortocentro y del baricentro de un triángulo siguiendo los pasos a continuación.
1. Dibuje tres puntos no alineados A, B y C y las rectas a = BC , b = AC y
c = AB .
2. Trace la recta a0 paralela a a por A.
3. Trace la recta b0 paralela a b por B .
4. Trace la recta c0 paralela a c por C .
5. Marque A1 corte de b0 y c0 , B1 corte de c0 y a0 y C1 corte de a0 y b0 .
6. Pruebe que las alturas de ABC están sobre las mediatrices del A1 B1 C1 .
7. Concluya con la existencia del ortocentro.
8. Pruebe que ABC es el triángulo medial del A1 B1 C1 .
9. Trace los puntos medios A0 y A00 de BC y de AB1
10. Pruebe que el cuadrilátero AA0 CA00 es un paralelogramo.
11. Trace los segmentos d = AA0 , e = CA00 y f = BB1 .
12. Marque los cortes G de d con f , B 0 de b con f y G0 de e con f .
13. Muestre que los segmentos BG, GG0 y G0 B1 son congruentes. (Use Thales).
14. Pruebe que B 0 es el punto medio de AC .
15. Muestre que los triángulos AGB 0 y CG0 B 0 son congruentes.
16. Pruebe que BG es el doble de GB 0 .
17. Pruebe que las medianas se cortan a las dos terceras partes del recorrido
desde un vértice al lado opuesto.
18. Concluya con la existencia del baricentro.
4.3. Las medianas de un triángulo.
Teorema 74. Las medianas de un triángulo lo dividen en seis triángulos equiva-
lentes o de igual área. Además, se cortan unas a otras en la tercera parte de su
recorrido desde el lado al vértice.
Ejercicio 75. Pruebe el teorema 74 siguiendo los pasos a continuación
1.
2.
3.
4.
Dibuje el triángulo ABC .
Marque los puntos medios A0 , B 0 y C 0 de los lados a, b, c respectivamente.
Trace las medianas de ABC .
Marque el baricentro G de ABC .
GUÍA DE APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
19
5. Pruebe que los triángulos A0 GB y A0 GC tienen la misma área. Dibújelos,
píntelos de azul, y póngales título x.
6. Pruebe que los triángulos B 0 GC y B 0 GA tienen la misma área. Dibújelos,
píntelos de rojo, y póngales título y .
7. Pruebe que los triángulos C 0 GA y C 0 GB tienen la misma área. Dibújelos,
píntelos de azul, y póngales título z .
8. Pruebe que los triángulos A0 AB y A0 AC tienen la misma área.
9. Pruebe que
x + 2y = x + 2z
.
10. Concluya con la primera armación del teorema.
11. Muestre que
(ABC) = 3 (GBC)
12. Trace las perpendiculares i y j a a desde A y G respetivamente.
13. Sean D y E los pies de i y j .
14. Pruebe que los segmentos AD y GE son las alturas de ABC y GBC correspondientes al lado común a.
15. Pruebe que
AD = 3GE
16. Pruebe que los triángulos A GE y A0 AD son semejantes.
17. Pruebe que
0
AA0 = 3A0 G
18. Concluya la prueba.
5.
Teorema del Ángulo Inscrito
Denición 76. Un ángulo está inscrito en una circunferencia ω si su vértice está en
ω y sus lados cortan a ω (en puntos distintos del origen). Un ángulo está seminscrito
en una circunferencia ω si su vértice está en ω y uno de sus lados corta a ω y el
otro es tangente a ω .
Teorema 77. Un triángulo
ABC es rectángulo en A si y sólo si el centro de su
circunferencia circunscrita está en el lado a.
Ejercicio 78. Pruebe el teorema 77 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Dibuje el segmento c = AB .
Por A trace la perpendicular b a c.
Marque en b un punto C 6= A.
Dibuje las paralelas b0 y c0 a b y c por C y B , respectivamente.
Pruebe que existe un punto A0 de corte de b0 y c0 . Dibuje a A0 .
Muestre que ABA0 C es un rectángulo.
Pruebe la condición necesaria del teorema.
Abra otra hoja de GeoGebra.
Dibuje una circunferencia de centro O.
Trace dos diámetros AC y BD.
Pruebe que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo.
Concluya con la prueba de la condición suciente.
Concluya con la prueba.
GUÍA DE APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
20
Teorema 79. Sea una circunferencia de centro O, y una cuerda que no es un
diámetro AB . Si el ángulo inscrito está del otro lado del centro respecto de la recta
AB es obtuso.
Ejercicio 80. Pruebe el teorema 79 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Dibuje una circunferencia c de centro O.
Dibuje una cuerda a = AB que no sea un diámetro.
Dibuje la recta g = AB.
Dibuje un punto C del otro lado que O de g , sobre c.
Dibuje los segmentos b = BC y d = CA.
Dibuje A0 el simétrico de A con respecto a O.
Trace e = AA0 . Muestre que e está en el interior de c y del otro lado de C
con respecto a la g .
Trace el segmento f = A0 C . Muestre que f está en interior de c y que la g
corta a f .
Marque un punto D sobre g pero no en a.
Trace el segmento h = OD.
\ es obtuso.
Pruebe que OAD
Pruebe que D está en el exterior de c.
Pruebe que el corte E de g con f es sobre a.
\0 es recto.
Muestre que ACA
\.
Muestre que la semirrecta CA0 es interior de ACB
Concluya la prueba.
Teorema 81. Todos los ángulos inscritos del mismo lado que el centro con respecto
a una cuerda AB de una circunferencia c son congruentes. Además el ángulo central
que subtiende a AB es el doble de dichos ángulos.
Ejercicio 82. Pruebe el teorema 81 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Dibuje una circunferencia c de centro O.
Dibuje una cuerda a = AB que no sea un diámetro.
Trace una recta b = AB .
Dibuje un punto C del mismo lado que O con respecto a b.
Trace los segmentos d = CB y e = CA.
Arrastre C hasta que d pase por O.
Trace el segmento f = OA.
[ ≡ OCA
[.
Pruebe que CAO
\
[.
Pruebe que el BOA es el doble de CAO
Concluya que el teorema para este caso particular.
\
Arrastre el punto C hasta que O sea interior de ACB
0
Marque el simétrico C de C respecto de O.
Trace los segmentos f = CC 0 , g = OA y h = OB .
0 OA es el doble de C
0 CA y que C
0 OB es el doble de C
0 CB .
\
\
\
\
Pruebe que C
\
Concluya que el teorema para este caso particular. (Observe que BOA =
0 OA y BCA
0 CA)
\0 + C
\
\ = BCC
\0 + C
\
BOC
\.
16. Arrastre el punto C hasta que O sea exterior de ACB
0
0
0
0 CB .
\
\
\
17. Pruebe que C OA es el doble de C CA y que C OB es el doble de C\
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21
\ =
18. Concluya que el teorema para este caso particular.(Observe que BOA
0
0
0
0
\
\
\
\
\
C OA − BOC y BCA = C CA − BCC ).
19. Concluya la prueba.
Corolario 83. Sean C y C 0 puntos antipodales sobre una circunferencia c de centro
O, y una cuerda AB sobre c (que no es un diámetro) que corta a CC 0 . Si C
\ es agudo y
está del mismo lado que O con respecto a la recta AB , entones ACB
\
suplementario a ACB .
Ejercicio 84. Para probar el corolario 83 siga los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Dibuje una circunferencia c de centro O.
Dibuje una cuerda a = AB que no sea un diámetro.
Trace una recta b = AB .
Dibuje un punto C del mismo lado que O con respecto a b.
Marque el simétrico C 0 de C respecto de O.
Trace los segmentos d = CB y e = CA.
Trace el segmento f = CC 0 .
Trace los segmentos i = C 0 B y j = C 0 A.
Arrastre a C de tal modo que f corte a a.
\0 y CAC
\0 son rectos.
Pruebe que CBC
Concluya la prueba (Recuerde que la suma de los ángulos interiores de un
cuadrilátero convexo es cuatro rectos).
Corolario 85. Todos los ángulos inscritos que están del mismo lado que O con
respecto a la recta AB , son agudos y son suplementarios con aquellos ángulos que
están del otro lado de la recta AB .
Ejercicio 86. Probar el corolario 85.
Denición 87. Un cuadrilátero convexo se dice inscribible si sus vértices están
sobre una circunferencia.
Corolario 88. Los cuadriláteros inscribibles tienen sus ángulos opuestos suplementarios.
Ejercicio 89. Probar el corolario 88.
Corolario 90. Sea la circunferencia c de centro
O y una cuerda AB . El ángulo
semiinscrito de vértice B y de un lado BA, que se encuentra del otro lado de O
con respecto a AB es congruente con todos los ángulos inscritos en del mismo lado
que O con respecto a la recta AB . Análogamente para los ángulos del otro lado del
centro.
Ejercicio 91. Para probar el corolario 90 siga los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Dibuje una circunferencia c de centro O que pase por B .
Marque un punto A sobre c.
Trace la recta a = BA.
Trace la tangente b a c por B .
Trace la recta d = BO.
Marque el punto C de intersección de c y d.
Trace la recta e = AC .
Pruebe que las rectas b y d son perpendiculares, y también las rectas a y e.
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22
9. Pruebe que existe el punto D de corte de b y e.
10. Pruebe que los triángulos BCD y BAD son semejantes.
11. Concluya la prueba.
Teorema 92. Sea un segmento
AB y un punto C de un lado dado de la recta
\ ≡ ACB
\ estará sobre una
AB . Todo otro punto X en dicho lado tal que AXB
circunferencia que pasa por A, B, C .
Ejercicio 93. Para probar el teorema 92 siga los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
Trace el segmento a = AB y la recta b = AB .
Marque un punto C de un lado de b.
Trace la circunferencia c que pasa por A, B , C .
Suponga para reducir el problema al absurdo que existe un punto X del
\ ≡ ACB
\, pero que no está
mismo lado que C con respecto a b tal que AXB
sobre c.
a ) Suponga que X está en el interior de c. Dibuje a X .
b ) Trace los segmentos d = AC , e = CB , f = AX , g = BX .
c ) Trace la recta h = AX .
d ) Muestre que h tiene otra intersección D con c distinta de A. Dibuje a
D.
e ) Trace el segmento i = DB .
\ ≡ ACB
\ ≡ AXB
\.
f ) Pruebe que ADB
g ) Pruebe que este caso lleva a un absurdo.
h ) Arrastre al punto X al exterior de c, pero que alguno de los segmentos
AX o BX corte a c en un punto D. Por ejemplo AX .
i ) Pruebe que en este caso también se llega a un absurdo.
j ) Arrastre al punto X al exterior de c, pero que la recta AX corte a c en
un punto D al otro lado que C con respecto a b.
\ es suplementario con ADB
\.
k ) Pruebe que ACB
\
\.
l ) Pruebe que AXB es suplementario con ADB
m ) Muestre que en este caso también se llega a un absurdo (las rectas XB
y DB deberían ser paralelas)
n ) Arrastre los puntos A, B y X hasta que las rectas XA y XB sean
tangentes a c.
\ es suplementario con el ACB
\.
ñ ) Pruebe que XAB
o ) Muestre que en este caso también se llega a un absurdo.
p ) Concluya con el absurdo.
5. Concluya con la prueba.
Corolario 94. Si un cuadrilátero convexo tiene los ángulos opuestos suplementarios entonces es inscribible.
Ejercicio 95. Pruebe el corolario 94.
Teorema 96. Sea una circunferencia c, y dos puntos A y B sobre c. Sea a la recta
que pasa por A y B . Sean r y s las rectas tangentes a c por A y B respectivamente.
Si M es un punto cualquiera de c y g , h, e i, son rectas perpendiculares a a, r y s
con pies P , E y F , respectivamente, por M , entonces
(5.1)
M P 2 = M E.M F
Ejercicio 97. Para probar el teorema 96 siga los pasos a continuación:
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23
1. Dibuje una circunferencia c de centro O.
2. Marque dos puntos A y B sobre c, de tal modo que el segmento AB no sea
un diámetro.
3. Dibuje la recta a = AB .
4. Trace las rectas tangentes r y s a c por A y B respectivamente. Píntelas de
rojo.
5. Marque un punto M sobre c.
6. Trace la recta g perpendicular a a por M y llame P al pie de la perpendicular.
Píntela de verde.
7. Trace la recta h perpendicular a r por M y llame E al pie de la perpendicular.
Píntela de verde.
8. Trace la recta i perpendicular a s por M y llame F al pie de la perpendicular.
Píntela de verde.
9. Arrastre el punto M de modo que esté del mismo lado que O y que P esté
en la cuerda AB .
\ ≡ P\
a ) Pruebe que EAM
BM . Use el corolario 90.
b ) Pruebe que los triángulos AM E y BM P son semejantes.
c ) Pruebe que
ME
AM
=
BM
MP
d ) Del mismo modo pruebe que los triángulos AP M y BF M son semejantes.
e ) Pruebe que
f ) Pruebe que
AM
MP
=
BM
MF
ME
MP
=
MP
MF
g ) Concluya la prueba para este caso.
10. Arrastre el punto M , de tal forma que esté a distinto lado del centro O
respecto de a.
a ) Muestre que en este caso P está en la cuerda AB .
b ) Siga los incisos del paso 9.
11. Arrastre el punto M de modo que esté del mismo lado que O y que P no esté
en la cuerda AB . (Opere como en el paso 9 y recuerde que si dos ángulos
son congruentes, sus adyacentes respectivos lo serán)
12. Arrastre el punto A de tal modo que la cuerda AB sea un diámetro. Concluya
que en esta caso siguen siendo válidos los argumentos usados en el paso 9.
13. Considere el caso en que el punto M coincide con uno de los extremos de la
cuerda AB . Concluya que la igualdad (5.1) se cumple trivialmente.
14. Concluya la prueba.
6.
Teorema de los Senos Generalizado
Teorema 98. Para un triángulo ABC con radio de la circunferencia circunscrita
R
.
a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin B
sin C
Ejercicio 99. Pruebe el teorema 98 siguiendo los pasos a continuación
GUÍA DE APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.
2.
3.
4.
24
Dibuje el triángulo acutángulo ABC y su circunferencia circunscrita d.
Marque el centro O de d
Marque un punto J simétrico de C con respecto a O.
Demuestre que
sin A = sin J = a/2R
5. Concluya la prueba para este caso.
6. Arrastre el punto A hasta que el triángulo ABC tenga un ángulo obtuso en
A.
7. Demuestre que
sin (π − A) = sin A = sin J = a/2R
8. Concluya la prueba para este caso.
9. Concluya la prueba
Lema 100. En cualquier triángulo ABC se cumple que
a = b cos C + c cos B
Ejercicio 101. Pruebe el lema 100 dibujando un triángulo ABC y considerando
el caso en el que C o B sean agudos.
Teorema 102. En un triángulo ABC se cumple que
sin (B + C) = sin B cos C+sin C cos B . En particular sin (2A) = 2 sin A cos A
sin (B − C) = sin B cos C − sin C cos B
cos (B − C) = cos B cos C + sin C sin B . En particular 1 = cos2 B + sin2 B .
cos (B + C) = cos B cos C − sin C sin B . En particular cos 2A = cos2 A −
sin2 A = 2 q
cos2 A − 1 = 1 − 2 sin2 A
5. cos A/2 = cos A+1
q 2
A
6. sin A/2 = 1−cos
2
1.
2.
3.
4.
Ejercicio 103. Pruebe el teorema 102. (Use el lema 100 y el teorema 98 para
demostrar la primera desigualdad. Para las otras desigualdades pruebe, usando el
círculo trigonométrico que
sin (−α)
=
cos (−α)
=
cos α
sin α
sin α
cos α
π
= sin
−α
2π
= cos
−α
2
Ejercicio 104. Muestre que
sin α + sin β
=
cos α + cos α
=
α−β
α+β
cos
2
2
α+β
α−β
cos
cos
2
2
sin
Corolario 105. (Teorema del Coseno) Todo triángulo ABC verica la relación
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Ejercicio 106. Pruebe el corolario 105 justicando los pasos a continuación.
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a = b cos C + c cos B
a2 = b2 cos2 C + c2 cos2 B + 2bc cos B cos C
a2 = b2 − b2 sin2 C + c2 − c2 sin2 B + 2bc cos B cos C
a2 = b2 + c2 − 2bc sin B sin C + 2bc cos B cos C
a2 = b2 + c2 + 2bc cos (B + C)
a2 = b2 + c2 − 2bc cos (π − B − C)
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
25