Download Índice 1. Conceptos primeros de Geometría

GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
ANTONIO SÁNGARI, CRISTINA EGÜEZ
[email protected] [email protected]
Resumen. Esta cartilla consiste en una serie de ejercicios, de problemas y de
breves notas teóricas que abordan situaciones de geometría elemental. En general,
la secuencia de los ejercicios es una concatenación de demostraciones geométricas
de propiedades conocidas. El énfasis en este traba jo, como así el motivo de este
curso es la Geometría, que hace uso de un recurso principalmente educativo,
como es el GeoGebra.
Índice
1. Conceptos primeros de Geometría
2. Preliminares
2.1. Ángulo exterior
2.2. Triángulos isósceles
2.3. Comparación de lados y ángulos
2.4. Mediatrices y bisectrices
3. Ángulos Determinados por Paralelas Cortadas por una Transversal
4. Transformaciones Rígidas
4.1. Imagen de un punto en un movimiento
4.2. Simetría Central
4.3. Simetría Axial
1.
1
2
2
3
5
6
8
11
13
13
16
Conceptos primeros de Geometría
Congruencia, rectas, semirrectas, lados de una recta o de una semirrecta, circunferencia, relación de mayor y de menor en ángulos y segmentos, ángulos exteriores
de un triángulo, etc. Y también los criterios de congruencia de triángulos
Criterio 1 LAL Si dos triángulos tienen de a pares dos lados y el ángulo comprendido
congruentes, entonces los triángulos son congruentes
Date
: Agosto de 2014.
1
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
2
Criterio 2 ALA Si dos triángulos tienen de a pares dos ángulos y el lado adyacente
congruentes, entonces los triángulos son congruentes
Criterio 3 LLL Si dos triángulos tienen de a pares tres lados congruentes, entonces los
triángulos son congruentes
Criterio 4 LLA Si dos triángulos tienen de a pares dos lados y el ángulo opuesto al mayor
de ellos, entonces los triángulos son congruentes
2.
Preliminares
2.1. Ángulo exterior.
Teorema 1. En cualquier triángulo, un ángulo exterior es mayor que cualquier interior no adyacente.
Ejercicio 1. Realice la prueba del Teorema 1.
1. Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela Prim_Teo_Ang_Ady.ggb
ABC .
2. Trace el triángulo
3. Dibuje el punto medio
→
4. Trace la circunferencia
d de centro D que pasa por C .
5. Trace la recta
D del segmento AB .
CD = e.
6. Marque la segunda intersección
→
E de d y e. Acerque el mouse a
la intersección de la recta e con la circunferencia d. ¾Cómo es CD con respecto
a DE ?
7. Oculte
→
d. También puede ir a la vista gráca y hacer click sobre
el icono de la izquierda de d.
8. Trace los triángulos ACD y BDE . Cámbieles el color (clic sobre objeto →
Propiedades → Color). Use un criterio de congruencia para mostrar que estos
son congruentes.
CB y marque un punto F cualquiera de tal modo que B
9. Trace la recta
esté entre C y F .
\ ≡ DBE
\ y que CAD
\ < DBF
\.
10. Muestre que CAD
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
11. Verique el resultado anterior con la herramienta
en sentido horario).
3
(marque los vértices
[ <
12. Sea G el punto medio
→
del segmento CB . Muestre que ACG
\ mediante un procedimiento análogo a partir del paso 3.
DBF
13. ¾Qué puede concluir?
Corolario 1. En todo triángulo hay por lo menos dos ángulos agudos.
Ejercicio 2. Para demostrar el corolario 1, reduzca el problema al absurdo: suponga
que hay un triángulo con dos ángulos no agudos y use el teorema 1 para llegar a una
contradicción.
2.2. Triángulos isósceles.
Teorema 2. En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes.
Ejercicio 3. Para demostrar el teorema 2, siga los pasos siguientes:
1. Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela isosceles_angulos_base.ggb
2. Trace un segmento
valor de a.
AB . Note que en la Vista Algebraica aparece un
3. Cree un deslizador
de tipo número, de nombre b en el intervalo 0 a 5 con
incremento 0,1.
4. Dibuje una circunferencia c con centro A y radio b, con la herramienta Circunferencia (centro, radio)
.
5. Dibuje una circunferencia d con centro B y radio b, con la herramienta Circunferencia (centro, radio)
.
6. Arrastre el deslizador b con la herramienta Elije y Mueve
circunferencias se corten.
7. Llame C a una de las intersecciones
cursor a dicha intersección.
→
hasta que las
de c y d, acercando el
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
4
8. Marque el polígono ABC
. ¾Qué característica tiene la gura encontrada?
9. Use el criterio LLL para mostrar que el triángulo CAB es congruente con el
byB
b son congruentes.
CBA. Muestre que los ángulos A
10. Verique el resultado anterior usando
horario).
(marque los vértices en sentido
Teorema 3. Si en un triángulo hay dos ángulos congruentes, es isósceles.
Ejercicio 4. Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela angulos_base_isosceles.ggb.
1. Trace un segmento
→
2. Cree un deslizador
con incremento 5°.
de tipo ángulo, de nombre α en el intervalo 0◦ a 90◦
AB .
3. Haga click sobre el icono de la herramienta Ángulo dada su amplitud
→
4. Haga click sobre A y luego sobre B y se desplegará un cuadro de diálogo.
5. En el cuadro de diálogo desplegado haga click sobre el extremo derecho, seleccione α y acepte. Se creará el ángulo β y el punto A0 de tal modo que
\0 = α. Si β queda en lados distintos de AB , haga Crtl+Z y repita este
ABA
paso seleccionando el sentido contrario.
6. Haga click sobre B y luego sobre A y se desplegará un cuadro de diálogo.
7. En el cuadro de diálogo desplegado haga click sobre el extremo derecho y
seleccione α, marque sentido horario y acepte. Se creará el ángulo γ y el punto
\0 = α.
B 0 de tal modo que BAB
8. Trace las rectas b = AB 0 y c = BA0 .
9. Marque la intersección
→
de c y b y llámele C .
10. Marque el polígono
ABC . ¾Qué característica tiene la gura encontrada?
11. Use el criterio ALA para mostrar que el triángulo CAB es congruente con el
CBA. Muestre que los lados AC y BC son congruentes.
Proposición 1.
en común.
Una recta y una circunferencia no pueden tener más de dos puntos
.
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
5
Ejercicio 5. Pruebe la proposición 1.
1. Dibuje una recta a = AB
2. Marque un punto C en a, de modo que B esté entre A y C ; y un punto D
fuera de a.
3. Dibuje los segmentos DA, DB y DC .
4. Reduzca el problema al absurdo, es decir, suponga que D es el centro de una
circunferencia que pasa por A, B y C .
\ ≡ DCB
\ y DBC
\ ≡ DCB
\
a ) Muestre que DAB
b ) Use el Teorema 1 para llegar a una contradicción.
2.3. Comparación de lados y ángulos.
Teorema 4. En un triángulo, a lados mayores
se le oponen ángulos mayores y
recíprocamente.
Ejercicio 6. Para probar el teorema 4, siga los pasos siguientes
1. Dibuje un triángulo
lado AC .
ABC de tal modo que el lado BC sea mayor que el
2. Dibuje una circunferencia
3. Marque la intersección
4. Oculte d
d con centro en C que pase por A.
→
D de d con BC .
5. Trace el segmento
→
e = AD.
\ = CDA
\.
6. Use el teorema 2 para demostrar que CAD
\ < CAD
\ y por consiguiente DBA
\<
7. Use el teorema 1 para demostrar que DBA
[.
CAB
8. Oculte D y e
9. Para probar que ángulos mayores se le oponen lados mayores, reduzca el pro[ > ABC
[ , AC > BC
blema al absurdo: Suponga que, aunque BAC
a ) Dibuje un punto E en b suponiendo que CE ≡ CB .
b ) Trace el segmento f = BE .
[ < ABC
[ . Llec ) Use nuevamente los teoremas 2 y 1 para mostrar que BAC
gando a una contradicción.
Teorema 5.
otros dos.
En un triángulo, el mayor de los lados es menor que la suma de los
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
6
Ejercicio 7. Para probar el Teorema 5 siga los pasos siguientes
ABC de tal modo que el lado BC sea mayor que el
1. Dibuje un triángulo
lado AC .
2. Dibuje una circunferencia
3. Marque la intersección
4. Oculte d
d con centro en C que pase por A.
→
D de d con a.
5. Trace el segmento
→
e = AD.
\ y DAC
\ son agudos.
6. Use el teorema 2 y el corolario 1 para demostrar que CDA
7. Use el teorema4 para mostrar que BA es mayor que BD; y por lo tanto BC <
BA + AC .
2.4. Mediatrices y bisectrices.
Denición 1. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento
por su punto medio.
Teorema 6.
de
s.
Los puntos de la mediatriz de un segmento
s
equidistan de los extremos
Si un punto equidista de los extremos de un segmento
t
está en la mediatriz de
t
Ejercicio 8. Pruebe la primera parte del teorema 6. Sea X un punto cualquiera de
la mediatriz m de un segmento AB . Demostrar que AX ≡ BX
1. Trace el segmento
→
a = AB .
2. Trace la mediatriz
→
m de AB .
3. Sea M la intersección
→
de a y m.
4. Use el criterio LAL para mostrar que AM X ≡ BM X .
5. Concluya que AX ≡ BX .
Ejercicio 9. Pruebe la segunda parte del teorema 6. Sea un segmento AB y X un
punto que cumple AX ≡ BX . Demostrar que X está en la mediatriz del segmento
AB .
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
1. Trace el segmento
7
AB .
→
→
M de AB .
2. Trace el punto medio
3. Dibuje un punto cualquiera X , a ojo que cumpla que AX ≡ BX .
4. Trace los segmentos
→
XA, XB y XM .
5. Use el criterio LLL para mostrar que AM X ≡ BM X .
\
\
6. Concluya que AM
X ≡ BM
X . (Y por lo tanto rectos).
Denición 2. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene origen en el vértice
y divide a éste en dos ángulos congruentes.
Teorema 7.
Los puntos de la bisectriz de un ángulo
Si un punto equidista de los lados de un ángulo
β
α
equidistan de los lados de
está en la bisectriz de
α.
β
Ejercicio 10. Pruebe la primera parte del teorema 7. Sea X un punto cualquiera
[ . Sean M y N los pies de las perpendiculares
de la bisectriz s de un ángulo AOB
bajadas desde X a OA y OB respectivamente. Demostrar que XM ≡ XN
1. Trace las semirrectas
2. Trace la bisectriz
3. Dibuje X en s.
→
[.
s de AOB
→
4. Trace la perpendicular
5. Sea M la intersección
6. Trace una circunferencia
no colineales a = OA y b = OB .
d desde X a a.
→
de a y d.
e de centro O que pase por M .
7. Marque el punto N de la intersección
→
de b y e.
8. Trace el segmento
→
N X.
9. Use el criterio LAL para mostrar que M OX ≡ N OX .
\
10. Concluya que M X ≡ N X , y que ON
X es recto.
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
8
[ y X un
Ejercicio 11. Pruebe la segunda parte del teorema 7. Sea un ángulo AOB
[ que cumple M X ≡ N X , donde M y N son los pies de
punto en el interior de AOB
las perpendiculares a OA y OB desde X respectivamente. Demostrar que X está en
[.
la bisectriz del ángulo AOB
1. Trace las semirrectas
2. Dibuje a ojo un punto
no colineales a = OA y b = OB .
→
cualquiera X , y puntos M y N tales que M X ≡
N X , donde M y N son los pies de las perpendiculares
respectivamente.
desde X a a y b
3. Trace los segmentos
→
XN , XM y XO.
4. Use el criterio LLA para mostrar que XM O ≡ XN O.
\
\
5. Concluya que M
OX ≡ N
OX .
3.
Ángulos Determinados por Paralelas Cortadas por una
Transversal
Denición 3. Sean dos rectas paralelas1 a y a0 cortadas por una transversal t en
los puntos A y A0 , respectivamente (Ver gura 3.1). Tomemos los puntos B y B 0
en a y en a0 respectivamente, a un lado de t; y los puntos C y C 0 en a y en a0
respectivamente, al otro lado de t. Tomemos el punto D tal que A está entre D y
A0 y el punto D0 tal que A0 está entre D0 y A. Obtenemos ochos ángulos, cuatro en
cada punto de intersección, nombrados de la manera siguiente:
0 A0 A, B
0 A0 A y CAA
\0 y C
\
\
\0 , son alternos internos entre paralelas cortadas
1. BAA
por una transversal. Pintados en rojo en gura 3.1
0 A0 D 0 , B
0 A0 D 0 y CAD
\ y C\
\
\, son alternos externos entre paralelas cortadas
2. BAD
por una transversal. Pintados en azul en gura 3.1
0 A0 D 0 , D
0 A0 A y BAD
0 A0 D 0 y, C
0 A0 A y CAD
\0 y B\
\
\, CAA
\0 y C\
\
\, son corres3. BAA
pondientes entre paralelas cortadas por una transversal. Pintados en verde en
gura 3.1
0 A0 A, BAA
0 B 0 , son conjugados internos entre paralelas corta\0 y C
\
\0 y AA
\
4. CAA
das por una transversal.
1paralela
y que no se cortan va a ser lo mismo
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
Figura 3.1.
9
Ángulos formados por paralelas cortadas por una transversal
0 A0 D 0 , DAB
0 A0 B 0 son conjugados externos entre paralelas cor\ y C\
\ y D\
5. CAD
tadas por una transversal.
Teorema 8.
Los ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por una trans-
versal, son congruentes. Además, si dos rectas al ser cortadas por una transversal
forman ángulos alternos internos iguales, son paralelas.
Ejercicio 12. Para la demostración del teorema 8 resolvemos el siguiente ejercicio.
1. Abra una hoja de GeoGebra ang_alt_int.ggb
2. Para mostrar que los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes,
reduzca el problema al absurdo
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
10
a)
Suponga que existen, a y a0 , paralelas
→
cortadas por una
0
transversal t, en los puntos A y A , tal que los ángulos alternos internos
no son iguales.
0
00
b ) Note que si por A se trazara una recta a , tal que forme con a y t ángulos
alternos internos iguales; tendríamos por A0 , exterior a a, dos rectas, a0 y
a00 , paralelas a a. Lo que contradice que por un punto exterior a una recta
hay una única paralela.
3. Para mostrar que si dos rectas al ser cortadas por una transversal forman
ángulos alternos internos iguales, son paralelas siga los pasos siguientes
a ) Trace la recta a = OA y la recta b = OB .
b ) Trace las circunferencias c de centro O que pasa por A, y d de centro O
que pasa por B .
0
c ) Marque la segunda intersección A de la recta a con c y la segunda intersección B 0 de b con d.
0 0
d ) Muestre que los triángulos OAB y OA B son congruentes.
0 0
e ) Muestre que las rectas A B y AB son paralelas.
Ejercicio 13. Para probar que la suma de los ángulos interiores de una triángulo
suman dos rectos siga los pasos siguientes
1. Dibuje un triángulo ABC que sea notablemente escaleno.
2. Por C trace la paralela
→
a AB .
3. Use el teorema 8 para concluir este ejercicio.
Denición 4. Un paralelogramo es un cuadrilátero con los lados opuestos paralelos.
Ejercicio 14. Para mostrar que un paralelogramo tiene los lados opuestos congruentes y que las diagonales se bisecan siga los pasos siguientes:
1. Cree una hoja de GeoGebra paralelogramo.ggb
2. Dibuje un paralelogramo ABCD.
3. Trace las diagonales AC y BD.
4. Use los resultados de la sección 3, para mostrar que los triángulos ABD y
BCD son congruentes.
5. Muestre que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes
6. Dibuje el punto E intersección de las diagonales.
7. Muestre que los triángulos ABE y CDE son congruentes
8. Muestre que las diagonales se bisecan.
Ejercicio 15. Demuestre que si en un cuadrilátero sus diagonales se bisecan, es un
paralelogramo. (Use el teorema 8).
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
4.
11
Transformaciones Rígidas
Usaremos la denición intuitiva de movimiento en el plano como toda aquella
transformación que no cambia las distancias entre los puntos.2
Proposición 2. Los movimientos preservan la alineación de los puntos.
Ejercicio 16. Para mostrar la proposición 2, siga los pasos siguientes:
1. Trace la recta a = AB .
2. Dibuje C sobre a, tal que B esté entre A y C .
3. Suponga, para reducir el problema al absurdo, que los puntos A, B y C se
transforman en puntos no alineados
0
0
0
a ) Dibuje A , B y C no alineados y suponga que son los transformados de
A, B y C respectivamente.
b ) Note que AB + BC = AC .
0 0
0 0
0 0
c ) Por otro lado, por la el teorema 5 A B + B C > A C .
Proposición 3. Sean A, B y C puntos alineados con B entre A y C ; y sean A0 , B 0 y
C0
0
0
0
la imagen de A, B y C a través de un movimiento. Entonces A , B y C estarán
0
0
0
alineados con B entre A y C . Es decir, los movimientos preservan la relación estar
entre.
Ejercicio 17. Para mostrar la proposición 3 siga los pasos a continuación:
1.
2.
3.
4.
5.
Trace la recta a = AB .
Dibuje C sobre a, de tal modo que B esté entre A y C .
Trace la recta a0 = A0 B 0 .
Dibuje C 0 sobre a0 , de tal modo que C 0 esté entre A0 y B 0 .
Suponga, para reducir el problema al absurdo, que los puntos A, B y C se
transforman en los puntos A0 , B 0 y C 0 .
a ) Note que
(4.1)
AB + BC = AC
y
(4.2)
A0 C 0 + C 0 B 0 =A0 B 0
Entonces por 4.1 nos queda que
(4.3)
AB < AC
y por 4.2
(4.4)
2Este
A0 C 0 < A0 B 0
tipo de transformaciones se llama isometría
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
12
Pero entonces, tomando en cuenta que AC ≡ A0 C 0 y las desigualdades 4.3
y 4.4 queda que
AB < A0 B 0
lo que es evidentemente contradictorio.
Corolario 2.
En un movimiento, las rectas se transforman en rectas y las semirreca se transforma en a0 , la semirrecta
tas en semirrectas. Además, si una semirrectas
0
opuesta de a se transforma en la opuesta de a .
Ejercicio 18. Realice la prueba del corolario 2. (Use las proposiciones 2 y 3)
Proposición 4. Los movimientos preservan las amplitudes de los ángulos.
Ejercicio 19. Para probar la proposición 4, siga los pasos siguientes3
1. Dibuje dos semirrectas a = AB y b = AC .
2. Dibuje dos semirrectas a0 = A0 B 0 y b0 = A0 C 0 , transformadas de a y b respectivamente.
3. Arrastre los puntos B 0 y C 0 hasta que el segmento AB sea congruente con el
A0 B 0 y AC sea congruente con el A0 C 0
4. Muestre que el segmento BC se transforma en el B 0 C 0 .
5. Muestre que los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 son congruentes usando el criterio
LLL.
0 b0 .
b es congruente con el ac
6. Concluya que el ángulo ab
Proposición 5. Los movimientos transforman circunferencias en circunferencias.
Ejercicio 20. Pruebe la proposición 5.
1. Dibuje una circunferencia c de centro A que pasa por B y una circunferencia
d de centro C que pasa por D.
2. Suponga que A se transforma en C y B se transforma en D.
3. Marque un punto E en c.
4. Muestre que el transformado de E debe estar en d.
5. Para ver que cualquier punto F de d viene de un punto de c,
a ) marque un punto F en d,
\.
b ) marque el ángulo α = CDF
c ) Construya un ángulo β con uno de sus lados igual a la semirrecta BA y
amplitud α.
0
d ) Trace la semirrecta a = BA .
e ) Use la herramienta Compás para construir una circunferencia e de radio
congruente a DF y de centro B .
f ) Marque la intersección G de e y a.
3Este
tipo de transformaciones se llama conforme
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
g)
h)
13
Dibuje los triángulos ABG y CDF . Muestre que son congruentes.
Pruebe que
AG ≡ CF ≡ CD ≡ AB
y por lo tanto, aunque en su dibujo no sea así, G debería estar en c.
4.1. Imagen de un punto en un movimiento.
Ejercicio 21. Supongamos que una semirrecta AB se transforma en una semirrecta
CD a través de un movimiento rígido. Halle la imagen E 0 de un punto E .
[ ≡ DCE
\0 y
1. Observe que, por ser movimiento rígido, E 0 debe ser tal que BAE
0
AE ≡ CE .
2. Trace la semirrecta
→
AB .
3. Observe que en la Vista Algebraica aparece a : p1 x + q1 y = s1 , donde p1 , q1
y s1 son números reales. Escriba en la Barra de Entrada p1 x + q1 y > s1 . Verá
que al presionar Enter aparece un semiplano.
→
CD.
4. Trace la semirrecta
5. Observe que en la Vista Algebraica aparece b : p2 x + q2 y = s2 , donde p2 , q2 y
s2 son números reales. Escriba en la Barra de Entrada p2 x + q2 y > s2 .
6. Dibuje un punto E en el primer semiplano.
7. Construya el ángulo
[.
BAE
8. Construya, en el segundo semiplano, un ángulo
→
de lado DC con
0
[
la misma amplitud de BAE . Observe que se creó un punto D .
9. Trace la semirrecta
10. Trace la circunferencia
CD0 .
→
→
d, con centro en C y radio AE
11. Determine la intersección
→
E 0 de la semirrecta CD0 con la circunferencia d.
12. Oculte (clic sobre el círculo a la izquierda del objeto en Vista Algebraica) el
punto D0 , la semirrecta CD0 y la circunferencia d.
4.2. Simetría Central.
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
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Denición 5. Una simetría central es un movimiento de tal modo que es posible
encontrar una semirrecta a y una semirrecta a0 transformada de a, opuestas, con el
mismo origen O, tal que los puntos de un lado de a se transforman en puntos del
otro lado de a. Al punto O se le llama el centro de la simetría.
Teorema 9.
Una simetría central que envía una semirrecta a de origen O , a la
0
0
semirrecta opuesta a , transforma a toda semirrecta s con origen O en su opuesta s .
0
Además, si s no tiene origen en O , su transformada s es paralela a s.
Proposición 6.
Una simetría central queda completamente determinada por su cen-
tro.
Ejercicio 22. Pruebe el teorema 9.
1. Abra una hoja simetria_central.ggb.
2. Dibuje la recta a = OA.
3. Seleccione el punto O. Haga Ctrl+E para desplegar el menú de propiedades
del objeto. Seleccione objeto jo.
4. Dibuje un punto B de tal modo que O esté entre A y B .
5. Consideremos la simetría central de centro O, que transforma la semirrecta
OA en OB .
6. Trace la circunferencia c de centro O que pasa por A.
7. Sea A0 la segunda intersección de a y c.
8. Explique por qué el punto A0 es la imagen de A.
9. Use el corolario 2 para mostrar que la imagen de A0 es A.
10. Tome un punto C en c, distinto de A y A0 .
[.
11. Marque el ángulo α = COA
12. Trace un ángulo β con amplitud α, con un lado la semirrecta OA0 y el otro
lado en el semiplano de borde a que no pasa por C . Se creará un punto A00 .
13. Pruebe que A00 es el transformado de C y que C es el transformado de A00 .
14. Trace la semirrecta s = OC . Muestre que se transforma en su opuesta s0 .
15. Pruebe que O es el único punto jo y que todo punto P del plano distinto de
O se transforma en otro punto P 0 , tal que O está entre P y P 0 .
16. Pruebe que toda recta que pasa por O se transforma en ella misma.
17. Use el teorema 8 para mostrar que las rectas que no pasan por O se transforman
en paralelas.
Corolario 3.
Sean
α
entonces la opuesta de
y
s
β
ángulos opuestos por el vértice. Si
es la bisectriz de
s
es la bisectriz de
α,
β.
Ejercicio 23. Demuestre el corolario 3.
Ejercicio 24. Sean dos circunferencias c y c0 congruentes con un solo punto A común.
Muestre que existe una simetría central que lleva c a c0 .
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
15
Trace la recta a = OO1 .
Trace la circunferencia d de centro O que pasa por O1 .
Marque la segunda intersección O2 de a y d.
Oculte d.
Trace las circunferencias c y c0 de centros O1 y O2 respectivamente, que pasan
por O.
Marque un punto A en c, que no sea O, y trace la recta b = OA.
Marque A0 la segunda intersección de b y c0 .
Marque los triángulos AO1 O y A0 O2 O y pruebe que son congruentes.
Concluya que la simetría central que lleva c a c0 es la de centro O.
Ejercicio 25. Sea A uno de los puntos comunes en los que se cortan dos circunferencias. Construya una recta que, pasando por A, determine cuerdas de igual longitud
en ambas circunferencias.
1. Dibuje dos circunferencias secantes c y d.
2. Marque el punto A de una de las intersecciones de c y d.
3. Use la herramienta Simetría Central
→
y trace la simétrica c0 de c
con respecto al punto A.
4. Marque la segunda intersección F de c0 con d.
5. Trace la recta que pasa por A y F . Justique que AF es la recta buscada.
Ejercicio 26. Dado un punto A exterior a una circunferencia dada, construya una
recta que, pasando por A corte a la circunferencia en P y Q tal que AP ≡ P Q.
1. Dibuje un punto A y una circunferencia c, tal que A es exterior a c.
2. Sea B un punto de la circunferencia y O su centro. Trace el simétrico O0 del
punto O respecto de B .
3. Dibuje la circunferencia d con centro en O que pasa por O0 .
4. Demuestre que en d se encuentra el centro de cualquier circunferencia simétrica
de c con respecto a un punto de c.
5. Dibuje la circunferencia e con centro A y radio OB .
6. Demuestre que en e se encuentra el centro de cualquier circunferencia congruente con c que pase por A.
7. Marque una intersección C de d con e.
8. Trace la circunferencia f de centro C que pasa por A.
9. Marque la intersección P de c con f .
10. Muestre que
OP ≡ P C ≡ CA
11. Muestre que la recta AP es la solución del problema.
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
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4.3. Simetría Axial.
Denición 6. Una simetría axial es un movimiento de tal modo que es posible
encontrar una semirrecta a que se transforma en si misma y los puntos de un lado
de a se transforman en puntos del otro lado de a. La recta que pasa por a se llama
eje de la simetría.
Teorema 10.
Una simetría axial que envía una semirrecta
a
de origen
O en si
r en su
misma, transforma a toda semirrecta s perpendicular al eje de simetría
0
opuesta s . Además, si s forma con alguna semirrecta en r un ángulo agudo, su
0
c0 .
transformada s es tal que r tiene a la bisectriz de ss
Proposición 7. La simetría axial queda perfectamente determinada por su eje.
Ejercicio 27. Pruebe el teorema 10
1. Abra una hoja simetria_axial.ggb.
2. Dibuje la recta a = OA
3. Seleccione el punto O. Haga Ctrl+E para desplegar el menú de propiedades
del objeto. Seleccione objeto jo.
4. Dibuje un punto B de tal modo que O esté entre A y B .
5. Considere la simetría axial que transforma la semirrecta OA en si misma.
6. Muestre que O, A y B son jos.
7. Tome un punto C a un lado de a.
8. Trace la perpendicular b a a por C .
9. Marque el punto D de intersección entre a y b.
10. Trace la circunferencia c de centro D que pase por C .
11. Marque C 0 la segunda intersección de b y c.
12. Explique por qué el punto C 0 es la imagen de C .
13. Muestre que la mediatriz del segmento de extremos un punto y su transformado
por una simetría axial es el eje de la simetría.
14. Muestre que las rectas perpendiculares al eje permanecen invariantes en la
simetría axial
15. Muestre que toda semirrecta s que tiene origen en el eje de simetría e, y que
no es colineal ni perpendicular con este eje, se transforma en una semirrecta
c0 tiene la bisectriz en e.
s0 , tal que ss
16. Muestre que toda recta a paralela al eje e se transforma en una recta a0 paralela
a a.
Corolario 4.
Sean
α
y
β
ángulos adyacentes de vértice
entonces una semirrecta perpendicular a
4Note
s
de origen
O
O.
Si
s
es la bisectriz de
4
es la bisectriz de β .
α,
que los corolarios 4 y 3 muestran que dos rectas que forman cuatro ángulos, determinan
una cruz de bisectrices.
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
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Ejercicio 28. Demostrar el corolario 4
Denición 7. El triángulo órtico de un triángulo ABC es el que tiene por vértices
los pies Ha , Hb y Hc de las alturas del triángulo.
Ejercicio 29. Muestre que el triángulo de menor perímetro inscripto en un triángulo
acutángulo es el órtico.
1. Dibuje el triángulo ABC y el U V W , donde U está en BC , V en CA y W en
AB .
2. Use la herramienta Simetría Axial
para obtener V 0 , V10 , las imágenes de
V por reexión en AB y CB , respectivamente.
3. Muestre que V 0 W + W U + U V10 = W V + W U + U V . Es decir, la longitud de
las poligonal es igual al perímetro del triángulo U V W .
4. Muestre que los triángulos BW V y BW V 0 son congruentes. También BU V y
BU V10 .
0 BV 0
5. Mueva el punto V y note que el triángulo V 0 BV10 es isósceles y que V\
1
tiene amplitud constante. ¾Por qué? ¾Dónde debe estar el punto V para que
los lados V 0 B y BV10 tengan la menor longitud? Explique por qué V 0 BV10 tiene,
en este caso, el menor perímetro.
6. Deje V jo en el pie de la perpendicular desde B al lado AC . Mueva U y W
hasta que la poligonal
7. Cambie V por U en el razonamiento anterior y concluya que U debe ser también el pie de la altura desde A.
Ejercicio 30. Desde un mismo lado de una recta r se encuentran dos puntos A y
B . Construya el camino más corto que une A con B tocando en un punto a la recta
r. ¾Cómo deben ser los ángulos que forman los rayos con la recta r?
1. Dibuje dos puntos A y B y una recta r que deje a A y a B de un mismo lado.
2. Fije los puntos A y B y oculte los puntos sobre la recta r
3. Dibuje un punto M sobre r
4. Dibuje el simétrico B 0 de B con respecto a r
5. Trace los segmentos AM , BM y M B 0
6. Demuestre que las poligonales AM B 0 y AM B tienen la misma longitud
7. ¾Cuándo la poligonal AM B 0 será más corta?
8. Arrastre el punto M hasta que quede alineado con A y B 0 .
9. Dibuje un punto X que esté sobre r, pero que no sea M .
10. Dibuje un punto Y en r, tal que M quede entre X y Y .
\
\
11. Demuestre que Y\
M A ≡ XM
B ≡ XM
B0.
12. Trace la perpendicular d a r por M .
GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA
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\
13. ¾Qué relación encuentra entre d y AM
B?
Ejercicio 31. En un medio homogéneo, un rayo de luz que parte desde un punto A
a B pasando por un espejo, lo hace a lo largo de un camino mínimo. Si el rayo incide
en el espejo con un ángulo α, halle el ángulo con que se reeja.