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GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA
CIRCUNFERENCIA
1.
Potencia
Ejercicio. Introductorio
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Trace una circunferencia c de centro O que pase por un punto B .
Oculte el punto B .
Dibuje un punto P fuera de c, y un punto A en c.
Trace la recta a que pase por A y P .
Marque la otra intersección A0 de c con a.
Oculte a a.
Trace un segmento rojo g de P a A y un segmento azul h de P a A0 .
En la barra de entrada de comandos escriba d = g ∗ h.
Observe en la ventana de vista algebraica la variación de g , h y d, mientras
arrastra P .
Superponga P en O y observe los valores de g , h y d.
Arrastre P sobre c y observe los valores de g , h y d.
Arrastre a P al exterior de c y luego arrastre a A y observe los valores de g ,
h y d.
Arrastre a P al interior de c y luego arrastre a A y observe los valores de g ,
h y d.
Realice alguna conjetura.
Teorema 1.
radio
Si dos cuerdas desde un punto
P cortan a una circunferencia C de
0
R y centro O, en los puntos A y A (que pueden coincidir) y B y B 0 (que
P A × P A0 = P B × P B 0 . Además, si d
es la distancia de O a P , P A × P A0 = R2 − d2 .
pueden coincidir) respectivamente entonces
Ejercicio 2. Demuestre el teorema 1, mediante los siguientes pasos de construcción.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Dibuje una circunferencia c de centro O y que pase por H .
Oculte el punto H .
Marque dos puntos A y B en c.
Marque un punto P en el interior de c.
Trace las rectas a = AP y b = BP .
Encuentre A0 la intersección de a y c, y B 0 la intersección de b y c.
0 B y BA
0 A son congruentes.
\
\
Muestre que AB
Muestre que los triángulos AB 0 P y BA0 P son semejantes.
Pruebe que
P B0
PA
=
PB
P A0
10. Concluya para este caso con la primera parte del teorema.
1
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
2
11. Arrastre el punto P al exterior de c, de tal modo que B 0 esté entre P y B ;
y A0 esté entre P y A.
0 B y BA
0 A son congruentes.
\
\
12. Muestre que AB
13. Muestre que los triángulos AB 0 P y BA0 P son semejantes.
14. Pruebe que
PA
P B0
=
PB
P A0
15. Concluya para este caso con la primera parte del teorema.
16. Arrastre el punto P al exterior de c, de tal modo que B 0 esté entre P y B ;
y A esté entre P y A0 .
0 B y BA
0 A son suplementarios.
\
\
17. Muestre que AB
18. Muestre que los triángulos AB 0 P y BA0 P son semejantes.
19. Pruebe que
PA
P B0
=
PB
P A0
20. Concluya para este caso con la primera parte del teorema.
21. ¾Qué pasa con la longitud de los segmentos desde P a A0 , B 0 , A y B cuando el
punto P está sobre c?. ¾Que pasa con los productos P A × P A0 = P B × P B 0 ?
22. Arrastre el punto P al exterior de c y al punto A hasta que se superponga a
A0 .
23. Use el corolario del ángulo semi-inscrito para mostrar que el triángulo P AB
es semejante al P A0 B 0 .
24. Pruebe que
PA
P B0
=
PB
P A0
25. Muestre que en este caso se cumple que
2
(P T ) = P B × P B 0
donde T es el punto de tangencia con c desde P .
26. Para probar la segunda parte del teorema ayúdese moviendo el punto B
hasta que P , B , O y B 0 estén alineados y P en exterior de c.
27. Muestre que P B × P B 0 = (d − R) (d + R) = d2 − R2
28. Mueva los puntos B y P hasta que P , B , O y B 0 estén alineados y P en el
interior de c.
29. Muestre que P B × P B 0 = (R − d) (d + R) = R2 − d2
30. Concluya la prueba.
Observación 3. Recordar que las bisectrices de un triángulo concurren a un punto
llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita; y las mediatrices
de un triángulo concurren a un punto llamado circuncentro que es el centro de las
circunferencia circunscrita.
Teorema 4.
Sean O e I el circuncentro y el incentro del triángulo ABC , y sean
r y R los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita en ABC . Sea d la
distancia de O a I . Entonces
d2 = R2 − 2rR
Ejercicio 5. Para demostrar el teorema 4 siga los pasos a continuación.
1. Trace un triángulo ABC .
2. Marque el incentro I y el circuncentro O.
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
3.
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7.
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17.
18.
19.
3
Trace la semirrecta bA = AI .
Trace la circunferencia d circunscrita de ABC.
Marque el punto L de corte de bA con la circunferencia circunscrita.
Muestre que BL ≡ LC .
Pruebe que L está en la mediatriz del lado BC . (Recordar que los puntos de
la mediatriz de un segmento equidistan de los extremos del segmento).
Muestre que L es el punto medio del arco BC que no contiene a A.
Marque la recta e = LO.
Trace la segunda intersección M de e con d.
Marque el diámetro LM de d.
Muestre que LM es perpendicular a BC .
[ , BM
\
[ y LBC
[ son congruentes. Píntelos de rojo.
Justique que BAL
L, LAC
Titúlelos α.
[ y IBC
[ y pruebe que son congruentes. Píntelos de
Marque los ángulos ABI
verde. Titúlelos β .
Trace un segmento BI .
[ y IBL
[ son conUse el teorema del ángulo exterior para mostrar que BIL
gruentes.
Muestre que el triángulo BIL es isósceles. (Recuerde que si un triángulo
tiene dos ángulos interiores congruentes, es isósceles).
Muestre que BL ≡ LI .
Use el teorema 1 para mostrar que
(1.1)
R2 − d2 = LI × IA
20. Sea Y el pie de la perpendicular al lado b desde I .
21. Muestre que los triángulos LBM y AIY son semejantes. (Recuerde que si
un ángulo inscrito en una circunferencia subtiende un diámetro, es recto)
22. Pruebe que
IY
IY
IA
=
=
LM
BL
LI
(1.2)
23. Use 1.1 y (1.2) para demostrar que
R2 − d2 = LI × IA = LM × IY = 2Rr
24. Concluya la prueba.
Denición 6. Para cualquier circunferencia de radio R y cualquier punto P que
esté a una distancia d del centro, llamaremos
d2 − R2
a la potencia de P respecto de la circunferencia.
Ejercicio 7. *Muestre que la potencia de un punto
puede calcular como
P a una circunferencia C se
P A × P A0
si P es exterior a C ,
−P A × P A0
si P es interior a C , y 0 si está en C , donde A es un punto cualquiera de C y A0 es
el otro corte de la recta P A y C .
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
4
Teorema 8.
El lugar geométrico de los puntos cuyas potencias respecto a dos
circunferencias no concéntricas es la misma, es una recta perpendicular a la recta
que une los dos centros.
Ejercicio 9. Pruebe el teorema 8 siguiendo los pasos a continuación.
1. Sea la circunferencia C1 de centro O1 de coordenadas cartesianas (a, b) y
radio r, sea la circunferencia C2 de centro O2 de coordenadas cartesianas
(a0 , b0 ) y radio r' y sea P un punto de coordenadas (x, y). Pruebe que la
potencia de P con respecto a C1 es
2
2
(x − a) + (y − b) − r2
o equivalentemente
x2 + y 2 − 2ax − 2by + c
con c = a2 + b2 − r2 y que la potencia de P con respecto a C2 es
2
2
(x − a0 ) + (y − b0 ) − r02
o equivalentemente
x2 + y 2 − 2a0 x − 2b0 y + c0
con c0 = a02 + b02 − r02
2. Muestre que los puntos que tienen igual potencia con respecto C1 y C2 deben
satisfacer la ecuación
2ax + 2by − c = 2a0 x + 2b0 y − c0
o
(1.3)
(a0 − a) x + (b0 − b) y =
1 0
(c − c)
2
3. Elija un sistema de coordenadas de tal modo que la abscisa pase por O1 y
O2 . Pruebe que la ecuación 1.3 puede escribirse
x=
c0 − c
2 (a0 − a)
4. Elija un sistema de coordenadas de tal modo que c = c0 . Pruebe que la
ecuación 1.3 puede escribirse
x=0
que es la ecuación de la ordenada.
5. Muestre que en este último sistema de coordenadas, las ecuaciones de C1 y
C2 se pueden escribir como
x2 + y 2 − 2ax + c = 0 y x2 + y 2 − 2a0 x + c = 0
6. Explique por qué este razonamiento indica que todo punto que tenga potencia igual con respecto a C1 y C2 se encuentra en la ordenada.
7. Para mostrar que la potencia de cualquier punto de la ordenada es el mismo
con respecto a C1 y C2 note que sus coordenadas son de la forma (0, y) y
entonces su potencia será y 2 + c.
8. Concluya con la prueba.
Denición 10. El lugar geométrico de los puntos de igual potencia respecto de
dos circunferencias no concéntricas se denomina eje radical.
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
5
Ejercicio 11. *¾Cuál es el lugar geométrico de los puntos desde el que las tangentes
a dos circunferencias dadas tienen longitudes iguales?
Ejercicio 12. *Se sabe que dos circunferencias exteriores tienen cuatro tangentes.
Mostrar que los puntos medios de los segmentos determinados por los puntos de
tangencia de sendas circunferencias están alineados.
Denición 13. La familia de circunferencias que tienen el mismo eje radical se
denomina circunferencias coaxiales. Como podemos jar libremente el sistema de
referencia, en general el eje será la ordenada.
Ejercicio 14. Para estudiar las familias de circunferencias coaxiales, siga los pasos
a continuación
1. Coloque un deslizador a en el intervalo [−5, 5] con incremento 0,1.
2. Coloque un deslizador c en el intervalo [−10, 10] con incremento 0,1.
3. En la barra de entrada escriba x² + y ² − 2ax + c = 0. Discuta el sentido
geométrico de a y de c en el sentido de la potencia de un punto respecto a
una circunferencia.
4. Coloque el deslizador c en −4, y mueva el deslizador a en todo su rango.
Active el rastro a la circunferencia. ¾Qué característica tiene esta familia de
circunferencias? Observe la ordenada.
5. Coloque el deslizador c en 0, y mueva el deslizador a en todo su rango.
Active el rastro a la circunferencia. ¾Qué característica tiene esta familia de
circunferencias?
6. Coloque el deslizador c en 3, y mueva el deslizador a en todo su rango.
Active el rastro a la circunferencia. ¾Qué característica tiene esta familia de
circunferencias?
7. Esta última familia no tiene una representación real para algunos valores de
a. Explique esta situación.
8. Fije el valor a = 2,8 y c = 3. Active el rastro a la circunferencia d y la
animación al deslizador a.
Ejercicio 15. *Discuta el siguiente enunciado:
Si tres circunferencias no coaxiales son tales que cualesquiera dos de
ellas no son concéntricas podemos tomarlas por parejas y ello nos
proporciona tres ejes radicales. Cualquier punto que tenga la misma
potencia con respecto a las tres circunferencias debe estar en los
tres ejes radicales. Recíprocamente, cualquier punto de intersección
de dos de los tres ejes, al tener la misma potencia respecto de las
tres circunferencias debe estar situado en el tercer eje. Si dos son
paralelos, los tres lo deben ser.
2.
La Potencia del Ortocentro
Ejercicio 16. Sea un triángulo acutángulo ABC y su circunferencia circunscrita
d de centro O y radio R. Sea ha la altura desde A. Muestre que
ha =
bc
2R
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
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y que el ángulo que forma ha con el radio R = AO es igual a la diferencia entre los
ángulos Bb y Cb, es decir:
b−C
b \ = B
DAO
siguiendo los pasos a continuación:
1. Dibuje un triángulo ABC de lados a, b y c. (Use la herramienta Polígono).
2. Trace la circunferencia circunscrita d de centro O. (Use las herramientas
Circunferencia por tres puntos, y Medio o Centro).
3. Trace la recta e = AO.
4. Marque el punto A0 de corte de e con d.
5. Trace la recta f = BC
6. Trace la recta h perpendicular a f por A.
7. Marque el pie D de h.
8. Trace la altura ha = AD.
\
9. Arrastre el punto B de tal modo que Bb sea agudo. Muestre que Bb ≡ AA
0C .
b
b
10. Arrastre el punto B de tal modo que B sea obtuso. Muestre que B es suple\
mentario de AA
0C .
11. Muestre que los triángulos ABD y AAo C son semejantes (Tanto si B es
agudo u obtuso). Dibuje los triángulos con azul.
\
12. Muestre que los ángulos A\
0 AC y BAD son congruentes.
13. Pruebe que
ha =
bc
2R
\
14. Muestre que si Bb es agudo, los ángulos A\
0 AC y BAD son complementarios
b
de B .
\
15. Muestre que si Bb es obtuso, los ángulos A\
0 AC y BAD son complementarios
b
del adyacente a B . b−C
b .
b − 2 90° − B
b = B
\0 = A
16. Pruebe que DAA
17. Concluya con el ejercicio.
Ejercicio 17. Cree una herramienta llamada circunferencia según su diámetro
que reciba de entrada dos puntos y de salida una circunferencia que tenga por
extremos esos puntos. Siga los pasos a continuación.
1. Dibuje un segmento a = AB .
2. Trace el punto medio C de a.
3. Dibuje una circunferencia c de centro C que pase por A.
4. En el menú Herramientas elija la opción Nueva herramienta. Se abrirá un
cuadro de diálogos.
a ) En la pestaña Objetos de salida elija circunferencia c. Presione el botón
siguiente.
b ) En la pestaña Objetos de entrada elija Punto A y Punto B . Presione el
botón siguiente.
c ) En la pestaña Nombre e ícono,
1) en el cuadro de diálogo Nombre de la herramienta escriba Circunferencia por puntos diametrales.
2) en el cuadro de diálogo
Denición 18. Si tres circunferencias no concéntricas y no coaxiales tienen ejes
que se cortan, el punto que de corte se llama
centro radical.
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
7
Denición 19. Dado un triángulo ABC , llamamos triángulo órtico al triángulo
determinado por los pies de las alturas del ABC .
Denición 20. Las cevianas de un triángulo son segmentos que unen un vértice
con el lado opuesto o su prolongación.
Teorema 21.
Si construimos dos circunferencias con dos cevianas de un triángulo
como diámetros su eje radical pasa por el ortocentro H de dicho triángulo. Además,
para cualquier tres circunferencias no coaxiales que tengan por diámetros cevianas
de un triángulo, H es su centro radical.
Ejercicio 22. Probar el teorema 21 siguiendo los pasos a continuación
1. Dibuje tres puntos no alineados A, B, C y las rectas a, b, c correspondientes
que unan los puntos.
2. Trace la circunferencia d circunscrita al ABC .
3. Dibuje las rectas perpendiculares e a a por A, f a b por B y g a c por C .
4. Marque los vértices D, E y F del triángulo órtico de ABC .
5. Marque los puntos D', E 0 y F 0 de intersección con d de e, f y g , respectivamente.
6. Marque el ortocentro H .
\0 ≡ BCD
\0 ≡ HCD
\.
7. Muestre que BAD
8. Muestre que los triángulos CHD y CD0 D son congruentes. Pruebe que
(2.1)
HD ≡ DD0
9. Use el Teorema 1 del tema: Potencia de un punto respecto de una circunferencia y justique las igualdades:
HA × HD0 = HB × HE 0 = HC × HF 0
y
HA × HD = HB × HE = HC × HF
10. Marque puntos X , Y y Z cualesquiera sobre las rectas a, b y c.
11. Con la herramienta circunferencia según su diámetro, trace las circunferencias h, k y p de diámetros AX , BY y CZ , respectivamente.
12. Muestre que h, k y p, pasan por los pies de las alturas D, E y F , respectivamente.
13. Muestre que la potencia de H con respecto a h, k y l es la misma.
14. Concluya con las dos partes del teorema.
Ejercicio 23. Use el teorema 21 para demostrar la existencia del ortocentro, es
decir para mostrar que las alturas se cortan de a tres. (Sugerencia: Trace las circunferencias que tienen por diámetro los lados de un triángulo. Note que dichas
circunferencias pasan por los pies de las alturas)
Teorema 24.
Si cuatro rectas se cortan una a otra en seis puntos A, B, C, X, Y, Z
de forma que los conjuntos de puntos alineados son XBC , Y CA, ZBA, XY Z ,
entonces las circunferencias con diámetros AX , BY y CZ son coaxiales y los ortocentros de los cuatro triángulos AY Z , BZX , CXY , ABC están alineados.
Ejercicio 25. Demuestre el teorema 24 siguiendo los pasos a continuación
1. Dibuje tres puntos no alineados A, B, C y las rectas a = BC , b = AC y
c = AB .
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
8
2. Marque un punto X en a, y un punto Y en b de tal modo que la recta
d = XY corte a c en Z .
3. Dibuje las circunferencias e, f , g de diámetros AX , BY y CZ , respectivamente.
4. Muestre que e, f , g son circunferencias cuyos diámetros son cevianas de cada
uno de los triángulos AY Z , BZX , CXY , ABC .
5. Sean H1 , H2 , H3 , H son los ortocentros de los triángulos AY Z , BZX , CXY ,
ABC .
6. Suponga el caso en que H = H1 .
a ) Pruebe B , H y Z están alineados. (Note que BH y ZH1 son perpendiculares a b).
b ) Pruebe que H = A.
c ) Pruebe que los triángulos ABC y AY Z son rectángulos.
[ y ABC
\ son agudos. (Recuerde que en
d ) Muestre que los ángulos AZY
todo triángulo hay al menos dos ángulos interiores agudos).
e ) Muestre que H2 no puede estar sobre BZ .
f ) Muestre que H1 , H2 , H3 , H no son todos iguales.
7. Pruebe que el eje radical de dos cualquiera de las circunferencias de f , g , h
debe pasar por H1 , H2 , H3 , H . (Ver teorema 21)
8. Concluya con el teorema.
Ejercicio 26. *Sea un triángulo ABC de ortocentro H , DEF su triángulo órtico, d
la circunferencia circunscrita de ABC y D0 , E 0 y F 0 los cortes de las prolongaciones
de las alturas del ABC con d. Pruebe que
1. A es ortocentro del triángulo HBC . ¾De quién es ortocentro B ? La conguración ABCH se le llama cuadriángulo ortocéntrico.
2. Muestre que los triángulos BHD y BDD0 son congruentes. (Use la ecuación
2.1)
3. Muestre que los triángulos CHD y CDD0 son congruentes.
4. Muestre que los triángulos HBC y D0 BC con congruentes. (Consecuentemente, sus circunferencias circunscritas son congruentes)
5. Pruebe que las circunferencias que circunscriben a los triángulos ABC ,
ABH , AHC , HBC , son todas congruentes.
6. Muestre que los triángulos DEF y D0 E 0 F 0 son homotéticos. Encuentre el
centro y la razón de la homotecia.
Ejercicio 27. *Las bisectrices interiores de un triángulo ABC se prolongan hasta
cortar la circunferencia circunscrita en los puntos L, M y N respectivamente. Hallar
los ángulos del triángulo LM N en función de los ángulos del ABC .
3.
Triángulos Pedales
Denición 28. El triángulo pedal de un punto
P respecto el triángulo ABC es
el triángulo A1 B1 C1 que tiene por vértices las proyecciones ortogonales de P sobre
los lados de ABC o sus prolongaciones.
Ejercicio 29. Dados los vértices de un triángulo, construya una herramienta para
construir los vértices de un triángulo pedal de dicho triángulo. Los datos de entrada
de esta herramienta serán los vértices A, B y C del triángulo original, y el punto
P ; y la salida serán los vértices A1 , B1 y C1 del triángulo pedal. Llámela pedal.ggt.
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Teorema 30.
Si el punto pedal dista
el triángulo pedal tiene lados
9
x, y y z de los vértices del triángulo ABC ,
ax by
cz
,
,
2R 2R 2R
donde a,b y c son los lados del triángulo y R el radio de la circunferencia circunscrita.
Ejercicio 31. Demuestre el teorema 30 realizando lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Dibuje tres puntos A, B y C no alineados.
Trace las rectas a = BC , b = AC y c = AB .
Trace la circunferencia k circunscrita a ABC (de radio R).
Marque un punto cualquiera P (que no pertenezca a la circunferencia circunscrita del ABC ).
Con la herramienta creada en el Ejercicio 29, dibuje el triángulo pedal de P
respecto el triángulo ABC .
Llame A1 B1 C1 al triángulo pedal, donde A1 es el pie de la perpendicular
al lado BC , B1 el pie de la perpendicular al lado AC y C1 el pie de la
perpendicular al lado AB .
Marque los segmentos A1 P , B1 P y C1 P .
Trace la p circunscrita a AB1 C1 .
¾Qué tipo de ángulos son el P C1 A y el P B1 A?
¾Que puede decir de los puntos P , A, C1 y B1 ? (Recuerde que la circunferencia que circunscribe un triángulo rectángulo tiene su centro en el punto
medio de la hipotenusa)
¾Cuál es el radió de p?
Aplique el teorema de los senos generalizado1 a los triángulos ABC y AB1 C1
y al ángulo común A; para concluir que
B1 C1
= AP
sin A
y
a
= 2R
sin A
13. A partir de las relaciones anteriores, concluya que el triángulo pedal tiene
como lados los segmentos
ax by
cz
,
,
2R 2R 2R
Teorema 32. El tercer triángulo pedal es semejante al triángulo original.
Ejercicio 33. Demostrar el teorema 32, siguiendo los pasos indicados:
1. Trace tres puntos A, B y C , (no alineados) y las rectas a = BC , b = AC y
c = AB .
2. Marque un punto P .
3. Dibuje el triángulo pedal A1 B1 C1 del triángulo ABC respecto al punto P .
4. Muestre que la circunferencia d que pasa por A, B1 y C1 también pasa por
P . Dibuje a d.
1Para
un triángulo
ABC
con radio de la circunferencia circunscrita
b
c
a
=
=
= 2R
sin A
sin B
sin C
R
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
10
\
5. Marque los ángulos C\
1 AP y C1 B1 P . Justique que estos ángulos son congruentes o suplementarios, según estén de mismo lado o no con respecto a
P C1 . Arrastre el punto A de tal modo que se observen ambos casos.
6. Note que en todo caso C\
1 AP es agudo. Píntelo de verde.
\
7. Marque los ángulos B1 AP y B\
1 C1 P . Justique que estos ángulos son congruentes o suplementarios, según estén de mismo lado o no con respecto a
P B1 .
\
8. Note que en todo caso B
1 AP es agudo.
9. Dibuje el triángulo pedal A2 B2 C2 del triángulo A1 B1 C1 respecto al punto
P.
10. Muestre que la circunferencia e que pasa por B1 , A2 , C2 pasa también por
P . Dibuje a e.
11. Oculte los puntos A, B y C , y las rectas a, b y c.
\
12. Marque el ángulo A\
2 C2 P y justique que es congruentes con A2 B1 P o con
su suplementario.
13. Muestre que la circunferencia p que pasa por C1 , A2 , B2 pasa también por
P . Dibuje a p.
\
14. Marque el ángulo A\
2 C1 P y justique que es congruentes con A2 B2 P o con
su suplementario.
15. Dibuje el triángulo pedal A3 B3 C3 del triángulo A2 B2 C2 respecto al punto
P.
16. Muestre que la circunferencia q que pasa por B2 , A3 , C3 pasa también por
P . Dibuje a q .
\
17. Marque el ángulo C\
3 B2 P y muestre que es congruente con C3 A3 P o con su
suplementario.
18. Muestre que la circunferencia r que pasa por C2 , A3 , B3 pasa también por
P . Dibuje a r.
\
19. Marque el ángulo B\
3 A3 P y muestre que es congruente con B3 C2 P o con su
suplementario.
20. Concluya la prueba.
4.
Recta Simson
Teorema 34.
Los pies de las perpendiculares desde un punto a los lados de un
triángulo están alineados, si el punto está situado en la circunferencia circunscrita.
Ejercicio 35. Para probar el teorema 34 siga los pasos a continuación
1. Trace tres puntos no alineados A, B y C y las rectas a = BC , b = AC y
c = AB .
2. Trace la circunferencia d circunscrita al triángulo ABC .
3. Marque un punto P en d, que esté en el arco AC que no contiene a B .
4. Pruebe que el punto C está del mismo lado que P con respecto a c y que A
está del mismo lado que P con respecto a a.
5. Use la herramienta vértices del triángulo pedal en los puntos A, B , C y
P , y llame a los puntos obtenidos A1 , B1 y C1 correspondientes.
6. Trace los segmentos e = P A1 , f = P B1 y g = P C1 , y píntelos de verde y a
los segmentos h = P A, i = P B y j = P C píntelos de celeste.
7. Dibuje las circunferencias k = A1 BC1 , p = A1 B1 C , q = AB1 C1
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
11
8. Muestre que P está en k, en p y en q . (Recuerde que la circunferencia que
circunscribe un triángulo rectángulo tiene su centro en el punto medio de la
hipotenusa)
[
9. Muestre que AP
C = 180° − B̂ = C\
1 P A1
\
\
10. Pruebe que: A1 P C ≡ C1 P A.
11. Arrastre P de tal modo que B1 esté entre A y C .
a ) Pruebe que muestre que B1 y P están del mismo lado con respecto a a
\
\ \
\
b) A
1 P C ≡ A1 B 1 C , C 1 P A ≡ C 1 B 1 A.
\
\
c ) Pruebe que: A1 B1 C ≡ C1 B1 A.
\
d ) Muestre que A\
1 B1 C y C1 B1 A son opuestos por el vértice.
e ) Concluya en este caso la prueba.
12. Arrastre a A de tal modo que Bb sea obtuso.
13. Arrastre a P de tal modo que A esté entre B1 y C .
a ) Pruebe que muestre que B1 y P están del mismo con respecto a a.
\
\
b ) Pruebe que A
1 P C ≡ A1 B 1 C .
c ) Pruebe que B1 y P están a distintos lados respecto a la recta c.
\
\
d ) Pruebe que C
1 P A es suplementario con C1 B1 A
\
\
e ) Muestre que A1 B1 C y C1 B1 A son adyacentes.
f ) Concluya en este caso la prueba.
14. Arrastre a P de tal modo que C esté entre B1 y A.
a ) Pruebe que B1 y P están a distintos lados respecto a la recta a.
\
\
b ) Pruebe que A
1 P C y A1 B1 C son suplementarios.
c ) Pruebe que muestre que B1 y P están del mismo lado con respecto a c.
\
\
d ) Pruebe que C
1 P A ≡ C 1 B 1 A.
\
e ) Muestre que A\
1 B1 C y C1 B1 A son adyacentes.
f ) Concluya en este caso la prueba.
15. Concluya con la prueba.
Teorema 36.
Los pies de las perpendiculares desde un punto a los lados de un
triángulo están alineados, solo si el punto está situado en la circunferencia circunscrita.
Ejercicio 37. Para probar el teorema 36 siga los pasos a continuación
1. Trace tres puntos no alineados A, B y C y las rectas a = BC , b = AC y
c = AB .
\, del otro lado de A con
2. Marque un punto P en el interior del ángulo BAC
respecto a a. (El punto P se debe mantener a lo largo de esta construcción
\).
siempre en el interior del ángulo BAC
3. Use la herramienta vértices del triángulo pedal en los puntos A, B , C y
P , y llame a los puntos obtenidos A1 , B1 y C1 correspondientes.
4. Arrastre el punto P hasta que el triángulo A1 B1 C1 degenere en un segmento.
(A lo largo de esta construcción los puntos A1 , B1 y C1 deben mantener la
alineación).
5. Arrastre P hasta que A1 esté entre B y C .
6. Muestre que, o bien B1 está entre A y C , o bien C1 está entre B y A.
(Recuerde el axioma de Pasch).
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
12
\
\
7. Pruebe que BA
1 C1 ≡ B1 A1 C (Recuerde que los ángulos opuestos por el
vértice son congruentes)
8. Trace los segmentos e = P A1 , f = P B1 y g = P C1 , y píntelos de verde y a
los segmentos h = P A, i = P B y j = P C píntelos de celeste.
9. Dibuje las circunferencias k = A1 BC1 , p = A1 B1 C , q = AB1 C1
10. Muestre que P está en k, en p y en q . (Recuerde que la circunferencia que
circunscribe un triángulo rectángulo tiene su centro en el punto medio de la
hipotenusa)
11. Muestre que 180° − Â = C\
1 P B1
\
12. Pruebe que: B\
1 A1 C ≡ B1 P C .
\
13. Pruebe que: C\
1 A1 B ≡ C1 P B .
\
14. Muestre que 180° − Â = CP
B.
15. Muestre que la circunferencia que pasa por A, B y C también pasa por P .
(Recuerde que los cuadriláteros inscribibles en una circunferencia tienen los
ángulos opuestos suplementarios).
16. Concluya con el teorema para este caso.
17. Arrastre A de modo que sea obtuso.
18. Arrastre a P de tal modo que B esté entre A1 y C .
\
[
19. Pruebe que muestre que B
1 AP es suplementario de P AC .
\
20. Pruebe que muestre que B\
1 C1 P es suplementario de A1 BP .
\
21. Pruebe que muestre que A\
BP
es
suplementario
de
P
BC .
1
[
\
22. Pruebe que P AC ≡ P BC .
23. Concluya, para este caso, la prueba. (Considere el teorema recíproco del
teorema del ángulo inscrito).
24. Arrastre a P de tal modo que C esté entre A1 y B . Realice la pruebe del
teorema también para este caso.
25. Concluya con la prueba.
Denición 38. El triángulo pedal degenerado correspondiente a un punto P sobre
la circunferencia circunscrita se denomina recta de Simson.
Problema 39. *¾Qué punto de la circunferencia tiene a
Simson?
CA como su recta de
Problema 40. *¾Existen puntos que estén sobre sus propias rectas de Simson?¾Qué
rectas son esas?
Teorema Ptolomeo
Teorema 41.
. Si un cuadrilátero es cíclico, la suma de los
productos de los dos pares de lados opuestos es igual al producto de las diagonales.
Ejercicio 42. Para demostrar el teorema 41 siga los pasos a continuación
1. Dibuje una circunferencia d de centro O y radio R, sobre d, cuatro puntos
A, B , C y P según las agujas del reloj.
2. Marque los puntos pedales A1 , B1 , C1 para el punto P al triángulo ABC .
3. Si a, b y c son los lados del ABC , justique que
B1 C1 =
bBP
cCP
aAP
, A1 C1 =
A1 B 1 =
2R
2R
2R
4. Muestre que
A1 B1 + B1 C1 = A1 C1
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
13
y
cCP + aAP = bBP
es decir
AB × CP + BC × AP = AC × BP
5. Concluya con el teorema
Corolario 43.
Si ABC es un triángulo y
ferencia circunscrita entonces
P no está en el arco CA de su circun-
AB × CP + BC × AP > AC × BP
Ejercicio 44. Pruebe el corolario 43 usando la desigualdad triangular
A1 B1 + B1 C1 > A1 C1
Ejercicio 45. *Sea P un punto cualquiera en el plano de un triángulo equilátero
ABC . Use el teorema 41 y el corolario 43 para demostrar que P C + P A ≥ P B ,
donde la igualdad se cumple si y solo si P está en el arco AC de la circunferencia
circunscrita donde no está B .
Ejercicio 46. Sea un cuadrado ABCD y un punto P en el arco CD de la circunferencia circunscrita que no contiene los otros vértices. Pruebe que:
P A (P A + P C) = P B (P B + P D)
siguiendo los pasos a continuación:
1. Dibuje un cuadrado ABCD con la herramienta polígono regular.
2. Trace la circunferencia e circunscrita al ABCD.
3. Marque el punto P en el arco CD de la circunferencia circunscrita que no
contiene a A.
4. Aplique el teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros
√ ABCP y ABDP .
5. Demuestre que las diagonales de un cuadrado son 2l, con l uno de los lados.
6. Concluya con el ejercicio.
Problema 47. ¾Puede probarse el teorema de Pitágoras partiendo del teorema de
Ptolomeo?
Ejercicio 48. Use el teorema de Ptolomeo para encontrar la relación entre las
diagonales de un pentágono regular y sus lados. (Primero muestre que los polígonos
regulares son inscribibles)
Ejercicio 49. *Sea el paralelogramo ABCD y una circunferencia que pasa por A
y corta el lado AD en R, la diagonal AC en Q y el lado AB en P . Muestre que
AP × AB + AR × AD = AQ × AC
siguiendo los pasos a continuación
1. Dibuje la situación de la hipótesis.
\
\
2. Pruebe que P
RQ ≡ BAC
\
\
3. Pruebe que P QR ≡ ABC . (Recuerde que los ángulos que adyacen a un lado
de un paralelogramo son suplementarios)
4. Pruebe que los triángulos ABC y P QR son semejantes.
5. Pruebe que
AP × RQ + P Q × AR = AQ × RP
6. Concluya con el ejercicio.
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
14
Lema 50.
Sea ABC un triángulo y un punto P sobre el arco AC de la circunferencia circunscrita al ABC que no contiene a B . Sean A1 , B1 y C1 los puntos
de intersección de la recta de Simson del punto P con los lados a, b y c (o sus
prolongaciones) respectivamente. Sea U la otra intersección de la recta P A1 con la
circunferencia circunscrita. Entonces la recta AU es paralela a la recta de Simson.
Ejercicio 51. Demuestre el lema 50 siguiendo los pasos a continuación.
1.
2.
3.
4.
5.
Dibuje la situación de la hipótesis del lema
Agregue a la ilustración los segmentos P C , P U , P B1 , P A, P C1 .
Pruebe que P B1 A1 C es un cuadriátero cíclico.
Marque los ángulos P[
U A, P[
CA, P\
CB1 , P\
A1 B1 .
Pruebe que los ángulos P[
CA, P\
CB1 , P\
A1 B1 , son congruentes con P[
UA o
con su suplementario.
6. Concluya con el lema.
7. Arrastre el punto P fuera del arco AC y verique que se sigue cumpliendo
el lema.
Teorema 52.
El ángulo entre las rectas de Simson de dos puntos
circunferencia circunscrita es la mitad de la medida del arco P 0 P .
P y P 0 en la
Ejercicio 53. Muestre el teorema 52 siguiendo los pasos a continuación
1. Dibuje una circunferencia c de centro O, y los puntos A, B , C , P y P 0 sobre
c.
2. Dibuje la recta a = BC .
3. Trace las perpendiculares d y d0 a a por P y P 0 , respectivamente.
0 OP ≡ U
0 OU . (Para esto puede usar una simetría axial per\
4. Muestre que P\
pendicular a d por O).
5. Considerando que el ángulo que forman las rectas de Simson de P y P 0 es
U AU 0 , concluya con el teorema.
Ejercicio 54. Explore las velocidades de rotación de un punto P sobre la circunferencia circunscrita de un triángulo ABC con respecto a la recta Simson de P ,
siguiendo los pasos siguientes.
1. Dibuje el triángulo ABC , su circunferencia circunscrita d.
2. Marque un punto P sobre d y su recta de Simson (use la herramienta pedal)
3. Active la animación del punto P .
4. ¾Qué velocidades de rotación tiene el punto P con respecto a la velocidad
de rotación de la recta de Simson?
5. Active el rastro a la recta de Simson.
Teorema 55.
La recta de Simson de un punto en la circunferencia circunscrita
corta en su punto medio al segmento que une éste con el ortocentro
Ejercicio 56. Para demostrar el teorema 55 siga los pasos a continuación
1. Dibuje el triángulo ABC , su circunferencia circunscrita d.
2. Marque un punto P en el arco AC de d que no contiene a B y los vértices
A1 y B1 del triángulo pedal degenerado de P (recta de Simson). (use la
herramienta pedal).
3. Trace la recta e perpendicular a BC por P , y su pie A1 (sobre la recta de
Simson). Sea U el otro corte de e con d.
GUÍA DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
15
4. Marque el ortocentro H y la recta f = AH . Marque las intersecciones D de
BC con f , y D0 de d con f .
5. Marque los segmentos i = P H y j = P D0 .
6. Marque Q intersección de j con BC .
7. Trace la recta k = HQ.
8. Sea V la intersección de e y k.
9. Pruebe que los triángulos HDQ y D0 DQ son congruentes. (Recuerde que
HD ≡ DD0 )
0P ≡ D
0 HV ≡ D
0 P V ≡ HV
\
\
\
\
10. Muestre que HD
P . (Note que las rectas f y e
son paralelas)
11. Trace el segmento l = AU .
0 AU ≡ D
0 P U , o suplementarios.
\
\
12. Muestre que D
13. Trace la recta de Simson, y pruebe que es paralela a la recta k.
14. Muestre que A1 es el punto medio del segmento P V .
15. Concluya con el teorema. 2
16. Marque el punto medio M del segmento P H .
17. Active rastro de M y active animación de P .
18. ¾Qué gura describe M ?
Problema 57. ¾Qué relación tienen las rectas de Simson de dos puntos diametralmente opuestos?
2Sea
el triángulo
ABC
vamente que pasan por
medio
B0.
A0 el punto medio de a. Sean d y e las rectas
A0 . Entonces d corta a c en su punto medio C 0
y
paralelas a
y
e
corta a
b y c respectib en su punto