Download enseñanza creativa de la geometría usando origami

IV CIEMAC
F. Badilla
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ENSEÑANZA CREATIVA DE LA GEOMETRÍA USANDO
ORIGAMI
Francisco J. Badilla Núñez1
En realidad, pocos educadores imaginan que la transformación vendrá de las
telecomunicaciones. Aún no somos capaces de prever este inmenso salto que se está
preparando ante nuestros ojos entrecerrados y ante nuestras mentes adormecidas. Pero si
seguimos haciendo "más de lo mismo", enseñando de la misma manera a las nuevas
generaciones, fracasaremos. La sociedad, lo estamos viendo, tomará medidas drásticas
para que eso no suceda: en primer lugar excluirá de su seno a los docentes e instituciones
educativas que no se hayan renovado, en segundo lugar inventará sistemas educativos
independientes de los programas formales como sucede ya con algunas iniciativas de
educación "doméstica" (home schooling) y de educación "a medida" (charter schools). Y,
lo que es más importante, premiará a quienes acepten el desafío de la globalización del
conocimiento.
IMPORTANCIA DE LA GEOMETRÍA EN EL CURRICULUM
La necesidad de la enseñanza de la geometría en el ámbito escolar responde, en primer
lugar, al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana. Un conocimiento
geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana: para
orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y
distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en
el espacio. La geometría está presente en múltiples ámbitos del sistema productivo de
nuestras actuales sociedades (producción industrial, diseño, arquitectura, topografía,
etc...).La forma geométrica es también un componente esencial del arte, de las artes
plásticas, y representa un aspecto importante en el estudio de los elementos de la
naturaleza.
ACERCAMIENTO EXPERIMENTAL, INTUITIVO A LA GEOMETRÍA
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Instituto Nacional de Aprendizaje (INA), Costa Rica
El arte de enseñar y la ciencia de aprender
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La enseñanza de la Geometría ha tenido tradicionalmente un fuerte carácter deductivo.
En educación secundaria, la Geometría se ha venido apoyando en el lenguaje del álgebra,
en el álgebra vectorial. En primaria, aún sin ese carácter algebraico, formal, se ha
fomentado excesivamente el aprendizaje memorístico de conceptos, teoremas y fórmulas;
la simple apoyatura de unos conceptos en otros previos; y la temprana eliminación de la
intuición como instrumento de acceso al conocimiento geométrico, tratando de acelerar la
adquisición de tales conceptos, teoremas y fórmulas, como si en ellas estuviera
condensado el verdadero saber geométrico. Las investigaciones sobre el proceso de
construcción del pensamiento geométrico parecen indicar, no obstante, que éste sigue una
evolución muy lenta desde unas formas intuitivas iniciales de pensamiento, hasta las
formas deductivas finales, y que éstas corresponden a niveles escolares bastante más
avanzados que los que estamos considerando aquí. De manera que nosotros entendemos
que en Educación Primaria hay que escapar de las interpretaciones deductivistas e ir a
una geometría de carácter experimental, intuitiva.
El espacio del niño está lleno de elementos geométricos, con significado concreto para él:
puertas, ventanas, mesas, pelotas, etc. En su entorno cotidiano, en su barrio, en su casa,
en su colegio, en sus espacios de juego, aprende a organizar mentalmente el espacio que
le rodea, a orientarse en el espacio. Ese es el contexto que nos parece especialmente útil
para desarrollar las enseñanzas geométricas, de una forma que resulte significativa para
los alumnos. El estudio de su entorno próximo y familiar, por la motivación e interés que
puede despertar y por ser fuente inagotable de objetos susceptibles de observación y
manipulación. A partir de situaciones que resulten familiares para los alumnos(recorridos
habituales, formas de objetos conocidos...) y mediante actividades manipulativas, lúdicas
(plegado, recorte, modelado, etc), el profesor puede fomentar el desarrollo de los
conceptos geométricos contemplados en el currículo de esta etapa educativa.
HISTORIA DEL ORIGAMI ( PAPIROFLEXIA)
La condición previa para el nacimiento de la origami o papiroflexia es lógicamente la
existencia de papel. Los chinos habían inventado en el siglo II de nuestra era un
procedimiento para la fabricación de papel a partir de todo tipo de fibras vegetales. Japón
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era en aquella época un país totalmente subdesarrollado desde el punto de vista político y
cultural. Los japoneses admiraban a los chinos y se esforzaron en aprender de ellos todo
lo posible. En el siglo VII conocieron también el secreto de la fabricación del papel y
gracias a su proverbial amor a aquel material, consiguieron pronto rendimientos
importantes en este campo.
Pero de repente, los japoneses se cerraron a todas las
influencias extrañas y se dedicaron a trabajar con su propio sello todos los conocimientos
adquiridos. Esta época de sentido nacional fue el Período Heian (794-1183) y en él se
rompieron todos los contactos oficiales con China. Las primeras figuras plegadas de
papel se remontan a esta época. No hay sin embargo indicios de que la inspiración en este
campo viniese de China. Los usos iniciales que se le dieron al papel fueron la redacción
de cartas y poesías, las cuales estaban dobladas con forma extraordinariamente
significativa y delicada. Los primeros indicios de figuras clásicas origami proceden sin
embargo del siglo XVIII, del Período Edo (1614-1868). Después de largos disturbios
internos y luchas por el poder, fue esta una época de paz y de orden. Por un lado, la casta
de guerreros dominante creó normas y leyes para la vida política, social y colectiva
dentro del espíritu del Confucionismo. Por otro lado, el Budismo Zen, como religión
popular, tenía fuertes repercusiones sobre la vida espiritual y cultural. En este período,
donde la Burguesía ejerció una gran influencia sobre el arte y la literatura, la artesanía
vivió un momento de florecimiento. En el Origami Clásico se recortaba, pegaba y
pintaba. Para el Origami las tijeras son tabú, la pintura se debe evitar y la utilización del
pegamento es impensable. La forma pura, lograda solamente mediante el plegado, debe
responder de sí misma. No existe otro elemento de configuración que el material en su
estructura, dibujo o color. Así los maestros japoneses crearon las nuevas normas para el
origami moderno.
FUNDAMENTO DE LA PAPIROFLEXIA COMO METODOLOGÍA
La papiroflexia u origami modular es de gran interés por contribuir a adquirir ciertas
actitudes y habilidades de forma amena, aparte de aprender geometría. La necesidad de
plegar muchas piezas "más o menos iguales" para construir un poliedro potencia el
trabajo en equipo, el reparto de tareas, el hacer un buen trabajo para poder unir las piezas
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(pliegues bien hechos y no de cualquier manera, acuerdos en la forma de doblar las piezas
cuando hay dos posibilidades), visión espacial y la satisfacción de terminar el trabajo y
obtener el sólido. Por estas y otras razones la papiroflexia constituye una atractiva forma
de acercarse a las matemáticas por su riqueza cultural y su gran valor pedagógico. El
origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre iguales)
que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o, en su caso, en figuras decorativas. En
el origami modular existen diferentes tipos de módulos que varían entre sí tanto por el
procedimiento de construcción y la forma del trozo de papel inicial, como por el tipo de
poliedro que se quiere obtener y por la parte de éste que cada módulo va a constituir
principalmente: un vértice, una cara o una arista.
EXPLICACIÓN CIENTÍFICA DE LA PAPIROFLEXIA
El origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre
iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o en otras figuras decorativas.
Estos módulos poseen solapas y bolsillos, que se usan para ensamblarlos entre sí. Esta
técnica también ofrece la posibilidad de manipular al final un modelo tridimensional,
poder hacer medidas en él, ... , aunque tiene la desventaja de que a veces es tedioso hacer
muchos módulos o el ensamble resulta un poco laborioso; sin embargo, para una persona
perseverante, curiosa y paciente esta desventaja se puede convertir en un reto, mientras
que para una persona que se impaciente le puede ayudar a desarrollar algunas actitudes
como la paciencia. Además, los módulos pueden hacerse entre todos montándose después
el correspondiente poliedro. Los poliedros más famosos son, sin duda, los llamados
sólidos platónicos. Se dice que un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos
regulares idénticos y si en cada vértice concurre el mismo número de aristas.
Sorprendentemente, tan sólo existen cinco: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro
y el dodecaedro.
Varios matemáticos y filósofos, impresionados por la belleza y
elegancia lógica de la geometria, han pretendido utilizar las ideas geométricas para
explicar el Universo en que vivimos. Uno de los primeros fue Platón, el cual estaba tan
prendado de los cinco sólidos regulares que los empleó como la base de una teoria de la
materia. En su libro Timeo, escrito hacia el 350 a. C., Platón llevó adelante la sugerencia
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de que los "cuatro" elementos que se pensaba que componian mundo -el agua, el aire, el
agua y la tierra- eran todos ellos agregados sólidos diminutos. Pensaba además que,
puesto que el mundo solamente podía estar formado a partir de cuerpos perfectos, tales
elementos debían tener la forma de los sólidos regulares. Según Platon, el fuego debe ser
un tetraedro al ser el más ligero y punzante de los elementos, la tierra ha de consistir en
cubos al ser el más estable de todos, el agua debe ser un icosaedro, el sólido regular que
tiene más posibilidades de rodar facilmente, por ser el más móvil y fluido y en cuanto al
aire, Platón observó que "el aire es al agua lo que el agua es a la tierra", y concluyó,
aunque algo misteriosamente, que el aire debe ser un octaedro. Y finalmente, para no
dejar al único sólido regular que queda fuera del cuadro, propuso que el dodecaedro
representara la forma del Universo en su totalidad. Por arbitraria y fantástica que pueda
parecer la teoría de la materia de Platón a los ojos modernos, la idea de que los sólidos
regulares desempeñaban un papel fundamental en la estructura del Universo fue tomada
en serio en los siglos XVI y XVII cuando Johannes Kepler emprendió su investigación
del orden matemático del mundo circundante. En la época de Kepler se conocían seis
planetas: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Jupiter y Saturno. Influido por la teoría de
Copérnico, de acuerdo con la cual los planetas se mueven alrededor del Sol, Kepler trató
de encontrar relaciones numéricas que explicasen por que existían precisamente seis
planetas, y por que se hallaban a sus distancias particulares del Sol. Razonó que el
número de planetas era seis porque la distancia entre cada par adyacente debía estar
relacionada con un determinado sólido regular, que son justamente cinco. Después de
algunas pruebas, halló una disposición de sólidos regulares y de esferas tal que cada uno
de los seis planetas tenía una órbita sobre una de seis esferas. La esfera externa, sobre la
cual se mueve Saturno, contiene un cubo inscrito, y en dicho cubo se inscribe a su vez la
esfera de la órbita de Jupiter. En ésta se halla inscrito un tetraedro, y Marte se mueve en
la esfera inscrita en esta figura. El dodecaedro inscrito en la esfera de la órbita de Marte
tiene a la órbita de la Tierra como su esfera inscrita, en la cual el icosaedro inscrito tiene
inscrita a su vez la esfera de la órbita de Venus. Finalmente, el octaedro inscrito en la
esfera de la órbita de Venus tiene una esfera inscrita, en la cual descansa la órbita de
Mercurio. Aunque Kepler quedó satisfecho con lo que había obtenido este modelo tenía
varias incongruencias.
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EJERCICIO 1
LA TIRA DE GEOMETRÍA EN LA TIRA DE PAPEL.
Con un buen trozo de esos rollos de papel que se emplean en las máquinas registradoras
de cobrar dinero. O si no, corta una tira de papel larga, como de 4cm de ancho, pegando
tiras cortadas de una hoja de papel.
Para empezar, piensa un poco. ¿Cómo te harías un cuadrado con tu tira solamente
plegando?
Pliega por A y así resulta un pliegue perpendicular. Queda del modo siguiente
Al desplegar resulta marcado el pliegue perpendicular
Pliega ahora así
Observa que el ángulo es de 45º
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Ahora ya está claro. Pliegas así
Y al desplegar tienes esto
Pliegas por los puntos B y C y te resulta el cuadrado.
Ahora piensa otra vez. ¿Cómo hacerte con un triángulo equilátero? Seguro que se te
ocurre, pues ya sabes cómo dividir un ángulo en tres partes iguales plegando el papel.
Tanteando un poco puedes formar primero un cucurucho y luego dos pliegues con los que
la tira te va a quedar así
Observa que en la tira plegada hay dos pliegues que determinan (por coincidir tres
ángulos
iguales
alrededor
del
vértice).
Al
desplegar
queda
la
cosa
así
y por la igualdad de ángulos determinados por paralelas, resulta que los ángulos
señalados por los pliegues en la parte baja de la tira son también de 60º. Así obtienes un
triángulo equilátero.
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Ya tienes el cuadrado, el triángulo equilátero... ¿más polígonos regulares? El hexágono es
fácil, una vez que tienes el triángulo equilátero. Tienes la tira así
Doblas por la mitad y te resulta así
Ahora pliegas unas cuantas veces por los pliegues que han quedado señalados de antes y
verás cómo al desplegar te resulta el hexágono con los radios y el centro señalados de
esta forma
Vamos a seguir con nuestra colección de polígonos regulares. A por el pentágono. Este es
un poco más rebuscado. ¿Se podrá hacer con la tira? ¿Qué más podemos hacer con la
tira? Piensa, piensa... Después de mucho pensar, es posible que no se te ocurra nada más
que hacerte una corbata con la tira y... ¡mira por dónde! ésa es la pista para el pentágono
regular. Haz un nudo con la tira, sólo plegando, sin arrugarla, primero así
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y
luego
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plegando
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con
cuidado
hasta
que
quede
EJERCICIO: N° 2
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del
siguiente
modo
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Para este ejercicio se deberá contar con seis piezas debidamente dobladas para
formar la figura geométrica.