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Geometría y Trigonometría 11. Ecuaciones Trigonométricas ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 11.1 Concepto de ecuación trigonométrica Ecuación trigonométrica Es una igualdad entre funciones trigonométricas de un mismo ángulo que sólo se satisface para un determinado valor o valores del ángulo. 11.2 Solución de las ecuaciones trigonométricas En la solución de estas ecuaciones se utilizan los mismos métodos estudiados en álgebra. Recuerda que: • • • • Si el término está sumando, pasará restando. Si el término está restando, pasará sumando. Si el término está multiplicando, pasará dividiendo. Si el término está dividiendo, pasará multiplicando. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no negativos del ángulo θ , menores que 360° (Nota: revisa los ángulos de las funciones a partir de la página 116). 1) 2 senθ − 1 = 0 El uno está restando pasa sumando. 2 senθ = 1 El 2 está multiplicando pasa dividiendo. 1 2 Por lo tanto la ecuación se satisface cuando θ=30°,150°. senθ = 2) 2 cos2 θ = cosθ . 2 cos2 θ − cosθ = 0 cosθ está positivo pasa hacia el miembro izquierdo restando. cosθ (2 cosθ −1) = 0 Factorizamos. Observamos que cosθ es el factor común de la ecuación. 1 2 Por lo tanto la ecuación se satisface cuando θ1 = 90°, 270° cosθ = 0 cosθ = 155 θ 2 = 60°, 300° Unidad tres Geometría y Trigonometría 3) 2 cos2 θ − cosθ − 1 = 0 a = 2, b = -1,c = -1 x= x= Representa una ecuación cuadrática. Obtenemos los valores de a, b, c y sustituimos en la fórmula general. − b ± b − 4ac , 2a 2 − (−1) ± (−1) 2 − 4(2)(−1) 2(2) 1± 1+ 8 1± 9 1± 3 , x= , x= , 4 4 4 1+ 3 4 1− 3 − 2 −1 x1 = x2 = = =1 = = 4 4 4 4 2 Realizando las operaciones correspondientes quedan los siguientes resultados: x= −1 2 Por lo tanto la ecuación se satisface cuando θ1 = 0°, 360° cosθ = 1 cosθ = 156 θ 2 = 120°, 240° Geometría y Trigonometría Ecuaciones Trigonométricas EJERCICIO 11-1 INSTRUCCIONES.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no negativos del ángulo θ, hasta 360°. 1) 2 cos θ − 1 = 0 60º y 300º 2) 4 senθ − 2 = 0 30º y 150º 3) 2senθ − 3 = 0 60º y 120º 4) csc θ − 2 = 0 30º y 150º 157 Unidad tres Geometría y Trigonometría 5) cot θ − 1 = 0 45º y 225º 6) 2 cos θ + 3 = 0 150º y 210º 7) 2 cos 2 θ − cos θ − 1 = 0 0º,120º, 240º,360º 8) 2 cos 2 θ + 2 cos θ = 0 90º,180º, 270º 158 Geometría y Trigonometría Ecuaciones Trigonométricas 9) 2sen 2θ = − senθ 0º,180º, 210º,330º ,360º 10) sen 2θ = senθ 0º,90º, 180º,360º 159