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INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS “GUILLERMO SUBERCASEAUX”
Fundado en 1929
Matemáticas I
Técnico Financiero Semestre 1 - 2008
CONJUNTOS NUMERICOS
I. Números naturales
El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente
conjunto numérico:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.....}
Los 5 puntos sucesivos significan: "así sucesivamente", estos números son los que se
utilizan principalmente para contar objetos existentes.
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la
multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un
número perteneciente a IN.
Ejemplo:
5 + 6 = 11, el 11 pertenece a IN.
5 · 7 = 35, el 35 pertenece a IN.
No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas
no son operaciones cerradas en IN.
Ejemplo:
3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN.
1: 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.
Este conjunto además tiene algunas características:
•
Todo número natural tiene un sucesor, que corresponde al número natural
aumentado en una unidad. El antecesor de un número natural es el número
disminuido en una unidad.
Por ejemplo: El sucesor de 45 es 46, el de 1209 es 1210, etc.
•
Todo número natural, exceptuando el “1”, tiene un antecesor. Por ejemplo, el
antecesor de 56 es 55, el de 455 es 454, etc.
•
El conjunto de los números naturales es infinito, es decir no existe un último
número natural.
Profesor: Edward Rogers P.
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Además, este conjunto se puede separar en dos subconjuntos, el de los números pares e
impares. Los pares son el 2,4,6,8,10,12,14,16,18………………2n. Los impares son el 1, 3,
5, 7, 9,11,…………..2n-1.
Los conceptos de sucesor y antecesor, se pueden también generalizar para los números
pares e impares, obteniendo de esta forma los conceptos de “par sucesor” y “par antecesor”,
“impar sucesor” e “impar antecesor”. Por ejemplo, el impar sucesor de 41 es 43 y el par
antecesor de 78 es 76.
Además, dentro de los números naturales existen Los Numero Primos, que son aquellos
que son divisibles por 1 y por si mismo a excepción del numero “1”. Los primeros números
primos son el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23,…………………..
Los números primos son de mucha importancia, por que se pueden expresar como producto
de números primos. Por ejemplo, el numero 150, se puede expresar como el producto de
2*3*5*5. Esta descomposición se llama factorización prima y tiene importancia para el
cálculo del Mínimo Común Múltiplo y el Máximo común divisor.
El Mínimo común múltiplo, se calcula, mediante la descomposición prima de todos los
números y luego multiplicándolos.
Ejemplo: El M.C.M entre 6, 12, 18,24 y 30 seria:
6
12
18
24
30
2
3
6
9
12
15
3
1
2
3
4
5
2
1
1
3
2
5
2
1
1
3
1
5
3
1
1
1
1
5
5
1
1
1
1
1
Entonces el M.C.M es 2*3*2*2*3*5 = 360
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El Máximo común divisor, se obtiene de igual manera que el caso anterior, pero ahora
consiste en encontrar el mayor número que divide en forma simultánea a la totalidad de los
números expuestos.
6
12
18
24
30
3
2
4
6
8
10
2
1
2
3
4
5
El Máximo Común divisor es el 3*2= 6, Ya que el 6, divide en forma simultánea a la
totalidad de los números.
Propiedades de los Números Naturales
I. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:
1.- Conmutatividad:
a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN, esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6
= 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.
2.- Asociatividad:
(a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6).
Resolviendo los paréntesis:
7+6=5+8
13 = 13
3.- Propiedad de Clausura:
(a + b)
∈ a IN
∀ a,b
∈ IN
II. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la sustracción:
(a – b)
∈ a los IN ⇔
a es mayor que b y b ≠ 0
Ejemplo: 10 – 18 = -8 ∉ a IN
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III. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:
1.- Conmutatividad:
a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN, esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 =
18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.
2.- Asociatividad:
(a * b) * c = a * (b * c), con a, b y c ∈ a IN
Verifiquemos que
(5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6).
Resolviendo los paréntesis:
10 · 6 = 5 · 12
60 = 60
3.- Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.
Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento.
5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9
4.- Distributividad: a· (b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.
Verifiquemos que
5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6
5·9 = 15 + 30
45 = 45
5.- Propiedad de Clausura:
(a * b)
∈ a IN
∀ a,b
∈ IN
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IV. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la división:
Sean a, b dos números naturales a/b ∈ a IN
distinto de cero.
⇔ (Si y solo si) a es divisible por b.y b sea
Ejemplo1: 10/2 = 5 ∈ a IN
Ejemplo2: 6/5 = 1,2
∉a IN
II Números Cardinales
Los números cardinales se representan por IN0 y corresponde al conjunto numérico
compuesto por los siguientes números:
IN0= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....}
También podemos definir a los números cardinales como IN U {0}. La aparición del cero
solucionó muchos de los problemas de notación numérica existentes, pero también trajo
algunas dificultades, como el de las indeterminaciones en algunas operaciones.
Propiedades de los Números Cardinales
I. En los números Cardinales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:
1.- Conmutatividad:
a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN0,
2.- Asociatividad:
(a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN0
3.- Propiedad de Clausura:
(a + b)
∈ a IN0
∀ a,b
∈ IN0
4.- Elemento Neutro Aditivo:
∀ a ∈ IN0, existe un elemento neutro aditivo, que es “0”, talque a +0 = a
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II. En los números Cardinales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:
1.- Conmutatividad:
a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN0
2.- Asociatividad:
(a * b) * c = a * (b * c), con a, b y c ∈ a IN0
3.- Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN0.
Todo elemento de IN0 multiplicado por 1, resulta el mismo elemento.
4.- Distributividad respecto a la suma: a· (b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes
a IN0.
5.- Propiedad de Clausura:
(a * b)
∈a
IN0 ∀ a,b
∈ IN0
III. En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la división:
Sean a, b dos números naturales a/b ∈ a IN0
Profesor: Edward Rogers P.
⇔ (Si y solo si) a es divisible por b. y b ≠ 0
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EJERCICIOS DE OPERACIONES BASICAS
Dados: a = 0, b = 2, c = 3, d = 5, e = – 1 y f = – 2.
Calcula:
a) b – c + d
b) c d + e f
c) e ( b – c )
d) b f – ( d + c e )
e) ( b c – d ) e
f) a b c
g) b ÷ f + e
h) a ÷ f + d
i) f a
j) d b – c e
k) c e + b f
l) 4 c + 2 c
m) 7 a – 2 d – 3 f
n) 3 c e + 5 c × 2 e
o) ( 7 b – 4 c + 8 d + 12 e – 17 f ) a
p) ( 3 b + 5 c + 7 d – 2 e + 4 f ) a
Profesor: Edward Rogers P.
R: 4
R: 17
R: 1
R: – 6
R: – 1
R: 0
R: – 2
R: 5
R: 1
R: 28
R: 7/12
R: 18
R: – 4
R: – 39
R: 0
R: 1
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III Números Enteros (Z)
En N la resta sólo está definida si el minuendo es mayor o igual al sustraendo
.Para que dicha operación no sea tan restringida se creó el conjunto de enteros
negativos (notado por - N)
Para ello para cada n ∈ N se introduce el opuesto de n, notado - n tal que
n + (-n) = 0
Entonces
Z = N U (-N)
Los números negativos se consideran menores que 0 en el orden usual de los
enteros.
A los naturales se los llama enteros positivos, siendo mayores o iguales que 0
Importante
Cuando un número se simboliza con letras, por ejemplo a, la presencia de un signo
- ante el mismo no significa que –a es negativo sino que es el opuesto de a
Ejercicios
1) Enunciar las propiedades de la suma y el producto de números enteros
2) Hallar todos los números invertibles de Z
Regla de los signos
Es POSITIVO el producto de dos enteros positivos o negativos.
Es NEGATIVO el producto de un positivo y un negativo (En cualquier orden)
(+).(+) = +
(-) .(-) = +
(+).(-) = (-) .(+) = -
Para el caso de la división, rige el mismo criterio de la regla.
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