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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
2014
Liceos Bicentenario
Matemática
2014
Números Naturales y Cardinales
Material complementario para Séptimos Años
Temas: -
Características de los números naturales
Simbología
Operatoria en N (+, -, ·, :)
Prioridad de las operaciones
Potencias de base y exponente natural
m.c.m y M.C.D.
par, impar, sucesor, antecesor
Ejercitación
Versión: Estudiante
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Conjuntos numéricos
La necesidad de contar, viene de tiempos inmemoriales. La humanidad creó entonces algunos sistemas que le permitieron
registrar la cantidad de objetos. Primeramente en forma muy rudimentaria, con los dedos, con piedritas, etc. Luego se volvió necesario
inventar un sistema más estándar, ahí nacen los sistemas numéricos.
En nuestros días usamos el Sistema Numérico Decimal, cuyas características son:
1.- Este sistema o conjunto numérico conocido como el conjunto de los dígitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Como puedes ver, este conjunto tiene Cardinalidad= 10, pues son 10 elementos los que lo forman.
Las combinaciones que se pueden realizar con estos elementos dan origen a lo que conocemos como Sistema Numérico Decimal.
2.- Es posicional, es decir que cada cifra o dígito tiene un valor según la posición que ocupa.
Ejemplo: Los siguientes números están formados por tres Cifras o dígitos
Caso 1: 345
Caso 2:
534
Caso 3: 453
Miremos la cifra 4, en el primer Caso, corresponde a la posición de las decenas, en el segundo caso corresponde a las unidades
y el tercer caso a las centenas. Es decir estos tres números si los ordenamos de menor a mayor quedan de la siguiente forma:
345; 453; 543
Este es un ejemplo de cómo en nuestro Sistema Numérico Decimal es posicional.
Al cumplir la característica de ser posicional, podemos establecer una Relación de Orden entre los elementos que lo componen.
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Es decir, podemos usar los símbolos que conoces:
< : menor que
> : mayor que
A los números formados por los dígitos se les llama Números Naturales y son los que como su nombre indica, fueron usados por
nuestros antepasados humanos para contar los objetos que los rodeaban: vacas, piedras, árboles, etc.
Una forma de resumir la información en matemática es escribiéndola con símbolos.
Simbología
Sus características principales:
: números naturales
i)
ii)
1
Si a
, es el primero, no hay natural anterior al uno.
  a  1  , esto presenta el concepto de Sucesor.
 : Pertenece a
=>: Implica o Entonces
Observación: El número 1 no tiene Antecesor en el conjunto de los Números Naturales.
1, es el primer número de este conjunto, el sucesor de 1 es, 1 + 1 = 2, el sucesor de 2 es 2 + 1 = 3, y así sucesivamente,
por lo tanto:
 1,2,3, 4,5,6,... , los 3 puntos, …, significan “y así sucesivamente”.
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Los Naturales en la recta numérica
1
2
3
4
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Operatoria en los naturales.
Lo más probable es que en tiempos de la prehistoria humana, ya se conociera lo que hoy llamamos Adición
(más conocida como suma). Veamos algo de Teoría de Conjuntos que nos puede explicar lo que es realmente lo que
llamamos suma:
A={ 8 vacas} y B={7 vacas} . Entonces si reunimos los elementos de los dos conjuntos tendremos la cantidad total:
A U B = {15 vacas} esta es una forma de expresar la suma, en forma de conjuntos.
Adición (suma, su símbolo es el +)
La forma antes descrita de agregar elementos no es tan práctica por lo que se inventó la Operación Adición (suma)
Ejemplo1: 2 + 5 = 7
ó
Ejemplo2: 279 + 68 = 347
2
+5
7
279
+ 68
347
Observación:
Los términos de la adición
son:
a
+b
C
sumandos
suma
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Sustracción (resta, su símbolo es el - )
La necesidad de quitar surge inmediatamente, es así como aparece la operación sustracción que es contraria a la operación adición.
Ejemplo1: 7 – 3 = 4
ó
Ejemplo2: 683 – 58 = 625
Observación:
7
-3
4
ó
Los términos de la sustracción son:
683
- 58
625
a
-b
C
minuendo
sustraendo
resta o diferencia
Simbología
Para Analizar:
¿Qué sucede si el Minuendo es menor que el Sustraendo?.
Respuesta: _____________________________________________________________
 : no pertenece a
(Más sobre este tipo de números lo veremos en una próxima unidad: “Números Enteros”)
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Multiplicación ( · ) : si se quiere sumar más de una vez, un mismo número, a lo que llamaremos suma iterada, estaremos en
presencia de la operación Multiplicación.
Observación:
Ejemplo1: 7 + 7 + 7 + 7 = 7 · 4 = 28
1) Sólo usaremos el
Ejemplo2: 43 + 43 + 43 + 43 + 43 + 43 = 43 · 6 = 258
símbolo
· para referirnos
a la multiplicación.
2)
factores
producto
División ( : ) Si se quiere repartir en partes iguales una cantidad, deberemos usar la operación División
Ejemplo1:
Ejemplo2:
56 : 4 = 14
16
0
128 : 37= 3
17
Observación:
Los términos de una división son:
a:b=d
c
a: dividendo
El símbolo
b: divisor
c: resto o residuo d: couciente o cociente
indica que se ha terminado la división.
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Comprobación de una división (Algoritmo de la división)
Para comprobar una división se debe multiplicar el Cuociente por el Divisor y a este producto se le suma el Resto. Si está correcto el
cálculo, debería dar como resultado el dividendo.
Ejemplo1: Si comprobamos el Ejemplo anterior:
(3 ·37) + 17 = 128
111 + 17 = 128
128 = 128
Algoritmo de la división
a : b = d  (d · b) + c = a
c
Símbolo:  significa “si y sólo si”
Potencia: La potenciación es una multiplicación iterada, es decir un mismo número (base) se multiplica por sí mismo,
“un número de veces”. Este “número de veces” se le llama exponente de la potencia.
Observación:
Ejemplo:
5
7 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 16.807
Los términos de la Potenciación son:
exponente
an = b
base
potencia(resultado)
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Prioridad de las operaciones
Al resolver expresiones aritméticas donde se empleen operaciones diferentes, deberemos tener presente la Prioridad de las operaciones.
1º
2º
3º
4º
Observación:
Paréntesis
Potencias
Multiplicación o División
Adición o Sustracción
Este orden debe respetado,
pues si cambias el orden
obtendrás un resultado erróneo
Observaciones:
i)
Si un ejercicio contempla paréntesis anidados (uno dentro de otro), deberás siempre realizar las operaciones
desde el paréntesis interior hacia el exterior.
ii)
Si un ejercicio presenta dos operaciones del mismo nivel de prioridad, deberás operar de izquierda a derecha
según aparezcan.
Ejemplo1:
Ejemplo3:
45 : 9 · 3 =
5·3=
15
Ejemplo2:
8+2-7=
10 -7 =
3
(5 + [8 · 4 – 17]) = (5 + [32 -17])
= (5 + 15)
=
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Notación decimal de un número natural.
Veamos el siguiente número y su descomposición aditiva:
72.456 = 7 · 10.000 + 2 · 1.000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 6 · 1
Si te fijas hemos descompuesto este número mediante el uso de potencias de 10.
Veamos cómo queda si usamos la nomenclatura de potencias:
72.456 = 7 · 104 + 2 · 103 + 4 · 102 + 5 · 101 + 6 · 100
Algunas Potencias de 10
.
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
.
.
.
10n = 1000..........000
“tantos ceros según sea el exponente ”
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Más sobre los Naturales
Sucesor:
Si n 
, entonces n + 1, es el sucesor de n.
Antecesor:
Si n 
, entonces n – 1, es el antecesor de n, con n >1
Par:
Si n 
, entonces 2·n, es par
Números pares = {2,4,6,8,10,…}
Sucesor par: p  pares  p  2 , es sucesor par de p.
(Si a un número par le agregas 2, obtendrás su sucesor par.)
Simbología
 : Para todo
Antecesor par: p  pares  p  2 , es antecesor par de p;  p > 2
(Si a un número par le quitas 2, obtendrás su antecesor par.)
Para Analizar:
1) ¿El 2 tiene antecesor par?.
Respuesta: __________________________________________________________
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Impar: Si n  , entonces 2·n – 1, es impar.
Número impares = {1,3,5,7,9,…}
Sucesor impar: q  impares  q  2 , es impar sucesor de q.
(Si a un número natural impar le agregas 2 , obtendrás siempre su sucesor impar.)
Antecesor impar : q  impares  q  2 , es impar antecesor de q.  q > 2
(Si a un número natural impar le quitas 2, obtendrás siempre su antecesor impar.)
Primos: Son aquellos números que son distinto de 1 y se pueden dividir en forma exacta sólo por sí mismo.
Ejemplo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …..
Compuestos: Son aquellos que además de dividirse por sí mismo, tiene uno o más divisores primos.
Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, ….
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a,b, c   a  b  c  “c es múltiplo de a y de b”.
Múltiplo:
Ejemplo: 4 · 3 = 12 => diremos que 12 es múltiplo de 4 y también es múltiplo de 3.
M(4) = {4,8,12,14,….} y M(3)= {3,6,9,12,15,….}
Divisores:
a,b, c 
Ejemplo: 12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
 a  b  c  ”a y b son divisores de c”
Observación:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Todas estas divisiones son
exactas, es decir el resto es
Cero.
Reglas de Divisibilidad
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
Todo número es divisible por 2, si su última cifra es cero ó par.
Todo número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Todo número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
Todo número es divisible por 5, si su última cifra es 0 ó 5.
Todo número es divisible por 6, si lo es por 2 y 3 a la vez.
Todo número es divisible por 8, si sus 3 últimas cifras son ceros o la suma de las tres últimas
cifras son múltiplos de 8.
Todo número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
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Observación: Una de las reglas más “entretenidas” es la divisibilidad por 7:
“ Un número es di vi s i bl e por 7 cuando l a di f erenci a ent re el número s i n l a ci f r a
de l as uni dades y e l dobl e de l a ci f ra de l as uni dades es 0 ó un múl t i pl o de 7.”
Verifica usando la regla de divisibilidad del 7, si los siguientes números son divisibles por 7:
i)
294
Respuesta: _____________________
ii)
423
Respuesta: _____________________
iii)
3.192
Respuesta: _____________________
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Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)
Como el nombre lo indica, corresponde al menor múltiplo común.
Ejemplo: Encontrar el m.c.m. entre 4, 6 y 8.
Factores primos
Usaremos una tabla
4
2
1
1
1
6
3
3
3
1
8
4
2
1
1
2
2
2
3
2 · 2 · 2 · 3 = 24
Otra forma de verlo es obtener la descomposición prima de cada número
4 2
6 2
8 2
Entonces el m.c.m. corresponderá al producto
2 2
3 3
4 2
de los factores comunes y no comunes de
1
1
2 2
mayor exponente. 23 · 3 = 24
1 3
2
2
2·3
2
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Máximo Común Divisor (M.C.D.)
Como el nombre lo indica corresponde al mayor de los divisores comunes. Veamos un ejemplo:
18 2
9 3
3 3
1
2· 32
24
12
6
3
1
2
2
2
3
23 · 3
30 2
15 3
55
1
2·3·5
El M.C.D. es el producto de las potencias comunes de menor exponente.
Entonces M.C.D. = 2·3 = 6
¿Cómo saber rápidamente la cantidad de divisores que tiene un número?
Respuesta:
Veámoslo con un ejemplo:
24 = 23 · 3 = 23 · 31, si tomamos los exponentes y cada uno le sumamos 1 y luego multiplicamos
los resultados, tendremos el número de divisores.
3+1=4
1+1=2
Entonces
4 · 2 = 8. Por lo tanto el 24 tiene 8 divisores.
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Números Cardinales
Los mayas mucho antes que los árabes ya conocían el 0 (año 36 a. C.), es el número que indica ausencia de objetos. El cero aparece en
nuestro sistema decimal y nos permite formar números como: 1.000; 3.201; 500.006 etc.
Si vemos la representación gráfica de los conjuntos numéricos hasta ahora estudiados, mediante un diagrama de Venn, tendremos:
0
N U {0} = N0 = N*
N
1, 5, 89, 2.000
34, 70
480.000
El conjunto de los Cardinales, es decir, la unión entre Los Naturales y el conjunto que contiene al Cero nos permitirá establecer nuevas
relaciones numéricas.
Visto como recta numérica nos queda:
Observación: “El cero se considera número par” ( Se encuentra entre dos impares y además es un entero múltiplo de 2“)
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Notas para el Alumno:
- El espacio que queda en el costado derecho de este cuadernillo, le permitirá
a usted realizar sus cálculos o tomar apuntes, si lo consideran necesario.
Ejercicios
Notas del estudiante
I.
Completa los cuadritos con el Sucesor y el Antecesor en cada caso:
(considera que los números pedidos deben ser Números Naturales)
i)
82
ii)
iii)
1.000
iv)
v)
349
vii) _________1
vi)
viii)
99
55
9.999
10
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II.
Notas del estudiante
Resuelve los siguientes ejercicios:
1)
77 + 33 =
2)
1.001 – 2 =
3)
90 + 101 =
4)
789 + 324 =
5)
99 + 11 =
6)
25 + 52 =
7)
333 – 111 =
8)
789 – 324 =
9)
111 – 91 =
10)
10.999 – 1.111 =
11)
888 – 666 =
12)
10.423 – 554 =
13)
15 + 13 – 27 =
14)
56 – 46 + 10 =
15)
11 + 22 – 19 =
16)
37 – (12 + 18) =
18
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Notas del estudiante
17)
(65 + 35) – 1 =
18) (23 + 42) – 35 =
19)
12 – 13 + 4 =
20)
18 + 32 – 24 =
21)
44 + 55 – 77 =
22)
56 – 34 + 90 =
23)
(23 + 32) – 13 =
24) (47 – 23) + 16 =
25)
(24 – 12 + 32) – 11 =
26) 101 – 99 + 2 – 1 + 345 =
27)
278 – 178 + 100 – 199 =
19
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28)
10.900 – 900 – 1.000 – 1 =
29)
1.999.999 + 1 – 555.555 =
30)
999 + 1.000 + 10 =
Notas del estudiante
III.- Resuelve los siguientes ejercicios:
1)
11 · 23 =
2)
32 · 7 =
3)
18 · 19 =
4)
27 · 12 =
5)
101 · 44 =
6)
54 · 8 =
7)
110 · 13 =
8)
700 · 800 =
9)
8 · 88 =
10)
66 · 78 =
20
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Notas del estudiante
11)
1.001 · 24 =
12) 790 · 11 =
IV.- Divide y anota en cada recuadro el cuociente y el resto:
13)
126 : 6 =
cuociente
resto
14)
88 : 22 =
cuociente
resto
15)
56 : 8 =
cuociente
resto
16)
27 : 6 =
cuociente
resto
17)
46 : 13 =
cuociente
resto
21
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18)
1.000 : 333 =
cuociente
resto
19)
500 : 25 =
cuociente
resto
20)
78 : 7 =
cuociente
resto
21)
59 : 5 =
cuociente
resto
22)
1.001 : 31 =
cuociente
resto
23)
10.000 : 225 =
cuociente
resto
24)
68 : 9 =
cuociente
resto
Notas del estudiante
22
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Notas del estudiante
V.- Calcula el valor de cada expresión:
25)
25 =
26)
34 =
27)
132 =
28)
203 =
29)
35 =
30)
26 =
31)
1002 =
32)
54 =
33)
1.0002 =
34)
74 =
35)
64 =
36)
84 =
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Notas del estudiante
37)
2
3
2·4 =
38)
3 ·9=
39)
83 : 16 =
40)
73 : 7 =
41)
4 · 9 : 12 =
42)
24 : 42 =
43)
23 · 33 =
44)
24 – 4 · 3 =
45)
13 + 5 · 2 =
46)
3 · 15 : 9 =
47)
13 + 23 – 12 =
48)
23 + 33 =
49)
52 – 32 =
50)
132 – 3 · 20 =
51)
175 : 5 : 5 =
52)
5·4·4=
24
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53)
64 : 4 : 4 : 4 =
54)
2·4·8=
Notas del estudiante
55)
16 + 16 + 16 =
57)
2 + {2 + [2 + (2 + 2)]} =
58)
3 · {3 + [32 – (6 – 3)] – 1} -1 =
59)
{2 · [24 – 8] – 4 · 12} : 7 =
60)
[3 · 42 : 8 -4] + {1000 : 4 · 5} =
61)
100 – {33 – 2.000 : 1.000} =
56) 1.011 : 3 · 2 =
25
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Notas del estudiante
62)
(128 : 4) – (32 : 4) + (63 : 23) =
VI.- Encuentre todos los divisores de:
63) 48 es divisible por los siguientes números
{
}
64) 17 es divisible por los siguientes números
{
}
¿Qué tipo de número es éste?
65) 500 es divisible por los siguientes números
{
}
26
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Notas del estudiante
66) 204 es divisible por los siguientes números
{
}
67) 45 es divisible por los siguientes números
{
}
VII.- Calcula el Mímimo Común Múltiplo (m.c.m.)
y Máximo Común Divisor (M.C.D.)en los siguientes casos:
68)
Números
8 y 12
3, 9 y 27
11 y 19
20, 30 y 40
39 y 65
24, 36, 18, 12 y 48
m.c.m.
M.C.D.
27
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VIII) Complete la tabla con los datos pedidos. (Recuerde que estamos en el conjunto de los números Cardinales)
69)
Antecesor Par
Antecesor
Antecesor
Sucesor
Sucesor Par
Sucesor Impar
impar
7
8
14
16
18
20
21
99
101
102
1
3
0
1
2
Número
999.998
999.999
1.000.000
1.000.001
1.000.001
Notas del estudiante
Simbología
Observación:
: Existe
28
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IX) Escriba el resultado de los siguientes problemas en el recuadro:
Notas del estudiante
70) El sucesor del sucesor de 14 es
71) El antecesor del antecesor de 27 es
72) El sucesor del antecesor de 100 es
73) El antecesor del sucesor de 78 es
74) El sucesor del antecesor par de 24 es
75) El sucesor impar del antecesor de 1.001 es
76) El sucesor del sucesor del sucesor de 0 es
77) El sucesor del antecesor del sucesor par de 8 es
29
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X) Resuelva los siguientes problemas. Anota tu resultado en el recuadro respectivo
Notas del estudiante
1)
La mamá de Juan lo mandó a comprar 1 kilo de pan que cuesta $1.150 y
un cuarto de jamón que cuesta $890. ¿Cuánto pagó Juan por el total de la compra?
2)
La edad de Anita en el año 2.037 será de 70 años. ¿Qué edad tiene actualmente
Anita?
3)
Un agricultor produce 150 sacos de trigo. Si cada saco contiene 80 kilos de
trigo y cada kilo de trigo $640.
¿Cuánto dinero obtendrá si vende todos los sacos de trigo?
4)
El sueldo de Jorge es de $1.790.000. Jorge paga el dividendo de su casa que
corresponden a $280.000, los gastos básicos suman $145.000 y en alimentación gasta
$200.000. ¿Cuánto dinero le quedará a Jorge para otros gastos?
30
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5) Una abuelita dejó una herencia de $57.896.000. Si los herederos son 4 y
se reparte en partes iguales la herencia. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?
Notas del estudiante
6) Un automóvil viaja a una rapidez de 80 kilómetros por hora, ¿cuántos
Kilómetros recorrerá en 6 horas?
7) La distancia entre Santiago y Concepción es 512 km., si Pedro viaja desde
Santiago a la ciudad de Concepción en su auto a una rapidez de 64 km/h.
Entonces, ¿Cuántas horas demorará en llegar?
8) Una bacteria triplica su cantidad cada 3 minutos. Al cabo de 15 minutos,
¿Cuántas bacterias habrá, si al inicio había una?
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9) A los futbolistas les otorgan un premio por cada gol que anoten al equipo
contrario. Pepe fue contratado por $ 4.000.000 mensuales y por cada gol
le pagarán $ 60.000.Si en Marzo anotó 12 goles, ¿Cuánto ganó en ese mes?
Notas del estudiante
10) Un profesor tiene 200 lápices para repartir en su curso de 45 alumnos.
Si los debe repartir de manera que a cada alumno le corresponda la misma
cantidad.
¿Cuántos lápices le sobrarán al repartirlo?
11) Un edificio tiene cuatro departamentos por piso. Cada departamento tiene
4 ventanales, a su vez los ventanales tienen 4 vidrios cada uno.
a) ¿Cuántos vidrios hay en total, si el edificio consta de cuatro pisos?
b) Escriba su resultado en forma de potencia
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Observaciones importantes
Estas tablas pueden resultarte prácticas cuando estés realizando cálculos.
Tablas de multiplicación
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
4
4
8
5
6
7
5
6
7
8
5
6
7
8
Tabla de cuadrados y cubos
9
10
9
10
10 12 14 16
18
20
12 15 18 21 24
27
30
12 16 20 24 28 32
36
40
5
10 15 20 25 30 35 40
45
50
6
7
12 18 24 30 36 42 48
14 21 28 35 42 49 56
54
63
60
70
8
8
16 24 32 40 48 56 64
72
80
9
9
18 27 36 45 54 63 72
81
90
10 10 20 30 40 50 60 70 80
90
100
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
Cuadrado Cubo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
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