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PSU Matemática
Pág. Nº 1
Matemática / Clase 1
Conjuntos Numéricos y su Operatoria
Contenidos de: Conjuntos Numéricos y su Operatoria
1. Conj. de los N° Naturales
2. Conj. de los N° Cardinales
3. Conj. de los N° Enteros
4. Conj. de los N° Racionales
5. Conj. de los N° Irracionales
6. Conj. de los N° Reales
7. Ejercicios.
Conjunto de los Números Naturales (IN)
Iniciaremos este estudio revisando los conjuntos numéricos y primero queremos presentarte
a los NATURALES, que nacen con la necesidad del hombre de poder contar, enumerar.
Definición: Son los números desde el 1 al infinito positivo.
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Números consecutivos
Una de las aplicaciones importantes de este conjunto es que un número cualquiera se
representa por “n”. Entonces, el número que se obtiene al restarle uno será su antecesor, y
el número que se obtiene al sumarle uno, será su sucesor.
Antecesor de n
n-1
número
n
Sucesor de n
n+1
Sucesor de n + 1 .
n+1+1=n+2
Problema:
La suma de tres números naturales consecutivos es 78.¿Cuáles son?
Solución:
Se designa el primer número por n, el segundo por n+1 y el tercero por n + 2.
Entonces, sumando los tres números se tiene:
Por lo tanto, el primer número es 25.
Respuesta: los números son 25, 26 y 27.
Números pares e impares
a) Números pares
Los números pares son de la forma general: 2n, donde n pertenece a IN. Los números pares
son, por lo tanto, múltiplos de 2.
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Ejemplo
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Si n = 1 el primer par es 2.
Si n = 2 el primer par es 4.
Si n = 3 el primer par es 6.
Observa que ellos van de 2 en 2.
b) Números pares consecutivos
Se denotan o designan por:
Antecesor par
2n – 2
Número par
2n
Sucesor par
2n + 2
Ejemplo: Tres números pares consecutivos: 2n – 2, 2n, 2n+2
c) Números impares
Los impares son de la forma general: 2n  1, donde n pertenece a IN.
d) Números impares consecutivos
Antecesor impar
Número impar
2n - 1
2n + 1
Sucesor impar
2n + 3
Sucesor
2n + 5
Propiedades de la paridad
 La suma de dos números pares es un número par.
 La suma de dos números impares es un número par.
 La suma de un número par y uno impar es un número impar.
 El producto de dos números pares es un número par.
 El producto de dos números impares es un número impar.
 El producto de un número par por uno impar es un número par.
 El cuadrado de un número par es un número par.
 El cuadrado de un número impar es un número impar.
Números primos
Los números primos se definen como todo número Natural mayor que 1 y que solo se
puede dividir por 1 y por sí mismo. El 1 no se considera primo.
Los primeros números primos de la recta numérica son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
Los números naturales mayores que 1 que no son primos, se denominan números
compuestos.
Ejemplo: el 12 no es primo, porque se puede dividir por 2, por 3, por 6 y se llama
compuesto porque 12 = 3 • 4 o bien 12 = 2 • 6, etc.
Primos entre si: Aquellos que no tienen factores comunes.
8 y 15 son primos entre si pues 8 = 2*2*2 15 = 3*5
Múltiplos de un número
Se definen, por ejemplo, los múltiplos del 4, como M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, ...}
En general, los múltiplos de k son el conjunto que se obtiene al multiplicar k por n , donde
n es un número natural.
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Divisibilidad
Ejemplo: De los siguientes, ¿cuáles son divisores de 13.380?:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
f) 8
g) 10
Solución:
El número 13.380 es par. Luego, es divisible por 2.
Los dígitos de 13.380 suman: 1 + 3 + 3 + 8 + 0 = 15, que es múltiplo de 3. Luego, 13.380
es divisible por 3.
La dos última cifras de 13.380 corresponden a 80, que es múltiplo de 4. Luego, 13.380 es
divisible por 4.
El número 13.380 termina en cero. Luego, es divisible por 5 y por 10.
El número 13.380 es divisible por 2 y por 3 a la vez. Luego, es divisible por 6.
Conclusión: 13.380 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 10.
Conjunto de los Números Cardinales (IN0)
Definición ()
Es el conjunto de los Naturales, incluyendo el cero.
IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las mismas
propiedades y características que en los Naturales.
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Conjunto de los Números Enteros (Z)
Definición
Son los enteros positivos, los negativos y el cero.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Z=Z
Z
+
-
+
 0  Z
donde:
: unión de conjuntos. ( IN  0 IN = Z)
: es el conjunto de los enteros positivos
-
Z : es el conjunto de los enteros negativos
Recta numérica de los enteros
Valor absoluto o Módulo de un número entero ( l l )
Operatoria en Z
Cuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención a los
signos y las reglas de la operación. Vamos a representar dos números cualesquiera por a, b
 Z. Entonces:
a) Adición (suma)  a + b. (importante: a + -b = a – b )
Caso 1: Suma de enteros de igual signo:
Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.
Ejemplo: –7 +–15 = -22
Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22
Caso 2: Suma de enteros de distinto signo:
Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del número con
mayor valor absoluto.
Ejemplo: -20 + 4 = –16
O bien: 4 –20 = –16
b) Multiplicación y/o división:  a  b
o
a  b
Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la siguiente
regla:
Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.
Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo.
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Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:
c) Sustracción (resta)  a – b
Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al
opuesto de b.
Después de esta transformación, se aplican las reglas operatorias de la adición.
Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23
Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34
Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19
Conjunto de los Números Racionales (Q)
Definición
Es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como fracción
a
 k donde:
b
Ejemplos de racionales:
Pertenecen al conjunto de los racionales Q:
0 0 0
  0
1 2 3
3
Los números enteros positivos y negativos  3 
1
Las fracciones comunes;
Los decimales finitos; y
Los decimales infinitos: periódicos o semiperiódicos
 El cero; que se puede escribir como




Números decimales
Todo número racional se puede escribir como número decimal. Un número decimal se
obtiene al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción.
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Caso 1: Decimales finitos: Tienen una cantidad limitada de dígitos decimales.
Ejemplo: 3,75
Caso 2: Decimales infinitos periódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales,
y tienen el período inmediatamente después de la coma decimal.
Ejemplo 2,4343434343...  2, 43
Caso 3: Números decimales infinitos semiperiódicos: Tienen una cantidad ilimitada de
dígitos decimales y tienen, después de la coma el anteperíodo y luego el período.
Ejemplo 1,52424242424...  1,524
Aproximación decimal
Con frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas
cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar una
aproximación decimal.
Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se
aumenta en una unidad el dígito anterior.
Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:
Caso 2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el
dígito anterior.
Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:
Fracciones equivalentes (iguales)
Esto es, dos fracciones son equivalentes solo si el producto del denominador de una por el
numerador de la otra es igual al producto del numerador de la primera por el denominador
de la segunda fracción (producto cruzado).
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Operaciones con números racionales
Sean a, b, c y d distintos de cero.
a c ab  bc
 
b d
bd
Suma:
Resta:
si b y d son primos entre si, de lo contrario buscar mcm.
a c ab  bc
 
b d
bd
Producto:
División:
a c ac
* 
b d bd
a c a d ad
  * 
b d b c bc
Importante: Es conveniente trabajar la división de fracciones como producto
(multiplicación) de fracciones, por las opciones de simplificación que pueden presentarse.
Amplificar y simplificar una fracción
Amplificar una fracción: es multiplicar su numerador y denominador por el mismo
número, obteniéndose una fracción equivalente:
5
Ejemplo: la fracción será
amplificada por 7.
2
5 * 7 35
5 35
Entonces: =
, resultando que: 
, como puede comprobarse a través del

2 * 7 14
2 14
producto cruzado.
Simplificar una fracción: es dividir el numerador y el denominador de una fracción por el
mismo número, obteniéndose una fracción equivalente:
Ejemplo:
6 2 6 * 8  5 * 2 48  10 58  2 29
 



5 8
5*8
40
40  2 20
Transformación de racionales
Caso 1: De fracción a decimal: Para esto, basta dividir el numerador por el denominador.
11
11
Ejemplo:
, al hacer la división 11 : 8 = 1,375. Entonces:
= 1,375.
8
8
Caso 2: De decimal finito a fracción común: La fracción resultante tiene como
numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10 con tantos
ceros como el número total de decimales.
125
5
Ejemplo: 1,25 =
. Simplificando: 1,25 =
100
4
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Caso 3: De decimal periódico a fracción común: La fracción resultante tiene como
numerador el número, sin coma, incluyendo el período, menos los enteros. Como
denominador, tantos 9 como cifras tenga el período.
Caso 4: De decimal semiperiódico a fracción común: la fracción resultante tiene como
numerador una cifra formada por el número sin la coma, menos los enteros y anteperíodo.
Como denominador lleva un número de tantos 9 como cifras tenga el período, seguidos de
tanto ceros como cifras tenga el anteperíodo decimal.
Conjunto de los Números Irracionales (Q* )
Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción a/b, siendo a y b
enteros, con b0 . Corresponden a los decimales que no se transforman a fracción.
Ejemplo 1: El número 2 es irracional, puesto que 2 = 1,414213562... Este es un
número de infinitas cifras decimales, sin que presente un período o semiperíodo. Por lo
tanto, es imposible expresarlo como una fracción y es más cómodo expresarlo simplemente
como 2 .
Ejemplo 2: El número  es irracional, puesto que = 3,141592654... y no es posible
expresarlo como fracción. Por este motivo es más cómodo expresarlo simplemente como .
Algunas civilizaciones antiguas conocieron los números irracionales. Pero su concepto de
mundo perfecto, en el cual todo encajaba racionalmente, no les permitió su comprensión.
Tal fue su confusión que les llamaron “irracionales”.
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Conjunto de los Números Reales (IR)
Definición
Es el conjunto resultante de la unión de los Racionales con los Irracionales. Lo que hoy
conocemos como toda la recta numérica.
Es decir:
IR = Q  Q *
o
IR = Q  Ir
Pertenecen al conjunto de los Reales IR: (todos los números)
 El cero, los enteros positivos y negativos;
 Las fracciones;
 Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y
 Los irracionales
Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:
La Recta Real
Recta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca
uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y,
separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitúan correlativamente los
números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda.
Los números reales se sitúan sobre la recta valiéndose de construcciones geométricas o bien
mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que
tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una
correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la
recta le corresponde un número real y viceversa).
1
1
4
Ejemplo: Ordene los siguientes números de menor a mayor: P =
,Q=
yR=
7
2,5
2
Solución:Primero se expresarán todos los números como decimal:
4
P =  0,57
7
1
1
Q=
=
 0,71
2 1,41
1
R=
= 0,4
2,5
Por lo tanto, el orden de menor a mayor es: R < P < Q.
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Prioridad de operatoria matemática en los Reales
En la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente prioridad
operatoria:
1° Paréntesis
2° Potencias y raíces
3° Multiplicaciones y divisiones
4° Sumas y restas
Ejemplo: 13 - (-7 + 3 9) – 32 =
Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9)
Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27.
Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20
Segundo: el cuadrado de 3 = 9
Está quedando: 13 – 20 – 9
Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.
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Ejercicios:
¿Para cuál de los siguientes valores de r, la expresión
a)
b)
c)
d)
e)
5  r es un número irracional?
–1 .
–4
5
41/9
19/4
Si “a” es un número natural y “b” es un número cardinal, entonces puede darse que:
a) a + b = 0
b) a : b = 0
c) b : a = 0.
d) b – a = b
e) a + b2 = b
Si x es un número entero, la expresión
x 1
da origen a un número racional:
6
a) Para ningún valor de x.
b) Solo para x igual a cero.
c) Solo para x distinto de uno.
d) Solo para x mayor que siete.
e) Para cualquier valor de x..
¿Cuántos factores primos diferentes tiene el número 360?
A) 2
B) 3.
C) 4
D) 5
E) 6
La suma de tres pares consecutivos es 150. Luego, la suma de los impares ubicados entre
estos pares es:
A) 151
B) 149
C) 102
D) 100.
E) 99
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La suma de dos enteros impares consecutivos es 8x – 4. Entonces, el mayor de ellos es:
a) 4x – 3
b) 4x – 2
c) 4x – 1.
d) 2x – 2
e) 2x – 1
Si p representa un número par y q un número impar, entonces, de las expresiones
siguientes:
I: (p + 1)2 q
II: p2 (q + 1)
III: (p + 1) (q + 1)
¿Cuál(es) representa(n) siempre un número par?
a) Solo I
b) Solo III
c) Solo I y II
d) Solo II y III.
e) I, II y III
1 1 1
El cuociente de     : 2,5 es igual a:
2 3 6
a) 2,5
b) 0,4.
c) 4
d) 0,8
25
e)
6
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La expresión numérica:
a) -0,1 .
b) -0, 1
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0,3  0, 3
es igual a:
1
3
c) 0,3
d) 0,09
e)
1
3
Jaime recorre una distancia total de 48 Km. Primero, se traslada un tercio del recorrido
en auto. Del resto, los dos novenos los hace en bicicleta, para, finalmente, completar su
trayecto caminando. ¿Cuántos Km. recorre en bicicleta?
a) 32 Km.
b) 40 Km.
c) 60 Km.
d) 80 Km.
e) 64/9 Km..
¿A qué conjunto(s) pertenece el número 0,3?
a) Z
b) Q
c) Q*
d) IR
e) Q y IR
De los números, a = 46/7, b = 13/2 y c = 6,3 ¿Cuál es el menor?
a) a
b) b
c) c.
d) b=c
e) N. A.
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