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CLASE. NÚMEROS COMPLEJOS.
EJERCICIO 1:
La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis,
y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica.
La forma general de expresar un número complejo cualquiera es: a  bi por lo que su
conjugado quedaría expresado de la forma: a  bi
De acuerdo a lo que nos plantea el enunciado del problema las partes reales de ambos
números complejos, es decir a y a, cuando se suman da como resultado 6. Planteamos:
a  a  6  2a  6  a  3
En la otra parte del enunciado se refiere a que la suma de los módulos de estos números
complejos es igual a 10.
El módulo de un número complejo o norma se calcula como: z  a 2  b 2
Con el dato de a  6 quedaría planteado lo anunciado:
32  b 2  32  b  10  9  b  9  b  10
Para calcular el valor de b en esa ecuación elevamos al cuadrado ambos miembros:
 9b

Recordar propiedad que plantea que sí elevamos ambos
 9  b 2  10
miembros de una igualdad al cuadrado esta no se altera.
2
2
2
9  b2
  10
2
2
2


 4 9  b 2  100  36  4b 2  100  4b 2  64  b 2  16
b4
Por lo tanto los números complejos son:
3  4i y 3  4i
EJERCICIO 2:
Calcular todas las raíces de la ecuación x 3  1  0
Factorizando esa diferencia de cubos perfectos obtenemos:
x  1x 2  x  1  0 Recordar factorización de cubos perfectos.


x 3  y 3  x 3  y 3 x 2  xy  y 2

Por lo tanto la primera raíz sería. x  1  0  x  1


El segundo factor x 2  x  1  0 no tiene descomposición, por lo, que aplicamos la
fórmula general de la ecuación cuadrática:
x1, 2
 b  b 2  4ac

2a
x1, 2
 1  12  4  1  1  1  1  4  1   3



2 1
2
2
a 1
b 1
c 1
1
3
x1, 2   
i
2 2
Ahora en el campo de los números complejos esta ecuación tendría 3 soluciones.
x1  1
x2  
1
3

i
2
2
1
3
x3   
i
2 2
EJRCICIO 3:
Demuestra que el número complejo 
1
11
.
i es una raíz de la ecuación:
2
2
x 4  2x3  2x 2  x  6  0
Primeramente factorizamos la ecuación aplicando Ruffini:
1
1
2
2 1 -6 1
1
3
5
6
3
5
6
0
x  1x 3  3x 2  5x  6  0
Factorizamos el segundo factor:
1
3
5 6 -2
-2 -2 -6
1
1 3
0
x  1x  2x 2  x  3  0
Busquemos la raíz compleja en el trinomio que no tiene descomposición:
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
a 1
b 1
c3
x1, 2 
 1  12  4  1 3  1  1  12  1   11


2 1
2
2
Por lo tanto 
1
11
.
i es una raíz de la ecuación: x 4  2 x 3  2 x 2  x  6  0
2
2