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02 de Junio de 2011
ESPACIOS
VECTORIALES
(Clase 03)
Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
José Luis Quintero 1
Puntos a tratar
1. Subespacio vectorial generado
2. Dependencia e independencia
lineal
3. Base de un espacio vectorial
4. Dimensión
vectorial
de
un
espacio
5. Coordenadas de un vector
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
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Subespacio vectorial generado
Sea V un espacio vectorial real.
Sea G un conjunto (no vacío) de vectores de V:
Definimos
como el conjunto formado por
todas las combinaciones lineales de los vectores:
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Ejemplos
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José Luis
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Fundamentos
Matemáticosde
la Ingeniería
Subespacio vectorial generado
En un mismo subespacio vectorial es posible encontrar
distintos sistemas de generadores
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Ejemplos
EJEMPLO.. Demostrar que
EJEMPLO
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Quintero
Fundamentos
Matemáticosde
la Ingeniería
Puntos a tratar
1. Subespacio vectorial generado
2. Dependencia e independencia
lineal
3. Base de un espacio vectorial
4. Dimensión
vectorial
de
un
espacio
5. Coordenadas de un vector
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Dependencia e independencia lineal
Podemos plantearnos la siguiente pregunta. ¿Existe una
relación especial entre los vectores
y
?
, o escrito de otro modo:
Es decir, el vector nulo se puede escribir como una
combinación no trivial de
y
. En este caso se
dice que los vectores son linealmente dependientes.
En general, se tienen las siguientes definiciones:
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José Luis
Quintero
Fundamentos
Matemáticosde
la Ingeniería
Sistema libre. Sistema ligado
es un sistema libre (o son
vectores linealmente independientes) si:
es un sistema ligado (o
son vectores linealmente dependientes) si:
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Puntos a tratar
1. Subespacio vectorial generado
2. Dependencia e independencia
lineal
3. Base de un espacio vectorial
4. Dimensión
vectorial
de
un
espacio
5. Coordenadas de un vector
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Base de un espacio vectorial
Una base es un conjunto generador “eficiente” que no contiene vectores
innecesarios. De hecho, se puede construir una base a partir de un conjunto
generador desechando algunos vectores innecesarios. Además, conocer una
base de un espacio vectorial es muy útil para comprender el espacio y sus
propiedades.
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
es una base del e.v. real
V si
si::
B s. libre
B s. generador de V
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Ejemplos
EJEMPLO 1.
base
canónica
EJEMPLO 2.
base
canónica
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Puntos a tratar
1. Subespacio vectorial generado
2. Dependencia e independencia
lineal
3. Base de un espacio vectorial
4. Dimensión
vectorial
de
un
espacio
5. Coordenadas de un vector
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Dimensión de un espacio vectorial
Todas las bases del e.v. V poseen el mismo número
de elementos. Entonces
Entonces::
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
VECTORIAL..El número de elementos que posee una base cualquiera
de un e.v. V , recibe el nombre de dimensión del e.v. V
(dim V)).
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Fundamentos
Matemáticosde
la Ingeniería
Puntos a tratar
1. Subespacio vectorial generado
2. Dependencia e independencia
lineal
3. Base de un espacio vectorial
4. Dimensión
vectorial
de
un
espacio
5. Coordenadas de un vector
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Coordenadas de un vector
Sea V e.v. real con
base de V.
únicos tales que:
A los escalares (únicos
(únicos))
les llama coordenadas del vector
B..
se
en la base
Hallar las coordenadas del vector
• en la base canónica de
• en la base
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
de
José Luis Quintero
Pensamiento de hoy
“Aunque no existe una fórmula
secreta para inventar una
buena estrategia, sí existen
ciertos conceptos y enfoques
específicos que pueden servir
para que cualquier persona
llegue a desarrollar excelentes
ideas tácticas”.
Kenichi Ohmae
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