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Núñez, Reinaldo
Álgebra lineal con aplicaciones: con un enfoque geométrica y nota histórica/
Reinaldo Núñez, Moisés Aranda Silva, Luis Alejandro Bello Rodríguez. – 2ª ed.
– Bogotá: Universidad Sergio Arboleda, 2015.
342 p.
ISBN: 978-958-8866-40-6
1. ALGEBRAS LINEALES 2. ECUACIONES LINEALES I. ARANDA SILVA,
MOISÉS II. BELLO RODRÍGUEZ, LUIS ALEJANDRO
512.5 ed. 21
Universidad Sergio Arboleda
Álgebra Lineal con aplicaciones
Con un enfoque geométrico y nota histórica
© REINALDO NÚÑEZ
© MOISÉS ARANDA SILVA
© LUIS ALEJANDRO BELLO RODRÍGUEZ
reinaldo.nuñ[email protected]
Teléfono: 3257500
Segunda edición: abril de 2015
Queda prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin
previa autorización escrita del editor.
Edición realizada por el Fondo de Publicaciones
Universidad Sergio Arboleda
Calle 74 No. 14-14
Teléfonos: 3220080-3220282-5400300
www.usergioarboleda.edu.co
Fax: 3177529
Bogotá D.C.
Director editorial: Jaime Barahona Caicedo
Diseño carátula y diagramación: Maruja E. Flórez Jiménez
Impresión: Digiprint
Bogotá, D.C.
ISBN: 978-958-8866-40-6
3.1
3.2
3.3
CONTENIDO
CONTENIDO
CONTENIDO
C
PRÓLOGO........................................................................................................
ix
CONTENIDO
ONTENIDO
Introducción...........
Determinantes........
Determinantes de o
Determinantes
Capítulo 3
PRÓLOGO........................................................................................................ ix
PRÓLOGO........................................................................................................ ix
Capítulo
1 ........................................................................................................11
1ix
PPRÓLOGO
ix
RÓLOGO........................................................................................................
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Introducción...........
Sistema homogéne
Teoría de sistemas
Matrices.................
Multiplicación de
Matrices cuadradas
Matrices elemental
Rango de una matri
Nota histórica.........
Capítulo 1
1
Vectores
Capítulo
1 en ‘8
1
1.1
Introducción......................................................................................................1
Vectores
Capítulo
11 en ‘8
11
Capítulo
1.2
en8el plano......................................................................................... 3
1.1 Vectores
Introducción......................................................................................................1
Vectores en ‘
1
1.3 Introducción......................................................................................................1
‘#plano.........................................................................................
..................................................................................................8
1.2
Vectores
en88el
3
1.1
13
Vectores
en
‘
1
Vectores
‘
#
1.4
Normaen
deen
unel
1531
1.3
‘vector........................................................................................
..................................................................................................8
1.2
Vectores
plano.........................................................................................
15
1.1
1.1 Introducción......................................................................................................1
Introducción......................................................................................................1
#
1.5
Producto
punto...............................................................................................
18
1.4
Norma
deen
unel
15
1.3 Vectores
‘vector........................................................................................
..................................................................................................8
20
1.2
plano.........................................................................................
33
1.2 Producto
Vectores en
en ‘
el#8 plano.........................................................................................
1.6
Vectores
...............................................................................................
27
1.5
punto...............................................................................................
18
1.4
Norma
deen
un‘vector........................................................................................
15
27
1.3
Vectores
..................................................................................................8
1.3 Independencia
Vectores en
en ‘
‘8#lineal,
..................................................................................................8
1.7
base y dimensión..........................................................38
1.6
Vectores
...............................................................................................
27
1.5
Producto
punto...............................................................................................
18
30
1.4
Norma
de
un
vector........................................................................................
15
$vector........................................................................................
1.4
Norma
de
un
15
8
1.8
Vectore
en
‘
.................................................................................................
45
1.7
Independencia
lineal,
base y dimensión..........................................................38
1.6 Producto
Vectores en
‘ ...............................................................................................
27
39
1.5
punto...............................................................................................
18
1.5
Producto
punto...............................................................................................
18
1.6
Rectas
yen
planos...............................................................................................
50
1.8
Vectore
‘‘$8.................................................................................................
45
1.7 Vectores
Independencia
base y dimensión..........................................................38
48
1.6
en
...............................................................................................
27
8lineal,
1.6
Vectores
en
‘
...............................................................................................
27
1.6
Rectas
planos...............................................................................................
50
1.8 Independencia
Vectoreyen
‘$ .................................................................................................
45
57
1.7
lineal,
base
yydimensión..........................................................38
1.7 Independencia
lineal,
base
dimensión..........................................................38
$
1.6 Vectore
Rectas y planos...............................................................................................
50
62
1.8
1.8 Vectoreen
en‘‘$.................................................................................................
.................................................................................................45
45
Capítulo
2
63
1.6
Rectas
y
planos...............................................................................................
50
1.6 Rectas y planos............................................................................................... 50
Sistema de ecuacion
Capítulo 2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.6
Introducción...........
Vectores en el plan
Vectores en ‘# .......
Norma de un vecto
Producto punto.......
Vectores en ‘8 ......
Independencia line
Vectore en ‘$ ........
Rectas y planos......
Capítulo 2
63
Sistema2 de ecuaciones lineales y matrices
Capítulo
63
2.1
Introducción....................................................................................................63
Sistema
de
ecuaciones
lineales
y
matrices
Capítulo
2
63
Capítulo
2 homogéneos de ecuaciones lineales..................................................63
63
2.2
63
2.1 Sistema
Introducción....................................................................................................63
75
Sistema de ecuaciones lineales y matrices
63
2.3
Teoría
de
sistemas
de
ecuaciones
lineales......................................................
73
2.2
Sistema
homogéneos
de
ecuaciones
lineales..................................................
63
75
2.1
Introducción....................................................................................................63
Sistema
de
ecuaciones
lineales
yy matrices
63
Sistema
dede
ecuaciones
lineales
matrices
63
2.4
Matrices..........................................................................................................84
85
2.3
Teoría
sistemas
de
ecuaciones
lineales......................................................
73
2.2
Sistema
homogéneos
de
ecuaciones
lineales..................................................
63
2.1
2.1 Introducción....................................................................................................63
Introducción....................................................................................................63
2.5
Multiplicación
de
matrices.............................................................................
93
2.4
Matrices..........................................................................................................84
96
2.3
Teoría
de
sistemas
de
ecuaciones
lineales......................................................
73
2.2
de
63
2.2 Sistema
Sistemahomogéneos
homogéneos
deecuaciones
ecuacioneslineales..................................................
lineales..................................................105
63
2.6
Matrices
cuadradas.........................................................................................
98
2.5
Multiplicación
de
matrices.............................................................................
93
2.4
Matrices..........................................................................................................84
2.3
Teoría
de
sistemas
de
ecuaciones
lineales......................................................
73
2.3
Teoría
de
sistemas
de
ecuaciones
lineales......................................................
73
2.7 Matrices..........................................................................................................84
elementales....................................................................................
110
2.6
Matrices
cuadradas.........................................................................................
98
2.5
Multiplicación
de matrices.............................................................................107
93
2.4
2.4 Matrices
Matrices..........................................................................................................84
2.8
Rango
de
una
matriz.....................................................................................
118
119
2.7
elementales....................................................................................
107
2.6
cuadradas.........................................................................................
98
2.5
de
93
2.5 Multiplicación
Multiplicación
dematrices.............................................................................
matrices.............................................................................
93
Nota
histórica...............................................................................................
125
130
2.8
Rango
decuadradas.........................................................................................
una matriz.....................................................................................
118
2.7 Matrices
elementales....................................................................................
107
2.6
98
2.6 Nota
Matrices
cuadradas.........................................................................................
98
125
137
2.8 Matrices
Rangohistórica...............................................................................................
de una matriz..................................................................................... 107
118
2.7
2.7 Matriceselementales....................................................................................
elementales.................................................................................... 107
Nota histórica...............................................................................................
125
2.8
2.8 Rango
Rangode
deuna
unamatriz.....................................................................................
matriz.....................................................................................118
118
Capítulo
3
128
Nota
histórica...............................................................................................
125
Nota histórica............................................................................................... 125
Vectores en ‘8
Capítulo 1
PRÓLOGO......................
Capítulo 3
128
Determinantes
128
Capítulo
3
128
3.1
Introducción..................................................................................................128
141
Determinantes
128
Capítulo
33
128
Capítulo
128
3.2 Introducción..................................................................................................128
Determinantes...............................................................................................128
141
3.1
Determinantes
128
3.3 Determinantes...............................................................................................128
Determinantes de orden 8.............................................................................138
151
3.2
3.1
Introducción..................................................................................................128
Determinantes
128
Determinantes
128
3.3
Determinantes
de
orden
8
.............................................................................138
3.2 Determinantes...............................................................................................128
3.1
3.1
3.3
3.2
3.2
3.3
3.3
Introducción..................................................................................................128
Introducción..................................................................................................128
Determinantes de orden 8.............................................................................138
Determinantes...............................................................................................128
Determinantes...............................................................................................128
Determinantes
Determinantesde
deorden
orden88.............................................................................138
.............................................................................138
9
vii
vii
vii
viii
viii ÁÁLGEBRA
LGEBRA L
LINEAL
INEAL CON
CON A
APLICACIONES
PLICACIONES
viii
ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES
viii
ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES
3.4
Propiedades..................................................................................................
146
Álgebra
Lineal
con
Aplicaciones
viii 3.4 ÁLGEBRA
LINEAL
CON APLICACIONES
Propiedades..................................................................................................
146
3.5
3.5
3.4
3.6
3.6
3.5
3.4
3.7
3.7
3.6
3.5
3.4
3.7
3.6
3.5
3.7
3.6
3.7
Una
Una interprtación
interprtación geométrica
geométrica del
del determinante............................................
determinante............................................ 148
148
Propiedades..................................................................................................
146
8
Producto
vectorial
generalizado
en
‘
Producto
vectorialgeométrica
generalizado
‘8.........................................................152
.........................................................152
Una
interprtación
delen
determinante............................................
148
Propiedades..................................................................................................
146
8
Matriz
inversa
yy determinantes.....................................................................160
Matriz
inversa
determinantes.....................................................................160
Producto
vectorial
generalizado
en
‘
.........................................................152
Una
interprtación
geométrica
del
determinante............................................
148
Propiedades.................................................................................................. 159
146
Nota
histórica...............................................................................................
165
8
Nota
histórica...............................................................................................
165
Matriz
inversa
y
determinantes.....................................................................160
Producto
vectorial
generalizado
en
‘
.........................................................152
Una interprtación geométrica del determinante............................................161
148
Nota
histórica...............................................................................................
165
Matriz
inversa
y determinantes.....................................................................160
165
Producto
vectorial
generalizado en ‘8 .........................................................152
Nota
histórica...............................................................................................
165
Matriz
inversa y determinantes.....................................................................160
173
Capítulo
44 histórica...............................................................................................169
CapítuloNota
169
165
178
Capítulo 4
169
Transformaciones
lineales
Capítulo
4
169
Transformaciones lineales
169
4.1
Introducción..................................................................................................169
4.1
Introducción..................................................................................................169
Transformaciones
lineales
169
Capítulo
4
169
4.2
Transformaciones
lineales............................................................................
169
4.2
Transformaciones
lineales............................................................................169
169
Transformaciones
lineales
4.1
Introducción..................................................................................................169
4.3
Construcción
de
transformaciones
lineales...................................................182
4.3
Construcción
de
transformaciones
lineales...................................................182
4.2
Transformaciones
lineales............................................................................169
169
4.1
Introducción..................................................................................................169
183
Transformaciones
lineales
4.4
Núcleo
ee imagen
de
una
lineal.............................................
4.4
imagen
delineales............................................................................
una transformación
transformación
lineal............................................. 188
188
4.3
Construcción
de transformaciones
lineales...................................................182
4.2
Transformaciones
169
183
4.1 Núcleo
Introducción..................................................................................................169
4.5
Transformaciones
lineales
yy matrices...........................................................
4.5
Transformaciones
lineales
matrices...........................................................
197
4.4
Núcleo
e imagen
de
una transformación
lineal............................................. 197
188
4.3
de transformaciones
lineales...................................................182
196
4.2 Construcción
Transformaciones
lineales............................................................................
169
4.6
Isomorfismos................................................................................................
205
4.6
Isomorfismos................................................................................................
205
4.5
Transformaciones
lineales
y
matrices...........................................................
197
4.4
Núcleo
e
imagen
de
una
transformación
lineal.............................................
188
202
4.3 Construcción de transformaciones lineales...................................................182
4.7
Transformaciones
lineales
yy cambios
227
4.7
cambios de
de base..............................................
base..............................................
227
4.6
Isomorfismos................................................................................................
4.5
lineales
matrices...........................................................
197
211
4.4 Transformaciones
Núcleo e imagen de
una transformación
lineal.............................................205
188
4.7
Transformaciones
lineales
y
cambios
de
base..............................................
227
4.6
Isomorfismos................................................................................................
205
4.5 Transformaciones lineales y matrices...........................................................219
197
4.7
lineales y cambios de base.............................................. 241
227
4.6 Transformaciones
Isomorfismos................................................................................................
205
Capítulo
55
Capítulo
237
4.7 Transformaciones
lineales y cambios de base..............................................237
227
Capítulo 5
237
Valores
237
Capítulo
Valores5 propios
propios yy vectores
vectores propios
propios
237
5.1
Valores
propios
y
vectores
propios..............................................................
237
5.1
Valores
propios
vectores propios..............................................................
237
Valores
y yvectores
propios
237
Capítulo
5propios
237
5.2
Ortonormalización
de
Proceso
5.2
Ortonormalización
de bases.
bases.propios..............................................................
Proceso de
de ortogonalización
ortogonalización de
de GramGramValores
propios
y yvectores
propios
237
5.1
Valores
propios
vectores
237
251
Schmidt.........................................................................................................251
Schmidt.........................................................................................................251
5.2
Ortonormalización
de
bases.
Proceso
de
ortogonalización
de
Gram5.1
Valores
propios
y
vectores
propios..............................................................
237
Valores propios y vectores propios
237
5.3
Formas
bilineales..........................................................................................263
5.3
Formas
5.2
Ortonormalización
de bases.propios..............................................................
Proceso de ortogonalización de Gram265
5.1 Schmidt.........................................................................................................251
Valoresbilineales..........................................................................................263
propios y vectores
237
5.3
bilineales..........................................................................................263
Schmidt.........................................................................................................251
277
5.2 Formas
Ortonormalización
de bases. Proceso de ortogonalización de Gram5.3 Formas
bilineales..........................................................................................263
Schmidt.........................................................................................................251
Capítulo
66
272
Capítulo
272
5.3 Formas
bilineales..........................................................................................263
Capítulo 6
272
Aplicaciones
Capítulo
6
272
Aplicaciones
272
6.1
Introducción..................................................................................................272
6.1
Introducción..................................................................................................272
Aplicaciones
272
287
Capítulo
6
272
6.2
Producto
punto.............................................................................................
272
6.2
Producto
punto.............................................................................................272
272
287
Aplicaciones
6.1
Introducción..................................................................................................272
6.3
Sistemas
de
ecuaciones
lineales
y
matrices..................................................
277
6.3
Sistemas
de
ecuaciones
lineales
y
matrices..................................................
277
292
6.2
Producto
punto............................................................................................. 272
272
6.1
Introducción..................................................................................................272
Aplicaciones
6.4
Modelo
de
Leontief......................................................................................
291
6.4
Modelo
de
Leontief......................................................................................
291
6.3
Sistemas
de
ecuaciones lineales y matrices.................................................. 306
277
6.2
punto.............................................................................................
272
6.1 Producto
Introducción..................................................................................................272
6.5
Cadenas
de
Markov......................................................................................
6.5
de
Markov......................................................................................
295
6.4
Modelo
Leontief......................................................................................
291
6.3
Sistemas
de
ecuaciones lineales y matrices.................................................. 295
277
310
6.2 Cadenas
Productode
punto.............................................................................................
272
6.6
Programación
lineal......................................................................................301
6.6
lineal......................................................................................301
6.5
Cadenas
de
Markov......................................................................................
295
6.4
Modelo
291
6.3 Programación
Sistemasde
deLeontief......................................................................................
ecuaciones
lineales y matrices.................................................. 316
277
6.7
Diagonalización............................................................................................306
6.7
6.6
Programación
lineal......................................................................................301
6.5
Cadenas
de Leontief......................................................................................
Markov......................................................................................
295
321
6.4 Diagonalización............................................................................................306
Modelo de
291
6.8
Método
AHP................................................................................................
308
6.8
308
6.7
Diagonalización............................................................................................306
6.6
Programación
lineal......................................................................................301
323
6.5 Método
CadenasAHP................................................................................................
de Markov......................................................................................
295
6.8
Método
AHP................................................................................................
308
6.7
Diagonalización............................................................................................306
6.6 Programación lineal......................................................................................301
B
IBLIOGRAFÍA
......................................................................................................
6.8
Método
AHP................................................................................................
308
341
6.7
Diagonalización............................................................................................306
B
IBLIOGRAFÍA
...................................................................................................... 325
325
6.8
Método AHP................................................................................................
308
B
IBLIOGRAFÍA
...................................................................................................... 325
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 325
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 325
10