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ALGEBRA
Cantidades imaginarias - numeros complejos
Las operaciones directas (Suma, multiplicación y potenciación) no crearon problema de
cálculo, por ser siempre realizables.
En cambio las operaciones inversas (Resta, división y radicación), crearon el problema al no
ser realizables en algunos casos dentro del campo de los números naturales.
RESTA ……
Minuendo
Substraendo
Números negativos.
DIVISIÓN … Dividendo y Divisor: Primos relativos
Números fraccionarios.
RADICACIÓN…
{
√
Pues no existe ningún numero (Positivo o negativo) que elevado a una potencia par
, nos
reproduzca el radicando negativo
LAS RAÍCES DE ÍNDICE PAR DE CANTIDADES NEGATIVAS NO TIENEN SOLUCION DENTRO DEL
CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES.
Debido a esto fueron llamados números imaginarios, pues solo existen en la imaginación.
Sin embargo, mismo siendo imaginarios tienen mucha aplicación dentro del campo de la
matemática avanzada y debido a eso lo estudiaremos.
Ejemplos:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ √
138
ALGEBRA
En los ejemplos que acabamos de mostrar, analizamos algunos números imaginarios puros y
para explicitarlo mejor en su significado, utilizamos las reglas básicas del algebra en lo
referente a la multiplicación de radicales, para presentarlo como el producto de dos factores:
Una parte real y el otro factor √
que es el causante de la imposibilidad.
A este factor de ser el causante de la imposibilidad de ser un número real, fue convencionado
llamarlo unidad imaginaria y para facilitar su escritura, su notación es:
√
………. Unidad imaginaria.
Todo numero imaginario, con tal de que el índice de la raíz sea un numero par puede ser
escrito en la forma:
…………………….Siendo: {
Una vez hecha esta transición, es decir el numero imaginario fue puesto en la forma
, pasa
a comportarse como una expresión algebraica y específicamente como un monomio, siendo la
parte literal la letra , y su coeficiente , que podrá ser de cualquier naturaleza (Racional,
irracional, positivo, negativo, etc.) como también podrá ser una expresión algebraica
cualquiera.
√
Ejemplos:
√
√
√
139
ALGEBRA
Operaciones con los números imaginarios puros:
Las leyes de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división y radicación con los números
imaginarios puros, son idénticas a las normas del algebra convencional. A continuación
haremos una analogía:
………………………….
……………………
(
)
√
)
…………………….(
……………………….√
La única diferencia en estas operaciones con los números imaginarios es que los resultados no
pueden tener potencias de la unidad imaginaria.
Esto es debido a que las potencias de i son cíclicas; es decir:
(√
)
}
}
Esto nos muestra que las potencias de las unidades imaginarias son cíclicas, y sea cual fuere su
valor solo puede tener 4 valores.
140
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Estos 4 valores son:
{
Estos valores debemos memorizarlos o saber deducirlos.
Cuando el exponente es mayor a 4 , debemos dividir el exponente por 4 y lo sustituimos por
el resto de la división.
Si la división es exacta el resto será cero, esto significa que es un múltiplo de 4 y su valor será
1, pero también podríamos recordar que cualquier cantidad con exponente cero es igual a la
unidad, es decir
Entonces los resultados obtenidos en los ejemplos de las operaciones con los números
imaginarios serán:
Ejemplos:
………………..2
Obs.:
y
……números enteros.
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Ejercicios propuestos:
1- Reducir la expresión:
a)
√
√
(
√
√
)
(
Rta.:
)
b)
c)
Rta.:
( √
2- Calcular:
(√
(√
)
)
(
√
√
)
√
Rta.: 3
)
a)
b)
c)
d)
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ALGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS:
Forma binómica o algebraica:
A las expresiones binómicas cuya forma general es
un termino imaginario puro
complejos”. A los coeficientes
, constituidas por un termino real y
, se denominan “cantidades complejas o números
y
se los llama componentes de la compleja.
Particularidades de los números complejos:
a) Si en la expresión
se tiene
, la misma se reduce a “ ”
Luego: “Todo numero real puede ser considerado como un numero complejo, que
tiene nula la parte imaginaria”
b) Si en la expresión
se tiene
, la misma se reduce a “
”
Luego: “Todo numero imaginario puro puede ser considerado como un numero
complejo, en donde la parte real es cero”
c) Si un número complejo es nulo, sus componentes son nulos.
Es decir: Si
…….. Entonces
.
d) Si dos números complejos son iguales, necesariamente serán iguales: sus componentes
reales y sus componentes de la parte imaginaria.
………. {
Es decir: Si
e) Dos números complejos se llaman “CONJUGADOS”, cuando difieren solamente en el
signo de la parte imaginaria. (
Es decir:
).
y
…. son complejos conjugados.
f) Dos números complejos se llaman “OPUESTOS” cuando difieren solamente en el signo
de sus componentes.
Es decir:
y
…. son complejos opuestos.
g) En el campo de los números complejos no se define la relación orden, es decir, no
existe un número complejo mayor o menor que otro.
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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
1- Suma algebraica: La suma de varias complejas dadas en forma algebraica es en general,
una compleja cuya parte real es la suma algebraica de las partes reales de las complejas y
la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los complejos sumandos.
Ejemplo:
a) Sumar:
b) Simplificar:
(
)
2- Multiplicación:
a)
El producto de un número real por una compleja, es otra compleja.
Es decir
……
es un número real.
Ejemplo:
b)
Producto de dos complejas
Si …….…
………. El producto será un imaginario puro.
Si …….…
……….. El producto será un número real.
El producto de dos complejas conjugadas es un número real:
Luego: El producto de dos complejos puede ser un número real, un imaginario puro o
una compleja, inclusive puede ser cero.
Ejemplos:
b1)
b2)
Producto de varias complejas:
Para obtener el producto final, se multiplica la primera compleja por la segunda,
obteniéndose en general una compleja, la cual a su vez se multiplica por el tercer factor y así
sucesivamente hasta multiplicar con la ultima compleja.
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3- División:
a) La división entre una compleja y un número real
, es otra compleja.
Es decir:
b) El cociente de la división de un número real por una compleja es otra compleja.
Es decir:
…. Racionalizando tendremos.
c) Cociente entre dos complejas:
En este caso racionalizamos el denominador
Dependiendo del resultado del producto en el numerador de la fracción: El cociente
entre dos números complejos puede ser un número complejo, un número real o un
imaginario puro.
4- Potenciación de números complejos:
Cuando el exponente
es decir:
es 2 o 3 generalmente se utilizan las formulas del algebra básica,
.
Pero cuando el exponente es mayor que 3, se puede utilizar el triangulo de Tartaglia, o
el desarrollo del binomio de Newton:
La potencia de exponente natural de una compleja puede ser un número real, un
imaginario puro o una compleja.
Ejercicios propuestos:
a)
b) (
Rta.:
)
Rta.:
c)
d) (√
Rta.:
)
Rta.:
e)
145
√
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5- Radicación de números complejos:
Nosotros focalizaremos nuestra atención en dos casos:
a) Raíz cuadrada de un numero complejo: √
Indudablemente la raíz cuadrada de este número complejo deberá ser otro número
complejo, pues al elevar al cuadrado dicha raíz deberá reproducirnos el complejo
radicando.
Luego podremos escribir: √
(√
)
….
Aplicando la condición de polinomios idénticos a la expresión
tendremos:
2
Resolviendo el sistema obtenemos los valores de
e
.
b) Raíz cúbica de un número complejo √
Procedemos con un razonamiento análogo al anterior y tendremos:
√
(√
)
….
Aplicando la condición de polinomios idénticos a la expresión
2
Resolviendo el sistema tendremos
e
.
146
) tendremos:
ALGEBRA
Ejercicios propuestos:
1- Resolver las ecuaciones en el conjunto de números complejos:
a)
Rta.:
b)
Rta.:2
√
c)
Rta.:
√
{
2- Determine
de modo que el número complejo
, sea un imaginario puro.
Rta.:
3- Determine
para que el número complejo
, sea un número real.
Rta.:
4- Determine
e
para que el número complejo
, sea:
a) un número real.
Rta.:
b) un número imaginario puro.
Rta.:
5- Siendo
, determine los valores reales de
a) La parte real de sea positiva.
Rta.:
b) La parte imaginaria de sea negativa.
Rta.:
6- Siendo
, determine los números reales
Rta.: 8
7- Calcular
y
para que
.
Rta.: {
147
para:
y
, tal que
.
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8- Determine el número complejo tal que:
Obs.:
.
… representa la conjugada de
Rta.:
9- Efectuar:
a) (
)(
)(
)
Rta.:
b)
Rta.:
c)
Rta.:
d)
Rta.:
e) (
√
*
10- Determine
Rta.:
e
√
de modo que
Rta.: 8
11- Siendo el polinomio
Calcular:
a)
b) (
Rta.:
√ )
Rta.:
12- Determine el número complejo , de modo que
.
Rta.:
13- Determinar los números complejos
y
de modo que:
a) 2
Rta.: 8
b) 2
Rta.: 2
148
√
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14- Calcular:
a)
√
Rta.:
√
b) (
)
Rta.:
(
c)
√
)
15- Escriba en la forma
Rta.:
, la expresión
16- Dadas las funciones: 2
Rta.:
. Calcular:
(
(
)
)
Rta.:
18- Escriba el resultado de la operación a seguir en la forma algebraica.
∑
19- ¿Cual debe ser el valor de
20- Calcular:
∑
, de modo que el número complejo
.
√
21- Dado
, calcular
22- Calcular:
a)
b)
149
, sea real?
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23- Determinar
Con
y
y
de modo que
, sea la raíz de la ecuación
reales.
(Obs.: Para que sea la raíz de la ecuación debe verificarla).
24- Resolver el sistema en el campo de los números complejos.
2
25- Resolver la ecuación y hallar el valor de “ ” para que tenga solución real.
(
)
… Rta: 2
26- Sabiendo que
27- Hallar las raíces cúbicas de:
. Hallar
e .
√
28- Resolver el siguiente sistema en el campo de los números complejos:
2
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