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Colegio Santa Gema Galgani
Religiosos Pasionistas
Prof. Camila Rojas
Números Complejos
Nombre:
Curso: III° M
Fecha: 08–05-2014
Como sabemos, en R no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como
− 1 , ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a –1.
Para eso definimos el símbolo i para indicar un número tal que:
i² = – 1
ó
i=
−1
Teniendo en cuenta la igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este número no es
real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones.
Ej: x² + 1 = 0
x²
=–1
x1 = i
x² + 2 = 0
x² =
x2 = – i
Ya que: i² + 1 = 0 y
x1 =
2 i
–2
x2 = –
2i
Ya que: ( 2 i)² + 2 = 0 y (– 2 i)² + 2 = 0
(–i)² + 1 = 0
Los números complejos.
A los números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, los llamamos números
complejos.
Z = a + bi
Se puede utilizar la letra z
para designar un número
i verifica que i2 = -1
a se llama parte real de z.
Lo escribiremos así:
a = Re (z)
b se llama parte imaginaria de
z. Lo escribiremos así:
b = Im (z)
Ejemplos:
Z1= 2 – 3i
Re (z1) = 2
Im (z1) = -3
૛
Z2 = i
૜
Re (z2) = 0
Im (z2) = 2/3
Z3= -5
Re (z3) = -5
Im (z3) = 0
Al conjunto de todos los números complejos lo designamos
con el símbolo ₵, y está definido de forma tal que incluye a los
números reales, representados por aquellos números complejos
cuya parte imaginaria es nula.
Un número complejo no nulo como z2, cuya parte real es nula,
se llama imaginario puro.
1
Ejercicio 1: Completa la siguiente tabla:
NÚMERO
COMPLEJO Z
5+3i
2–
PARTE REAL
RE (Z)
PARTE IMAGINARIA
IM(Z)
2
–4
1
8
2/3
–3
0
-13
0
4
0
0
¿ES COMPLEJO, REAL O
IMAGINARIO PURO?
3 i
5i
Conjugado y opuesto de un número complejo.
A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes:
* El conjugado de z es z = a – bi (la parte real es igual y la parte imaginaria es
opuesta)
* El opuesto de z es – z = – a – bi (la parte real y la parte imaginaria son opuestas)
Ejemplos:
z1 = – 1 – 2 i
z1 = – 1 + 2 i
– z1 = 1 + 2 i
z2 = 4 i
z2 = – 4 i
– z2 = – 4 i
z3 = 6
z3 = 6
– z3 = – 6
Ejercicio 2: Completen el siguiente cuadro:
z
–z
z
⅔+¾ i
2–6 i
–7+
3 i
–3
–
5 i
2–½ i
Potenciación de un número complejo.
¿Qué regularidad observan?
RECORDAR:
i0 = 1
;
i1 = i ; i2 = -1
i3 = -i
;
2
Ejercicio 3: Completen las potencias de i:
i0 =
i4 =
i1 =
i5 =
i2 =
i6 =
i3 =
i7 =
Ejercicio 4: Calcular las siguientes potencias:
a) i 127 =
b) i 44 =
c) i 242 =
d) i 69 =
e) i 94 =
f) ( i 12 ) 4 =
g) ( i 3 ) 5 =
i) i 33 .i 11 =
j) i 2022 : i 3 =
k) x + 1 = i 27
l) x – i = i −3
h) ( i 9 ) 27 =
Operaciones con números complejos.
En los siguientes ejemplos pueden observar cómo sumamos, restamos, multiplicamos y
dividimos números complejos:
Suma:
(2 + 3i) + (1 – 5i) = (2 + 1) + (3 – 5)i = 3 – 2 i
Resta:
(2 + 3i) – (1 – 5i) = (2 – 1) + (3 – (–5) i) = 1 + 8 i
Multiplicación: (2 + 3i) * (1 – 5i) = 2 * 1 + 2 * (–5i) + 3 I * 1 + 3i * (–5i) =
= 2 – 10 i + 3 i – 15 i² = 17 – 7i (recordar que i² = –1)
División: Para resolver la división de dos números complejos, siendo el divisor no nulo,
multiplicamos a ambos por el conjugado del divisor, del siguiente modo:
2 + 3i
1 − 5i
=
2 + 3i 1 + 5i
.
1 − 5i 1 + 5i
=
2 + 10i + 3i + 15i ²
1² − (5i )²
− 13 + 13i
=
1 + 25
=
1 1
+ i
2 2
Multiplicar por una fracción de igual numerador y denominador es como multiplicar por 1,
por lo tanto, la igualdad no se altera.
Ejercicio 5: Consideren los complejos: z1 = –2 + i
resuelvan las siguientes operaciones:
;
z2 = 3 + 5 i ;
z3 = 4 – i
y
a) z1 + z 2 – z 3 =
b) z1 + z 2 – z 3 =
c) z1 – z 3 =
d) 5. z 3 =
e) ( z1 + z 2 ). z 3 =
f) (– z1 + z 2 ).( z1 – z 3 ) =
g) z1 . z 2 – z 3 =
h) ( z 3 )² =
Ejercicio 6: Consideren los complejos:
resuelvan las siguientes divisiones:
z
z
z
a) 2 =
b) 1 =
c) 3 =
z1
z3
z2
z1 = 3 – i
d)
z2
=
z3
;
z2 = – 4 i ;
e) 16.
z3
z2
=
z3 = 7 + 2 i
f)
y
1
=
z1
3
EJERCICIOS
Adición y Sustracción de Números Complejos:
a)
(10 + 3i) + (8 + 2i) + (4 + 5i) =
b)
(7 + 5 i ) – ( 3 – 4 i ) – ( – 5 + 2 i ) =
c)
( 1 + ½ i ) + ( 3 – 3/2 i ) + ( – 4 + i ) =
d)
3
7 7
1 3
( – 8 + i ) + (– + i ) + ( − − i ) =
5
4 10
4 10
e)
2
4 3
2 1
28 3
( + i) + ( − i) + ( + i ) + (− − i) =
5
3 4
15 4
15 2
f)
(
3 i
3 i
2
2
+ )+(
− )+(
+ i) + (
− i) =
2 2
2 2
2
2
Multiplicación y División de Números Complejos:
a)
( 10 + 2 i ) · ( 3 + 15 i ) =
g)
(–4+2i):(1+i)=
b)
(–5+2i)· (5+2i)=
h)
(–1+i):(–1–i)=
c)
(–1 + i ) · (–1 – i ) =
i)
(4 + 2 i ) : i =
d)
– i. i =
j)
(–
e)
( 2 + 3 i) · ( 3 + 2 i ) =
k)
( 2 + 3 i) : (
f)
(
3 4
5 3
1 2
2 1
+ i ) : ( + i) =
4 5
5 4
2− 3 i)=
2
2
2
+ i ).( + 4i ).(
− i) =
2
3
2
Potencia de Números Complejos:
i 60 =
( – i ) 257 =
2 1
i) ( + i )² =
5 2
a)
e)
b) i 602 =
f) ( – i ) 13 =
2 3
j) ( + i )² =
7 5
c) i 77 =
g) ( 1 + i )² =
d) i 104 =
h) ( 4 – 3 i)² =
Ejercicios combinados en C:
a)
(1 + 2i )².i 47
=
(3 − 2i) − (2 + i)
d)
b)
i −253 (3 + 2i ) − (3 − 2i)
=
(4 + 2i ) + (−2 + i )
e)
c)
(2 + i) −1 .(2 + i)²
=
i 39 .(3 − 2i )
f)
2 − 2i ³ − 2i
=
+
3 − i5 1− i
2i
(1 + i )²
+
=
(1 − i )²
2i
2
2
(
+
i )²
2
2
=
1− i
4